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2026.3.14國際數(shù)學(xué)日IDM"數(shù)學(xué)與希望"網(wǎng)絡(luò)會議主題演講內(nèi)容全文

作者：IDM（國際數(shù)學(xué)日）2026-3-14

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-4-18

開場主持人之一：
貝圖爾?坦貝（Betul Tanbay，IDM）

歡迎來到國際數(shù)學(xué)日IDM！

歡迎參加這場由聯(lián)合國教科文組織（UNESCO）聯(lián)合國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟（IMU）與 Imaginary 數(shù)學(xué)科普組織合作舉辦的線上研討會。

本次研討會的主會場設(shè)立于土耳其的米利都。

若將人類比作一棵根系遍布各大洲的參天大樹，我們完全有理由說，其中一條主根便深植于米利都 —— 這里是哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家泰勒斯（Thales）的故鄉(xiāng)。泰勒斯曾言：“希望是人類最普遍的財富。” 如今，讓我們從米利都出發(fā)，將目光投向人類的另一項(xiàng)普世財富 —— 數(shù)學(xué)，并一同探尋：數(shù)學(xué)何以、又以何種方式為我們的未來賦予希望。

開場主持人之二：

巴薩克?森多甘（ Basak Sendogan，UNESCO）

早上好、下午好、晚上好，向來自世界各地的參會者們問好！

歡迎大家參與這場2026年國際數(shù)學(xué)日線上研討會，本次會議由聯(lián)合國教科文組織、國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟及 Imaginary 聯(lián)合主辦，主題為數(shù)學(xué)與希望。我是巴薩克?森多甘（Basak Sendogan，Ba?ak ?endo?an），很榮幸能與各位相聚于此。

每年的3月14日，全球都會共同慶祝國際數(shù)學(xué)日，以此彰顯數(shù)學(xué)在科學(xué)創(chuàng)新與可持續(xù)發(fā)展中扮演的關(guān)鍵角色。今年 “數(shù)學(xué)與希望” 的主題，引領(lǐng)我們思考：數(shù)學(xué)如何幫助我們洞悉復(fù)雜挑戰(zhàn)，同時為構(gòu)建更具希望的未來提供工具與思路。

會議正式開始，首先，我們將聆聽聯(lián)合國教科文組織自然科學(xué)助理總干事莉迪亞?布里托女士（Miss Lidia Brito）的視頻致辭，視頻即將播放。

莉迪亞?布里托（Lidia Brito）

莉迪亞?阿瑟?布里托（Lidia Arthur Brito）簡介

莉迪亞?阿瑟?布里托（Lidia Arthur Brito）于2023年11月2日被任命為聯(lián)合國教科文組織自然科學(xué)部門助理總干事。自2023年6月起，她便擔(dān)任該職位的代理負(fù)責(zé)人，協(xié)助制定應(yīng)對當(dāng)下環(huán)境挑戰(zhàn)的創(chuàng)新方案。

布里托是一名林業(yè)工程師，擁有美國科羅拉多州立大學(xué)森林與木材科學(xué)專業(yè)的碩士及博士學(xué)位。她出生于莫桑比克，1981年取得林業(yè)工程專業(yè)學(xué)位后，便入職愛德華多?蒙德拉納大學(xué)，自此一直在該校任職。她曾在莫桑比克擔(dān)任多個高級職務(wù)，包括：農(nóng)學(xué)系林業(yè)部門負(fù)責(zé)人（1997-1998年）、愛德華多?蒙德拉納大學(xué)學(xué)術(shù)事務(wù)副校長（1998-2000年）、高等教育與科學(xué)技術(shù)部部長（2000-2005年），以及馬普托市市長戰(zhàn)略規(guī)劃與對外關(guān)系顧問（2005-2008年）。

2009年11月，她加入聯(lián)合國教科文組織，出任巴黎總部自然科學(xué)部門科學(xué)政策與可持續(xù)發(fā)展處處長；2014年，被任命為聯(lián)合國教科文組織拉丁美洲及加勒比地區(qū)科學(xué)事務(wù)區(qū)域主任（駐蒙得維的亞辦事處）。2022年，她開始擔(dān)任聯(lián)合國教科文組織駐津巴布韋哈拉雷南部非洲多部門區(qū)域辦事處主任，同時兼任教科文組織駐博茨瓦納、斯威士蘭、萊索托、馬拉維、莫桑比克、納米比亞、南非、贊比亞和津巴布韋的代表。

她的專業(yè)研究領(lǐng)域廣泛，涵蓋林業(yè)、自然資源可持續(xù)管理，以及作為可持續(xù)發(fā)展公共政策組成部分的高等教育、科學(xué)技術(shù)政策與相關(guān)項(xiàng)目。她曾主持多個高等教育及科技與創(chuàng)新領(lǐng)域的可持續(xù)發(fā)展委員會和專項(xiàng)工作組。她聯(lián)合主持了倫敦 “地球承受極限” 大會的科學(xué)組織委員會，該大會是為籌備里約+20峰會舉辦的重要會議。此外，她還擔(dān)任多個國際理事會成員，包括非洲林業(yè)論壇理事會、高等教育信托基金理事會、斯德哥爾摩環(huán)境研究所理事會以及生物多樣性國際理事會等。2018至2021年，她擔(dān)任拉丁美洲及加勒比開放科學(xué)論壇（CILAC）區(qū)域組織委員會主席，該論壇是通過科技與創(chuàng)新推動可持續(xù)政策制定的核心區(qū)域交流平臺。

參考資料：https://www.un.org/en/os25/lidia_brito

尊敬的各位貴賓、教育工作者、科研人員與同學(xué)們，

大家國際數(shù)學(xué)日快樂！

很高興能在 “數(shù)學(xué)與希望” 的主題下，與各位共慶2026年國際數(shù)學(xué)日。聯(lián)合國教科文組織希望大家認(rèn)識到，數(shù)學(xué)絕非單純的計算工具，更是構(gòu)建自信與充滿希望的未來之基石。自國際數(shù)學(xué)日設(shè)立以來，數(shù)學(xué)作為一門通用語言的特質(zhì)便被不斷凸顯 —— 它跨越國界與學(xué)科，助力人類社會解析復(fù)雜性、應(yīng)對不確定性、構(gòu)想解決方案。

數(shù)學(xué)賦予我們至關(guān)重要的能力，它將問題轉(zhuǎn)化為探索的契機(jī)，將可能性轉(zhuǎn)化為創(chuàng)新的成果。正因如此，數(shù)學(xué)早已超越一門科學(xué)的范疇，成為人類堅信自身有能力塑造未來的力量源泉。

在日常生活中，數(shù)學(xué)更是不可或缺的驅(qū)動力。它優(yōu)化氣候預(yù)測與災(zāi)害預(yù)警體系，指導(dǎo)公共衛(wèi)生策略制定，改善交通、能源利用與資源管理模式。通過幫助社會預(yù)判風(fēng)險、做出科學(xué)決策，數(shù)學(xué)將知識轉(zhuǎn)化為抵御危機(jī)的韌性。

時值國際科學(xué)促進(jìn)可持續(xù)發(fā)展十年，聯(lián)合國教科文組織積極推動優(yōu)質(zhì)STEM教育，建設(shè)包容性科研社群，開展 “科學(xué)俱樂部網(wǎng)絡(luò)” 等一系列項(xiàng)目，鼓勵青少年 —— 尤其是女孩 —— 投身科學(xué)探索。

在聯(lián)合國教科文組織迎來80周年華誕之際，我們再次重申：科學(xué)是尊嚴(yán)、韌性與和平的源泉。

數(shù)學(xué)提醒著我們：復(fù)雜的難題終將被破解，進(jìn)步的目標(biāo)始終觸手可及。它拓展了人類對 “可能性” 的認(rèn)知邊界。

值此國際數(shù)學(xué)日，讓我們共同贊頌數(shù)學(xué) —— 這一驅(qū)動探索、催生創(chuàng)新、孕育希望的力量。

謝謝大家。

非常感謝布里托女士富有啟發(fā)性的開場致辭。接下來，有請克里斯蒂安娜·盧梭女士（Miss Christiane Rousseau）發(fā)言，她將繼續(xù)為我們帶來分享。謝謝。

克里斯蒂安娜·盧梭（Christiane Rousseau）

克里斯蒂安妮?盧梭（Christiane Rousseau）簡介

克里斯蒂安妮?盧梭（Christiane Rousseau）是全球數(shù)學(xué)領(lǐng)域的先驅(qū)人物。她在動力系統(tǒng)研究與指導(dǎo)、數(shù)學(xué)科普，以及動員國際數(shù)學(xué)界力量等多個領(lǐng)域并行開展工作。

2002至2004年，她擔(dān)任加拿大數(shù)學(xué)會主席；2011至2014年，出任IMU國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟副主席。她是2013年聯(lián)合國教科文組織 “世界地球數(shù)學(xué)年” 的發(fā)起者，該活動旨在推動相關(guān)研究，并彰顯數(shù)學(xué)在應(yīng)對全球性挑戰(zhàn)中發(fā)揮的關(guān)鍵作用。

2018年，憑借為人類事業(yè)作出的卓越貢獻(xiàn)，她榮獲首屆伯特蘭?羅素獎。該獎項(xiàng)由AMS美國數(shù)學(xué)會頒發(fā)，是對她富有遠(yuǎn)見的領(lǐng)導(dǎo)力的高度認(rèn)可。

克里斯蒂安妮?盧梭推動聯(lián)合國教科文組織將每年3月14日定為國際數(shù)學(xué)日，并負(fù)責(zé)協(xié)調(diào)全球90多個國家的相關(guān)慶?；顒印?/p>

在魁北克本地，她致力于培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教育后備力量。她參與合著了《數(shù)學(xué)與技術(shù)》一書，書中介紹了數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科技中的各類應(yīng)用。這部著作已被翻譯成多種語言，在全球范圍內(nèi)廣泛使用。

此外，她還為魁北克數(shù)學(xué)會（AMQ）策劃面向大專院校學(xué)生的數(shù)學(xué)營活動，頻繁在魁北克的職業(yè)教育學(xué)院舉辦講座，同時也是《趣味數(shù)學(xué)》期刊（Accromath）的最高產(chǎn)撰稿人。

參考來源：https://www.ordre-national.gouv.qc.ca/membres/membre.asp?id=3860

好的，我想和大家聊聊數(shù)學(xué)的一些有趣應(yīng)用 —— 尤其是在人際互動中，信任是如何建立的。

假設(shè)有兩名參與者，當(dāng)然這個模型也適用于更廣泛的人群互動場景。生活中，無論是個人之間，還是商業(yè)機(jī)構(gòu)、國際組織這類團(tuán)體之間，都需要互動協(xié)作。那么，怎樣的策略才是最優(yōu)解？參與者們往往希望最大化自身收益，同時構(gòu)建穩(wěn)定的合作環(huán)境。

我們不妨做個游戲（信任的演化），游戲的網(wǎng)址（ https://ncase.me/trust ），大家可以親自體驗(yàn)。

這里簡單介紹規(guī)則：假設(shè)參與者是我和你，兩人各有兩種選擇。桌上有一臺機(jī)器，若你投入1枚硬幣，這代表合作，此時對方會獲得3枚硬幣；同理，我投入1枚硬幣，你也會得到3枚硬幣。另一種選擇是不投硬幣，也就是選擇不合作，這種情況下雙方都不會有任何收益。

現(xiàn)在設(shè)想你選擇 “作弊”—— 不投硬幣，我該怎么做？是作弊還是合作？如果我投入硬幣，你會凈賺3枚，而我會損失1枚，這顯然不劃算；如果我也不投硬幣，至少不會有損失。所以，我的最優(yōu)選擇是作弊。具體來說，投幣會讓我虧損1，不投幣收益為0。

再假設(shè)你選擇合作，投入了硬幣，這對我來說是好事 —— 我能穩(wěn)拿3枚硬幣。這時我又該如何選擇？投幣會虧損1，不投幣則毫無損失，所以我還是會選擇作弊，最終凈賺3枚，而你會虧損1枚。要是我選擇合作，雙方其實(shí)都能凈賺2枚。

但你和我一樣聰明，也會做出同樣的推演，最終也會選擇作弊。結(jié)果就是，我們都選擇了作弊，雙方收益都是0—— 明明選擇合作，我們原本可以各得2枚硬幣。這就是所謂的囚徒困境：對個體而言的最優(yōu)策略是作弊，但當(dāng)所有人都選擇作弊時，所有人都會淪為輸家。

這個模型在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見，比如國際貿(mào)易。一個國家可以選擇設(shè)置關(guān)稅（即 “背叛”），或是取消關(guān)稅、選擇合作。從短期利益看，設(shè)置關(guān)稅能保護(hù)本國經(jīng)濟(jì)，但如果貿(mào)易伙伴也采取同樣的措施，雙方都會陷入貿(mào)易壁壘的僵局。此時，簽訂自由貿(mào)易協(xié)定反而對雙方更有利。

我們剛才討論的是單次博弈，但現(xiàn)實(shí)中的人際與國際互動往往是重復(fù)博弈。如果參與者會多次相遇，策略又會發(fā)生怎樣的變化？比如，這次你選擇合作，我作弊賺了3枚，看似占了便宜，但下次你很可能也會選擇作弊。這時我該怎么辦？或許我會重新選擇合作，但我此前有作弊的先例，局面可能會陷入反復(fù)拉扯。

這個博弈模型并非空想，而是基于真實(shí)的科學(xué)實(shí)驗(yàn) —— 由羅伯特?阿克塞爾羅德（Robert Axelrod）設(shè)計的重復(fù)囚徒困境錦標(biāo)賽。他邀請了眾多博弈論專家，讓每個人提交一套策略程序，程序之間會進(jìn)行多輪博弈，次數(shù)從10輪到100輪不等。博弈結(jié)束后，統(tǒng)計所有程序的總收益，以此判斷哪種策略最優(yōu)。

我們重點(diǎn)分析三種策略：第一種是永遠(yuǎn)合作；第二種是永遠(yuǎn)作弊，從不投幣；第三種是以牙還牙策略。

以牙還牙策略的規(guī)則很簡單：

1. 第一輪博弈，主動選擇合作，向?qū)Ψ结尫派埔猓?/p>

2. 從第二輪開始，完全模仿對方上一輪的選擇 —— 對方合作，我就合作；對方作弊，我立刻反擊作弊，絕不縱容；

3. 一旦對方重新選擇合作，我也選擇原諒，恢復(fù)合作狀態(tài)；若對方持續(xù)作弊，我便一直以作弊回應(yīng)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，以牙還牙策略是最終的獲勝策略。

我們可以模擬一下策略的演化過程：初始階段，群體中大部分人選擇永遠(yuǎn)合作，只有少數(shù)人選擇作弊或以牙還牙。博弈初期，作弊者會利用合作者的善意，獲得高額收益，數(shù)量迅速增長；以牙還牙者因?yàn)槌跗谶x擇合作，也能從合作者那里獲得收益，數(shù)量同樣會增加，但增速慢于作弊者。

隨著作弊者越來越多，合作者的生存空間被不斷擠壓，最終徹底消失。此時群體中只剩下作弊者和以牙還牙者：作弊者之間博弈，雙方收益都是0；作弊者與以牙還牙者博弈，第一輪作弊者賺3枚，但從第二輪開始，以牙還牙者會持續(xù)反擊作弊，雙方收益歸零。反觀以牙還牙者之間的博弈 —— 第一輪互相合作，之后每一輪都延續(xù)合作狀態(tài)，雙方能穩(wěn)定獲得收益。

最終的演化結(jié)果顯而易見：以牙還牙者會成為群體中的主流。

這個游戲帶給我們的啟示十分深刻：互利共贏的伙伴關(guān)系與和平合作，才是構(gòu)建穩(wěn)定發(fā)展環(huán)境的核心。

謝謝大家。

非常感謝盧梭女士的分享。接下來，有請貝圖爾?坦貝女士（Miss Betul Tanbay，Betül Tanbay）發(fā)言，她已經(jīng)成功連線。貝圖爾女士是國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟國際數(shù)學(xué)日（IDM）活動的主席，話不多說，把時間交給您。

貝圖爾?坦貝（Betül Tanbay）

好的，信號可能有點(diǎn)延遲，因?yàn)槲椰F(xiàn)在身處一片擁有數(shù)千年歷史的土地，還請大家見諒。我謹(jǐn)代表國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟與Imaginary，再次歡迎各位參加國際數(shù)學(xué)日活動。

在我們數(shù)學(xué)家眼中，數(shù)學(xué)研究更像是一門藝術(shù)，甚至是一首詩。此刻，我正站在門德雷斯河入海口，這里碧水與海水交匯，坐落著迪迪姆與米利都兩座雙子城，阿波羅與阿爾忒彌斯雙子神廟便矗立于此。請允許我以查爾斯?狄更斯《雙城記》的開篇，開啟今天的分享：

那是最美好的時代，那是最糟糕的時代；那是智慧的年頭，那是愚昧的年頭；那是信仰的時期，那是懷疑的時期；那是光明的季節(jié)，那是黑暗的季節(jié)；那是希望的春天，那是失望的冬天……

我由衷期盼，這 “失望的冬天” 終將遠(yuǎn)去，“希望的春天” 能早日降臨。

11世紀(jì)的詩人數(shù)學(xué)家奧馬爾?海亞姆（Omar Hayam），將伊朗歷法的新年定在了春分日。再過一周，我們將迎來另一個同樣被聯(lián)合國正式認(rèn)可的國際節(jié)日。

數(shù)學(xué)，以其超越國籍、宗教與性別的特質(zhì)，將全人類緊密相連。懷著這份信念，我冒昧地向教宗利奧十四世（Pope Leo 14）發(fā)出邀請，希望他能為本次 “數(shù)學(xué)與希望” 主題活動寄語。教宗陛下慷慨應(yīng)允，接下來，我將為大家宣讀他的信件。

教宗利奧十四世（Pope Leo XIV）

參閱：https://www.vaticannews.va/en/pope/news/2026-03/pope-leo-sends-mathematics-day-message.html

教宗利奧十四世向所有參與本次全球線上研討會的人士致以誠摯的祝福。他指出，當(dāng)前人類社會面臨著諸多嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，尤其是飛速發(fā)展的科技，既蘊(yùn)藏著造福人類的潛力，也潛藏著危害世界的風(fēng)險。在這樣的背景下，教宗鼓勵與會者思考：數(shù)學(xué)家應(yīng)如何將這門充滿希望的科學(xué)，更廣泛地帶給世界。

教宗特別提到，一個極具價值的研究方向，是算法在人工智能領(lǐng)域的應(yīng)用。這項(xiàng)工作不僅需要扎實(shí)的學(xué)識與創(chuàng)新的智慧，更需要研究者實(shí)現(xiàn)個人的全面成長，從而兼顧這些新興技術(shù)的道德維度。

事實(shí)上，教宗利奧十四世曾擔(dān)任數(shù)學(xué)與物理教師。去年秋天，在世界教育禧年活動中，他曾對學(xué)生們這樣說道：“一個人即便學(xué)識淵博，若不了解自我、不明生命的意義，那也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的?！?/p>

教宗祈禱，所有參與本次活動的人士，都能關(guān)注人類內(nèi)心深處的精神需求，探索數(shù)字化領(lǐng)域的人性化路徑，將其打造為促進(jìn)友愛與創(chuàng)新的平臺，成為播撒希望、真理與善良的沃土。

最后，教宗為所有參與2026年國際數(shù)學(xué)日的人士，獻(xiàn)上最豐厚的神圣祝福 —— 愿大家擁有智慧、喜悅與和平。

衷心感謝教宗陛下的分享。接下來，請允許我隆重介紹本次活動的主旨演講嘉賓 —— 愛德華?弗倫克爾教授（Edward Frenkel）。

弗倫克爾教授任職于美國加州大學(xué)伯克利分校數(shù)學(xué)系，因其在表示論、共形場論、有限李代數(shù)及量子場論領(lǐng)域的杰出貢獻(xiàn)，當(dāng)選美國數(shù)學(xué)會會士。他的著作《愛與數(shù)學(xué)》榮獲歐拉圖書獎，并被翻譯成多種語言出版。愛德華，接下來的時間交給您。

愛德華?弗倫克爾（Edward Frenkel）

好的，感謝主辦方的邀請，也感謝佩圖爾的介紹。

我此刻身處加州伯克利，現(xiàn)在是早上6點(diǎn)半，為了參加這場會議，我特意早起了一會兒。看到來自不同國家、不同文化、說著不同語言的朋友們相聚在此，我認(rèn)為這恰恰是數(shù)學(xué)的精髓所在 —— 它打破隔閡，凝聚人心，為我們帶來希望。

今年國際數(shù)學(xué)日 “數(shù)學(xué)與希望” 的主題十分美好。

接下來，我想和大家分享一些我的思考。我們身處一個動蕩不安的世界，有時甚至?xí)械浇^望，但今天，我想提醒大家：人類所擁有的某些特質(zhì)，能讓我們重燃希望，構(gòu)想一個更美好、更和諧、更公正的世界，讓所有人都能安居樂業(yè)。

接下來，我將分享具體的想法。我今天想表達(dá)的核心觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)讓人類更加緊密地聯(lián)結(jié)在一起。為什么這么說？因?yàn)槊恳粋€數(shù)學(xué)公式、每一條數(shù)學(xué)定理，都揭示了關(guān)于自然、宇宙乃至人類自身的根本真理。這些真理具有持久性、不變性與永恒性，不會因技術(shù)的進(jìn)步或新發(fā)現(xiàn)的出現(xiàn)而改變。它們是人類共同的文化遺產(chǎn)。

當(dāng)然，能參與由聯(lián)合國教科文組織主辦的這場活動，我感到十分榮幸 —— 教科文組織的使命，正是守護(hù)人類共同的文化遺產(chǎn)。而最重要的一點(diǎn)是：數(shù)學(xué)真理屬于我們每一個人，無論我們的語言、宗教、文化、成長背景或膚色如何，人人都能平等地?fù)碛兴?shù)學(xué)真理具有與生俱來的民主性與平等性，對所有人一視同仁，在任何人眼中，它的內(nèi)涵都完全一致。這正是數(shù)學(xué)凝聚人類的核心力量。

為了更清晰地說明這一點(diǎn)，我想將數(shù)學(xué)與文學(xué)做個對比。大家不妨想想自己最喜歡的作家和作品。我在蘇聯(lián)時期的俄羅斯長大，對我而言，列夫?托爾斯泰與他的《安娜?卡列尼娜》是繞不開的經(jīng)典。

這是一部改編自該小說的電影劇照。試想，如果托爾斯泰從未出生，或是在創(chuàng)作這部小說之前便與世長辭，那么絕不會有人能寫出一模一樣的《安娜?卡列尼娜》。

但數(shù)學(xué)則截然不同。假如畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）沒有出生，或是在發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯定理之前便離世，總會有其他人發(fā)現(xiàn)這條完全相同的數(shù)學(xué)定理。

畢達(dá)哥拉斯定理描述的是平面直角三角形三邊的關(guān)系，即直角邊的平方和等于斜邊的平方（a2+b2=c2）。事實(shí)上，歷史上多個文明都在相近的時期，甚至更早，獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了這條定理。這正是我想強(qiáng)調(diào)的 —— 數(shù)學(xué)真理具有普世性、必然性與持久性，永遠(yuǎn)不會改變。

畢達(dá)哥拉斯生活在約2500年前，關(guān)于他的名字，有一個有趣的說法：這個名字源自兩個希臘詞匯，Pyth是德爾斐的舊稱，那里有著名的阿波羅神廟，神廟中刻著 “認(rèn)識你自己” 的箴言；而-agoras意為 “公開發(fā)言”。因此，“畢達(dá)哥拉斯” 的字面意思就是 “代表神諭發(fā)言的人”，這個說法很有意思，我們不妨記在心里。

畢達(dá)哥拉斯定理誕生于2500年前，歷經(jīng)千年從未改變，未來也絕不會改變 —— 它絕不會變成 “直角邊平方和等于斜邊的立方”。這就是數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力。

很多人常將數(shù)學(xué)與物理學(xué)混為一談，但二者其實(shí)有著本質(zhì)區(qū)別。物理學(xué)理論會隨著時間的推移不斷更新迭代：17世紀(jì)，艾薩克?牛頓提出了運(yùn)動定律與萬有引力定律，這些理論指導(dǎo)了物理學(xué)家兩百多年。但后來人們發(fā)現(xiàn)，在極小尺度、極高能量或極強(qiáng)引力的條件下，牛頓定律不再適用。于是，物理學(xué)理論必須升級 —— 量子力學(xué)、愛因斯坦的狹義相對論與廣義相對論應(yīng)運(yùn)而生，而人類對物理學(xué)統(tǒng)一理論的探索，至今仍在繼續(xù)。

但數(shù)學(xué)理論截然不同，它客觀、必然、永恒不變。這一點(diǎn)是不是很有趣？物理學(xué)描述的是物理宇宙的規(guī)律，那數(shù)學(xué)描述的是什么？這正是我今天想探討的核心問題。

我的觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)并非通過人類的五種感官被感知，也并非源于客觀的物理現(xiàn)實(shí)。

這一點(diǎn)，我們從大多數(shù)人在學(xué)校都學(xué)過的歐幾里得幾何中，就能清晰地看出來。歐幾里得幾何的研究對象是點(diǎn)、線、三角形、圓 —— 就像我現(xiàn)在在平板上畫的這些圖形。但事實(shí)上，無論我在紙上或平板上畫得多精準(zhǔn)，這些圖形都只是歐幾里得幾何中理想化抽象對象的近似。只有那些理想化的抽象對象，才是歐幾里得幾何真正的研究主體，歐幾里得提出的公理與定理，也只適用于這些抽象對象。

大家看我畫的線，無論我多努力，線條總會有些彎曲，不可能完全筆直；我畫的點(diǎn)，也總有一定的大小。但在歐幾里得幾何中，點(diǎn)是沒有大小的，線是沒有粗細(xì)的，每條線都必須絕對筆直，且能向兩端無限延伸。這一點(diǎn)清晰地告訴我們：這些理想化的線、三角形、圓和點(diǎn)，在我們周圍的物理世界中是不存在的。

畢竟，物理學(xué)家告訴我們，宇宙的年齡約為137億年，光速是有限的，因此可觀測宇宙的范圍也是有限的 —— 在這樣的宇宙中，我們不可能看到一條無限延伸的線。但歐幾里得幾何卻明確假定了這種無限長的線是存在的，歐幾里得的第五公設(shè)（平行公設(shè)），討論的正是這種無限長線的整體性質(zhì)：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。

這種性質(zhì)，在我們所處的物理世界中是完全無法觀測到的。我們無法通過五種感官感知數(shù)學(xué)對象，事實(shí)上，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)對象，目前在物理世界中都找不到任何蹤跡。比如數(shù)學(xué)中研究的高維乃至無窮維幾何圖形、深奧的數(shù)系（如p進(jìn)數(shù)），以及 “不可達(dá)基數(shù)” 這類極大的無窮集合 —— 我們在物理世界中，根本找不到它們的身影。

我的結(jié)論是：這些數(shù)學(xué)對象，并非存在于物理世界之中。正如偉大的邏輯學(xué)家?guī)鞝柼?哥德爾所說：數(shù)學(xué)概念構(gòu)成了一個獨(dú)立的客觀實(shí)在，人類無法創(chuàng)造或改變它，只能感知和描述它。

查爾斯?達(dá)爾文對此的觀點(diǎn)則更為深入。這位提出進(jìn)化論的偉大生物學(xué)家，在晚年的自傳中寫道：“我深感遺憾的是，當(dāng)初沒有深入鉆研數(shù)學(xué)的重要原理，因?yàn)樵谖铱磥恚莆者@些原理的人，仿佛擁有一種額外的感官。”

我非常認(rèn)同這個觀點(diǎn)，但我想補(bǔ)充的是：這種 “額外的感官” 并非只有數(shù)學(xué)家才擁有，而是我們每個人都與生俱來的能力—— 畢竟，我們每個人的骨子里，都藏著數(shù)學(xué)家的潛質(zhì)。巴勃羅?畢加索曾說：“每個孩子都是天生的藝術(shù)家，問題在于如何在長大成人后，依然保持這份藝術(shù)的靈性。” 我想說的是：每個孩子都是天生的數(shù)學(xué)家。

成為數(shù)學(xué)家，首先需要的是好奇心、求知欲，是對世界的探索欲，是永遠(yuǎn)不缺乏驚喜感的心態(tài) —— 用全新的視角觀察世界，構(gòu)想那些我們?nèi)庋蹮o法看見的事物。這正是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也是那種超越五種感官的 “第六感”，是我們每個人都擁有的能力。即便這種能力有時處于沉睡或未被開發(fā)的狀態(tài)，但理論上，我們都可以通過后天培養(yǎng)，喚醒它。這正是教育的意義所在，也是數(shù)學(xué)教育至關(guān)重要的原因 —— 它能讓我們每個人，都有機(jī)會接觸到數(shù)學(xué)的寶藏。

最重要的是，我堅信達(dá)爾文所說的這種 “第六感”，這種感知數(shù)學(xué)對象的心智能力，恰恰證明了人類的思想是相通的。這意味著，親愛的朋友們，我們彼此之間的聯(lián)結(jié)，遠(yuǎn)比我們通常所理解的更為深刻、更為緊密。

在我看來，這正是希望的源泉 —— 它讓我們從 “孤立無援”“格格不入”“渺小無助” 的感受中掙脫出來，真切地感受到 “人類命運(yùn)共同體” 的聯(lián)結(jié)。而正因?yàn)閾碛羞@種 “構(gòu)想” 的能力，我們才能運(yùn)用它去構(gòu)想一個更美好的世界，讓希望的種子生根發(fā)芽。

如果大家想深入了解這些觀點(diǎn)，可以關(guān)注我的YouTube頻道 https://youtube.com/edfrenkel ，以及我的系列視頻《數(shù)學(xué)余韻》AfterMath。

最后，我想以 “想象力” 與 “夢想” 這兩個概念，結(jié)束今天的分享。數(shù)學(xué)告訴我們：我們絕不能被眼前的世界所束縛。數(shù)學(xué)向我們展示了人類非凡的想象力 —— 我們能夠憑空構(gòu)想出那些看似不存在的事物。

索菲婭?柯瓦列夫斯卡婭（Sophia Kovalevskaya）是 19 世紀(jì)末一位偉大的數(shù)學(xué)家，她是歷史上第一位獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位的女性，也是斯德哥爾摩大學(xué)的首位女教授。在短短40年的生命中，她取得了眾多卓越的數(shù)學(xué)成就，成為全世界女性的榜樣，激勵著無數(shù)女性投身數(shù)學(xué)領(lǐng)域，與男性并肩前行。

這也是數(shù)學(xué)平等性的另一重體現(xiàn)：從原則上講，任何人都能接觸到數(shù)學(xué)定理與公式，它們無法被申請專利 —— 各國法院都明確裁定，“畢達(dá)哥拉斯定理” 這類數(shù)學(xué)成果，不能被私有化。沒有人能將數(shù)學(xué)真理從我們手中奪走，它屬于全人類，是一片我們共同享有的、璀璨的知識群島。

有趣的是，時至今日，很多人一聽到 “數(shù)學(xué)” 這個詞，就會心生畏懼。這很可能是因?yàn)樗麄冃r候在課堂上，有過不愉快的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷。但恰恰是這樣一門讓部分人感到 “恐懼” 的學(xué)科，卻向我們揭示了人類團(tuán)結(jié)與聯(lián)結(jié)的本質(zhì)。

對此，索菲婭?柯瓦列夫斯卡婭曾寫道：“許多人從未真正了解數(shù)學(xué)，只將它等同于基礎(chǔ)算術(shù)，便認(rèn)為這是一門枯燥無味、毫無價值的學(xué)科。但事實(shí)上，數(shù)學(xué)是一門最需要想象力的學(xué)科。在我看來，一個人若想成為數(shù)學(xué)家，內(nèi)心深處必先成為一名詩人。詩人需要看見常人看不見的事物，需要看得比常人更深刻 —— 而這，恰恰也是數(shù)學(xué)家的職責(zé)（使命）。”

換句話說，數(shù)學(xué)幫助我們看得更深、看得更遠(yuǎn)，看見那些無形的本質(zhì)。

這里我還想提一位數(shù)學(xué)家 —— 斯里尼瓦瑟?拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）。這位偉大的印度數(shù)學(xué)家，常常在夢中獲得精妙絕倫的數(shù)學(xué)公式。他說，印度教女神娜瑪吉利會在夢中現(xiàn)身，將公式寫給他。醒來后，他便立刻把這些公式記錄在筆記本上。這是一個多么傳奇的故事，它再次印證了人類心智的無限潛能，印證了我們通過達(dá)爾文所說的 “第六感” 感知數(shù)學(xué)的能力。

有一部非常精彩的電影，講述了拉馬努金與他的導(dǎo)師 G.H. 哈代的故事，片名是《知無涯者》，由戴夫?帕特爾與杰瑞米?艾恩斯主演。

值得一提的是，這位來自劍橋大學(xué)的哈代教授，曾這樣評價拉馬努金的發(fā)現(xiàn)：“這些公式必然是正確的，因?yàn)槿绻鼈兪清e誤的，絕不會有人擁有如此豐富的想象力，能夠發(fā)明出它們。” 你看，這再次印證了想象力的重要性。

最后，我想以另一位偉大智者 —— 阿爾伯特?愛因斯坦的名言作結(jié)：“想象力比知識更重要，因?yàn)橹R是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進(jìn)步，并且是知識進(jìn)化的源泉。”

在這個動蕩的世界里，我們有時甚至?xí)械綗o所適從。沖突與紛爭無處不在，我們難免會感到沮喪、絕望、渺小與孤獨(dú)。但在我看來，數(shù)學(xué)具有一種重要但尚未被充分發(fā)掘的精神價值。如果我們深入探究數(shù)學(xué)的本質(zhì)，理解數(shù)學(xué)概念、定理與公式的內(nèi)涵，回顧數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，就會發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)，確實(shí)能為我們帶來希望。

它向我們展示了人類超越常規(guī)認(rèn)知的潛能。而這一點(diǎn)，恰恰是人類區(qū)別于機(jī)器的關(guān)鍵 —— 這個問題同樣引人深思。理解人類的數(shù)學(xué)能力，能讓我們重新找回尊嚴(yán)與能動性，意識到我們并非冰冷的機(jī)器，也不是預(yù)設(shè)好的計算機(jī)程序。我們擁有想象力，擁有愛的能力，擁有共情的能力。

正是基于這樣的認(rèn)知，我對未來滿懷希望。

謝謝大家。

非常感謝弗倫克爾教授富有啟發(fā)性的主旨演講，他讓我們深刻認(rèn)識到數(shù)學(xué)、創(chuàng)造力與希望之間的緊密聯(lián)系。

參考資料

https://www.youtube.com/watch?v=bXHd6fMgGr0

https://www.un.org/en/os25/lidia_brito

https://www.ordre-national.gouv.qc.ca/membres/membre.asp?id=3860

https://ncase.me/trust

https://www.youtube.com/@edfrenkel

https://www.vaticannews.va/en/pope/news/2026-03/pope-leo-sends-mathematics-day-message.html

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