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本期話題：

一、《紐約時報》中的組合數(shù)學

二、旋律中的代數(shù)學

作者：托尼·菲利普斯（Tony Phillips），石溪大學 2026-3-21

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2026-3-23

一、《紐約時報》中的組合數(shù)學

尼爾·J·A·斯?。∟eil J. A. Sloane）與戴維·卡特勒（David Cutler）近期的研究 https://arxiv.org/pdf/2511.15864 圍繞“煎餅切割問題”展開：若對一張煎餅進行n次切割，最多能得到多少塊？當然，在數(shù)學語境中，這張煎餅是無限大的，切刀也無限長。對于直刃切刀，其答案早已被證實——n次切割最多可得到(n2+n+2)/2塊。此次新研究則聚焦于由有限條直邊構成的“特殊切刀”，唯一的規(guī)則是切刀的整個切割面必須是連通的。西沃恩·羅伯茨（Siobhan Roberts）為《紐約時報》撰文報道了這項研究成果。 https://www.nytimes.com/2026/01/20/science/infinite-pancake-math-puzzle.html

當直刃切刀的切割次數(shù)n取1、2、3、4、5時，切割效率最優(yōu)的情況下，可分別得到2、4、7、11和16塊。圖中箭頭代表切刀的刀刃向無限遠處延伸。圖片由尼爾·斯?。∟eil Sloane）提供。

斯隆與卡特勒設計的其中一種特殊切刀形似長腿字母A，擁有兩條向無限遠處延伸的刀刃，刀刃之間有一條連接撐。單次使用A形切刀，可將平面狀的煎餅分割為3部分；而經(jīng)過位置擺放和仿射變換后，兩次使用A形切刀最多可切出14塊獨立的區(qū)域。

兩次疊加的A形切刀切割操作，將平面劃分為多個多邊形區(qū)域。

兩把A形切刀（內圖）將平面分割為14個不同的區(qū)域。繪圖由尼爾·斯隆（Neil Sloane）完成，并由作者著色。

根據(jù)斯隆與卡特勒發(fā)布的預印本論文，A形切刀的研究始于去年夏天：當時斯隆在羅格斯大學為本科生講授煎餅切割問題，卡特勒與另外兩名學生愛德華·熊（Edward Xiong）、喬納森·裴（Jonathan Pei）一同旁聽。受斯隆講座的啟發(fā)，這三名學生解決了三腳架形切刀的切割問題——這種切刀以一個點為輻射中心，延伸出三把無限長的刀刃。他們證明，n把三腳架形切刀最多可將平面分割為(9n2-5n+2)/2塊。

兩次疊加的三腳架形切刀切割操作，其中一把切刀的輻射中心朝左，另一把的輻射中心朝上。

去年夏天，愛德華·熊（Edward Xiong）、喬納森·裴（Jonathan Pei）與戴維·卡特勒（David Cutler）證明，n把三腳架形切刀最多可將煎餅分割為(9n2-5n+2)/2塊。當n=2時，計算結果為14，如本圖所示。圖源：托尼·菲利普斯（Tony Phillips）。

后續(xù)，卡特勒與斯隆對A形切刀展開了實驗性研究，其結果與上述三位學者得出的三腳架形切刀公式完全吻合。他們在論文中寫道：“這絕非巧合！”二人進一步證明，在切割次數(shù)相同的情況下，三腳架形切刀與A形切刀切割煎餅所能得到的最大塊數(shù)始終相等。他們的論文還將這一結論推廣至k腳形切刀（k-pods）——即切刀以一個點為中心，延伸出k把無限長的刀刃（而非三腳架形的3把）。使用n把k腳形切刀進行切割，最多可得到的煎餅塊數(shù)為：

C?2k2 + n(k-1) + 1

=n(n-1)k2/2 +n(k-1) + 1

二、旋律中的代數(shù)學

去年夏天，滑鐵盧大學的奧爾加·伊布拉吉莫娃（Olga Ibragimova）與克里斯托弗·內哈尼夫（Chrystopher Nehaniv）發(fā)表了《音樂對稱性研究中的代數(shù)應用》，一篇探究旋律調性結構的論文 https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-031-84869-8_5 。（2月19日，Phys.org網(wǎng)站發(fā)布了相關新聞稿， https://phys.org/news/2026-02-secret-math-catchy-melodies.html 其標題《為何有些旋律令人難忘：數(shù)學對稱性解釋朗朗上口的旋律》并非完全準確——伊布拉吉莫娃與內哈尼夫的論文中并未提及“難忘”或“朗朗上口”的相關內容。）

在這項初步研究中，作者并未考慮音符的時值與精準音高，而是將每個音符用一個數(shù)字表示，對應鋼琴中八度中音區(qū)的音級（pitch class，C=1、
升C(C)=2、D=3 …… B=12）。在數(shù)學層面，他們將一段由n個音符組成的旋律定義為一個函數(shù)m:L ? C，其中L為音符位置集合{1,2,...,n}，C為音級集合{1,2,...,12}。

旋律的數(shù)字編碼：將一段旋律中的所有音符統(tǒng)一為時值（本示例中為四分音符），每個音符均用一個數(shù)字表示，對應八度中音區(qū)的代表音級。本部分所有圖片與音頻樣本均由托尼·菲利普斯（Tony Phillips）提供。

下文將以一段為人熟知的8音旋律及其數(shù)字編碼為例，闡釋伊布拉吉莫娃與內哈尼夫所研究的音樂變換方式。點擊下方音條的“?播放”按鈕即可聆聽。

這段示例旋律的數(shù)字編碼為[1,5,1,12,3,6,3,1]。此處每個音符均對應一組八度相關的音級對，以契合作者對“旋律是一串音級序列”的成果定義。

作者定義了四種旋律變換操作，這些操作不會改變旋律的“內在屬性”，分別為：移調（transposition）、移位（translation）、倒影（inversion）和逆行（retrograde）。

1. 移調：將旋律中所有音符向上或向下移動指定的半音數(shù)。

在本次移調操作中，示例旋律的所有音符向上移動5個半音，編碼由[1,5,1,12,3,6,3,1]變?yōu)閇6,10,6,5,8,11,8,6]。需注意，此處的加法運算遵循模12的“時鐘算術”（clock arithmetic），即12+5=5。

2. 移位：將旋律中所有音符在序列中向前或向后移動指定的位置數(shù)。

音級序列：降B、D、F、D、C、C、E、C。

在本次移位操作中，示例旋律的所有音符向后移動3個位置，編碼由[1,5,1,12,3,6,3,1]變?yōu)閇12,3,6,3,1,1,5,1]。對于由n個音符組成的旋律，移位運算遵循模n規(guī)則，即從序列一端移出的音符會從另一端重新進入。

3. 倒影：將旋律進行“上下翻轉”。在本研究中，倒影操作將音級k映射為音級13?k。

根據(jù)變換規(guī)則k ? 13-k，示例旋律的編碼[1,5,1,12,3,6,3,1]會轉換為其倒影形式[12,8,12,1,10,7,10,12]。

4. 逆行：將原旋律反向演奏。

在逆行變換操作下，示例旋律的編碼[1,5,1,12,3,6,3,1]變?yōu)閇1,3,6,3,12,1,5,1]。

由于每段旋律m都是從位置集合L={1,2,...,n}到音級集合C={1,2,...,12}的映射，因此長度為n的所有可能旋律構成笛卡爾積（Cartesian product）：

C? = {1,2,...,12}?

上述四種變換操作均為集合C?上的置換（permutation），且能保持兩個特征不變：音符間的音程跨度，以及音符在序列中的相對位置。這兩個特征應當就是作者所指的旋律“內在屬性”。若將兩種變換操作組合使用（例如先移調再倒影），得到的新旋律仍會保留原有的內在屬性。這四種變換操作及其所有可能的組合形式構成了一個群G，我們可將其稱為集合C?上的音樂置換群（musical permutation group）。

伊布拉吉莫娃與內哈尼夫指出，移位和逆行操作不會改變音符本身，僅會重新排列音符的位置集合L；而移調和倒影操作會保留音符的位置集合L，僅改變音級集合C。二人還闡釋，群G在結構上為群G?與群G?的直積（direct product），即：

G = G? × G?

其中，G?是由移位和逆行操作生成的、位置集合L={1,2,...,n}的對稱群；G?是由移調和倒影操作生成的、音級集合C={1,2,...,12}的對稱群。這意味著，群G中的任意元素g均可表示為一對元素g=(g?,g?)，其中g? ∈ G?、g? ∈ G?；而兩個元素g=(g?,g?)與g'=(g'?,g'?)的乘積為：

gg' = (g?g'?,g?g'?)

此外，G?為正n邊形的二面體群（dihedral group）D?（如下圖所示），而G?為正十二邊形的二面體群D??。

8音旋律的示意圖：移位與逆行是位置集合的對稱變換，移調與倒影是音級集合的對稱變換。

針對群G中的任意變換操作g，伊布拉吉莫娃與內哈尼夫構造出了關于g對稱的8音旋律。他們選取的變換操作g=(R2,r3)，其中R為音符位置向前移動1位的移位操作，r為音級向上移動1個半音的移調操作。這意味著，他們要構造一段滿足以下條件的旋律：將其向右移位2個位置、同時向上移調3個半音后，旋律的聽感與原旋律完全一致。作者可自由選擇前兩個音符，他們選取了1(C)和3(D)，最終構造出的旋律編碼為[1,3,4,6,7,9,10,12]。

一段對稱旋律：C、D、升D、F、升F、升G、A、B，將其向右移位2個位置并向上移調3個半音后，旋律保持不變。

——本文作者：托尼·菲利普斯（Tony Phillips），石溪大學

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-january-february-2026/

https://arxiv.org/pdf/2511.15864

https://www.nytimes.com/2026/01/20/science/infinite-pancake-math-puzzle.html

https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-031-84869-8_5

https://phys.org/news/2026-02-secret-math-catchy-melodies.html

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