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馬克斯?比爾畫作《黃色方塊》中的洛書幻方點(diǎn)化設(shè)計(jì)，引發(fā)出幻方點(diǎn)化數(shù)學(xué)問題，作者證明偶階幻方無法點(diǎn)化，通過算法與工具驗(yàn)證奇階幻方大概率可點(diǎn)化，拓展出泛對角線點(diǎn)化、雙點(diǎn)化等衍生方向，展現(xiàn)了藝術(shù)與數(shù)學(xué)的跨界關(guān)聯(lián)。

作者：Barry Cipra（巴里?西普拉）

明尼蘇達(dá)州諾斯菲爾德的數(shù)學(xué)家與自由數(shù)學(xué)作家

AMS Notices美國數(shù)學(xué)會通告 2026-5

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-4-14

我正在訓(xùn)練自己，在嚴(yán)格限定的邊界內(nèi)，盡我所能地解決我為自己設(shè)定的某些問題。

—— 馬克斯?比爾

新的數(shù)學(xué)問題可以來自形形色色的地方 —— 甚至來自一幅七十八年前的畫作。不久前，我正在翻閱一本關(guān)于瑞士藝術(shù)家、建筑師與設(shè)計(jì)師馬克斯?比爾（Max Bill，1908–1994）的畫冊。比爾與包豪斯（Bauhaus）學(xué)派關(guān)系密切，以將數(shù)學(xué)作為藝術(shù)創(chuàng)作基礎(chǔ)而聞名。他1948年的文章《我們時代視覺藝術(shù)中的數(shù)學(xué)思維方式》The Mathematical Way of Thinking in the Visual Art of Our Time被廣泛引用，其英譯本收錄于《視覺心智》The Visual Mind一書中。

他的許多畫作具有明確的幾何特征；其中一幅描繪嵌套多邊形的作品，被用作《美國數(shù)學(xué)會通告》2024年4月刊的封面（詳情參閱）。在谷歌圖片中搜索 “馬克斯?比爾”，還能看到更多作品。

我當(dāng)時翻閱的是2016年比爾大型回顧展的圖錄，收錄了他大量幾何風(fēng)格作品。但第一眼望去，真正吸引我的作品，看上去不過是一個巨大的黃色正方形；見圖 1。

圖1馬克斯?比爾 1948 年的畫作《黃色方塊》gelbes feld。仔細(xì)看！

它的標(biāo)題《黃色方塊》（gelbes feld）直白明了：黃色的場域。這幅畫作現(xiàn)藏于瑞士溫特圖爾美術(shù)館，是邊長 81 厘米的方形畫布，創(chuàng)作于 1948 年。我第一反應(yīng)是想翻頁，但不知為何停了下來。隨后我注意到，《黃色方塊》并非只有黃色：上面散布著細(xì)小的點(diǎn)。一旦看見這些點(diǎn)，我立刻明白了它們的含義：就像骰子或骨牌上的點(diǎn)數(shù)（pip）代表數(shù)字 1 到 9 一樣，《黃色方塊》中的點(diǎn)，代表著經(jīng)典洛書三階幻方中的數(shù)字；見圖 2。

圖2比爾的點(diǎn)（已放大）并添加網(wǎng)格線（左）；突出顯示洛書數(shù)字（右）

這算不上驚人發(fā)現(xiàn)。作為對數(shù)學(xué)感興趣的人，比爾很可能了解幻方，盡管我在所有關(guān)于他的資料中都未找到相關(guān)記載。而且肯定也有人在《黃色方塊》中發(fā)現(xiàn)過洛書，只是我同樣未見相關(guān)記錄。

但緊接著，另一個細(xì)節(jié)吸引了我：數(shù)字 4 出現(xiàn)在右下角的方式，并非骰子或骨牌上的常規(guī)表示法。表示數(shù)字 4 的 “標(biāo)準(zhǔn)” 方式是在四個角布點(diǎn)，而非四條邊的中點(diǎn)。這一藝術(shù)處理讓我感到困惑。直到一個可能的解釋突然浮現(xiàn)：比爾的排布方式，使得每一行、每一列、兩條主對角線上的點(diǎn)數(shù)恰好都是 5。我用點(diǎn)化（pipification）一詞描述這種幻方表示法：在 n×n 幻方的每個單元格內(nèi)，再用 n×n 小格布點(diǎn)表示數(shù)字，使得整體每行、每列、每條對角線上的總點(diǎn)數(shù)都相等；見圖 3。

圖3數(shù)一數(shù)點(diǎn)數(shù)

這是一個值得關(guān)注的發(fā)現(xiàn)。比爾是否刻意為之尚不確定；沒有日記或?qū)懡o畫廊的信件佐證，我們無法確知他的藝術(shù)意圖。他或許另有想法 —— 我很樂意聽到其他解釋。但無論如何，我在《黃色方塊》中發(fā)現(xiàn)的 “全為 5” 性質(zhì)，立刻為幻方研究提出了一系列可能全新的問題。具體而言：所有幻方都可以被 “點(diǎn)化” 嗎？

如果比爾確實(shí)是為了 “全為 5” 的性質(zhì)而排布點(diǎn)數(shù)，那么他實(shí)際上為三階幻方提出并解決了一個數(shù)學(xué)問題。我猜測他是刻意為之，卻未必意識到自己做出了原創(chuàng)性工作。這對他而言可能只是靈光一現(xiàn) —— 試試給這個排布加上 “全為 5” 的額外性質(zhì) —— 他發(fā)現(xiàn)并不難，于是就這么做了。我的猜測基于一個事實(shí)：我自己也能輕松想出比爾排布的幾種替代方案?；蛟S值得投入時間與精力，對三階幻方的所有點(diǎn)化方式進(jìn)行計(jì)數(shù)與分類。

我并非比爾研究專家，因此可能早已有人注意到《黃色方塊》中的 “全為 5” 性質(zhì)，無論是否從數(shù)學(xué)角度深入挖掘。我也不是幻方專家，因此點(diǎn)化幻方的概念，或許早已存在于浩如煙海的幻方文獻(xiàn)中。我只能說，在常見文獻(xiàn)中未見任何蹤跡。因此，我傾向于將點(diǎn)化視為一個藏在畫作中的全新數(shù)學(xué)問題。如果有人知道并非如此，我希望他們先保密（認(rèn)真的話，歡迎告知《AMS通告》編輯部?。?。

無論如何，核心問題依然存在：所有幻方都可以被點(diǎn)化嗎？

簡短回答：不能。

稍詳細(xì)一點(diǎn)：任何偶階幻方都無法被點(diǎn)化。原因是，數(shù)字 1 到 n2 的和為 n2(n2+1)/2；由于點(diǎn)分布在 n2×n2 的網(wǎng)格中，我們需要每行每列有 (n2+1)/2 個點(diǎn)。但當(dāng) n 為偶數(shù)時，n2+1 是奇數(shù)，這就要求出現(xiàn)半整數(shù)個點(diǎn)，顯然不可能。

但這仍留下半個核心問題：所有奇階幻方都可以被點(diǎn)化嗎？

答案似乎是可以，但證據(jù)尚不穩(wěn)固。有一個不算扎實(shí)的結(jié)果值得寫成定理：

定理

任何奇階幻方都可以被半點(diǎn)化。也就是說，對任意奇階幻方，可用點(diǎn)表示每個單元格中的數(shù)字，使得每行、每列恰好有 (n2+1)/2 個點(diǎn)。

這里的術(shù)語借用自幻方文獻(xiàn)：“半幻方” 不要求對角線滿足條件。

證明

采用 “懶人算法”：先在每行的前 (n2+1)/2 列布點(diǎn)，然后 “偷懶地” 向右移動點(diǎn) —— 僅在必要時移動 —— 直到每個單元格的點(diǎn)數(shù)正確。我表述得比較模糊，因?yàn)?“偷懶” 的方式有很多種，且看起來全都有效。如果你不喜歡這種證明風(fēng)格，不妨自行設(shè)計(jì)更精確的方法。隨后，在每個單元格列內(nèi)，繼續(xù)偷懶地向右移動點(diǎn)，保持在指定行與單元格內(nèi)，直到每列點(diǎn)數(shù)正確。

圖4 展示了對一個隨機(jī)選取的五階幻方執(zhí)行懶人算法的關(guān)鍵步驟。做到這一步后，我數(shù)了主對角線上的點(diǎn)數(shù)，驚喜地發(fā)現(xiàn)恰好是13個 —— 正是期望的數(shù)量！我興奮地去數(shù)另一條副對角線。

該死：14個點(diǎn)。

圖4 半點(diǎn)化幻方的關(guān)鍵步驟。右上示例在單元格樣本行中布點(diǎn)的步驟；左下顯示所有行的結(jié)果；右下顯示最終結(jié)果，每列點(diǎn)數(shù)正確。虛線用于輔助數(shù)兩條對角線上的點(diǎn)。

好吧，還能指望什么呢？但隨后我發(fā)現(xiàn)一個巧妙之處：如果在幻方第一行內(nèi)部，交換點(diǎn)的第一行與第五行，就能在不改變主對角線點(diǎn)數(shù)的前提下，從副對角線上去掉一個點(diǎn)；見圖 5。

圖5成功。交換兩行，將半點(diǎn)化結(jié)果變?yōu)橥耆c(diǎn)化幻方。

通過這個簡單調(diào)整，我們終于得到了一個完全點(diǎn)化的五階幻方。值得一提的是，在半點(diǎn)化幻方中，任意 n 行或 n 列內(nèi)部的自由置換，都不會破壞半點(diǎn)化性質(zhì)。因此，以 n=5 為例，存在 1201?≈6.19×102?種機(jī)會讓兩條對角線符合要求。我立刻找到一種簡單置換，這表明（雖非嚴(yán)格證明）有大量方法可將半點(diǎn)化轉(zhuǎn)化為完全點(diǎn)化。

值得強(qiáng)調(diào)的是，我從網(wǎng)上隨機(jī)選取的五階幻方，恰好是泛對角線（pan-diagonal）幻方：不僅兩條主對角線，所有斷開的對角線之和也等于幻和。顯然，我們可以要求泛對角線幻方實(shí)現(xiàn)泛對角線點(diǎn)化，但前述置換方法看起來行不通。不那么顯然的是，我們也可以要求非泛對角線幻方實(shí)現(xiàn)泛對角線點(diǎn)化。但答案明確：并非總能做到。例如，洛書中穿過 7、9、8 的對角線，點(diǎn)數(shù)不可能少于 6。

不過，我們不必完全放棄希望，因?yàn)檫€有另一種點(diǎn)化幻方的方法，基于以下觀察：

觀察

點(diǎn)化問題可表述為二元整數(shù)規(guī)劃問題。即將點(diǎn)視為 n2×n2 的 0-1 矩陣中的 1，對應(yīng) n?個二元變量 x?,?到 x??,??，滿足：

• n2 個約束：每個單元格內(nèi)的和；

• 另 n2 個約束：n2 行中每行的點(diǎn)數(shù)；

• 另 n2 個約束：n2 列中每列的點(diǎn)數(shù)；

• 2 個約束：兩條主對角線的點(diǎn)數(shù)（若要求泛對角線，則為 2n2 個約束）。

在此過程中，我請教了歐柏林學(xué)院的數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)藝術(shù)家鮑勃?博施（Bob Bosch），他運(yùn)用最優(yōu)化理論創(chuàng)作所謂 “最優(yōu)藝術(shù)（Opt Art）”，詢問他能否從二元整數(shù)規(guī)劃角度研究點(diǎn)化問題。他成功地點(diǎn)化了另外兩個從網(wǎng)上找到的五階幻方。這為核心問題的肯定回答提供了又一條不算穩(wěn)固的證據(jù)。

博施的回復(fù)及時出現(xiàn)在我 2025年1月聯(lián)合數(shù)學(xué)會議的報(bào)告中。巧合的是，他也向該會議藝術(shù)展提交了自己的幻方作品：一個 81×81 棋盤上的騎士巡游，內(nèi)嵌洛書，用類點(diǎn)形式（但非 “點(diǎn)化”）表示數(shù)字 —— 即采用骰子或骨牌的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)表示法。最近，博施用 11×11 騎士巡游組合，完成了他自己的比爾風(fēng)格洛書點(diǎn)化；見圖 6。英雄所見略同，不是嗎？

圖6鮑勃?博施原創(chuàng)作品。用 11×11 騎士巡游組合實(shí)現(xiàn)的洛書點(diǎn)化。

同年8月，我在紐約國家數(shù)學(xué)博物館 MOVES 會議上再次做了關(guān)于《黃色方塊》的報(bào)告。英國什羅普郡的軟件設(shè)計(jì)師羅賓?休斯頓（Robin Houston）出席了會議。休斯頓隨后報(bào)告，他使用谷歌的CP-SAT 工具（約束規(guī)劃 + 可滿足性問題，計(jì)算復(fù)雜性理論中判斷布爾表達(dá)式能否可滿足的技術(shù)術(shù)語，CP = Constraint Programming, SAT = SATisfiability），成功點(diǎn)化了 7×7、9×9、11×11 的樣本幻方。我請休斯頓檢驗(yàn)我的泛對角線五階幻方能否被泛點(diǎn)化。他給出了兩個泛點(diǎn)化解；見圖 7。

圖7羅賓?休斯頓找到的泛對角線點(diǎn)化解，單元格內(nèi)具有額外鏡像對稱性。

休斯頓指出，這兩個解分別附加了一組約束：一個要求所有單元格內(nèi)的點(diǎn)具有垂直鏡像對稱，另一個要求水平鏡像對稱。他說，他曾嘗試同時要求兩種鏡像對稱，但 CP-SAT 工具顯示無法實(shí)現(xiàn)。這大概率意味著，確實(shí)不存在同時具備該性質(zhì)的泛對角線點(diǎn)化。但除了工具的判斷，我們更希望有嚴(yán)格證明。單元格內(nèi)的點(diǎn)沒有明顯理由不能具備雙重鏡像對稱 —— 讀者可能已經(jīng)注意到，《黃色方塊》中的點(diǎn)就是如此。

一般而言，點(diǎn)化的 “能 / 不能” 問題屬于所謂NP 類問題：求解可能極難，但驗(yàn)證一個解是否正確總是很容易。若答案為 “能”，給出點(diǎn)化即可輕松證明；若答案為 “不能”，證明否定結(jié)論的難度則無法預(yù)估。還要注意，即便存在定理稱所有幻方都可被點(diǎn)化，尋找具體點(diǎn)化方式的任務(wù)理論上仍可能很困難?！禔MS通告》的老讀者或許知道，素性測試的 “是 / 否” 問題已被證明可在多項(xiàng)式時間內(nèi)解決（AKS 算法），但大合數(shù)分解的難題，暫時仍難以攻克。

目前研究現(xiàn)狀大致如此：核心問題的答案很可能是肯定的—— 所有奇階幻方都可以被點(diǎn)化，甚至可能存在直接生成點(diǎn)化幻方的算法。至少，正如休斯頓在郵件中所說，或許存在算法能生成任意給定（奇數(shù)）階的點(diǎn)化幻方，就像已有算法生成任意階幻方一樣。泛點(diǎn)化（至少對泛對角線幻方）與單元格內(nèi)鏡像對稱等附加性質(zhì)，也很可能存在。

我以最后一點(diǎn)思考收尾。圣克魯茲的數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)作家達(dá)納?麥肯齊（Dana Mackenzie）出席了我 2025 年聯(lián)合數(shù)學(xué)會議關(guān)于《黃色方塊》的報(bào)告，他會后表示，盡管我已證明不可能，偶階幻方仍應(yīng)該有辦法被點(diǎn)化。畢竟，負(fù)數(shù)不能開平方，但后來……

我們討論了這個想法，提出一種讓偶階點(diǎn)化有意義的重新解釋：將幻方中所有數(shù)字加倍，然后把 0-1 二元整數(shù)問題改為0-1-2 三元整數(shù)問題—— 允許在每個位置放兩個點(diǎn)，而非只能放一個。后來我請休斯頓在丟勒（Albrecht Dürer）著名版畫《憂郁 Ⅰ》Melencolia I中的四階幻方上測試這一想法；見圖 8。

圖8丟勒《憂郁 Ⅰ》及其四階幻方。

他給出了肯定結(jié)果；見圖 9。

圖9丟勒幻方的雙點(diǎn)化。

我在2026年JMM聯(lián)合數(shù)學(xué)會議關(guān)于點(diǎn)化研究的更新報(bào)告中介紹了這一成果，布林莫爾學(xué)院的數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)藝術(shù)家薩拉 - 瑪麗?貝爾卡斯特羅（Sarah-Marie Belcastro）指出，這應(yīng)該用比爾的風(fēng)格呈現(xiàn)。她隨即創(chuàng)作了一個引人注目的版本；見圖 10。

圖10薩拉 - 瑪麗?貝爾卡斯特羅重新設(shè)計(jì)的丟勒雙點(diǎn)化幻方：用兩種深淺綠色表示 2，橙色與淺黃色表示 1。

在她的雙點(diǎn)化四階幻方中，貝爾卡斯特羅融入了我尚未提及的《黃色方塊》的一個細(xì)節(jié)：比爾的點(diǎn)并非同色。有些偏橘色，有些呈淺綠或灰色。我也注意到了這一點(diǎn)（讀者或許也已發(fā)現(xiàn)），但出于兩個原因未深入探究：第一，點(diǎn)化問題本身已有足夠數(shù)學(xué)內(nèi)涵；第二，我看到的是《黃色方塊》的復(fù)制品而非原作，盡管如今技術(shù)精良，色彩未必能忠實(shí)還原。我很可能忽略了比爾點(diǎn)化中同樣甚至更有趣的細(xì)節(jié)；我鼓勵讀者去探究。但嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯炕蛟S需要親自前往溫特圖爾美術(shù)館。

另一個尾聲：我之所以能在《黃色方塊》中一眼看出洛書，或許是因?yàn)槲以?1990 年代左右設(shè)計(jì)過一個基于洛書的圖案；見圖 11。

圖11這是什么？

我把幻方關(guān)聯(lián)留給讀者去發(fā)現(xiàn)。如果你能讀懂我的想法，會發(fā)現(xiàn)這個設(shè)計(jì)思路可輕松推廣到任意階正方形 —— 事實(shí)上，適用于 1 到 n2 的任意 n×n 排列，無論是否為幻方。一方面，這種普適性是吸引人的特點(diǎn)，允許各種藝術(shù)自由；另一方面，這也是一個令人失望的缺陷，因?yàn)樗鼪]有引出任何有趣的未解決問題。如果你碰巧發(fā)現(xiàn)了，務(wù)必告訴我！

最后最后一點(diǎn)：比爾在關(guān)于數(shù)學(xué)思維的文章中，有一句廣為引用的話：“我認(rèn)為，完全基于數(shù)學(xué)思維發(fā)展出一種藝術(shù)是可能的?！?/p>

我們不妨反過來問：我們能否完全基于藝術(shù)思維發(fā)展出一門數(shù)學(xué)？有藝術(shù)傾向的數(shù)學(xué)家可能會脫口而出 “當(dāng)然能”。

但全文閱讀比爾的文章會很有價(jià)值。在下一句話中，他繼續(xù)寫道：“這一觀點(diǎn)，當(dāng)然，激起了最激烈的反對?！?/p>

致謝

作者感謝保羅?佐恩（Paul Zorn）一貫富有洞見的建議。

原文參考文獻(xiàn)

[1] Margit Staber, Max Bill, Methuen 1964.

[2] Max Bill, Fundación Juan March, Madrid, October 16, 2015–January 17, 2016.

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[4] George Hart, What can we say about “math/art”?, Notices Amer. Math. Soc. 71 (2024), no. 4, 520–525.

[5] Frank J. Swetz, Legacy of the luoshu: The 4,000 year search for the meaning of the magic square of order three, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2008.

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[7] Paul C. Pasles, Benjamin Franklin’s numbers: An unsung mathematical odyssey, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2008.

[8] Clifford A. Pickover, The zen of magic squares, circles, and stars: An exhibition of surprising structures across dimensions, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2002.

[9] Lee C.F. Sallows, Geometric magic squares, Dover Publications, Inc., New York, 2013.

[10] Robert Bosch, Opt art: From mathematical optimization to visual design, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2019.

[11] Folkmar Bornemann, PRIMES is in P: a breakthrough for “Everyman”, Notices Amer. Math. Soc. 50 (2003), no. 5, 545–552.

文章 DOI：10.1090/noti3334

參考資料

https://www.ams.org/journals/notices/202605/noti3334/noti3334.html

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