編者按

《物理與工程》重新刊發(fā)郝柏林先生1986年的文章《牛頓力學(xué)三百年》，孫昌璞院士撰寫(xiě)了專(zhuān)門(mén)的評(píng)述文章《重讀《牛頓力學(xué)三百年》：經(jīng)典力學(xué)縱深與復(fù)雜系統(tǒng)物理開(kāi)端》。孫院士的文章不僅是一篇導(dǎo)讀，還是一篇關(guān)于關(guān)于統(tǒng)計(jì)物理和復(fù)雜系統(tǒng)發(fā)端、發(fā)展和前瞻的評(píng)述文章，也是一篇如何學(xué)習(xí)、發(fā)展和緬懷前輩學(xué)術(shù)思想的范文。另外，鄭偉謀研究員為《牛頓力學(xué)三百年》寫(xiě)了一篇導(dǎo)讀。本文是這次重新刊發(fā)活動(dòng)的第二部分：鄭偉謀研究員的導(dǎo)語(yǔ)和郝柏林先生的原文。感謝郝柏林先生的女兒郝炘博士授權(quán)我們刊物重新刊發(fā)，感謝北京大學(xué)出版社提供郝先生文章的原始出處：孫小禮、樓格主編《人·自然·社會(huì)》(北京大學(xué)出版社，1988)。

導(dǎo)語(yǔ)

郝先生的文章是基于他1986年在北京大學(xué)的一次報(bào)告。當(dāng)年還是非線性科學(xué)發(fā)展的黃金時(shí)期。距今不到四十年，當(dāng)今的許多物理系大學(xué)生，甚至年青學(xué)者對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)的概念，往往感到陌生。一些物理學(xué)概念雖然重要，其“半衰期”未必就很長(zhǎng)。此文以很小的篇幅，描繪了牛頓力學(xué)建立之后學(xué)科發(fā)展三百年的方方面面，非大家手筆不可為?！段锢砼c工程》決定重新刊發(fā)此文，相信物理界與工程界的讀者都會(huì)從中受益?！敖?jīng)過(guò)近300年的發(fā)展，現(xiàn)代自然科學(xué)才清楚認(rèn)識(shí)到，我們對(duì)于牛頓力學(xué)原來(lái)只懂得了極小的一部分。人們從大學(xué)課本中學(xué)到的關(guān)于牛頓力學(xué)的基本概念，竟然只適用于極為稀少的特例，而力學(xué)系統(tǒng)的典型行為在大多數(shù)教科書(shū)中根本沒(méi)有提到。這種認(rèn)識(shí)迄今還停留在較為狹窄的專(zhuān)家圈子中。有必要使它逐漸成為廣大自然科學(xué)工作者的共同的認(rèn)識(shí)，并且引起哲學(xué)界的注意。”導(dǎo)言中的這一段話，今天讀來(lái)，也仍然是振聾發(fā)聵。

——鄭偉謀(中國(guó)科學(xué)院理論物理研究所)

牛頓力學(xué)三百年

郝柏林

中國(guó)科學(xué)院理論物理研究所,北京100190

摘要

自1687年牛頓的名著《原理》首次出版以來(lái),牛頓力學(xué)經(jīng)過(guò)300年的發(fā)展,今天人們才開(kāi)始對(duì)它有比較完整的認(rèn)識(shí)。在這個(gè)經(jīng)典的領(lǐng)域中,仍然有原則性的難題和挑戰(zhàn)。

關(guān)鍵詞 牛頓力學(xué);不可積性;KAM定理;內(nèi)在隨機(jī)性;統(tǒng)計(jì)物理

THREE HUNDRED YEARS OF NEWTONIAN MECHANICS

HAO Bailin

(Institute of Theoretical Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190)

Abstract Developments of Newtonian Mechanics since publication of Principia in 1689 are reviewed with an emphasis on problems of nonintegrability and implications of the KAM theorem.

Key words Newtonian mechanics; nonintegrability; KAM theorem; intrinsic stochasticity; statistical physics

DOI:10.27024/j.wlygc.2026.02.24.is

牛頓的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》一書(shū)拉丁文初版于1687年問(wèn)世。英文譯本在牛頓逝世后兩年，即1729年出版，1931年上海商務(wù)印書(shū)館印行的《萬(wàn)有文庫(kù)》曾收入鄭太樸譯自德文的中文本，共分十冊(cè)。三百年來(lái)，用大寫(xiě)字母起頭的拉丁文“原理”(Principia)一字，一直在哲學(xué)和自然科學(xué)文獻(xiàn)中特指牛頓的這一部經(jīng)典著作。可以毫不夸大地說(shuō)，這部書(shū)決定了整個(gè)西方近代自然科學(xué)的發(fā)展模式。

牛頓誕生在伽利略去世的那一年，即1642年的12月25日（按新歷計(jì)算，是1643年1月4日)。從1679年開(kāi)始，在與胡克(R.Hooke)的通訊和爭(zhēng)論中，牛頓深入研究了行星的軌道運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。1684年底，牛頓因哈雷(E.Halley)的求教而撰寫(xiě)了“論運(yùn)動(dòng)”一文。然而，只是在《原理》一書(shū)中，牛頓才完整地表述了他的絕對(duì)時(shí)空觀、運(yùn)動(dòng)三定律和萬(wàn)有引力定律。因此，以《原理》一書(shū)的出版，標(biāo)志牛頓力學(xué)的誕生，是極為自然的。

牛頓力學(xué)的發(fā)展史，早有大量論文和專(zhuān)著，不是這篇短文的評(píng)述對(duì)象。本文主旨，是說(shuō)明經(jīng)過(guò)近三百年的發(fā)展，現(xiàn)代自然科學(xué)才清楚認(rèn)識(shí)到，我們對(duì)于牛頓力學(xué)原來(lái)只懂得了極小的一部分。人們從大學(xué)課本中學(xué)到的關(guān)于牛頓力學(xué)的基本概念，竟然只適用于極為稀少的特例，而力學(xué)系統(tǒng)的典型行為在大多數(shù)教科書(shū)中根本沒(méi)有提到。這種認(rèn)識(shí)迄今還停留在較為狹窄的專(zhuān)家圈子中。有必要使它逐漸成為廣大自然科學(xué)工作者的共同的認(rèn)識(shí)，并且引起哲學(xué)界的注意。

太陽(yáng)系的穩(wěn)定性

天體運(yùn)行始終是牛頓力學(xué)的第一塊試金石?！对怼芬粫?shū)第三篇專(zhuān)門(mén)討論了“宇宙系統(tǒng)”。不過(guò)牛頓當(dāng)時(shí)所研究的“宇宙”，只是到土星為止的太陽(yáng)系，包括六大行星和它們的某些衛(wèi)星。1781年發(fā)現(xiàn)天王星時(shí)，牛頓已經(jīng)去世54年。天體力學(xué)在拉普拉斯(P.S.Laplace，1749—1827)的五卷巨著《天體力學(xué)》(出版于1798—1825年期間)中，發(fā)展到甚為詳盡的程度。拉普拉斯應(yīng)用微擾論級(jí)數(shù)計(jì)算天體軌道，確定了擾動(dòng)的周期性質(zhì)，論證了土星環(huán)不可能是一個(gè)實(shí)體，對(duì)于木星的幾個(gè)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，也得到了與觀察一致的計(jì)算結(jié)果。他甚至證明了一個(gè)太陽(yáng)系穩(wěn)定性的定理，拉普拉斯對(duì)于牛頓力學(xué)的確定論威力深信不疑，曾經(jīng)宣稱(chēng)只要給定了初始條件，就可以預(yù)言太陽(yáng)系的整個(gè)未來(lái)。

拉格朗日(J.-L.Lagrange，1736—1813)開(kāi)始用變分方法于牛頓力學(xué)。和《原理》書(shū)中的幾何方法不同，拉格朗日使解析方法登峰造極。他的專(zhuān)著《解析力學(xué)》中竟然沒(méi)有插圖。經(jīng)過(guò)許多人的努力之后，牛頓力學(xué)的基本出發(fā)點(diǎn)可以用變分原理表述得極為簡(jiǎn)練。力學(xué)系統(tǒng)由廣義坐標(biāo)和廣義速度的某個(gè)函數(shù)（拉氏函數(shù))刻畫(huà)。保證這個(gè)函數(shù)在一定區(qū)間上的積分達(dá)到極值(極大或極小)的條件，就是運(yùn)動(dòng)方程。這種普遍的表述，提供了建立新的物理理論的一般框架。后來(lái)，從狹義相對(duì)論到弱電統(tǒng)一理論，都采用了這種數(shù)學(xué)形式。拉格朗日也證明過(guò)自己的太陽(yáng)系穩(wěn)定性定理。

1846年根據(jù)對(duì)天王星軌道所受擾動(dòng)的理論計(jì)算，預(yù)言并且觀察到了海王星。這一發(fā)現(xiàn)可以說(shuō)是經(jīng)典的牛頓力學(xué)的輝煌頂點(diǎn)。(1930年用類(lèi)似的方法，找到了太陽(yáng)系的第九顆行星——冥王星)。從十九世紀(jì)中期開(kāi)始，那些最終導(dǎo)致量子力學(xué)、狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論誕生的實(shí)驗(yàn)事實(shí)逐步顯現(xiàn)出來(lái)。二十世紀(jì)初建立的這幾個(gè)新理論，當(dāng)然是對(duì)牛頓力學(xué)的最偉大的發(fā)展。然而，我們還是回到這篇文章開(kāi)頭所提到的、尚未被人們所充分認(rèn)識(shí)的那個(gè)側(cè)面。

對(duì)太陽(yáng)系穩(wěn)定性的不同提法，可能導(dǎo)致不同的結(jié)論。例如，考慮擾動(dòng)的近似程度不同，或要求穩(wěn)定時(shí)間有限與無(wú)窮，當(dāng)然后果會(huì)有差別。一種合理的抽象模型是把太陽(yáng)系作為N體問(wèn)題。N-1個(gè)小質(zhì)量的行星，圍繞著大質(zhì)量的中心質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。它們遵從牛頓的運(yùn)動(dòng)定律，按照牛頓萬(wàn)有引力定律互相吸引。假定這個(gè)N體系統(tǒng)中的質(zhì)點(diǎn)過(guò)去從來(lái)沒(méi)有發(fā)生過(guò)碰撞，問(wèn)這樣的系統(tǒng)在今后無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間中，會(huì)不會(huì)發(fā)生質(zhì)點(diǎn)碰撞或逃逸?

十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們已經(jīng)知道，N體問(wèn)題屬于不可積分(見(jiàn)下一節(jié))的難題，只能尋求近似解。迪里克萊(P.G.L.Dirichlet)曾經(jīng)在1858年宣稱(chēng)找到了逼近N體問(wèn)題解的方法。他在翌年去世，使這一方法成了千古之謎。20年后，魏爾斯特拉斯(K.Weierstrass)構(gòu)造了N體問(wèn)題的級(jí)數(shù)解，但不能證明級(jí)數(shù)是否收斂。1885年他通過(guò)另一位數(shù)學(xué)家，把這一問(wèn)題呈交給瑞典國(guó)王奧斯卡二世，作為征獎(jiǎng)?wù)撐念}目。法國(guó)科學(xué)家龐加萊(H.Poincaré，1854—1912)的長(zhǎng)達(dá)二百多頁(yè)的得獎(jiǎng)?wù)撐?，雖然沒(méi)有解決這個(gè)問(wèn)題，卻揭開(kāi)了牛頓力學(xué)的新篇章。他的結(jié)論甚至是近乎否定的：N體問(wèn)題的級(jí)數(shù)解由于小分母問(wèn)題而很可能不收斂。龐加萊在研究過(guò)程中闡明了不可積系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性。它的工作后來(lái)總結(jié)在三卷《天體力學(xué)的新方法》(1892，1893，1899)中。

我們簡(jiǎn)單解釋一下小分母問(wèn)題。N體問(wèn)題在“零級(jí)近似”下，忽略小質(zhì)量之間的互相作用，成為N-1個(gè)二體問(wèn)題。每個(gè)二體問(wèn)題給出一定頻率的周期解。加入相互作用之后，如果某些頻率之間存在簡(jiǎn)單的比例關(guān)系，就會(huì)出現(xiàn)共振現(xiàn)象。太陽(yáng)系中就有不少這種接近共振的情形。例如，按角位移計(jì)算，木星每天運(yùn)行299.1秒，而土星運(yùn)行120.5秒，幾乎滿足

2

木 -5

土 ≈0

這類(lèi)差值進(jìn)入級(jí)數(shù)展開(kāi)式，成為小分母，危及收斂性。不過(guò)魏爾斯特拉斯當(dāng)年就曾指出，龐加萊本人也承認(rèn)，這些論據(jù)并不足以證明級(jí)數(shù)就是不收斂的。

由于量子理論和相對(duì)論的迅猛發(fā)展，以及日新月異的技術(shù)進(jìn)步，吸引了絕大多數(shù)物理學(xué)家的注意力，十九世紀(jì)末就提出來(lái)的這個(gè)尖銳問(wèn)題，被留給數(shù)學(xué)家們?nèi)レo心研究。二十世紀(jì)六十年代初，終于出現(xiàn)了牛頓力學(xué)發(fā)展史上最重大的突破——KAM定理。經(jīng)典的太陽(yáng)系穩(wěn)定性問(wèn)題，才在一定意義上得到了正面解決。近二十多年，物理學(xué)家們一直在消化，引伸或者“破壞”這個(gè)定理。不過(guò)，為了稍事介紹KAM理論，我們必須回顧力學(xué)系統(tǒng)的可積分問(wèn)題。

不可積分的力學(xué)系統(tǒng)

英國(guó)天文學(xué)家哈密頓(W.R.Hamilton，1805—1865)繼續(xù)發(fā)展變分方法來(lái)研究牛頓力學(xué)。他用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量來(lái)表示系統(tǒng)的能量，現(xiàn)在通稱(chēng)為哈密頓函數(shù)。對(duì)于自由度為N的系統(tǒng)，N個(gè)廣義坐標(biāo)和N個(gè)廣義動(dòng)量，張成2N維的相空間。牛頓力學(xué)成為相空間中的幾何學(xué)。用現(xiàn)代觀點(diǎn)說(shuō)，這是一種辛(symplectic)幾何學(xué)，它源于哈密頓運(yùn)動(dòng)方程組的反對(duì)稱(chēng)性質(zhì)。這是2N個(gè)一階常微分方程，來(lái)自后來(lái)以哈密頓命名的變分原理。哈密頓方程的數(shù)學(xué)形式便于對(duì)力學(xué)系統(tǒng)作一種重要分類(lèi)。如果可以實(shí)現(xiàn)一系列坐標(biāo)和動(dòng)量的變換，在每一步變換下都保持相應(yīng)的哈密頓方程成立，使得哈密頓函數(shù)最終只依賴(lài)于N個(gè)新的廣義動(dòng)量（這時(shí)特稱(chēng)為“作用量變量”)，而新的廣義坐標(biāo)(“角度變量”)完全不出現(xiàn)在其中。這N個(gè)新的廣義動(dòng)量就是運(yùn)動(dòng)不變量(也叫運(yùn)動(dòng)積分)，而且運(yùn)動(dòng)方程可以簡(jiǎn)單地積分出來(lái)。即使不能明顯解出來(lái)，也表示成為一批積分。這樣的力學(xué)系統(tǒng)稱(chēng)為可積分的系統(tǒng)?？煞e分系統(tǒng)的典型行為是周期和準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。所謂準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，發(fā)生在各種頻率成分之比不是有理數(shù)(如

土 /

木 ≈2/5)時(shí)。

所有自由度為1的系統(tǒng)都是可積的。十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，像雅可比(C.G.J.Jacobi，1804—1815)，劉維(J.Liouville)，卡瓦列夫斯卡婭(S.Kovalevski），曾經(jīng)花了大量精力去尋求可積系統(tǒng)。然而，N體問(wèn)題是不可積分的，甚至限制于平面之中的三體問(wèn)題也是不可積分的。到了龐加萊的時(shí)代已經(jīng)清楚，力學(xué)系統(tǒng)一般說(shuō)來(lái)是不可積分的：除了最平常的運(yùn)動(dòng)積分(如能量)，根本不存在N個(gè)運(yùn)動(dòng)不變量。

不可積分系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)圖象十分復(fù)雜，數(shù)學(xué)處理也極為困難。1941年西格爾(C.L.Siegel)曾經(jīng)寫(xiě)道：“……這看來(lái)超乎已知分析方法的威力”。阿諾德(V.I.Arnold)在60年代初回顧歷史時(shí)也說(shuō)過(guò)：“動(dòng)力學(xué)中的不可積分問(wèn)題曾非現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具所及”。其實(shí)，在龐加萊的著作中對(duì)于不可積系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)圖象已經(jīng)有相當(dāng)深刻的認(rèn)識(shí)。然而，在絕大多數(shù)為物理系學(xué)生用的力學(xué)教科書(shū)中，只講述可以積分甚至可以明顯求解的實(shí)例。這就在一代代學(xué)者心目中描繪了牛頓力學(xué)的完完全全確定論形象。

那么，天下究竟有多少不可積分的力學(xué)系統(tǒng)呢?“一切可能的力學(xué)系統(tǒng)”不大好表示出來(lái)，可以先取相當(dāng)普遍的某大類(lèi)系統(tǒng)來(lái)加以研究。例如，取所謂解析哈密頓函數(shù)：它可以表示為廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)的一切可能乘積的線性組合，不同的組合系數(shù)(可能包含大量零系數(shù))對(duì)應(yīng)不同的力學(xué)系統(tǒng)。如果允許每個(gè)系數(shù)沿一個(gè)坐標(biāo)軸取值，它們就支撐起一個(gè)無(wú)窮維的空間，其每一點(diǎn)代表一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)。在這樣的空間中有多少點(diǎn)是可積分的系統(tǒng)呢?答案在四十年代就由西格爾等人給出。原來(lái)，在一切解析哈密頓中，可積哈密頓的“測(cè)度”為零。這就是說(shuō)，把全部可積分的點(diǎn)湊到一起，在上述空間中的體積仍然是零。反過(guò)來(lái)說(shuō)，如果在這個(gè)空間中任意抓一個(gè)點(diǎn)，它幾乎必定對(duì)應(yīng)不可積分的力學(xué)系統(tǒng)。

事實(shí)上，可積分的系統(tǒng)如此稀少，以致不可能用它們來(lái)逼近不可積分的系統(tǒng)。這句話應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的關(guān)系對(duì)比。大家知道，在數(shù)軸上存在著可數(shù)無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)，它們的測(cè)度為零，但是又是“稠密”的，即多到足以用來(lái)逼近無(wú)理數(shù)。然而，在解析哈密頓函數(shù)的空間中，可積分系統(tǒng)是“稀疏”的，少到不能用來(lái)逼近不可積分系統(tǒng)的程度。這就給不可積系統(tǒng)的研究帶來(lái)更大的困難。

然而，不可積系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)圖象究竟如何呢?

KAM定理

對(duì)付難題的一種辦法，是從容易的情形開(kāi)始，一步一步往難處走。既然不可積系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)很難研究，那就先考察“弱”不可積、或者說(shuō)近可積系統(tǒng)。假定系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)可以分成兩部分

其中H0是可積的，因此只依賴(lài)于作用量Ji，V是使H變得不可積的擾動(dòng)，自然含有角度變量θ

i

。只要參數(shù) ε 很小，導(dǎo)致不可積的附加項(xiàng)就很小。這類(lèi)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)圖象如何呢?

問(wèn)題的答案由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫(A.N.Kolmogorov)在1954年指出，1963年他的學(xué)生阿諾德(V.I.Arnold)給出了對(duì)于解析哈密頓函數(shù)的完全證明。同時(shí)，莫塞爾（J.Moser)對(duì)于只存在一定階導(dǎo)數(shù)(最初是333階，后來(lái)有人弱化為5階)的哈密頓函數(shù)也給出了證明。因此，這個(gè)定理現(xiàn)在以KAM命名。

KAM定理的嚴(yán)格表述和證明，要用到拓?fù)洹⒎治龊蛿?shù)論等各方面的知識(shí)。我們只限于粗略地介紹一下它的內(nèi)容，然后轉(zhuǎn)而評(píng)述它的物理后果。KAM定理的大意是：在擾動(dòng)(或者說(shuō)非線性)較小、

V

足夠光滑，離開(kāi)共振條件一定距離等三個(gè)條件下(其中每個(gè)條件都有確切的數(shù)學(xué)表述)，對(duì)于絕大多數(shù)初始條件，弱不可積系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)圖象與可積系統(tǒng)基本相同?？煞e系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)限制在由 N 個(gè)運(yùn)動(dòng)不變量決定的 N 維環(huán)面上，弱不可積系統(tǒng)的絕大多數(shù)軌道仍然限制在稍有形變的 N 維環(huán)面上。這些環(huán)面稱(chēng)為不變環(huán)面或KAM環(huán)面( KAM tori )。更確切些說(shuō)，相空間分成大小兩個(gè)體積非零的區(qū)域。在大區(qū)域中仍然保持著與可積系統(tǒng)類(lèi)似的環(huán)面結(jié)構(gòu)；初始條件如果落入小區(qū)域中，軌道就會(huì)相當(dāng)不規(guī)則地迷走，運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)得很不穩(wěn)定。這些小的不穩(wěn)定區(qū)的體積隨著參數(shù)

趨向零而消失，但只要

不是零，它們的體積就是有限的。

從表面上看，這個(gè)定理的結(jié)論，一方面有些出乎意外，一方面又似乎平淡無(wú)奇。

出乎意外的是，人們(包括龐加菜)原來(lái)以為小分母引起的共振現(xiàn)象會(huì)破壞可積系統(tǒng)的不變環(huán)面，而定理的結(jié)論恰好相反。這個(gè)問(wèn)題須從兩個(gè)層次理解。用未擾動(dòng)的哈密頓函數(shù)H0的種種頻率，可以構(gòu)造許許多多的組合，其中總會(huì)出現(xiàn)接近零的共振情況。然而，第一，只有組合系數(shù)較小的低階(小于4階)的共振才有危險(xiǎn)性，高階共振恨本不影響微擾級(jí)數(shù)的收斂性；第二，低階共振的區(qū)域在相空間中是彼此隔開(kāi)的，只有參數(shù)

足夠大時(shí)，它們才會(huì)互相重迭，導(dǎo)致“混沌”運(yùn)動(dòng)。

平淡無(wú)奇則在于，對(duì)大多數(shù)軌道而言，弱不可積性好象并沒(méi)有帶來(lái)本質(zhì)上新的后果。不過(guò)，仔細(xì)一想就看出事情并非如此平淡。物理學(xué)中常常用理想氣體或者簡(jiǎn)單諧振子的集合來(lái)描述處于平衡態(tài)的氣體或固體。這樣作的時(shí)候，通常要說(shuō)明一個(gè)“顯而易見(jiàn)”的事實(shí)：只要計(jì)入無(wú)限小的相互作用，這些理想的體系就會(huì)“熱化”而趨近平衡。KAM定理告訴我們，事實(shí)可能完全不是這樣! 凡是KAM定理有效的情形，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本前提就不成立。遵從KAM定理的運(yùn)動(dòng)限于N維環(huán)面上，根本不能分散到2N-1維的等能面上，哪里談得上“等能面上處處概率相等”。下一節(jié)介紹遍歷理論時(shí)，我們?cè)倮^續(xù)討論這個(gè)問(wèn)題。

從天體力學(xué)的角度看，KAM定理給出了許多重要的正面結(jié)果。它的證明過(guò)程提供了成功地解決小分母問(wèn)題的方法。它調(diào)和了魏爾斯特拉斯和龐加萊關(guān)于N體問(wèn)題級(jí)數(shù)解是否收斂的爭(zhēng)論，從而在較為廣泛的意義下解決了太陽(yáng)系的穩(wěn)定性問(wèn)題。當(dāng)然，對(duì)于更為實(shí)際的條件，太陽(yáng)系的穩(wěn)定性問(wèn)題仍未解決。

自由度為N的保守系統(tǒng)，具有2N維的相空間。能量守恒條件使運(yùn)動(dòng)首先限于2N-1維的等能“超面”上，KAM定理的成立進(jìn)一步把它局限到

N

維環(huán)面上。這些 N 維環(huán)面能否成為等能面的邊界(2 N -2維)，把少量迷走軌道限制在環(huán)面兩側(cè)，從而約束一下運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性呢?這就必須要求 N ≥2 N -2，它只在 N ≤2時(shí)成立。當(dāng)自由度大于2時(shí)，即使KAM定理的條件完全成立，這些迷走軌道也會(huì)從環(huán)面的一側(cè)彌散到另一側(cè)，給運(yùn)動(dòng)圖象添加新的隨機(jī)成分。這叫作阿諾德擴(kuò)散。它是在大加速器中造成束流不穩(wěn)定和高速粒子損失的原因之一，決不僅是純理論概念。

物理學(xué)家們更關(guān)心KAM條件不成立時(shí)會(huì)發(fā)生什么情況。既然這“非現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具所及”，人們就求助于另一種新式武器——現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)。伊儂(M.Hénon)、福特(J.Ford)等人作了大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)破壞任何一個(gè)KAM條件，運(yùn)動(dòng)圖象都變得更為“混沌”。例如，參數(shù)ε增大的過(guò)程中，環(huán)面逐個(gè)破壞。每個(gè)環(huán)面都是由頻率之比為無(wú)理數(shù)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)造成的。越難用有理數(shù)逼近的無(wú)理數(shù)，相應(yīng)的環(huán)面堅(jiān)持得越久。逼近最慢的最“高貴”的無(wú)理數(shù)就是黃金比(-1)/2≈0.618…，它對(duì)應(yīng)最后消失的一個(gè)環(huán)面。其實(shí)，環(huán)面才消失時(shí)在原來(lái)的位置上只是出現(xiàn)了大大小小的空隙，它們具有康托爾(G.Cantor)集合的結(jié)構(gòu)，仍然使迷走軌道的擴(kuò)散受到一些限制。這些KAM環(huán)面剩下的“魂”，有時(shí)就叫作康托爾環(huán)面(Cantori)。KAM環(huán)面的破壞過(guò)程，可以用重正化群的方法研究。(關(guān)于康托爾集合和重正化群，可以參看《科學(xué)》第38卷（1986年）第1期“分形與分維”一文。)

數(shù)學(xué)家們?cè)缇妥C明，KAM環(huán)面破壞時(shí)，要出現(xiàn)個(gè)數(shù)相同的“橢圓”和“雙曲”型的不動(dòng)點(diǎn)或周期點(diǎn)。橢圓點(diǎn)附近是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。在雙曲點(diǎn)附近存在穩(wěn)定和不穩(wěn)定的“不變流形”。如果不穩(wěn)定流形離開(kāi)雙曲點(diǎn)后，最終又回到它附近，其間會(huì)和穩(wěn)定流形發(fā)生無(wú)窮多次橫截相交。這些交點(diǎn)稱(chēng)為同宿點(diǎn)。出現(xiàn)一個(gè)同宿點(diǎn)，就會(huì)有無(wú)窮多個(gè)同宿點(diǎn)。如果上述圖象發(fā)生在不同的雙曲點(diǎn)之間，則稱(chēng)為異宿點(diǎn)。同宿點(diǎn)和異宿點(diǎn)的存在，使得運(yùn)動(dòng)狀態(tài)極為敏感地依賴(lài)于初始條件。毫厘之差，就會(huì)使軌道從穩(wěn)定流形落到不穩(wěn)定流形；或者反之，導(dǎo)致不同的長(zhǎng)時(shí)間行為。龐加萊早在其《天體力學(xué)的新方法》第三卷中就描寫(xiě)了同宿和異宿軌道，意識(shí)到它們使運(yùn)動(dòng)圖象變得極為復(fù)雜。只是現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)才使得人們清楚看到這種情景怎樣出現(xiàn)在一個(gè)個(gè)具體的數(shù)學(xué)模型和力學(xué)系統(tǒng)中。

KAM定理是一種整體的關(guān)于穩(wěn)定性的論斷。軌道的不穩(wěn)定性則是力學(xué)運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)隨機(jī)性，不可預(yù)言性和混沌的原因。這就把我們帶回到十九世紀(jì)末物理學(xué)提出的另一個(gè)基本問(wèn)題。

遍歷理論

十九世紀(jì)下半葉，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的方法在麥克斯韋(J.K.Maxwell)、玻爾茲曼(L.Boltzmann)、吉布斯（J.V.Gibbs)等人的工作中臻于完備。這種處理復(fù)雜系統(tǒng)的概率論的方法，與當(dāng)時(shí)占統(tǒng)治地位的牛頓力學(xué)的確定論觀點(diǎn)格格不入。必須在兩者之間尋求聯(lián)系，解決統(tǒng)計(jì)力學(xué)的奠基問(wèn)題。

玻爾茲曼最早提出了遍歷性假定：“力學(xué)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中要經(jīng)歷等能面上一切可能的狀態(tài)，因此沿軌道的長(zhǎng)時(shí)間平均可以換成對(duì)等能面上各種狀態(tài)的平均。早就知道，遍歷假定的這種原始提法并不普遍成立，具體系統(tǒng)是否遍歷更難判定。這是留給數(shù)學(xué)家們?nèi)レo心研究的另—類(lèi)難題。最近二、三十年遍歷理論有了重大進(jìn)展。這些進(jìn)展使它離開(kāi)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基礎(chǔ)越來(lái)越遠(yuǎn)，卻成為研究復(fù)雜的力學(xué)系統(tǒng)和更一般的微分動(dòng)力系統(tǒng)的強(qiáng)大工具。遍歷理論的進(jìn)展有兩個(gè)方面。

一方面，動(dòng)力系統(tǒng)的遍歷性質(zhì)分成許多層次。最低的層次是狹義的“遍歷”，上面還有“混合”、科爾莫戈羅夫流(K流)、伯努利流等等，愈往上隨機(jī)性質(zhì)愈強(qiáng)。處在上面的層次必定具有下面各層的遍歷性質(zhì)，但反之不成立。例如，存在著是K流而非伯努利流的動(dòng)力系統(tǒng)，它當(dāng)然是遍歷和混合的。

另一方面，證明了一批具體系統(tǒng)的遍歷或非遍歷性質(zhì)。例如，有限個(gè)耦合諧振子系統(tǒng)是不遍歷的(這是KAM定理的直接后果)。但封在盒子中的兩個(gè)剛球，卻是遍歷甚至混合的系統(tǒng)。這后一個(gè)例子，恰好反映了KAM定理?xiàng)l件中光滑性要求的重要意義。剛球作用勢(shì)非解析，因而KAM定理并不成立。

遍歷性并不取決于自由度大小，而是反映著運(yùn)動(dòng)軌道不穩(wěn)定性的程度。簡(jiǎn)單的“遍歷”并不要求鄰近軌道相互分離，它們可以在等能面上并肩游歷?；旌闲詣t要求時(shí)間足夠長(zhǎng)之后，出發(fā)點(diǎn)鄰域中的軌道要彌散到等能面上任何一個(gè)點(diǎn)附近。猶如一滴墨汁落入水杯拌勻之后，任意取出一滴水都會(huì)含有墨汁分子。但是，混合性并不限制相鄰軌道的分離速率。到了K流這一層，任何在初始時(shí)刻相鄰的軌道，下一時(shí)刻就必須以指數(shù)方式分開(kāi)。表征相鄰軌道分離速度整體性(即沿軌道長(zhǎng)時(shí)間平均得到)的特征量，有李雅普諾夫(A.M.Lyapunov)指數(shù)，K熵和各種信息維數(shù)。K流的基本特征是具有正的K熵，而K熵在一定意義上是所有正的李雅普諾夫指數(shù)之和。這樣，我們就有了區(qū)分簡(jiǎn)單和復(fù)雜力學(xué)系統(tǒng)的定量判據(jù)。如果相空間中每個(gè)點(diǎn)都導(dǎo)致零熵，系統(tǒng)是簡(jiǎn)單的。如果某些測(cè)度不為零的初值集合給出正K熵，則運(yùn)動(dòng)開(kāi)始具有隨機(jī)性。上節(jié)介紹KAM定理時(shí)，提到有限的小區(qū)域中存在著迷走軌道，定量的特征就是它們導(dǎo)致正的K熵。

必須指出，K熵以及遍歷理論中引入的其他熵，與熱力學(xué)熵根本不同。熱力學(xué)熵本質(zhì)上是靜態(tài)的，是對(duì)狀態(tài)劃分和計(jì)數(shù)的結(jié)果，而K熵和動(dòng)力系統(tǒng)的整個(gè)時(shí)間演化過(guò)程聯(lián)系著。這兩者之間的關(guān)系，目前并不完全清楚。

我們多次提及運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性。這種隨機(jī)性是不可積力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)秉性質(zhì)，并不來(lái)自隨機(jī)外力、環(huán)境漲落、噪聲干擾等外界因素。牛頓力學(xué)具有內(nèi)在的隨機(jī)性，具有確定論傳統(tǒng)的天體力學(xué)家們也開(kāi)始接受這一命題。

天體力學(xué)是確定論科學(xué)嗎?

這是當(dāng)代著名的天體力學(xué)家，《軌道理論》一書(shū)的作者策比黑利(V.Szebehely)在同事們?yōu)樗ＹR六十壽辰時(shí)提出的問(wèn)題，他甚至指出，那些堅(jiān)持確定論的人是在自欺欺人，不是推動(dòng)科學(xué)前進(jìn)、而是倒退。

確實(shí)，天體力學(xué)中已經(jīng)有若干個(gè)認(rèn)真研究過(guò)的內(nèi)在隨機(jī)性的實(shí)例，我們從三體問(wèn)題中引證兩個(gè)。

第一個(gè)例子是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家西特尼科夫(K.Sitnikov）、阿列克賽耶夫(V.M.Alekseev)等人在60年代證明的。取兩個(gè)相同的大質(zhì)量M，它們有一個(gè)運(yùn)動(dòng)平面，再拿一個(gè)小質(zhì)量m，令它在穿過(guò)兩個(gè)大質(zhì)量的質(zhì)心并垂直于上述平面的直線上運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)m在一定高度以一定初速開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，可能在時(shí)刻T1、T2、…Tn多次經(jīng)過(guò)此平面，然后逃逸，也可能一直來(lái)回蕩下去。西特尼科夫等人的結(jié)果可以尖銳地表述為：先給定任意個(gè)隨機(jī)數(shù)，存在相應(yīng)的初始條件，使得質(zhì)點(diǎn)m依次以這些隨機(jī)數(shù)為時(shí)間間隔，穿過(guò)大質(zhì)量的軌道平面，然后逃逸掉。換言之，無(wú)論對(duì)

m

的運(yùn)動(dòng)歷史作多少觀測(cè)，都無(wú)法知道下一次是返回還是逃逸。這里，牛頓力學(xué)已經(jīng)失去對(duì)未來(lái)運(yùn)動(dòng)的可預(yù)測(cè)性。

第二個(gè)例子是策比黑利本人在198年給出的?？紤]小質(zhì)量m在大質(zhì)量M1和M2作用下的運(yùn)動(dòng)，忽略小質(zhì)點(diǎn)對(duì)大質(zhì)點(diǎn)的影響，而且把運(yùn)動(dòng)限制在平面內(nèi)。這是自由度為2的平面三體問(wèn)題，由一個(gè)4階常微分方程組描述。在力學(xué)系統(tǒng)的某些平衡點(diǎn)附近，小質(zhì)點(diǎn)可能作范圍有限的擺動(dòng)(天文學(xué)中稱(chēng)為“天平動(dòng)”),也可能離開(kāi)平衡點(diǎn)遠(yuǎn)去。策比黑利等試圖用精密的數(shù)值計(jì)算確定這兩種行為的邊界。結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩類(lèi)初值之間并沒(méi)有光滑、連續(xù)的邊界：擺動(dòng)初值附近有導(dǎo)致逃逸的初值，而逃逸點(diǎn)附近又存在擺動(dòng)點(diǎn)，初值的微小差別會(huì)導(dǎo)致定性的不同結(jié)果。

這兩個(gè)例子，一個(gè)解析、一個(gè)數(shù)值，都是精密可信的科學(xué)結(jié)論。它們并沒(méi)有引用任何外來(lái)的隨機(jī)因素，一切都發(fā)生在牛頓力學(xué)的“確定論”框架里。這兩個(gè)例子又都是能量守恒的保守系統(tǒng)。更為現(xiàn)實(shí)的物理模型應(yīng)是耗散系統(tǒng)，例如流體。牛頓雖然在《原理》一書(shū)中曾經(jīng)討論過(guò)流體的運(yùn)動(dòng)，流體力學(xué)的建立卻是十九世紀(jì)的事。流體力學(xué)方程具有宏觀層次上的內(nèi)在隨機(jī)性，它應(yīng)有助于認(rèn)識(shí)湍流的發(fā)生機(jī)制。這是當(dāng)前甚為活躍的混沌研究領(lǐng)域。它正在從力學(xué)系統(tǒng)借用同宿、異宿、遍歷種種概念。

有限性和隨機(jī)性

純粹確定論的描述和純粹概率論的描述都是理想化的極限，隱含著承認(rèn)某種無(wú)窮過(guò)程是可以實(shí)現(xiàn)的。

如果說(shuō)牛頓力學(xué)給出的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道是確定的，這就意味著能以無(wú)窮精密的測(cè)量來(lái)確定和區(qū)分軌道。只要承認(rèn)在人類(lèi)的任何歷史發(fā)展階段測(cè)量精度都是有限的，科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步可以縮小測(cè)量誤差，但不能作到誤差為零，那么就可以構(gòu)造出隨機(jī)的軌道，它原則上不能靠測(cè)量手段同確定軌道區(qū)分(只要在牛頓軌道上附加小于測(cè)量精度的隨機(jī)漲落就成了)。

同樣，一個(gè)完全隨機(jī)的過(guò)程應(yīng)當(dāng)能通過(guò)無(wú)窮長(zhǎng)的隨機(jī)性檢驗(yàn)。以均勻分布存(0，1)區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)為例。如只取來(lái)N個(gè)隨機(jī)數(shù)，就只能要求它們?cè)谝欢ㄏ薅葍?nèi)通過(guò)隨機(jī)性檢驗(yàn)，允許存在量級(jí)約為N-1/2的統(tǒng)計(jì)漲落。只要N不是無(wú)窮大，就談不上純隨機(jī)數(shù)，就可以設(shè)計(jì)某種確定論過(guò)程來(lái)產(chǎn)生N個(gè)數(shù)，使它們同樣好的通過(guò)隨機(jī)性檢驗(yàn)。

承認(rèn)有限測(cè)量情度和有限的隨機(jī)性鹼驗(yàn)，并不是對(duì)人類(lèi)認(rèn)識(shí)能力的侮辱。事實(shí)上自然界的許多基本規(guī)律，都可以用否定形式表述：不能制造出第一類(lèi)和第二類(lèi)永動(dòng)機(jī)，溫度不可能降到絕對(duì)零度，不能區(qū)分引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量，質(zhì)量有限的物體不能以光速運(yùn)動(dòng)，微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)精確測(cè)定，等等?？磥?lái)，承認(rèn)某種有限性原則(其確切表述還有待于科學(xué)發(fā)展的啟示)，我們才能從確定論和概率論的對(duì)立中解脫出來(lái)，建立更符合客觀世界的理論物理體系。

在一定意義上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的狀況要比物理學(xué)好。二十世紀(jì)初的數(shù)學(xué)，曾是分析、代數(shù)、幾何三個(gè)正統(tǒng)的分枝(及其交叉)加上“四不像”的概率論。自從三十年代用測(cè)度論建立了概率論的公理體系，使它成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)平等的組成部分?，F(xiàn)在概率論和隨機(jī)過(guò)程的概念在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)揮著作用。諸如“幾乎處處”、“除去測(cè)度為零的集合”、“在一般(generic)條件下”這些提法，早已成為有嚴(yán)格涵義的現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

相比之下，物理學(xué)中自牛頓以來(lái)的傳統(tǒng)就更為推崇確定論描述，而把概率論作為“不得已而為之”的補(bǔ)充，以至兩套描述長(zhǎng)期涇渭分明。隨著對(duì)不可積系統(tǒng)中內(nèi)在隨機(jī)性的認(rèn)識(shí)，這種情況正在發(fā)生變化。牛頓力學(xué)有兩個(gè)公認(rèn)的推廣，1/c≠0(c是光速)時(shí)是相對(duì)論力學(xué)，普朗克常數(shù)h≠0時(shí)是量子力學(xué)。是否存在著第三種推廣，存在著另一個(gè)基本常數(shù)，存在著像光速不變那樣的基本原理呢?目前只能作一些猜測(cè)。如果能從微觀上定義熱力學(xué)熵，熵不為零的系統(tǒng)是“復(fù)雜系統(tǒng)”，必須引用統(tǒng)計(jì)描述。玻爾茲曼常數(shù)k應(yīng)以某種方式自然地進(jìn)入理論體系，相應(yīng)的基本物理原理可能與前面論及的有限性原則有關(guān)。k趨近零時(shí)，熵和溫度都會(huì)從理論中消失。果真如此，則經(jīng)典的牛頓力學(xué)就是h=k=1/c=0的極限情況。它的延伸是量子力學(xué)(h≠0)，相對(duì)論力學(xué)(1/c≠0)和復(fù)雜系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)力學(xué)(k≠0)。總之，牛頓力學(xué)經(jīng)過(guò)三百年發(fā)展，人們才開(kāi)始對(duì)它有比較完整的認(rèn)識(shí)。這個(gè)經(jīng)典的領(lǐng)域，仍然有原則性的難題和挑戰(zhàn)。

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HAO B L. Bifurcation, chaos, strange attractor, turbulence and all that—On intrinsic stochasticity in deterministic systems， Progress in Physics，1983, 3（3）: 329-416. (in Chinese)

【編后記】根據(jù)孫小禮、樓格主編的文集《人·自然·社會(huì)》(北京大學(xué)出版社,1988)的編者前言，北京大學(xué)1985年秋季學(xué)期為物理系研究生試開(kāi)“自然科學(xué)的哲學(xué)問(wèn)題”課程，課程由若干講座組成，郝柏林先生的這篇文章《牛頓力學(xué)三百年》是的這些講座中的一個(gè)。根據(jù)郝先生自己的說(shuō)法，他的講座實(shí)際完成在1986年。1987年郝先生在《科學(xué)》上發(fā)表了這個(gè)講座的文章版本，和1988年收錄進(jìn)入文集《人·自然·社會(huì)》時(shí)的版本稍有不同。重印此文時(shí)，我們以文集中的版本為準(zhǔn)，同時(shí)參考了《科學(xué)》上的版本。

作者簡(jiǎn)介: 郝柏林，中國(guó)科學(xué)院理論物理研究所研究員。

引文格式: 郝柏林. 牛頓力學(xué)三百年[J]. 物理與工程，2026：網(wǎng)絡(luò)首發(fā).

Cite this article: HAO B L. Three hundred years of Newtonian mechanics[J]. Physics and Engineering, 2026， 36（1）： online first. (in Chinese)

誠(chéng)摯感謝鄭偉謀老師與劉全慧老師帶我們重溫經(jīng)典，并進(jìn)行精彩點(diǎn)播與編撰按語(yǔ)！