郝田田，邵鋒，韋東奕，章志飛

摘要

我們在非常一般的假設(shè)下構(gòu)造了二維非勻質(zhì)Navier-Stokes方程的一類全局強解，其中初始密度僅假設(shè)有界，初始速度屬于 。在對初始密度進(jìn)行適當(dāng)額外假設(shè)(包括密度斑塊和真空氣泡情形)后，我們證明了Lions弱解與具有相同初值的強解相同。特別地，這完全解決了菲爾茲獎得主Lions(1996)提出的密度斑塊問題：對于密度斑塊初值 (其中 為光滑有界區(qū)域)，Lions弱解在演化過程中保持 的正則性。

研究背景

故事要從1996年講起。法國數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎得主Pierre-Louis Lions在其經(jīng)典著作[5]中，系統(tǒng)地研究了非勻質(zhì)Navier-Stokes方程：

與經(jīng)典的常密度Navier-Stokes方程不同，這個方程組描述了密度分布不均勻的不可壓縮粘性流體，其演化同時受控于速度的輸運—擴(kuò)散與密度的純對流，結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜。Lions證明了對于 ， ，該方程整體弱解的存在性。

自然地，他提出這樣一個深刻的問題：

“假設(shè)初始密度 是一個光滑區(qū)域 的特征函數(shù)，即 ，這意味著流體是一塊密度均勻的‘斑塊’，周圍是真空(或者內(nèi)部有真空氣泡)。書中定理2.1保證至少存在一個整體弱解。那么，一個很自然的問題是：區(qū)域 的正則性(例如邊界的光滑性)是否會隨時間演化而保持？”

這就是著名的“Lions密度斑塊問題”。它類似于流體力學(xué)中另一個經(jīng)典問題——二維Euler方程的“渦塊”問題，后者由法國科學(xué)院院士Chemin在1993年解決[1]。

在Lions提出問題后的二十多年里，許多數(shù)學(xué)家都在嘗試攻克它。解決這個問題的核心難點在于，初始密度是間斷的，可以取 和 兩個值(即允許真空出現(xiàn))，這對解的正則性理論構(gòu)成了巨大挑戰(zhàn)。

在眾多努力中，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院的張平院士與其合作者廖嫻的工作尤為關(guān)鍵。2019年，他們在Communications on Pure and Applied Mathematics上發(fā)表了關(guān)于二維密度斑塊的重要成果[4]。他們證明了，對于正密度跳躍的情況(即 ，其中 )，強解的斑塊邊界正則性可以得到保持。盡管[4]沒有觸及Lions弱解，這一工作仍為最終解決Lions的原版問題奠定了堅實的基礎(chǔ)，并首次揭示了這類問題與輸運方程、流映射正則性之間的深刻聯(lián)系。

然而，對于原版Lions問題中 的情況(即流體區(qū)域外是完全真空)，依然需要一些額外的技術(shù)假設(shè)，比如對初始速度施加一個很強的“相容性條件”[6]。Lions提出的原始問題——在沒有任何額外假設(shè)下， 時弱解是否保持邊界正則性——依然懸而未決。

主要結(jié)果

我們發(fā)表在 Science China Mathematics 的論文[2]主要證明了以下結(jié)果。

1. 構(gòu)建了極其一般條件下的整體強解

首先，我們在沒有任何相容性條件的假設(shè)下，證明了只要初始密度 且不恒為零，初始速度 ，那么二維非勻質(zhì)Navier-Stokes方程就存在整體強解。

1. 證明了Lions弱解與強解的唯一性，徹底解決密度斑塊問題

在此基礎(chǔ)上，如果初始密度 滿足以下兩個非常寬松的條件之一：

(H1) 具有緊支集(例如，一個有限的密度斑塊)；

(H2) 在任何固定的球內(nèi)都有均勻的正質(zhì)量(例如，允許有可數(shù)無窮多個大小相同的真空氣泡)。

那么，我們證明了“弱強唯一性”：由Lions構(gòu)造的整體弱解，與本文構(gòu)造的整體強解是完全相同的。這個結(jié)論至關(guān)重要，因為強解具有更好的正則性，其密度由初始密度沿著速度場的流映射輸運得到，即 。由此，我們得到了一系列漂亮的推論，徹底回答了Lions的提問：

推論. 對于初始密度為 或者 的密度斑塊( 是一個具有 邊界的有界區(qū)域，其中 )，Lions意義下的弱解是唯一的，并且滿足 ，其中 。更重要的是， 的邊界與初始區(qū)域 一樣光滑(即保持 正則性)。

這意味著，即使流體內(nèi)部存在真空，密度不連續(xù)的分界面也會像一個被拉拽的光滑曲面一樣，始終保持其光滑性，而不會產(chǎn)生新的奇點。這正是對Lions問題的完美解答。

我們在論文[2]中發(fā)展的方法和思想具有高度普適性，引發(fā)了大量后續(xù)相關(guān)研究。在近期發(fā)表于International Mathematics Research Notices的論文[3]中，我們解決了Lions在他的專著[5]中提出的另一個公開問題：在臨界框架下，二維非勻質(zhì)Navier-Stokes方程的Lions弱解在初始密度遠(yuǎn)離真空情形下的唯一性。同時，我們在論文[3]中首次將Fujita-Kato小初值理論完整推廣至三維非勻質(zhì)Navier-Stokes方程。

【參考文獻(xiàn)】

[1] Chemin J-Y. Persistance de structures geometriques dans les fluides incompressibles bidimensionnels. Ann Sci Ecole Norm Sup (4), 1993, 26: 517--542

[2] Hao T T, Shao F, Wei D Y, et al. On the density patch problem for the 2-D inhomogeneous Navier-Stokes equations. Sci. China Math., 2026, 69, https://doi.org/10.1007/s11425-025-2505-y

[3] Hao T T, Shao F, Wei D Y, et al. Global well-posedness of inhomogeneous Navier-Stokes equations with bounded density. Int. Math. Res. Not. IMRN 2025, Paper No. rnaf283, 26 pp

[4] Liao X, Zhang P. Global regularity of 2D density patches for viscous inhomogeneous incompressible flow with general density: low regularity case. Comm. Pure Appl. Math., 2019, 72: 835--884

[5] Lions P-L. Mathematical topics in fluid mechanics, volume 1, Incompressible models. Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, vol. 3. Oxford: Clarendon Press, 1996

[6] Prange C, Tan J. Free boundary regularity of vacuum states for incompressible viscous flows in unbounded domains. To appear in Amer. J. Math.; arXiv:2310.09288, 2023

作者簡介

郝田田，山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院助理研究員。主要研究興趣為偏微分方程，尤其是流體力學(xué)方程的適定性理論。2025年加入山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院。

邵鋒，北京大學(xué)2021級基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)直博生，研究方向為偏微分方程。

韋東奕，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院長聘副教授、研究員、博士生導(dǎo)師。韋東奕研究員的研究聚焦于偏微分方程的數(shù)學(xué)理論，在流體力學(xué)方程、非線性波動方程、奇點分析與穩(wěn)定性問題等領(lǐng)域取得了具有國際影響力的研究成果。

章志飛，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院博雅特聘教授、博士生導(dǎo)師。章志飛教授的研究專注于偏微分方程的理論領(lǐng)域，尤其在流體動力學(xué)方程的適定性理論、液晶的數(shù)學(xué)理論以及流動穩(wěn)定性與邊界層的數(shù)學(xué)理論等方面取得了卓越成果。

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來源：中國科學(xué)數(shù)學(xué)

（本文編輯：劉四旦）

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