QDF：以極大似然估計為起點，結(jié)合元學(xué)習(xí)思想重構(gòu)預(yù)測模型損失函數(shù)，實現(xiàn)跨模型泛化。

作者丨鄭佳美

編輯丨岑 峰

在多步時間序列預(yù)測任務(wù)中，預(yù)測性能隨時間步長迅速退化幾乎成為一種共識。例如：在氣象預(yù)測中，短期的溫度變化能夠較為準(zhǔn)確地刻畫，但當(dāng)預(yù)測跨度擴(kuò)展至數(shù)日甚至一周時，預(yù)測誤差就會逐漸放大，周期與趨勢結(jié)構(gòu)逐漸偏離真實軌跡。類似的問題在金融價格走勢和電力負(fù)荷預(yù)測等場景中也廣泛存在。

無論模型結(jié)構(gòu)如何變化，當(dāng)預(yù)測范圍從短期擴(kuò)展至中長期時，誤差積累、趨勢漂移和結(jié)構(gòu)失真往往不可避免地出現(xiàn)。這類現(xiàn)象在實踐中被頻繁觀察，卻通常被視為模型表達(dá)能力或依賴建模不足的直接結(jié)果。

然而，與模型結(jié)構(gòu)持續(xù)演進(jìn)形成鮮明對比的是，多步預(yù)測在訓(xùn)練階段所使用的損失函數(shù)卻長期保持固定。大多數(shù)方法仍以逐時間點的均方誤差（MSE）作為優(yōu)化目標(biāo)，默認(rèn)將未來不同預(yù)測步視為相互獨立且重要性一致的預(yù)測對象。

但是，多步預(yù)測并非一組彼此獨立的回歸任務(wù)，未來不同時間點之間往往呈現(xiàn)顯著的相關(guān)性；此外，不同預(yù)測步在優(yōu)化階段的重要性也并不相同。若損失函數(shù)無法顯式刻畫這些結(jié)構(gòu)特征，模型在長期預(yù)測中出現(xiàn)系統(tǒng)性偏差便并非偶然，而是訓(xùn)練階段錯誤假設(shè)的自然結(jié)果。

正是在這一背景下，林宙辰團(tuán)隊提出了題為《Quadratic Direct Forecast for Training Multi-step Time-Series Forecast Models》的研究工作。通過重構(gòu)訓(xùn)練目標(biāo)的加權(quán)結(jié)構(gòu)，引入對預(yù)測步相關(guān)性與不確定性差異的顯式建模。研究團(tuán)隊展示了在不改變模型架構(gòu)的前提下，僅通過調(diào)整訓(xùn)練目標(biāo)即可顯著改善多步預(yù)測性能的可能性，從而為時間序列預(yù)測提供了一種從訓(xùn)練機(jī)制層面理解長期預(yù)測失效的新視角。

論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2511.00053v1

01

問題根源：均方誤差的兩個先驗

在當(dāng)下的時序預(yù)測領(lǐng)域，絕大多數(shù)文獻(xiàn)仍以逐時間點的均方誤差（MSE）作為損失函數(shù)：

這個損失函數(shù)隱含了兩個先驗：1. 未來不同時間點的預(yù)測是相互獨立的；2. 所有預(yù)測步的重要性是相同的。

然而，現(xiàn)實并非如此：明天的天氣與后天的天氣存在相關(guān)性，預(yù)測未來1小時和1周的難度也完全不同。因此，多步預(yù)測并非一組獨立的回歸任務(wù)；不同預(yù)測步在優(yōu)化階段的重要性也并不相同。如損失函數(shù)無法正確刻畫這些結(jié)構(gòu)特征，模型在長期預(yù)測中出現(xiàn)系統(tǒng)性偏差，就并非偶然，而是訓(xùn)練階段錯誤假設(shè)的必然結(jié)果。

研究人員上述兩點先驗進(jìn)行了實驗檢驗，發(fā)現(xiàn)它們在多步預(yù)測場景中均不成立。

? 首先，對標(biāo)簽序列的條件協(xié)方差進(jìn)行了偏相關(guān)分析，以刻畫在控制歷史輸入的影響之后，標(biāo)簽序列不同時間點 與 之間的直接關(guān)系。實驗結(jié)果顯示，未來時間點之間存在大量非零偏相關(guān)系數(shù)，否定了均方誤差所隱含的條件獨立假設(shè)。

? 進(jìn)一步，對標(biāo)簽序列的條件方差進(jìn)行了分析。實驗結(jié)果顯示，不同時間點的誤差方差存在顯著差異，且隨著預(yù)測步整體增大，說明將所有預(yù)測步視為難度一致的任務(wù)并不符合數(shù)據(jù)特性，否定了均方誤差隱含重要性一致假設(shè)。

02

QDF：從數(shù)據(jù)中自適應(yīng)學(xué)習(xí)預(yù)測損失

針對MSE存在的兩個不合理先驗，林宙辰教授團(tuán)隊提出了QDF（Quadratic Direct Forecast）方法，核心創(chuàng)新在于：不再將損失函數(shù)視為固定不變的優(yōu)化目標(biāo)，而是將其本身作為可學(xué)習(xí)的對象，從而自動“發(fā)現(xiàn)”最適合特定任務(wù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的損失表述。

從概率建模的視角出發(fā)，理想的損失函數(shù)應(yīng)來源于負(fù)對數(shù)似然。在高斯誤差假設(shè)下。在高斯誤差假設(shè)下，給定歷史序列 ，標(biāo)簽序列 的條件分布為多元高斯分布，其負(fù)對數(shù)似然（忽略常數(shù)項）可表示為：

其中， 是標(biāo)簽序列的條件協(xié)方差矩陣， 為預(yù)測步長， 為該二次型的權(quán)重矩陣。在該二次型中：權(quán)重矩陣的非對角元素刻畫了未來不同時間點之間的條件相關(guān)性，從而能夠顯式建模標(biāo)簽自相關(guān)效應(yīng)，打破了MSE所隱含的條件獨立假設(shè)；權(quán)重矩陣的對角元素反映了不同預(yù)測步的不確定性差異，使得模型能夠為不同難度的預(yù)測任務(wù)分配異構(gòu)權(quán)重，打破了MSE所隱含的重要性一致假設(shè)。

因此，該二次型損失函數(shù)在理論上能夠同時解決傳統(tǒng)MSE損失在多步預(yù)測場景下的兩個結(jié)構(gòu)性偏差問題。

然而，在實際預(yù)測任務(wù)中，權(quán)重矩陣 難以估計。為解決這一問題，研究團(tuán)隊受到元學(xué)習(xí)啟發(fā)，將 作為可學(xué)習(xí)的對象，通過一個雙層優(yōu)化機(jī)制將 從數(shù)據(jù)中“學(xué)”出來：

該雙層優(yōu)化問題的求解過程包括兩個階段。首先，在給定 的條件下，通過在元訓(xùn)練集 上最小化損失函數(shù) 來更新模型參數(shù) 。接著，依據(jù)模型在元驗證集 上的預(yù)測誤差，反向傳播更新 。其中，元訓(xùn)練集和元驗證集來自對訓(xùn)練集的不同切片。

這種雙層設(shè)計的核心優(yōu)勢在于：訓(xùn)練目標(biāo)的優(yōu)劣不再由擬合優(yōu)度決定，而是由元驗證集上的泛化性能來刻畫。通過多次數(shù)據(jù)拆分與迭代更新，算法得以學(xué)習(xí)到在不同時間區(qū)間內(nèi)一致的誤差相關(guān)模式，從而形成穩(wěn)定且可泛化的訓(xùn)練目標(biāo)。

03

在大量實驗中，一致驗證優(yōu)勢

論文首先將 QDF 與現(xiàn)有損失函數(shù)進(jìn)行了比較，包括通過標(biāo)簽變換削弱標(biāo)簽相關(guān)性的 FreDF 和 Time-o1。這些方法相較于均方誤差均能帶來一定的性能提升，但在穩(wěn)定性和性能上限方面仍不及 QDF。原因在于這些方法僅部分處理標(biāo)簽之間的相關(guān)性，仍隱含地假設(shè)剩余誤差可通過均勻加權(quán)方式進(jìn)行優(yōu)化，而 QDF 同時建模了標(biāo)簽間的相關(guān)性以及不同預(yù)測步的不確定性，并通過元學(xué)習(xí)得到最優(yōu)加權(quán)權(quán)重，徹底解決了損失函數(shù)中可能存在的偏差。

其次，研究人員通過消融實驗對上述兩個關(guān)鍵因素進(jìn)行了驗證。實驗分別考察僅建模不同預(yù)測步權(quán)重、僅建模時間相關(guān)性以及同時建模二者的情形。結(jié)果顯示，兩種因素單獨引入時均能帶來性能提升，而二者同時作用時效果最為顯著。

研究人員也對模型輸出的預(yù)測序列進(jìn)行了可視化分析。結(jié)果表明，基于均方誤差訓(xùn)練的模型在周期性時間序列中普遍存在振幅壓縮、峰值被抹平以及拐點響應(yīng)滯后的現(xiàn)象。引入QDF后，模型在峰值位置、周期相位以及長期趨勢穩(wěn)定性方面均表現(xiàn)出更高一致性，時間結(jié)構(gòu)得到了更完整的保留，說明QDF有效訓(xùn)練模型尊重未來不同時間點之間的整體關(guān)系。

04

一次針對均方誤差的系統(tǒng)性審判

從研究意義的角度來看，這項研究首先推翻了一個在時間序列領(lǐng)域長期被默認(rèn)接受的假設(shè)：多步預(yù)測可以被視為多個相互獨立且等權(quán)重的回歸任務(wù)。這一假設(shè)在實踐中被廣泛采用，卻缺乏系統(tǒng)性的經(jīng)驗驗證。研究通過嚴(yán)格的概率建模分析與全面的實證檢驗表明，**這一前提假設(shè)在多步預(yù)測場景中并不成立**。

在此基礎(chǔ)上，研究進(jìn)一步提出了一種新穎的研究方法：將損失函數(shù)本身視為可以被學(xué)習(xí)的對象。不同于傳統(tǒng)通過超參數(shù)調(diào)節(jié)或啟發(fā)式設(shè)計的方式，該研究通過引入結(jié)構(gòu)化的權(quán)重參數(shù)來顯式建模標(biāo)簽間的關(guān)聯(lián)性和不同預(yù)測步的重要性差異，并通過雙層優(yōu)化機(jī)制，直接利用未見數(shù)據(jù)上的泛化誤差學(xué)習(xí)權(quán)重參數(shù)。這種設(shè)計使得損失函數(shù)的形式能夠根據(jù)數(shù)據(jù)特性自適應(yīng)地調(diào)整，從而形成既符合統(tǒng)計建模原理又具有良好泛化能力的訓(xùn)練目標(biāo)。

對于后續(xù)研究而言，該工作所提供的啟示并不局限于具體方法本身，而體現(xiàn)在更一般的研究范式上。其一，研究強(qiáng)調(diào)了對領(lǐng)域內(nèi)默認(rèn)假設(shè)保持持續(xù)審視的重要性；其二，展示了如何從統(tǒng)計建模出發(fā)反推優(yōu)化目標(biāo)的合理形式；其三，為元學(xué)習(xí)思想在時間序列預(yù)測領(lǐng)域的應(yīng)用和發(fā)展提供了理論和實踐參考，展示了如何將元學(xué)習(xí)的思想與領(lǐng)域特定的統(tǒng)計方法有機(jī)結(jié)合。

05

作者信息

論文第一作者王浩，現(xiàn)為浙江大學(xué)控制學(xué)院博士研究生，研究方向聚焦于因果推斷、多任務(wù)學(xué)習(xí)技術(shù)及其在大語言模型中的應(yīng)用。2022 年- 2023 年，他曾在螞蟻金服、微軟亞洲研究院科研實習(xí)，從事推薦系統(tǒng)理論研究。2025 年起，他在小紅書參加 RedStar 實習(xí)項目，進(jìn)行大語言模型、可信獎勵模型領(lǐng)域的研究工作。

論文通訊作者林宙辰，現(xiàn)任北京大學(xué)智能學(xué)院、通用人工智能全國重點實驗室教授。他的研究領(lǐng)域包括機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)值優(yōu)化。他已發(fā)表論文360余篇，谷歌學(xué)術(shù)引用超過42,000次。他是IAPR、IEEE、AAIA、CCF和CSIG會士，多次擔(dān)任CVPR、NeurIPS、ICML等會議的Senior Area Chair，現(xiàn)任ICML Board Member。

參考鏈接：https://zhouchenlin.github.io/

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