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AIM SQuaRE的準(zhǔn)晶體譜理論研究項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)結(jié)合非周期鑲嵌（非周期密鋪）與圖論，借助圖拉普拉斯算子探究準(zhǔn)晶體特性，成果豐碩，還引出了待解的鑲嵌圖案譜特性問(wèn)題。

作者：Michelle Manes（米歇爾?梅恩斯）

AIM（美國(guó)數(shù)學(xué)研究所）副主任 2026-1

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-4-11

美國(guó)數(shù)學(xué)研究所（AIM）的 SQuaRE 項(xiàng)目 “準(zhǔn)晶體譜理論”，于2022年1月至2024年10月間共召開(kāi)三次研討會(huì)。研究團(tuán)隊(duì) —— 成員包括萊斯大學(xué)的戴維?達(dá)馬尼克（ David Damanik ）、弗吉尼亞理工大學(xué)的馬克?恩布里（ Mark Embree ）、得克薩斯農(nóng)工大學(xué)的杰克?菲爾曼（ Jake Fillman ）、加州大學(xué)歐文分校的安東?戈羅捷茨基（ Anton Gorodetski ）以及丹尼森大學(xué)的梅?梅（ May Mei ） —— 力求開(kāi)發(fā)新的工具、技術(shù)與思路，以加深對(duì)準(zhǔn)晶體數(shù)學(xué)模型的理解。該SQuaRE項(xiàng)目成果豐碩，三次研討會(huì)期間產(chǎn)出了12篇預(yù)印本與正式論文，另有至少3篇研究成果正在撰寫(xiě)中。

準(zhǔn)晶體（quasicrystals）是一類(lèi)具備奇異材料特性與數(shù)學(xué)特征的新型物質(zhì)。我們熟知的晶體（如鉆石、食鹽）的原子排列呈三維網(wǎng)格結(jié)構(gòu)：原子在三個(gè)獨(dú)立方向上呈規(guī)則間距分布。此外，這類(lèi)晶體在原子層面具有二次、三次、四次或六次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性。準(zhǔn)晶體與上述晶體有部分共性，即其對(duì)稱(chēng)圖案可鋪滿(mǎn)整個(gè)空間。二者的區(qū)別在于：準(zhǔn)晶體中原子的排布僅為近似規(guī)則，而非完全規(guī)則；同時(shí)，準(zhǔn)晶體可具有五次、十次或十二次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性。

準(zhǔn)晶體是介于無(wú)固定原子結(jié)構(gòu)的非晶態(tài)固體（如玻璃）與具有規(guī)則原子晶格的晶體（如鉆石）之間的物質(zhì)。它硬度高、摩擦小、導(dǎo)熱導(dǎo)電性差，廣泛用于不粘鍋、手術(shù)器械、LED 等產(chǎn)品，獨(dú)特性質(zhì)使其在量子力學(xué)等領(lǐng)域極具應(yīng)用潛力。 丹尼森大學(xué)官網(wǎng)2026.3.3報(bào)道—— 數(shù)學(xué)系教授梅梅參與準(zhǔn)晶體研究，準(zhǔn)晶體數(shù)學(xué)模型有望推動(dòng)量子力學(xué)系統(tǒng)等領(lǐng)域的應(yīng)用

1982年，美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院（NIST）的科學(xué)家丹?謝赫特曼（Dan Shechtman）在研究鋁錳合金時(shí)，觀測(cè)到了令人意外的衍射圖案，他在實(shí)驗(yàn)記錄本上針對(duì)其中一項(xiàng)觀測(cè)結(jié)果寫(xiě)下 “十次對(duì)稱(chēng)？？？” （10 fold???）的疑問(wèn)。

丹?謝赫特曼在美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院（NIST）的實(shí)驗(yàn)記錄本中，記載了首次觀測(cè)到具有十次對(duì)稱(chēng)性晶體的相關(guān)數(shù)據(jù)。

圖源：丹?謝赫特曼

該衍射圖案表明材料具有十次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，但當(dāng)時(shí)學(xué)界普遍認(rèn)為，晶體不可能存在這種對(duì)稱(chēng)性。（謝赫特曼日后憑借這一發(fā)現(xiàn)榮獲諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。）

1985年于美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院（NIST）召開(kāi)的研討會(huì)上，謝赫特曼（左）正在闡釋準(zhǔn)晶體的原子結(jié)構(gòu)。

圖源：Wikimedia

幾乎在同一時(shí)期，物理學(xué)家保羅?斯坦哈特（Paul Steinhardt）提出了存在五次對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)晶體的假說(shuō)，最終他發(fā)現(xiàn)了兩種天然準(zhǔn)晶體 —— 二十面體準(zhǔn)晶與十邊形準(zhǔn)晶。2023年，多倫多大學(xué)與麻省理工學(xué)院的研究人員成功制備出超導(dǎo)石墨烯準(zhǔn)晶體。

鑒于準(zhǔn)晶體的物理起源與潛在應(yīng)用價(jià)值，學(xué)界對(duì)與其相關(guān)的量子力學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生了濃厚興趣。在數(shù)學(xué)層面，這一研究方向?qū)?yīng)譜（spectral）問(wèn)題的探究，這類(lèi)問(wèn)題與化學(xué)家用于分析物質(zhì)結(jié)構(gòu)的衍射圖案具有相似性。譜問(wèn)題的研究范疇廣泛，每一類(lèi)譜問(wèn)題都對(duì)應(yīng)一種自伴算子（self-adjoint operator）的選擇。

上文提及的準(zhǔn)晶體均為三維物質(zhì)，但深入理解一維與二維準(zhǔn)晶體的數(shù)學(xué)特性，是研究三維準(zhǔn)晶體的重要中間步驟。該 SQuaRE 項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)從一維準(zhǔn)晶體入手，通過(guò)研究算子的遍歷族及其譜隙展開(kāi)探索 —— 這是一個(gè)已活躍多年且成果顯著的研究方向。團(tuán)隊(duì)的一項(xiàng)重要新貢獻(xiàn)，是對(duì)以平面非周期鑲嵌（即不具備平移對(duì)稱(chēng)性的鑲嵌圖案，aperiodic tilings of the plane，鑲嵌也稱(chēng)密鋪、平鋪）為模型的高維準(zhǔn)晶體展開(kāi)研究。

1961年，王浩首次提出了平面非周期鑲嵌的概念。1970年代初，羅杰?彭羅斯（Roger Penrose）提出了一種極具影響力的非周期鑲嵌方案，該方案僅需兩種不同的瓷磚即可實(shí)現(xiàn)平面鑲嵌。盡管這兩種瓷磚本身可用于構(gòu)造周期性平面鑲嵌，但通過(guò)為瓷磚間的拼接方式設(shè)定匹配規(guī)則，就能強(qiáng)制形成非周期鑲嵌結(jié)構(gòu)。（值得一提的是，這些嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)描述，其實(shí)早于伊斯蘭裝飾圖案中出現(xiàn)的類(lèi)似非周期鑲嵌設(shè)計(jì) —— 相關(guān)鏈接：https://www.sciencenews.org/article/ancient-islamic-penrose-tiles-0 。）彭羅斯鑲嵌是一種二維結(jié)構(gòu)，它與自然界中發(fā)現(xiàn)的準(zhǔn)晶體有諸多共性，其中就包括五次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性。將準(zhǔn)晶體的數(shù)學(xué)研究從一維拓展至二維是一項(xiàng)極具挑戰(zhàn)性的工作，因?yàn)檫m用于一維研究的諸多工具在二維場(chǎng)景下不再適用。

2024年，該SQuaRE項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)在《實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)》Experimental Mathematics期刊發(fā)表論文《彭羅斯鑲嵌與阿曼 - 賓克爾鑲嵌對(duì)應(yīng)的拉普拉斯算子的積分態(tài)密度間斷性》Discontinuities of the integrated density of states for Laplacians associated with Penrose and Ammann–Beenker tilings https://arxiv.org/abs/2209.01443，研究了多種彭羅斯鑲嵌（以及知名度較低的阿曼 - 賓克爾鑲嵌）所對(duì)應(yīng)的圖拉普拉斯算子（graph Laplacian）。

準(zhǔn)晶體的構(gòu)造方法

構(gòu)造彭羅斯鑲嵌的方法之一是運(yùn)用替代規(guī)則。以菱形彭羅斯鑲嵌為例，構(gòu)造過(guò)程從 0 級(jí)開(kāi)始：將五個(gè) “厚菱形” 拼接成星形結(jié)構(gòu)。

隨后反復(fù)應(yīng)用兩條替代規(guī)則：

當(dāng)出現(xiàn) “厚菱形” 時(shí)，按特定結(jié)構(gòu)將其替換為三個(gè)厚菱形與兩個(gè)薄菱形；

當(dāng)出現(xiàn) “薄菱形” 時(shí)，按特定結(jié)構(gòu)將其替換為兩個(gè)厚菱形與兩個(gè)薄菱形。

通過(guò)不斷迭代這些替代規(guī)則，平面上的鑲嵌圖案會(huì)逐步擴(kuò)展。我們可以設(shè)想持續(xù)這一過(guò)程，在極限情況下，整個(gè)平面將被非周期鑲嵌圖案完全覆蓋。

1級(jí)與2級(jí)鑲嵌結(jié)構(gòu)

鑲嵌百科全書(shū)中詳細(xì)記載了這些替代規(guī)則的具體內(nèi)容，相關(guān)鏈接：https://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution/penrose-rhomb/ 。最早對(duì)這類(lèi)結(jié)構(gòu)展開(kāi)研究的數(shù)學(xué)物理學(xué)家團(tuán)隊(duì)由Takeo Fujiwara、Masao Arai、Tetsuji Tokihiro、Mahito Kohmoto組成，他們于1988年在《物理評(píng)論 B》期刊發(fā)表論文《二維彭羅斯晶格中電子的局域態(tài)與自相似態(tài)》Localized states and self-similar states of electrons on a two-dimensional Penrose lattice，闡述了相關(guān)研究成果。 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.37.2797

利用圖論研究非周期鑲嵌

該SQuaRE項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)將每一種鑲嵌圖案與一個(gè)圖相對(duì)應(yīng)，這一方法使他們能夠運(yùn)用圖論領(lǐng)域的強(qiáng)大工具展開(kāi)研究。構(gòu)造鑲嵌圖案對(duì)應(yīng)圖的規(guī)則如下：將鑲嵌圖案中的每個(gè)多邊形視為圖的頂點(diǎn)；當(dāng)兩個(gè)多邊形共享至少一條邊時(shí)，就在對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頂點(diǎn)之間連接一條邊。下圖展示了0級(jí)、1級(jí)與2級(jí)鑲嵌圖案分別對(duì)應(yīng)的圖結(jié)構(gòu)。

0級(jí)、1級(jí)與2級(jí)鑲嵌分別對(duì)應(yīng)的圖結(jié)構(gòu)

圖論中有一個(gè)著名的自伴算子（self-adjoint operator），即圖拉普拉斯算子（graph Laplacian.）。將該算子作用于函數(shù)f時(shí)，其計(jì)算結(jié)果為函數(shù)f在每個(gè)頂點(diǎn)處的取值，與該頂點(diǎn)所有相鄰頂點(diǎn)上函數(shù)f取值平均值的差值之和。這一算子是在圖結(jié)構(gòu)中求解 “波動(dòng)” 問(wèn)題的離散化對(duì)應(yīng)工具。

更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義如下：設(shè)Γ=(V,E)為一個(gè)圖，其中V為頂點(diǎn)集，E為邊集；若頂點(diǎn)u與v相鄰，則記為u～v。那么圖拉普拉斯算子ΔΓ?的定義為：

圖拉普拉斯算子的實(shí)用價(jià)值在于，我們能夠通過(guò)該算子的特性 —— 尤其是其特征值與特征向量 —— 推導(dǎo)圖的結(jié)構(gòu)信息。例如，著名的 “聽(tīng)鼓辨形” 問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上可轉(zhuǎn)化為：兩個(gè)平面區(qū)域若具有相同的拉普拉斯算子特征值（即相同的譜spectrum），那么這兩個(gè)區(qū)域是否在幾何結(jié)構(gòu)上完全一致？（研究結(jié)果表明，答案是否定的。）

該 SQuaRE 項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)通過(guò)對(duì)無(wú)限圖進(jìn)行有限層級(jí)截?cái)啵ɡ?，前文所述的每一?jí)鑲嵌圖案都對(duì)應(yīng)一個(gè)有限圖），進(jìn)而研究無(wú)限圖的拉普拉斯算子。在團(tuán)隊(duì)發(fā)表的論文中，作者給出了這些截?cái)嗬绽顾阕拥?strong>特征函數(shù)（eigenfunctions） —— 這類(lèi)定義在圖上的函數(shù)，經(jīng)拉普拉斯算子作用后僅表現(xiàn)為簡(jiǎn)單的縮放變換。令人略感意外的是，這些特征函數(shù)具有局部支撐性（locally supported），即它們僅在圖的一個(gè)局部小區(qū)域內(nèi)取非零值，而在圖的絕大多數(shù)頂點(diǎn)上取值均為零。這一特性與二維鼓面的振動(dòng)模式形成鮮明對(duì)比：鼓面被敲擊后，除了被稱(chēng)為節(jié)線(xiàn)（nodal lines）的特定曲線(xiàn)外，其余區(qū)域均會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)。

以前文所述的菱形彭羅斯鑲嵌為例，若在現(xiàn)有鑲嵌層級(jí)基礎(chǔ)上再迭代兩次，得到5級(jí)鑲嵌結(jié)構(gòu)，此時(shí)可得到四個(gè)具有局部支撐性的特征函數(shù)。如下圖所示：特征函數(shù)在深藍(lán)色瓷磚對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)上取值為 +1，在深紅色瓷磚對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)上取值為 -1，在淺藍(lán)色瓷磚對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)上取值為 +1/2?，在淺紅色瓷磚對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)上取值為 -1/2?，在所有未著色瓷磚對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)上取值為 0。上述每個(gè)特征函數(shù)對(duì)應(yīng)的特征值（能量值）均為E=6。

5級(jí)結(jié)構(gòu)、能量值為6的局部支撐特征函數(shù)

該論文融合了理論分析與數(shù)值計(jì)算方法，作者在論文中指出：“這些研究結(jié)果引出了一系列關(guān)于非周期鑲嵌拉普拉斯算子譜特性的問(wèn)題，我們已將這些問(wèn)題整理歸納在論文末尾?！?研究團(tuán)隊(duì)未來(lái)還有大量有趣的工作亟待開(kāi)展，他們將繼續(xù)圍繞這些問(wèn)題，以及其他鑲嵌圖案的譜特性展開(kāi)深入探索。 https://arxiv.org/pdf/2209.01443

術(shù)語(yǔ)與專(zhuān)有名詞標(biāo)注說(shuō)明

AIM SQuaRE：美國(guó)數(shù)學(xué)研究所（AmericanInstitute ofMathematics）的研討項(xiàng)目，全稱(chēng)為StructuredQuartetResearchEnsemble

quasicrystal：準(zhǔn)晶體（一種不具備平移對(duì)稱(chēng)性但具有長(zhǎng)程取向有序的固態(tài)物質(zhì)）

aperiodic tiling：非周期鑲嵌（無(wú)法通過(guò)平移變換重合的平面 / 空間填充圖案）

graph Laplacian：圖拉普拉斯算子（代數(shù)圖論與譜圖論的核心算子）

self-adjoint operator：自伴算子（希爾伯特空間中與自身伴隨算子相等的線(xiàn)性算子）

integrated density of states：積分態(tài)密度（描述固體電子態(tài)密度隨能量變化的累積函數(shù)）

substitution rule：替代規(guī)則（構(gòu)造分形、非周期鑲嵌的核心方法之一）

locally supported：局部支撐性（函數(shù)僅在定義域內(nèi)有限區(qū)域取非零值的特性）

參考資料

https://drive.google.com/file/d/1KwaDsFdQK4AXIOuB3eHAvyfAI3N7brou/view

https://aimath.org/aimnews/newsletter/

https://arxiv.org/abs/2209.01443

https://www.sciencenews.org/article/ancient-islamic-penrose-tiles-0

https://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution/penrose-rhomb/

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.37.2797

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