格爾德·法爾廷斯（Gerd Faltings）于1954年出生于西德。中學(xué)時(shí)期，他曾獲得一項(xiàng)全國性的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)；在獲得博士學(xué)位后，他又曾在哈佛大學(xué)擔(dān)任一年研究員。

法爾廷斯在2024年說：“我最初的目標(biāo)是拿到終身教職，這樣我就能靠數(shù)學(xué)謀生了。”

今天，挪威科學(xué)和文學(xué)學(xué)院決定將2026年阿貝爾獎(jiǎng)授予法爾廷斯，以表彰他為算術(shù)幾何引入了強(qiáng)有力的工具，并解決了與莫德爾與朗相關(guān)的長期懸而未決的丟番圖猜想。阿貝爾獎(jiǎng)有時(shí)也被稱為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)。

格爾德·法爾廷斯是算術(shù)幾何領(lǐng)域一位舉足輕重的人物。他的思想與成果重塑了這一領(lǐng)域。他不僅解決了多項(xiàng)長期懸而未決的重要猜想，還建立了新的理論框架，引領(lǐng)了此后數(shù)十年的研究工作。他卓越的成就將幾何視角與算術(shù)視角融為一體，充分體現(xiàn)了對(duì)深層結(jié)構(gòu)性的洞察力所具有的力量。（圖/Peter Badge/Typos1/The Abel Prize 2026）

數(shù)字——數(shù)學(xué)最基本的構(gòu)件。它們可以相加、相乘，也可以與自身相乘（平方），還可以重復(fù)任意多次地相乘（如立方，或者更高次冪）。我們?cè)趯W(xué)校里就學(xué)過做這些運(yùn)算的所有基本規(guī)則。

數(shù)論是數(shù)學(xué)中最古老的分支之一。早在公元3世紀(jì)，一位名叫丟番圖的數(shù)學(xué)家就提出了一些直到今日仍然讓數(shù)學(xué)家們頭疼不已的問題。這是因?yàn)?，雖然數(shù)字在加、減、乘、除時(shí)所遵循的規(guī)則看起來簡單，但一旦把乘法和加法混合起來，就會(huì)變得非常神秘。

亞歷山大的丟番圖手稿（1621年版本）。（圖/Public Domain/Commons Wikipedia）

丟番圖方程含有一個(gè)以上的未知變量（通常用 a、b、x、y 等來表示），以及可以表示為整數(shù)的解。畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）就是一個(gè)丟番圖方程：a2 + b2 = c2。a、b 和 c 的整數(shù)解被稱為畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組。這樣的三元數(shù)組有無窮多個(gè)，其中最經(jīng)典的一組是3、4、5。

邊長為 3、4、5 的畢達(dá)哥拉斯定理示意圖。（圖/Timandra Harkness）

但是，如果不是a、b、c的平方，而是立方呢？求解起來就沒那么容易了。事實(shí)上，費(fèi)馬大定理說的就是：當(dāng)n大于2時(shí)，方程 a? + b? = c?不存在丟番圖解。

果然，在數(shù)百年間，沒人找到過任何當(dāng)n大于等于3時(shí)（也就是方程次數(shù)為3或更高時(shí)）的整數(shù)解。包括歐拉、索菲·熱爾曼、狄利克雷和勒讓德在內(nèi)的多位數(shù)學(xué)家，都曾分別在一些特定情形下證明費(fèi)馬是對(duì)的。但從1637年到1995年，整整跨越了數(shù)百年，安德魯·懷爾斯才最終證明：對(duì)于任何大于2的n，這樣的解都不存在。

一種被數(shù)學(xué)家用來理解數(shù)字的更深層規(guī)律的方式，是把它們表示成幾何形狀。這就是算術(shù)幾何的領(lǐng)域。

方程可以表示為點(diǎn)的集合：方法是把方程寫成函數(shù)，再把它的解畫成坐標(biāo)點(diǎn)。例如，方程 x2 + y2 - 1 = 0，可以寫成 f(x,y) = x2 + y2 - 1，然后研究這個(gè)函數(shù)在什么地方等于零，也就是研究 f(x,y) = 0。

如果把它畫在一張平面紙上，就會(huì)得到一個(gè)圓，它經(jīng)過的點(diǎn)有：x = 1 或 -1 且 y = 0，以及 x = 0 且 y = 1 或 -1。

f(x,y) = x2 + y2 ? 1 的圖形。

這個(gè)圓上的任意一點(diǎn)，都給出了滿足該方程的一組 x、y 值；不過，這四組整數(shù)解是顯而易見的，用數(shù)學(xué)家的話來說，就是“平凡解”。而且，它們也是唯一的整數(shù)解。

但是，滿足這個(gè)方程的有理數(shù)解有無窮多組。例如，x = 3/5（0.6）、y = 4/5（0.8）就是一組。事實(shí)上，只要把分子和分母取得足夠大，這條曲線上就有無窮多個(gè)有理數(shù)點(diǎn)。

它們之所以叫“有理數(shù)”，并不是因?yàn)樗鼈儽憩F(xiàn)得特別合理，而是因?yàn)樗鼈兡軌虮硎境蓛蓚€(gè)整數(shù)之比——也就是分?jǐn)?shù)。

不過，這條曲線上更多的點(diǎn)其實(shí)是無理數(shù)；之所以這樣命名，是因?yàn)樗鼈儾荒鼙硎境蓛蓚€(gè)整數(shù)之比，盡管如果把分母取得足夠大，就能用分?jǐn)?shù)來近似。這就是丟番圖逼近。

如果這聽起來奇怪，不妨想想無理數(shù) π：它的精確值不能被寫成分?jǐn)?shù)，但在實(shí)際應(yīng)用中，可以用 22/7 或 3.142（即 3142/1000）來近似。而如果想要更接近它的真實(shí)數(shù)值，分子和分母就需要變得更大，比如 104,348/33,215。

因此，方程 x2 + y2 – 1 = 0 既有整數(shù)解，也有有理數(shù)解和無理數(shù)解。但如果把冪次改成3，變成 x3 + y3 – 1 = 0，那么它就不存在正的有理數(shù)解。

那些同時(shí)涉及乘法和加法的復(fù)雜方程，可以表示為數(shù)域中的曲線。所謂“域”，是指一個(gè)數(shù)字集合；在這個(gè)集合中，數(shù)字在相加、相乘，或者試圖進(jìn)行某種排序時(shí)，都遵循一套規(guī)則。例如，數(shù)域 Q 包含所有有理數(shù)——這里的 Q 代表 quotient（商）。復(fù)數(shù)——也就是包含 i（負(fù)1的平方根）的那些數(shù)——構(gòu)成了數(shù)域 C。

一個(gè)多項(xiàng)式方程包含同一變量的不同次冪——比如 x3 + 3x2 – x + 1 = 0。冪次越高，方程的次數(shù)就越高；而根據(jù)次數(shù)，我們可以確定它的“虧格”（genus）——這個(gè)量告訴我們曲線會(huì)有多少個(gè)“洞”。

橢圓曲線由三次方程表示，例如 y2 = x3 + ax + b，因此它們的次數(shù)是3。這意味著它們屬于虧格1；對(duì)于相應(yīng)函數(shù) f(x,y,z) = y2z – x3 – axz2 – bz3，由 f(x,y,z) = 0 所定義的曲線，具有一個(gè)洞。懷爾斯在證明費(fèi)馬大定理時(shí)，就用到了橢圓曲線。

1922年，路易斯·莫德爾證明，橢圓曲線上的有理點(diǎn)可以由一個(gè)有限點(diǎn)群生成，而這些點(diǎn)按照可預(yù)測的方式運(yùn)作。事實(shí)上，這些有理點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)阿貝爾群，這一性質(zhì)由尼爾斯·亨利克·阿貝爾所發(fā)現(xiàn)；他的工作不斷被證明是許多偉大數(shù)學(xué)思想的核心，而阿貝爾獎(jiǎng)也正是以他的名字命名的。

那么，虧格為2或更高、由更高次方程描述的曲線又是什么情況呢？可惜的是，它們并不遵循如此直接明了的規(guī)律。

莫德爾曾猜想，這樣的曲線只會(huì)有有限多個(gè)有理點(diǎn)，但他無法證明這一點(diǎn)。而莫德爾猜想，也讓數(shù)學(xué)界著迷數(shù)十年。

法爾廷斯起初并不是沖著證明這一猜想去的，他只是希望自己的研究能產(chǎn)生一些有趣的結(jié)果。但到了1983年，他證明了沙法列維奇和泰特關(guān)于曲線有限性的相關(guān)猜想。這個(gè)結(jié)果正如帕爾申此前所預(yù)言的那樣，同時(shí)也證明了莫德爾猜想，如今它被稱為法爾廷斯定理。

法爾廷斯的方法讓很多人感到意外，因?yàn)樗]有使用丟番圖逼近，而是借鑒了泰特、帕爾申和斯皮羅的思想，通過代數(shù)曲線的分類來發(fā)展算術(shù)幾何中的方法。

此外，他還不得不改進(jìn)一個(gè)用來衡量有理數(shù)復(fù)雜程度的量，這個(gè)量被稱為“高度”（Height）——粗略地說，它指的是能夠精確定義這個(gè)數(shù)的分子或分母所需的最小長度。

嚴(yán)格來說，法爾廷斯定理表明：對(duì)于這些高階曲線，在一個(gè)有界的法爾廷斯高度之下，其有理點(diǎn)只有有限多個(gè)。

1989年，保羅·沃伊塔確實(shí)使用了丟番圖逼近，給出了一個(gè)新的證明，而這也為法爾廷斯帶來了新的研究方向。他利用這些新工具建立了法爾廷斯乘積定理，隨后又借此證明了關(guān)于有理點(diǎn)分布的莫德爾-朗猜想——這是另一個(gè)長期困擾數(shù)學(xué)界的難題。這也是他最重要的成就之一。

今天，法爾廷斯在算術(shù)幾何中的工作，仍在不斷解決長期懸而未決的問題，并為幾何與數(shù)論的結(jié)合建立新的理論框架。

#創(chuàng)作團(tuán)隊(duì)：

整理：原理編輯部

#參考來源：

https://abelprize.no/

#圖片來源：

封面圖&首圖：The Abel Prize 2026