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你是否曾好奇，電腦是如何判斷哪些下載內(nèi)容可信、哪些不可信的？本篇簡(jiǎn)報(bào)將介紹文件共享中的一些安全問(wèn)題，以及一種利用代數(shù)學(xué)解決這些問(wèn)題的方法。我們會(huì)看到一種巧妙的方法——借助代數(shù)學(xué)中一個(gè)極具難度的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)安全保障，并探討該方法的若干重要性質(zhì)。

作者：Eilidh McKemmie（美國(guó)基恩大學(xué)數(shù)學(xué)助理教授）2026-2-23

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-3-15

1 文件共享

試想你正從網(wǎng)上下載一個(gè)大文件，而你的對(duì)手伊芙一心想要破壞這次下載。由于文件體積較大，它會(huì)被拆分成多個(gè)名為數(shù)據(jù)包（packet）的部分，這種情況在點(diǎn)對(duì)點(diǎn)文件共享中十分常見。如果伊芙篡改其中部分?jǐn)?shù)據(jù)包，整個(gè)文件都會(huì)被破壞，她甚至還能植入病毒。你需要在拼接數(shù)據(jù)包、打開文件前，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)包被篡改的問(wèn)題。

你可以使用哈希函數(shù)（hash function），它能為任意數(shù)據(jù)包生成一個(gè)簡(jiǎn)短的數(shù)字標(biāo)識(shí)，即哈希值（hash）。你會(huì)通過(guò)獨(dú)立的信道收到每個(gè)數(shù)據(jù)包對(duì)應(yīng)的哈希值，只需對(duì)下載的數(shù)據(jù)包應(yīng)用該哈希函數(shù)，將得到的結(jié)果與收到的哈希值比對(duì)即可。若實(shí)際生成的哈希值與收到的不一致，就說(shuō)明該數(shù)據(jù)包已被篡改，你可丟棄該數(shù)據(jù)包并重新下載。

接下來(lái)，我們將運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)造一款適用于文件共享、且具備優(yōu)良性質(zhì)的哈希函數(shù)。

2 理想的函數(shù)性質(zhì)

我們假設(shè)伊芙能夠篡改數(shù)據(jù)包，卻無(wú)法篡改哈希值。如果哈希值的體積遠(yuǎn)小于數(shù)據(jù)包，我們就可以使用僅能傳輸少量數(shù)據(jù)的安全信道——體積小巧的哈希值能通過(guò)該信道傳輸，而大容量的數(shù)據(jù)包則無(wú)法通過(guò)。

但這一做法也帶來(lái)了新問(wèn)題：可能的數(shù)據(jù)包數(shù)量遠(yuǎn)多于可能的哈希值數(shù)量，因此一個(gè)哈希值并非某個(gè)數(shù)據(jù)包的專屬標(biāo)識(shí)。這意味著伊芙可以找到另一個(gè)偽造的數(shù)據(jù)包，使其生成的哈希值與原數(shù)據(jù)包一致，進(jìn)而依舊能篡改你的文件。因此，我們希望哈希函數(shù)具備原像抵抗性（pre-image resistant），即伊芙很難找到一個(gè)能生成指定哈希值的數(shù)據(jù)包。

從下載的數(shù)據(jù)包還原原始文件有多種方法，在某些情況下，只需將若干數(shù)據(jù)包進(jìn)行“相乘”操作即可實(shí)現(xiàn)。根據(jù)數(shù)據(jù)包的實(shí)際類型，這里的“相乘”既可以指算術(shù)乘法，也可以只是將所有數(shù)據(jù)包拼接在一起。例如，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)文件共享中會(huì)使用噴泉碼（fountain codes）將文件拆分為數(shù)據(jù)包，即便丟失少量數(shù)據(jù)包，你仍能還原出原始文件[6]。如果數(shù)據(jù)包的哈希值可以通過(guò)相乘得到整個(gè)文件的哈希值，我們就能同時(shí)對(duì)多個(gè)數(shù)據(jù)包計(jì)算哈希值，再將結(jié)果相乘，大幅提升哈希計(jì)算的效率。當(dāng)數(shù)據(jù)包乘積的哈希值等于哈希值的乘積時(shí)，這個(gè)哈希函數(shù)就被稱為同態(tài)哈希函數(shù)（homomorphic hash function）。

使用同態(tài)哈希函數(shù)，意味著我們只需通過(guò)安全信道傳輸整個(gè)文件的哈希值即可。無(wú)需先拼接還原文件，再檢查其是否被篡改；相反，我們可以在每個(gè)數(shù)據(jù)包到達(dá)時(shí)計(jì)算其哈希值，最后將所有哈希值相乘，再與文件的預(yù)期哈希值比對(duì)。

至此，我們明確了目標(biāo)：尋找一個(gè)將數(shù)據(jù)包映射為哈希值的函數(shù)，且該函數(shù)需具備以下性質(zhì)：

1. 壓縮性（Compression）：哈希值的體積遠(yuǎn)小于數(shù)據(jù)包；

2. 同態(tài)性（Homomorphism）：乘積的哈希值等于哈希值的乘積；

3. 原像抵抗性（Pre-image resistance）：伊芙難以找到能生成指定哈希值的數(shù)據(jù)包。

還有一個(gè)潛在問(wèn)題：伊芙可以植入一個(gè)哈希值為1的數(shù)據(jù)包，這一操作不會(huì)改變哈希值的乘積，卻會(huì)篡改原始文件。因此，我們還要求哈希函數(shù)具備抗碰撞性（collision resistance）：

4. 抗碰撞性（Collision resistance）：伊芙難以找到哈希值為1的數(shù)據(jù)包。而這一性質(zhì)，實(shí)際上等價(jià)于“難以找到兩個(gè)不同的數(shù)據(jù)包，使其生成相同的哈希值”。

綜上，我們要尋找的哈希函數(shù)需同時(shí)滿足壓縮性、同態(tài)性、原像抵抗性和抗碰撞性。接下來(lái)，我們將介紹如何利用矩陣乘法（matrix multiplication）構(gòu)造這樣的哈希函數(shù)。

3 矩陣乘法

當(dāng)一個(gè)數(shù)字無(wú)法承載足夠的信息時(shí)，你可以使用矩陣（matrix）——一種由數(shù)字構(gòu)成的陣列。以下是幾個(gè)元素為整數(shù)的矩陣示例：

矩陣是數(shù)學(xué)和諸多科學(xué)領(lǐng)域的實(shí)用工具，想要深入了解矩陣，可參閱2019年第5期奧伯沃爾法赫現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)報(bào)[3]。

尤其在數(shù)據(jù)分析和圖像壓縮中，矩陣常被用于存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，這類應(yīng)用要求計(jì)算機(jī)能高效執(zhí)行矩陣的乘法、加法等運(yùn)算。我們將重點(diǎn)研究n階方陣（n×n matrix）的乘法，即擁有n行n列的正方形矩陣。上述第一個(gè)例子是3階方陣，第三個(gè)是2階方陣。對(duì)于固定的正整數(shù)n，任意兩個(gè)n階方陣都可以相乘，就像普通數(shù)字的乘法一樣。

兩個(gè)n階方陣A和B的乘法規(guī)則如下：新矩陣的每個(gè)元素，都由A中某一行的元素與B中對(duì)應(yīng)列的元素按位相乘后求和得到。即便對(duì)于高階矩陣，計(jì)算機(jī)也能高效完成這一運(yùn)算。兩個(gè)n階方陣相乘的結(jié)果仍為n階方陣，矩陣的規(guī)模不會(huì)變大，這一性質(zhì)將幫助我們實(shí)現(xiàn)第一個(gè)目標(biāo)——讓哈希值保持小巧的體積。

矩陣乘法與普通數(shù)字的乘法有諸多相似之處。存在一種特殊的矩陣I，其作用類似于數(shù)字1：任意矩陣A與I相乘，結(jié)果仍為A。該矩陣的主對(duì)角線（從左上到右下的對(duì)角線）元素均為1，其余元素均為0，被稱為單位矩陣（identity matrix）。此外，部分矩陣還能實(shí)現(xiàn)類似“除法”的操作：要對(duì)矩陣A做“除法”，只需找到其逆矩陣（inverse matrix）A?1，再與該逆矩陣相乘即可。需注意的是，許多矩陣不存在逆矩陣，這類矩陣類似于數(shù)字0——無(wú)法對(duì)其做除法運(yùn)算。

但矩陣乘法比普通數(shù)字的乘法更復(fù)雜。例如，我們知道2·3=6=3·2，但對(duì)于矩陣A和B，通常有AB≠BA（矩陣乘法中，乘號(hào)可省略）。例如：

事實(shí)證明，矩陣乘法的這一性質(zhì)，將為我們構(gòu)造哈希函數(shù)提供極大幫助。

在構(gòu)造哈希函數(shù)前，還有一點(diǎn)需要說(shuō)明：我們將對(duì)矩陣的所有元素取素?cái)?shù)p模。即預(yù)先選定一個(gè)素?cái)?shù)p，將矩陣中的每個(gè)元素替換為其除以p后的余數(shù)。這一操作能進(jìn)一步壓縮哈希值的體積，因?yàn)榫仃嚨拿總€(gè)元素僅有p種可能的取值。例如，若p=3，則數(shù)字3會(huì)被替換為0，4會(huì)被替換為1，以此類推。且這一操作不會(huì)影響矩陣的乘法運(yùn)算，上述例子取3模后的結(jié)果為：

我們構(gòu)造哈希函數(shù)所用的矩陣，均來(lái)自一個(gè)特殊的集合——SL?(p)，即素?cái)?shù)p模下的n階特殊線性群，該集合中的所有n階方陣均存在逆矩陣。上述例子中的矩陣，均來(lái)自SL?(3)。

4 凱萊哈希函數(shù)

構(gòu)造凱萊哈希函數(shù)（Cayley hash function），首先需要選取兩個(gè)矩陣A和B，并確保AB≠BA。我們以SL?(3)中的如下兩個(gè)矩陣為例：

這組矩陣是Gilles Zémor在提出首個(gè)凱萊哈希函數(shù)時(shí)所使用的[11]。

我們將任意長(zhǎng)度的0-1序列定義為一個(gè)數(shù)據(jù)包，哈希函數(shù)會(huì)將序列中的每個(gè)1替換為矩陣B，每個(gè)0替換為矩陣A，再將所有替換后的矩陣按順序相乘，得到的結(jié)果即為該數(shù)據(jù)包的哈希值。我們將這個(gè)哈希函數(shù)記為h。例如，使用Zémor選取的A和B，可得：

由于我們選取的素?cái)?shù)p=3，該哈希函數(shù)的輸出始終是元素為0、1或2的2階方陣。事實(shí)上，SL?(3)中僅有24個(gè)不同的矩陣，這意味著該哈希函數(shù)僅有24種可能的哈希值。如果我們將這些矩陣用1到24的數(shù)字標(biāo)記，并將該數(shù)字作為最終的哈希值，那么無(wú)論數(shù)據(jù)包的體積多大，哈希值最多只有兩位（若用二進(jìn)制表示，僅為4比特）。至此，我們構(gòu)造出的哈希函數(shù)已滿足第一個(gè)理想性質(zhì)：哈希值的體積遠(yuǎn)小于數(shù)據(jù)包。

同時(shí)，該函數(shù)也滿足同態(tài)性。因?yàn)閿?shù)據(jù)包的“相乘”操作即為簡(jiǎn)單的拼接，例如：

h(010)h(110)=ABABBA=h(010110)

需要注意的是，由于AB≠BA，一般情況下，打亂數(shù)據(jù)包中的0和1的順序，得到的哈希值也會(huì)改變。這一性質(zhì)意味著，打亂數(shù)據(jù)包順序的操作不會(huì)破壞哈希函數(shù)的抗碰撞性。想要更深入地理解原像抵抗性和抗碰撞性，我們需要先弄清：為何這類哈希函數(shù)以“凱萊”命名。

5 凱萊圖

凱萊圖（Cayley graph）是直觀展現(xiàn)凱萊哈希函數(shù)原像抵抗性和抗碰撞性的工具。數(shù)學(xué)家Arthur Cayley（1821–1895）于1878年首次提出了凱萊圖的概念，Max Dehn（1878–1952）則在20世紀(jì)初完善了凱萊圖的基礎(chǔ)理論。凱萊圖最初被用于研究數(shù)學(xué)中的對(duì)稱性，即群論（group theory）。2019年第16期奧伯沃爾法赫現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)報(bào)[7]探討了凱萊圖的一些有趣性質(zhì)，其中部分性質(zhì)將在本文后續(xù)內(nèi)容中用到。

本文僅聚焦于凱萊圖在分析凱萊哈希函數(shù)原像抵抗性和抗碰撞性中的應(yīng)用。這兩個(gè)性質(zhì)的實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證，遠(yuǎn)比壓縮性和同態(tài)性困難，因此我們需要這一工具的輔助。

給定SL?(p)中的兩個(gè)矩陣A和B，我們這樣定義對(duì)應(yīng)的凱萊圖：

以SL?(p)中的每個(gè)矩陣為一個(gè)頂點(diǎn)（dot）；若頂點(diǎn)N可由頂點(diǎn)M左乘A得到（即N=MA），則用紅色箭頭連接M→N；若N可由M左乘B得到（即N=MB），則用藍(lán)色箭頭連接M→N。

這意味著，從單位矩陣I出發(fā)，通過(guò)不斷右乘A或B的“行走”操作，就能畫出整個(gè)凱萊圖。圖1展示了上述Zémor選取的矩陣A、B時(shí)，對(duì)應(yīng)的SL?(3)凱萊圖。

圖1 由GeoGebra繪制

圖中箭頭的顏色對(duì)應(yīng)不同矩陣：紅色代表A，藍(lán)色代表B；單位矩陣用紅點(diǎn)標(biāo)記，便于識(shí)別。

可以看到，凱萊圖中存在大量重復(fù)的圖案，但想要在圖中找到特定的路徑卻并不容易。例如，圖中的三角形圖案表明AAA=I=BBB；還能從圖中發(fā)現(xiàn)AAB=BAABA這類規(guī)律——因?yàn)椴煌穆窂阶罱K會(huì)到達(dá)同一個(gè)頂點(diǎn)。

現(xiàn)在，我們從凱萊圖的角度理解原像抵抗性：原像抵抗性即“難以找到生成指定哈希值的數(shù)據(jù)包”，而數(shù)據(jù)包的哈希值，就是其對(duì)應(yīng)的路徑在凱萊圖中的終點(diǎn)。因此，原像抵抗性可重新表述為：難以在凱萊圖中找到從單位矩陣I到指定頂點(diǎn)的路徑。

而抗碰撞性，則等價(jià)于“難以在凱萊圖中找到環(huán)路（loop）”——因?yàn)榄h(huán)路本質(zhì)上對(duì)應(yīng)一個(gè)哈希值為單位矩陣I的數(shù)據(jù)包。沿著凱萊圖中的環(huán)路行走，最終會(huì)回到出發(fā)時(shí)的頂點(diǎn)，這意味著構(gòu)成該環(huán)路的所有矩陣相乘，結(jié)果為單位矩陣I。從另一個(gè)角度看，環(huán)路代表到達(dá)同一頂點(diǎn)的兩條不同路徑，即兩個(gè)不同的數(shù)據(jù)包生成了相同的哈希值。

在我們的例子中，凱萊圖的規(guī)模很?。耗芸吹絻H由3步構(gòu)成的環(huán)路，這說(shuō)明該哈希函數(shù)不具備抗碰撞性；此外，從單位矩陣到任意矩陣的路徑最多僅有5步，因此該哈希函數(shù)也不具備原像抵抗性——對(duì)于任意給定的矩陣M，伊芙只需讓計(jì)算機(jī)遍歷所有長(zhǎng)度為5的路徑，檢查M是否為路徑的終點(diǎn)即可。即便不使用任何優(yōu)化技巧，她也只需檢查2?=32條路徑，因?yàn)槁窂降拿恳徊蕉純H有兩種選擇（乘A或乘B）。

解決這一問(wèn)題的方法是：選取足夠大的素?cái)?shù)p。通常，我們會(huì)選取與RSA[4]等數(shù)據(jù)安全系統(tǒng)中同級(jí)別的大素?cái)?shù)，即大于22???≈3.2×10?1?的素?cái)?shù)。此時(shí)，SL?(p)中的矩陣數(shù)量會(huì)變得極其龐大，對(duì)應(yīng)的路徑數(shù)量也會(huì)數(shù)不勝數(shù)，伊芙必須借助復(fù)雜的數(shù)學(xué)技巧，才有可能破解哈希函數(shù)的原像抵抗性。

6 選取合適的矩陣A和B

此前，我們并未深究矩陣A和B的選取問(wèn)題。所有凱萊哈希函數(shù)都天然具備壓縮性和同態(tài)性，但原像抵抗性和抗碰撞性，則完全取決于A和B的選取。

一般來(lái)說(shuō)，證明一個(gè)問(wèn)題對(duì)計(jì)算機(jī)而言是“難解的”，是一件非常困難的事。這意味著，證明一個(gè)哈希函數(shù)不具備原像/抗碰撞性，遠(yuǎn)比證明它具備該性質(zhì)容易。因此，在無(wú)法給出嚴(yán)格證明的情況下，我們會(huì)接受那些能充分證明哈希函數(shù)具備原像/抗碰撞性的證據(jù)。

Tillich和Zémor已證明，上文所述的凱萊哈希函數(shù)構(gòu)造方法并不具備抗碰撞性[10]，許多其他選取A和B的方案也已被破解。據(jù)筆者所知，目前僅有兩種方案尚未被破解[2,8]，而這兩種方案具備原像抵抗性和抗碰撞性的證據(jù)，來(lái)自其對(duì)應(yīng)的凱萊圖的圍長(zhǎng)（girth）和自由性（freeness）性質(zhì)。

6.1 圍長(zhǎng)

Babai提出過(guò)一個(gè)著名的猜想：當(dāng)素?cái)?shù)p足夠大時(shí)，在凱萊圖中，任意兩個(gè)矩陣之間的路徑長(zhǎng)度最多約為log p。對(duì)于SL?(p)，該猜想已被相關(guān)研究證實(shí)[5,1,9]。

為了讓凱萊哈希函數(shù)的抗碰撞性和原像抵抗性難以被破解，我們要求凱萊圖中任意兩個(gè)矩陣之間的路徑長(zhǎng)度至少約為log p，這意味著凱萊圖的圍長(zhǎng)應(yīng)盡可能大。

嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，凱萊圖的圍長(zhǎng)（girth）是指圖中最短的有向環(huán)路的長(zhǎng)度，而這一參數(shù)，正是我們?cè)谏弦还?jié)中指出的、影響哈希函數(shù)抗碰撞性的關(guān)鍵因素。

因此，在選取矩陣A和B時(shí)，我們希望其對(duì)應(yīng)的凱萊圖擁有大圍長(zhǎng)。事實(shí)上，許多類別的矩陣都能滿足這一要求，例如擴(kuò)展圖（expander graphs）的諸多子類（相關(guān)內(nèi)容可參閱2019年第16期奧伯沃爾法赫現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)報(bào)[7]）。

6.2 自由性

我們對(duì)矩陣元素取素?cái)?shù)p模，是為了讓哈希值保持小巧的體積。如果拋開取模操作，直接在整數(shù)域上進(jìn)行矩陣運(yùn)算，會(huì)發(fā)生什么？這一操作被稱為提升至整數(shù)域（lifting to the integers）。

如果將矩陣A和B提升至整數(shù)域后，哈希函數(shù)的抗碰撞性或原像抵抗性被破壞，那么這一破壞將對(duì)所有素?cái)?shù)p成立，哈希函數(shù)也會(huì)被徹底破解。

因此，我們希望：將矩陣A和B提升至整數(shù)域后，哈希函數(shù)的抗碰撞性和原像抵抗性仍不會(huì)被破壞。若滿足這一條件，我們就稱矩陣A和B生成了一個(gè)自由結(jié)構(gòu)（free structure）。

參考文獻(xiàn)[2]和[8]中選取的矩陣A和B，既生成了自由結(jié)構(gòu)，其對(duì)應(yīng)的凱萊圖也擁有大圍長(zhǎng)——這些證據(jù)充分表明，基于這兩組矩陣構(gòu)造的凱萊哈希函數(shù)是安全的。

7 尚未解決的問(wèn)題

在本篇簡(jiǎn)報(bào)中，我們了解到凱萊哈希函數(shù)是實(shí)現(xiàn)安全文件共享的潛力方案，也看到矩陣A和B的選取會(huì)影響其對(duì)應(yīng)的凱萊圖，而凱萊圖又決定了哈希函數(shù)的原像抵抗性和抗碰撞性。我們認(rèn)識(shí)到，選取安全的矩陣A和B并非易事，而數(shù)學(xué)家們能基于凱萊圖的圍長(zhǎng)和自由性，為部分矩陣選取方案的安全性提供充分證據(jù)。

但仍有一個(gè)問(wèn)題尚未解決：凱萊圖的大圍長(zhǎng)和自由性，是否足以保證凱萊哈希函數(shù)的安全性？

要證明答案為“否”，數(shù)學(xué)家需要找到這樣的反例：某組矩陣A和B對(duì)應(yīng)的凱萊圖擁有大圍長(zhǎng)且生成自由結(jié)構(gòu)，但其構(gòu)造的哈希函數(shù)卻不具備原像抵抗性和抗碰撞性；

而要證明答案為“是”則更為困難，因?yàn)檠芯空咝枰紤]所有可能的矩陣A和B，并證明所有可能的破解算法，都無(wú)法找到哈希函數(shù)的原像或碰撞。

原文參考文獻(xiàn)

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[9] L. Pyber and E. Szabó, Growth in finite simple groups of lie type, Journal of the American Mathematical Society 29 (2014), no. 1, 95–146.

[10] J. Tillich and G. Zémor, Group-theoretic hash functions, Algebraic Coding, Springer, 1994, pp. 90–110.

[11] G. Zémor, Hash functions and Cayley graphs, Designs, Codes and Cryptography 4 (1994), no. 3, 381–394.

作者簡(jiǎn)介

Eilidh McKemmie，美國(guó)基恩大學(xué)數(shù)學(xué)助理教授。

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10.14760/SNAP-2026-002-EN

奧伯沃爾法赫現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)報(bào)為讀者呈現(xiàn)當(dāng)代數(shù)學(xué)研究的精彩洞見，由奧伯沃爾法赫數(shù)學(xué)研究所（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, MFO）科研項(xiàng)目的參與者撰寫。本簡(jiǎn)報(bào)項(xiàng)目旨在向全球?qū)?shù)學(xué)感興趣的公眾普及現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)，增進(jìn)大眾對(duì)數(shù)學(xué)研究的理解與認(rèn)同。所有簡(jiǎn)報(bào)均與IMAGINARY平臺(tái)合作發(fā)布，可在以下網(wǎng)址查閱：www.imaginary.org/snapshots 以及 www.mfo.de/snapshots 。

國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)出版物號(hào)

ISSN 2626-1995

機(jī)構(gòu)信息

奧伯沃爾法赫數(shù)學(xué)研究所（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbH）

地址：德國(guó)巴登-符騰堡州奧伯沃爾法赫市，黑森林大街9-11號(hào)，77709

所長(zhǎng)：Gerhard Huisken

合作平臺(tái)：IMAGINARY開放式數(shù)學(xué)平臺(tái)

參考資料

https://publications.mfo.de/handle/mfo/4387

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