專欄作者Natalie Wolchover探討應(yīng)用范疇論能否成為“綠色”數(shù)學。

來源 | Quanta Magazine及網(wǎng)絡(luò)公開信息

編譯 | 數(shù)學家編譯小組

校對 | 慧玲

2011年，John Baez在他的博客上寫道：“我花了很長時間探索傳統(tǒng)數(shù)學的水晶般純凈之美，但現(xiàn)在我渴望研究一些更接地氣的東西。”這位在加州大學河濱分校和愛丁堡大學兩地工作的有影響力的數(shù)學物理學家，對地球的狀況日益擔憂，并認為數(shù)學家們可以為此做些什么。

Baez呼吁發(fā)展新的數(shù)學——他稱之為"綠色"數(shù)學——以更好地捕捉地球生物圈和氣候的運作方式。就他本人而言，他試圖應(yīng)用范疇論（category theory）——一個他專精的高度抽象的數(shù)學分支——來為自然世界建模。

這聽起來像是個白日夢。數(shù)學在描述簡單、孤立的系統(tǒng)時表現(xiàn)出色，但當我們從原子到有機體再到生態(tài)系統(tǒng)時，簡潔的數(shù)學模型通常效果遞減。這些系統(tǒng)實在太過復(fù)雜。

在哲學中，“感質(zhì)（qualia）”指的是我們經(jīng)驗的主觀特性：比如愛麗絲看到藍色時的感受，或鮑勃感到快樂時的體驗。正如已故哲學家Daniel Dennett所言，感質(zhì)是“事物在我們看來呈現(xiàn)的方式”。在這些隨筆中，我們的專欄作者追隨他們的好奇心，探索重要但不一定有確定答案的科學問題。

但在Baez發(fā)表那篇博文后的幾年里，已有超過100位數(shù)學家加入他的行列，作為“應(yīng)用范疇論者”試圖以新方式為各種現(xiàn)實世界系統(tǒng)建模。應(yīng)用范疇論現(xiàn)在擁有年度會議、學術(shù)期刊、研究所以及由英國政府資助的研究項目。

然而，懷疑論者也大有人在。應(yīng)用范疇論者Matteo Capucci告訴我：“當我說我們是弱勢群體，沒人喜歡我們時，這不完全正確，但也有一點真實?！?/p>

我開始著手了解這個新興研究領(lǐng)域究竟是怎么回事。一個看似最純粹的純數(shù)學分支之一，怎么可能幫助揭開像生物圈這樣復(fù)雜的系統(tǒng)的神秘面紗？它是否是對其他建模方法的重大改進？數(shù)學真的能是綠色的嗎？起初看來希望渺茫。

出乎意料的是，我了解到應(yīng)用范疇論近來取得了一些成功。雖然應(yīng)用尚未像Baez希望的那樣綠色，但該方法在包括流行病學和人工智能安全在內(nèi)的關(guān)鍵領(lǐng)域正展現(xiàn)出潛力。似乎最抽象的理想化概念，有可能幫助我們更好地理解最混亂的現(xiàn)實。

范疇論起源于1945年，旨在形式化數(shù)學對象之間的關(guān)系，并很快發(fā)展成為一個強大且富有成果的數(shù)學分支。

我們所說的數(shù)學對象是什么意思？數(shù)字、函數(shù)和集合都是例子。對范疇論者來說，定義一個對象的是它與其他對象的關(guān)系。國際象棋中的黑王是什么？愛丁堡大學的數(shù)學家Tom Leinster說：“你可以說它是一塊木頭，被雕刻成特定的形狀并涂成黑色，但這并不重要；它也可以是一個鹽瓶?！毕喾矗谕跏怯伤谄灞P上的移動方式、如何捕獲對方棋子或被對方將軍來定義的。

一個范疇（category）就是一系列對象以及這些關(guān)系（即態(tài)射（morphism））的集合。讓我們把國際象棋視為一個范疇。為此，你可以把它描繪成一個圖表，其中每個對象（合法的棋局位置）用一個小方框表示，然后用箭頭連接方框來表示態(tài)射，即可能的移動。范疇論學者研究如何映射、重疊或連接不同的范疇。

我們憑直覺都知道范疇的存在。例如，我們知道5英尺和5美元在數(shù)學上并不等同。你可以將5英尺乘以3英尺得到15平方英尺。但你不能將5美元和3美元相乘——沒有"平方美元"這種東西。你可以將5美元和3美元相加，或者將5美元乘以3（這里的3是數(shù)字，不是美元）。但5美元乘以3美元是沒有意義的。

對范疇論者來說，美元值是一個稱為一維向量空間的范疇中的對象。想象一下數(shù)軸；一個美元金額就像一根從零點開始、沿著數(shù)軸延伸一定距離的箭頭（或“向量”）。你可以通過將兩個向量首尾相接來相加，但向量相乘在一維向量空間中不是一個有效的態(tài)射。 盡管對向量空間或態(tài)射一無所知，我們卻總能在結(jié)賬時避免犯尷尬的范疇錯誤。但當概念比距離和美元更多樣、更復(fù)雜時，我們就會遇到問題。 Baez告訴我：“這在建模中經(jīng)常出現(xiàn)，例如流行病學建模。如果你用傳統(tǒng)軟件編寫模型，并在程序中輸入‘35’，這并不能告訴你它是35美元、35個人還是35劑藥物。所以你把這些都混同為數(shù)字，這就更容易出錯。”

應(yīng)用范疇論提供了一個框架，用對象和態(tài)射來對現(xiàn)實世界系統(tǒng)進行建模。位于伯克利的Topos研究所（致力于范疇論應(yīng)用）的聯(lián)合創(chuàng)始人兼首席執(zhí)行官Brendan Fong說：“范疇是組織邏輯結(jié)構(gòu)的方法。”

物理學家Bob Coecke在2000年代將其應(yīng)用于量子力學，此后又被擴展到量子計算的推理。幾年后，Baez開始思考生物圈的范疇化，而與Fong共同創(chuàng)立Topos研究所的數(shù)學家David Spivak則通過思考數(shù)據(jù)庫獨立開創(chuàng)了應(yīng)用范疇論。Fong說：“David有一種強烈的愿望，想要將世界形式化并使其清晰可讀。他在世界上最討厭的事情就是溝通不暢?！?/p>

在我在線觀看的一場2022年的講座中，Spivak設(shè)想了應(yīng)用范疇論在實踐中的運作方式。一位會計向應(yīng)用范疇論者講述他們數(shù)據(jù)庫中的對象，比如員工和美元金額。然后，范疇論者會為該開發(fā)一個形式化模型——一個具有嚴格邏輯結(jié)構(gòu)的范疇——然后可以將其連接到其他范疇（對應(yīng)其他數(shù)據(jù)庫和電子表格），從而對整個公司進行建模。通過這種方式，應(yīng)用范疇論成為了一種通用語言，用于描述某個龐大系統(tǒng)中的異質(zhì)組成部分。

氣候建?！狟aez最初提出的綠色數(shù)學候選之一——試圖模擬典型的龐大系統(tǒng)：地球本身。地球系統(tǒng)不同領(lǐng)域的專家必須以邏輯方式整合他們的知識和數(shù)據(jù)流，才能理解整體。但Baez和其他人告訴我，應(yīng)用范疇論者在氣候科學中尚未取得任何立足點，部分原因是氣候模型已經(jīng)足夠復(fù)雜，能夠運作，盡管它們拼接在一起的方式缺乏數(shù)學嚴謹性。數(shù)學家們認為，這種嚴謹性可以使模型更強大、更靈活，并且更能整合新信息，但推倒重來既需要說服力也需要付出努力。

愛沙尼亞塔林理工大學的Amar Hadzihasanovic說：“這是我們在應(yīng)用范疇論中始終面臨的挑戰(zhàn)之一。我們可以去找人們，告訴他們，‘如果你能根據(jù)這些首要原則來構(gòu)建你的模型，它會更好。’他們則會告訴你，‘好吧，那需要多長時間？’在你能夠獲益之前，需要巨大的投入。”

數(shù)學對解決氣候危機中政治應(yīng)對不足的問題幾乎無能為力，但應(yīng)用范疇論在公眾關(guān)注的其他領(lǐng)域則走得更遠。

例如，Baez一直在與Topos研究所和加拿大計算機科學家Nate Osgood合作，后者專攻疾病爆發(fā)的流行病學建模。在薩斯喀徹溫大學從事加拿大疫情應(yīng)對工作時，Osgood對現(xiàn)有建模軟件不允許專家整合不同領(lǐng)域的知識感到沮喪。

為了預(yù)測疫情爆發(fā)將如何發(fā)展，流行病學家經(jīng)常使用存量-流量圖：圖中包括人群存量（易感者、感染者、康復(fù)者、死亡者）和箭頭，箭頭根據(jù)暴露或毒力等因素顯示人群之間的流動。存量和流量就是一個范疇中的對象和態(tài)射。圖中方框和箭頭的排列可以轉(zhuǎn)化為描述系統(tǒng)演化的方程。

在過去幾年里，Osgood、Baez和他們的團隊開發(fā)了一個名為StockFlow的軟件包，將這類建模形式化。專家們可以對疫情爆發(fā)的不同方面進行建模，例如健康差異如何影響易感人群的感染率，而這些范疇可以組合成更大的范疇。Baez說：“范疇論能夠處理那些更復(fù)雜的組合形式。”

StockFlow尚未在流行病學家中普及，但Osgood將其教授給他的學生，希望能影響下一代建模者。Leinster說：“這是真正可以應(yīng)用的東西，是正經(jīng)的東西。”

與此同時，Hadzihasanovic和Capucci都是“Safeguarded AI”項目的成員，該項目由英國政府資助的先進研究與發(fā)明局（ARIA）資助，旨在將范疇論應(yīng)用于人工智能安全問題。該項目的核心問題是：如何讓不可預(yù)測且容易出錯的人工智能系統(tǒng)值得信賴，去操作核電站或電網(wǎng)等關(guān)鍵現(xiàn)實系統(tǒng)？

我能看到這里的必要性，而團隊的答案很巧妙：為人工智能構(gòu)建用于練習的復(fù)雜系統(tǒng)形式化模型。這些模型必須具有與現(xiàn)實系統(tǒng)相同的邏輯結(jié)構(gòu)，正確表示許多不同類型對象之間的態(tài)射。

Capucci說：“范疇論提供了一種模塊化和組合化的方法來實現(xiàn)這一點。我們正在開發(fā)可以在眾多情況下部署的基礎(chǔ)技術(shù)?！?/p>

應(yīng)用范疇論者中有一種共識：隨著系統(tǒng)變得越來越復(fù)雜和互聯(lián)，隨著人工智能的介入越來越深，他們的方法終將獲得回報。憑經(jīng)驗行事是行不通的。Hadzihasanovic說：“這最終將是一項非常重要的工作。”

許多從業(yè)者進入這個領(lǐng)域是因為他們認同Baez的環(huán)境保護理念，并希望最終能處理更綠色的課題。Baez仍然抱有很高的期望。作為民謠歌手及活動家Joan Baez的表親，他深受其叔叔（Joan的父親）——一位同時也是積極參與社會活動的貴格會信徒的物理學家——的影響。他說，幫助這個世界而"不只是讓自己開心"是"融入我骨子里"的東西。

我問他，他認為范疇論能幫助我們理解生物圈的哪些方面。

在他看來，我們對生物系統(tǒng)的范疇劃分是不恰當?shù)?。我們誤以為它們是機器，是通過攝入物質(zhì)和能量，產(chǎn)生期望產(chǎn)出和廢物的、執(zhí)行特定任務(wù)的對象。Baez說：“我們只關(guān)注我們在乎的部分，而忽視了廢物和能量的來源。我們整個技術(shù)，乃至整個數(shù)學，都建立在這種態(tài)度之上?！?/p>

然而，生命系統(tǒng)是另一類范疇。它們并非為執(zhí)行任務(wù)而構(gòu)建。他說，進化使生命變得“極其微妙和復(fù)雜，其方式我們無法完全理解”。例如，基因并非機器中各有其特定目的的獨立部件；它們都有多種作用和影響。在生態(tài)系統(tǒng)中，沒有廢物；一個生物的排泄物是另一個生物的美餐。

“我認為我們還沒有能夠理解這類系統(tǒng)的數(shù)學，”Baez說，他認為對這些系統(tǒng)建模將涉及具有前所未研究的邏輯結(jié)構(gòu)的新范疇?！斑@正是我想要發(fā)展的那種數(shù)學，因為我抱有一個希望：如果我們能更好地理解世界，不再將自然界視為我們機器隨意取用、以實現(xiàn)我們目標的原材料，那么這將有助于我們更友善地對待這個世界。我們現(xiàn)在抱有的那種態(tài)度正在碰壁。那種態(tài)度最終會毀滅整個星球。”

的確，如果我們能將自己和其他生物、生態(tài)系統(tǒng)以及氣候視為共同范疇中的對象，我們或許會更加珍視它們。

像這些數(shù)學家一樣，我也渴望在做我所熱愛的事情的同時，讓世界變得更美好。（我們不都是嗎？）從哲學角度看，我看到了應(yīng)用范疇論的潛力。這種方法是否真能幫助人類或地球，時間會給出答案。但對于那些感到有召喚要去行善、也要去做數(shù)學的人來說，值得一試。

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號“數(shù)學家”責編：。

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