概率論是一門抽象而工具化的數(shù)學(xué)分支，而在杰出物理學(xué)家杰恩斯筆下，它被詮釋為一種“科學(xué)的邏輯”——處理不確定性、作出理性判斷的普遍方法。

這部凝聚其一生思考的《概率論沉思錄》是客觀貝葉斯主義的集大成之作，深刻影響了學(xué)界。如今隨著人工智能與機(jī)器學(xué)習(xí)的興起，他的工作再次顯露其深遠(yuǎn)價(jià)值。

撰文 | 廖海仁

一

物理學(xué)家杰恩斯生平

埃德溫·湯普森·杰恩斯，1922年7月5 日出生于美國艾奧瓦州滑鐵盧市，父親是一名外科醫(yī)生。他先后就讀于康奈爾學(xué)院與艾奧瓦大學(xué)，1942 年獲物理學(xué)學(xué)士學(xué)位。幼年喪父的他繼承了父親留下的大量藏書與一架鋼琴，這兩份遺產(chǎn)滋養(yǎng)了他終身的學(xué)術(shù)追求與音樂熱忱。畢業(yè)后，他投身微波理論與應(yīng)用研究，先任職于斯佩里陀螺儀公司，后以美國海軍軍官身份供職于華盛頓特區(qū)海軍研究實(shí)驗(yàn)室。退役后，他赴加州參與首臺(tái)直線電子加速器設(shè)計(jì)，同年入讀加州大學(xué)伯克利分校研究生院。1947 年轉(zhuǎn)入普林斯頓大學(xué)，在尤金·維格納 (1963 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主) 指導(dǎo)下研究鐵電性，1950 年獲博士學(xué)位，其博士論文修訂版由普林斯頓大學(xué)出版社作為“物理學(xué)研究叢書”首卷出版。此后十年，杰恩斯任教于斯坦福大學(xué)微波實(shí)驗(yàn)室及物理系。1960 年受聘為圣路易斯華盛頓大學(xué)資深教授，除短期訪學(xué)外，余生皆在此執(zhí)教。

圖1數(shù)學(xué)物理學(xué)家杰恩斯(Edwin Thompson Jaynes,1922-1998),熱力學(xué)最大熵解釋以及量子光學(xué)的Jaynes-Cummings模型提出者，臨終留下一本概率論經(jīng)典著作《概率論:科學(xué)的邏輯》

杰恩斯的思想疆域跨越物理學(xué)內(nèi)外多個(gè)領(lǐng)域，主要成就集中在四大方向：經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)應(yīng)用、信息論與統(tǒng)計(jì)力學(xué)、量子光學(xué)及新經(jīng)典輻射理論、概率論與統(tǒng)計(jì)推斷。這些開創(chuàng)性研究多具爭議性，部分至今仍是學(xué)術(shù)焦點(diǎn)。1957 年，他發(fā)表了運(yùn)用信息論詮釋統(tǒng)計(jì)力學(xué)的論文《信息論與統(tǒng)計(jì)力學(xué)》，提出以最大熵原理結(jié)合先驗(yàn)約束推導(dǎo)吉布斯概率分布，將統(tǒng)計(jì)力學(xué)重構(gòu)為基于部分信息的統(tǒng)計(jì)推斷體系。盡管《物理評(píng)論》頂住審稿人的反對(duì)意見刊發(fā)此文，“主觀派”與“客觀派”的論戰(zhàn)由此綿延數(shù)十年。其理論因開拓非平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)及跨學(xué)科最大熵應(yīng)用而日益獲得認(rèn)同。1963 年，杰恩斯與其指導(dǎo)的博士生弗雷德·卡明斯在《Proceedings of the IEEE》上發(fā)表了論文《量子與半經(jīng)典輻射理論之比較及其在光束微波激射器中的應(yīng)用》，提出了后來著名的Jaynes-Cummings 模型。杰恩斯堅(jiān)持認(rèn)為統(tǒng)計(jì)物理與量子理論的核心困境源于將概率誤認(rèn)為是客觀物理量而非系統(tǒng)信息的表征——混淆了本體論與認(rèn)識(shí)論的界限。與愛因斯坦相似，他拒斥量子力學(xué)的哥本哈根詮釋及其神秘主義傾向。以上兩篇論文現(xiàn)在被認(rèn)為是杰恩斯最重要的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)：其中1957 年發(fā)表的運(yùn)用信息論闡釋統(tǒng)計(jì)力學(xué)的論文 (包含兩篇系列文章)，其引用量迄今已逾18 000 次；而1963 年提出的Jaynes-Cummings 模型的論文，引用量也超過7 800 次，無論哪一篇都堪稱經(jīng)典。然而，據(jù)杰恩斯晚年回憶，這兩項(xiàng)開創(chuàng)性工作在發(fā)表后都曾長期被忽視：1957 年的論文直到1977 年才有哲學(xué)家開始吹毛求疵地討論其哲學(xué)意義；而1963 年的論文則在沉寂二十年后，于1983 年突然成為量子光學(xué)領(lǐng)域被引用最頻繁的文獻(xiàn)之一，并被奉為該領(lǐng)域的奠基之作。杰恩斯本人甚至由此總結(jié)出一條“20年定律”——其重要工作的價(jià)值，往往需要等待二十年后方得彰顯。

杰恩斯將拉普拉斯、貝葉斯、杰弗里斯、波利亞、考克斯及香農(nóng)的思想熔鑄為現(xiàn)代概率推理體系。因主流期刊經(jīng)常拒稿，其諸多精妙論述多見于會(huì)議論文集，包括經(jīng)典文獻(xiàn)《大腦如何進(jìn)行合情推理》(原為1959 年斯坦福微波實(shí)驗(yàn)室報(bào)告，1960 年投稿時(shí)被拒)。1993 年劍橋大學(xué)出版社出版的《概率與物理學(xué)：杰恩斯紀(jì)念文集》系統(tǒng)總結(jié)了他對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷領(lǐng)域的革命性影響。1998 年4 月30 日，杰恩斯在圣路易斯與世長辭。他家里留下一架價(jià)值十萬美元的貝森朵夫三角鋼琴以及數(shù)百盤自己演奏的各類古典音樂家作品的錄音帶。他的藏書逾千冊(cè)，涵蓋統(tǒng)計(jì)學(xué)、物理、音樂、化學(xué)、生物、歷史及哲學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。這位年輕時(shí)曾考慮成為職業(yè)鋼琴演奏家的物理學(xué)家，臨終前請(qǐng)求他的學(xué)生兼同事G. 拉里·布雷特索斯特幫忙完成并出版自己的未竟之作。然而，布雷特索斯特思考再三，決定不對(duì)書稿進(jìn)行內(nèi)容補(bǔ)充，因?yàn)樗J(rèn)為那樣該書將不再是杰恩斯的獨(dú)立著作，而是合著作品，并且難以區(qū)分各自貢獻(xiàn)。他只對(duì)原作進(jìn)行編輯整理，刪除了其中現(xiàn)在看來晦澀難懂的BASIC計(jì)算機(jī)程序，補(bǔ)充了一些參考資料，并予以出版。該書2003 年由劍橋大學(xué)出版社正式出版，英文書名為《概率論：科學(xué)的邏輯》(Probability Theory: The Logic of Science)。但是，即使在該書正式出版之前，其在線預(yù)印本早已成為科學(xué)界的傳閱經(jīng)典。2009 年，人民郵電出版社推出杰恩斯概率論遺著的英文影印版，并定名為《概率論沉思錄》。2024 年6 月，《概率論沉思錄》中文版作為“圖靈數(shù)學(xué)經(jīng)典”系列第15 本由人民郵電出版社出版。

圖2 E.T.杰恩斯的《概率論沉思錄》三個(gè)版本，分別為2003年劍橋大學(xué)出版社的英文原版、2009年人民郵電出版社的英文影印版以及2024年人民郵電出版社的中文版

二

別具一格的《概率論沉思錄》

《概率論沉思錄》英文版出版后受到眾多專業(yè)人士的關(guān)注、贊譽(yù)和推薦。二十余年過去，這本著作在谷歌學(xué)術(shù)的引用量已逾9000 次；機(jī)器學(xué)習(xí)專家凱文·墨菲在其編寫的著名教材《機(jī)器學(xué)習(xí)：概率視角》(Machine Learning: A Probabilistic Perspective, MLaPP) 第2 章推薦的三本優(yōu)秀教材中，首推此書；伊恩·古德費(fèi)洛等所著的《深度學(xué)習(xí)》(被譽(yù)為AI 圣經(jīng)) 第3 章“概率論和信息論”推薦的擴(kuò)展閱讀概率論書籍中，首先推薦的也是這本書。

杰恩斯留下的這本《概率論沉思錄》是別具一格的。當(dāng)今市面上各種概率論著作或教材何止千百，但真正稱得上原創(chuàng)性思想巨著的卻不多?？聽柲缏宸虻摹陡怕收摶A(chǔ)》、凱恩斯的《論概率》、威廉·費(fèi)勒的兩卷本《概率論及其應(yīng)用》、杰弗里斯的《概率論》、德菲內(nèi)蒂的兩卷本《概率論》都可位列其中。杰恩斯的這本書同樣堪稱思想巨著，西方有學(xué)者贊譽(yù)其為“半個(gè)世紀(jì)以來最重要的概率論著作之一”，恐怕并不為過。它是作者經(jīng)過四十年積淀的畢生心血之作。其特別之處在于：

提供了獨(dú)特的概率論科學(xué)視角：作者杰恩斯是一名杰出的物理學(xué)家，卻在臨終時(shí)留下這本概率論“數(shù)學(xué)”著作，因此又被公認(rèn)為是一位數(shù)學(xué)物理學(xué)家。自柯爾莫哥洛夫完成概率論的數(shù)學(xué)公理化以來，概率論主要被視為一門數(shù)學(xué)。然而，概率論的數(shù)學(xué)公理化源于著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在 1900 年提出的 23 個(gè)待解數(shù)學(xué)問題中的第 6 問題，其目標(biāo)是：“以公理化的方式處理數(shù)學(xué)在其中發(fā)揮重要作用的自然科學(xué)，首先是概率論和力學(xué)”。這表明，至少在希爾伯特時(shí)代，概率論如同力學(xué)一樣，仍被視為一門“自然科學(xué)”。其科學(xué)身份也可從“大數(shù)定律”的內(nèi)容中窺見。即便在數(shù)學(xué)化之后，幾乎所有概率論教材仍保留并數(shù)學(xué)地證明源于傳統(tǒng)的“大數(shù)定律”。經(jīng)過數(shù)學(xué)證明的顯然應(yīng)是“定理”，為何仍被稱為“定律”呢？“牛頓定律”屬于物理學(xué)，“大數(shù)定律”如何是數(shù)學(xué)？這涉及將概率論視為自然科學(xué)還是數(shù)學(xué)的問題?！按髷?shù)定律”是人類在概率論公理化之前，從可重復(fù)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中觀察到的“自然規(guī)律”，后來的“數(shù)學(xué)證明”依賴于特定的數(shù)學(xué)定義，且證明中涉及的極限頻率是不可觀察的理想化對(duì)象。因此，數(shù)學(xué)上證明的“大數(shù)定理”是純數(shù)學(xué)定理，與自然無關(guān)；而“大數(shù)定律”則可在一定誤差范圍內(nèi)通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證?；蛟S更全面的認(rèn)識(shí)是：理解概率論，數(shù)學(xué)與科學(xué)兩種視角都必不可少。目前，絕大多數(shù)概率論書籍沿襲柯爾莫哥洛夫的數(shù)學(xué)思路發(fā)展。威廉·費(fèi)勒的兩卷本《概率論及其應(yīng)用》堪稱數(shù)學(xué)概率論方向的巔峰之作。而杰恩斯的《概率論沉思錄》則是科學(xué)概率論方面的典范之作。這是本書極其重要且獨(dú)特的原因之一。

本書是客觀貝葉斯主義的集大成之作：雖然概率論自公理化以來，在數(shù)學(xué)上基本一致，但是對(duì)于概率的解釋卻存在諸多不同流派。大體可分為頻率派 (客觀派) 和貝葉斯派 (主觀派)。細(xì)分則有頻率派、邏輯派、客觀貝葉斯派、主觀貝葉斯派等。頻率派認(rèn)為概率是客觀存在的物理屬性，將其定義為可重復(fù)事件的長期頻率，代表人物包括費(fèi)勒、克拉默等。主觀貝葉斯派將概率視為理性主體對(duì)命題的信念程度，認(rèn)為概率本質(zhì)上是主觀的，不同主體對(duì)同一命題的概率評(píng)估可以不同且不可比，只要個(gè)人評(píng)估保持連貫性即可，代表人物有德菲內(nèi)蒂、薩維奇和拉姆齊。邏輯派將概率視為命題之間的一種邏輯關(guān)系，即 P(H|E) 衡量給定證據(jù) E 前提下假設(shè) H 為真的邏輯支持程度，代表人物有經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯和哲學(xué)家卡爾納普。而客觀貝葉斯派雖然也認(rèn)為概率是主體對(duì)命題的信念程度，但強(qiáng)調(diào)先驗(yàn)的不同源于個(gè)體所掌握信息的差異，且先驗(yàn)概率的確定并非隨意，必須遵循客觀原則 (如無差別原則或最大熵原理)。根據(jù)相同的先驗(yàn)信息與數(shù)據(jù)證據(jù)，所得的概率是一致的。杰弗里斯與杰恩斯都可視為客觀貝葉斯主義的代表人物。但他們的客觀貝葉斯主義在某種意義上融合了邏輯派的觀點(diǎn)：一方面，他們將概率論視為歸納推理的定量理論；另一方面，他們持典型的客觀貝葉斯主義觀點(diǎn)，將概率視為個(gè)人的“合理信念度”。尤其在杰弗里斯概率論與科學(xué)推斷理論基礎(chǔ)上繼承和發(fā)展的杰恩斯的《概率論沉思錄》，堪稱客觀貝葉斯主義的集大成之作。本書絕大多數(shù)內(nèi)容不屬于傳統(tǒng)概率論的范疇，更多涉及概率推斷。不過，將統(tǒng)計(jì)推斷歸入概率論范疇正是典型的貝葉斯主義觀點(diǎn)。頻率派統(tǒng)計(jì)與貝葉斯統(tǒng)計(jì)之爭是20世紀(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)界的主線。在差不多整個(gè) 20 世紀(jì)，頻率派都處于強(qiáng)勢(shì)地位 (故稱“正統(tǒng)統(tǒng)計(jì)”)，一般統(tǒng)計(jì)推斷教材介紹的也基本是頻率派方法。在這場(chǎng)爭論中，杰恩斯是一位堅(jiān)定強(qiáng)硬的貝葉斯主義者。他對(duì)正統(tǒng)頻率派統(tǒng)計(jì)的批評(píng)及對(duì)貝葉斯主義的辯護(hù)貫穿全書。相信絕大多數(shù)讀者在看過本書近乎無可辯駁的論辯后，或多或少會(huì)轉(zhuǎn)化為某種程度上的貝葉斯主義者。

本書同時(shí)是科學(xué)哲學(xué)書、邏輯學(xué)書甚至生活智慧書：本書核心思想是將概率論視為布爾邏輯與傳統(tǒng)亞里士多德邏輯的擴(kuò)展。在此框架下，布爾邏輯僅是概率邏輯的一種特例。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以演繹邏輯為基礎(chǔ)，而概率論則可作為科學(xué)推斷的理論基礎(chǔ)。作為擴(kuò)展邏輯的概率論，是融合歸納與演繹推理的統(tǒng)一理論。休謨問題 (主要是因果問題和歸納問題) 是哲學(xué)基本問題之一，已被討論數(shù)百年，至今仍被視為科學(xué)哲學(xué)的核心難題。金岳霖先生在其主要著作《知識(shí)論》中亦有章節(jié)論及歸納與因果，但那遠(yuǎn)在杰恩斯著作出版之前?？枴げㄆ諣栔小犊茖W(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯》，魯?shù)婪颉た柤{普著有《概率的邏輯基礎(chǔ)》，都對(duì)概率論與歸納問題有深入討論。卡爾納普、波普爾在科學(xué)哲學(xué)界聲名顯赫，其關(guān)于歸納邏輯和科學(xué)推斷的理論在哲學(xué)界地位也非常重要。但在本書中，杰恩斯對(duì)他們的某些觀點(diǎn)進(jìn)行了毫不客氣的批評(píng)，認(rèn)為他們?cè)谀撤N程度上都患有“哲學(xué)家的職業(yè)病”。有人說，不能改善人生活質(zhì)量的書不能算好書。我大致認(rèn)同這一觀點(diǎn)。一般的數(shù)學(xué)甚至科學(xué)書對(duì)改善生活的作用是間接的。本書對(duì)特異功能、保險(xiǎn)原理、意見分歧等都有深刻獨(dú)到的分析。若能掌握本書的概率論思維方式，的確可能提升面對(duì)日常問題的決策能力，改善生活質(zhì)量。

三

思想淵源與內(nèi)容簡介

在《概率論沉思錄》的前言中，杰恩斯談到該書的思想淵源除了 20 世紀(jì)前的貝葉斯、拉普拉斯等外，主要有四個(gè)：杰弗里斯的《概率論》、考克斯定理、香農(nóng)的信息論以及波利亞的合情推理思想。

作者將此書獻(xiàn)給并紀(jì)念杰弗里斯，可見杰弗里斯的概率論思想對(duì)他的影響。杰弗里斯的《概率論》第一版發(fā)表于 1939 年，與柯爾莫哥洛夫的概率數(shù)學(xué)公理化著作幾乎同時(shí)。他在八條指導(dǎo)原則、三條約定和八條公理基礎(chǔ)上發(fā)展概率論，其公理體系看似比柯爾莫哥洛夫公理復(fù)雜很多，但是一開始就將自己的理論與進(jìn)行科學(xué)推斷以及現(xiàn)實(shí)應(yīng)用聯(lián)系起來。他提出其概率論旨在發(fā)展一種根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷的自洽且實(shí)用的方法。杰弗里斯是客觀貝葉斯主義的前驅(qū)。他指出，我們平常所說的“均勻先驗(yàn)”缺乏“客觀性”，因?yàn)樵趨?shù)變換時(shí)可能變得不均勻。因此，他提出“不變性原則” (先驗(yàn)分布應(yīng)在參數(shù)變化下保持形式不變)，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建真正客觀的“無信息先驗(yàn)” (杰弗里斯先驗(yàn))。杰恩斯對(duì)于概率的定義以及先驗(yàn)概率必須具有客觀性等思想均與杰弗里斯一致，不過他發(fā)展了更多的將先驗(yàn)信息唯一地轉(zhuǎn)化為先驗(yàn)概率的方法，最重要的是最大熵方法和變換群方法。

波利亞在 1954 年出版的《數(shù)學(xué)與猜想：合情推理模式》是一本流行至今的數(shù)學(xué)科普名著。該書對(duì)于類比和歸納推理的定性規(guī)則做了很多舉例與說明。但當(dāng)作者試圖使用概率論來定量化描述歸納推理邏輯時(shí)，認(rèn)為存在不可克服的困難：作者試圖估計(jì)牛頓定律可靠的概率，但在正確預(yù)測(cè)了一些罕見事實(shí)后，作者認(rèn)為其可靠性至少應(yīng)該提高上萬倍！這樣，在未作預(yù)測(cè)時(shí)，牛頓定律可靠的概率就不會(huì)超過萬分之一。作者認(rèn)為這是不可接受的，因此不可能應(yīng)用概率論來發(fā)展歸納推理的定量理論。杰恩斯對(duì)產(chǎn)生此困難的原因進(jìn)行了解釋：作者實(shí)際上是在做模型比較，根據(jù)貝葉斯理論，在模型比較時(shí)需要明確指明備擇模型，談?wù)撘粋€(gè)模型或者假設(shè)的絕對(duì)概率是沒有意義的，因此作者實(shí)際計(jì)算的牛頓定律相對(duì)另一模型的相對(duì)幾率而非絕對(duì)概率。解決此疑難之后，波利亞的合情推理定性理論就可以應(yīng)用概率論向定量理論發(fā)展。這其實(shí)正是考克斯定理的內(nèi)容?？伎怂乖?1946 年在《美國物理學(xué)雜志》上發(fā)表的論文《概率、頻率與合理信念》中指出：如果合情程度由實(shí)數(shù)表示，而且在滿足必須與傳統(tǒng)邏輯一致以及一些基本理性要求的條件下，只有唯一一套用于推斷的定量規(guī)則，這套規(guī)則正是標(biāo)準(zhǔn)概率論法則。

香農(nóng)于 1948 年發(fā)表的《通信的數(shù)學(xué)理論》是信息論領(lǐng)域的奠基性文獻(xiàn)，標(biāo)志著現(xiàn)代信息論的誕生。該論文的核心貢獻(xiàn)是使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)框架量化“信息”，并解決了通信中的基本問題：如何在存在噪聲的通道中高效、可靠地傳輸信息? 杰恩斯對(duì)香農(nóng)信息論的主要借用是其信息熵的概念，因?yàn)樾畔㈧厥恰安淮_定性大小”的客觀度量。他正是在這一概念的基礎(chǔ)上提出了最大熵原理，并將其應(yīng)用在統(tǒng)計(jì)力學(xué)的新闡釋的論證上，并證明了香農(nóng)的信息熵與傳統(tǒng)物理熱力學(xué)上的熱力學(xué)熵的一致性。

《概率論沉思錄》全書共 22 章，總體分為原則與初級(jí)應(yīng)用和高級(jí)應(yīng)用兩大部分，但是其實(shí)內(nèi)容比較龐雜，很難系統(tǒng)描述其章節(jié)架構(gòu)與關(guān)系。除了前兩章是本書真正的理論基礎(chǔ)外，其他章節(jié)總體上并無循序漸進(jìn)的關(guān)系。以下只對(duì)其中一些章節(jié)的內(nèi)容及有價(jià)值之處做簡要說明：第 1 章《合情推理》提出做合情推理的機(jī)器人做合情性分配必須滿足幾個(gè)基本的“合情條件”：合情程度用實(shí)數(shù)表示，與常識(shí)定性相符，具有一致性。第 2 章《定量規(guī)則》在上述合情條件的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出概率論的加法與乘法法則。由于在前面已經(jīng)證明命題的合取 (邏輯和) 與析取 (邏輯乘) 構(gòu)成了完備的運(yùn)算集合，這證明概率加法與乘法法則已經(jīng)是概率邏輯推理的一般法則。第3 章《初等抽樣論》屬于傳統(tǒng)概率論的內(nèi)容：先討論了無放回抽樣與超幾何分布，并在此基礎(chǔ)上說明概率推理的一些基本性質(zhì)，比如可進(jìn)行逆向推理。傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)推斷一般包含假設(shè)檢驗(yàn)和參數(shù)估計(jì)兩方面內(nèi)容。本書第 4 章《初等假設(shè)檢驗(yàn)》與第 6 章《初等參數(shù)估計(jì)》是這兩方面的新視角的討論：第 4 章最有價(jià)值之處是指出在多重假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)會(huì)比二元假設(shè)檢驗(yàn)復(fù)雜得多，而且可能發(fā)生“死假設(shè)復(fù)活”的現(xiàn)象。本書對(duì)于傳統(tǒng)頻率派統(tǒng)計(jì)有很多批評(píng)，但是作者認(rèn)為自己不再是基于意識(shí)形態(tài)爭論，而是根據(jù)實(shí)際效果和合理性的比較。在作者看來，正統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多重要概念，比如無偏估計(jì)、輔助統(tǒng)計(jì)量、置信區(qū)間等都不是基礎(chǔ)的，也不普遍適用，而只是某種特殊場(chǎng)合使用的“特定工具”。本書對(duì)于正統(tǒng)統(tǒng)計(jì)的討論與批判章節(jié)主要有第8 章《充分性與輔助性》、第 16 章《正統(tǒng)方法：歷史背景》與第17 章《正統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理與病理》。第 11、12 章論述兩種構(gòu)建“客觀”先驗(yàn)概率的方式：最大熵原理和變換群方法。第 13、14 章討論概率論在決策論中的應(yīng)用。作者嘗試說明，決策論其實(shí)并不基礎(chǔ)，其中的損失函數(shù)其實(shí)并不比先驗(yàn)概率更加具有客觀性。作為物理學(xué)家，作者在一些章節(jié)中討論物理學(xué)中涉及的概率問題是合理合法的，這大致包括第9 章《重復(fù)實(shí)驗(yàn)：頻率與頻率》、第 10 章《隨機(jī)實(shí)驗(yàn)物理學(xué)》、第 19 章《物理測(cè)量》、第20 章《離群值與穩(wěn)健性等。其中第10 章有意思的是論證了我們平常說的拋硬幣時(shí)正面朝上的概率是1/2，但是實(shí)際上拋硬幣過程中并沒有真正的“隨機(jī)性”，因此這里并不存在所謂“物理概率”。作者在這一章展示的對(duì)于量子力學(xué)中概率的理解也不同尋常，需要注意不要輕易將這種理解歸為“錯(cuò)誤”的。在第 20 章中，作者說明一個(gè)實(shí)驗(yàn)中觀察到的離群點(diǎn)究竟是可以忽略的隨機(jī)誤差點(diǎn)還是最有價(jià)值的信息點(diǎn)依賴于先驗(yàn)信息，因此所謂統(tǒng)計(jì)分析中穩(wěn)健性未必總是好事，這一點(diǎn)非常有價(jià)值。第 6 章《概率論的怪異應(yīng)用》將概率論應(yīng)用在一些看似怪異的問題(比如特異功能、意見分歧和法理學(xué))的討論上，向我們解釋一個(gè)理性的人為什么一般不太會(huì)相信特異功能的存在，為什么一個(gè)公眾話題在討論若干年后，社會(huì)經(jīng)常會(huì)分裂為兩個(gè)極端的陣營。第 7 章《中心分布、高斯分布或正態(tài)分布》在給出高斯分布的赫歇爾-麥克斯韋推導(dǎo)、高斯推導(dǎo)、蘭登推導(dǎo)后主要說明高斯分布為什么被廣泛使用并獲得普遍成功，后面的解釋也是一般概率論書籍中不會(huì)存在的精彩部分。第 15 章《概率論中的悖論》主要說明不經(jīng)意地使用無窮大或者接受了實(shí)無窮的測(cè)度論在概率論上為什么會(huì)導(dǎo)致悖論。

四

勸君學(xué)習(xí)概率論

概率論目前不是物理專業(yè)的必修課。盡管量子力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理都用到概率的概念，物理系通常并不要求學(xué)生專門學(xué)習(xí)概率論?；蛘哒f，當(dāng)前物理學(xué)基本仍是確定性科學(xué)，更多依賴傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，對(duì)隨機(jī)數(shù)學(xué)關(guān)注不多 (統(tǒng)計(jì)力學(xué)方向或者是個(gè)例外)?；诠P者對(duì)于概率論重要性的認(rèn)識(shí)，我很希望物理學(xué)專業(yè)未來能將概率論納入本科基礎(chǔ)課程，但是估計(jì)這在短時(shí)間內(nèi)較難實(shí)現(xiàn)。在科技發(fā)展日新月異的時(shí)代，并非所有課程體系都能跟上最新發(fā)展的步伐。然而，在此之前，我還是希望所有物理專業(yè)的學(xué)生都能主動(dòng)關(guān)注甚至系統(tǒng)學(xué)習(xí)概率論，并對(duì)本文介紹的物理學(xué)家杰恩斯的概率論思想有所了解。概率論的重要性主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

按照本書的框架，概率論是科學(xué)的邏輯。這樣，其重要性就不止是作為一個(gè)額外的數(shù)學(xué)或科學(xué)門類。正因?yàn)槿绱耍?974 年菲爾茨獎(jiǎng)得主 David Mumford 才在其 2000 年發(fā)表的重要文章《隨機(jī)性時(shí)代的曙光》(The Dawning of the Age of Stochasticity) 中表明，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和科學(xué)以亞里士多德邏輯為基礎(chǔ)，但是現(xiàn)在概率論和統(tǒng)計(jì)推斷已經(jīng)成為科學(xué)模型，尤其是思維過程模型的更好的基礎(chǔ)，也是理論數(shù)學(xué)的重要組成部分，甚至是數(shù)學(xué)本身的基礎(chǔ)。

概率論的重要性還在于人工智能的崛起。貝葉斯概率論是數(shù)據(jù)科學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)與人工智能的最重要基礎(chǔ)。人工智能的核心目標(biāo)是讓機(jī)器具備類人的智能行為 (如推理、決策、感知)。現(xiàn)實(shí)世界本質(zhì)充滿不確定性，這既是AI 系統(tǒng)必須應(yīng)對(duì)的挑戰(zhàn)，也是其設(shè)計(jì)的核心考量。不確定性來源包括系統(tǒng)內(nèi)在隨機(jī)性、不完全觀測(cè)及建模局限等。按貝葉斯主義觀點(diǎn)：對(duì)不確定性的度量必須遵循概率法則，概率是不確定性的唯一合法表示。人工智能的實(shí)現(xiàn)依賴多種技術(shù)，其中機(jī)器學(xué)習(xí)是最重要手段。在深度學(xué)習(xí)盛行前，統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)是主流分支，概率論在監(jiān)督學(xué)習(xí)、非監(jiān)督學(xué)習(xí)和強(qiáng)化學(xué)習(xí)中均起核心作用。即使在深度學(xué)習(xí)與大語言模型時(shí)代，概率論的基礎(chǔ)性作用依然穩(wěn)固：它為這些模型提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和建?？蚣堋?/p>

貝葉斯概率論也是一門明確涉及主體 (人) 的“科學(xué)”。傳統(tǒng)自然科學(xué)觀認(rèn)為科學(xué)是對(duì)自然某方面性質(zhì)的客觀描述。即使到了量子力學(xué)時(shí)代，認(rèn)為“人不僅是觀察者，也是參與者”，也并非否定量子規(guī)律的客觀性，只是其結(jié)果的呈現(xiàn)受觀測(cè)行為影響?？梢哉f，量子力學(xué)在某種程度上打破了經(jīng)典物理學(xué)主客體割裂的觀念。而貝葉斯概率論則更進(jìn)一步，明確表示概率是認(rèn)識(shí)主體對(duì)命題的信念程度，因此概率是人對(duì)世界的認(rèn)識(shí)。它一方面明確道出主體的不可或缺性，另一方面又通過貝葉斯定理將主客觀聯(lián)系起來。貝葉斯流派強(qiáng)調(diào)，貝葉斯定理的重要性在于，人對(duì)世界的認(rèn)識(shí)離不開其 (主觀) 先驗(yàn)信息。可以說，貝葉斯概率論是關(guān)乎主觀與客觀、科學(xué)與人文，甚至唯物與唯心關(guān)系的重要學(xué)問。

最后，請(qǐng)?jiān)试S我引用《概率論沉思錄》前言中的一段話結(jié)束全文：

“人們可能會(huì)認(rèn)為30 年前的著作在今天已經(jīng)過時(shí)。幸運(yùn)的是，杰弗里斯、波利亞和考克斯的著作是基礎(chǔ)性且永恒的，其中的真理并不隨時(shí)間而改變，其重要性反而與日俱增。他們對(duì)于推斷本質(zhì)的洞察在30年前只是令人好奇，而今在多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域中愈顯重要，并將在未來100年的所有領(lǐng)域中都至關(guān)重要?！?/p>

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號(hào)“現(xiàn)代物理知識(shí)雜志”，原題目為“物理學(xué)家E.T. 杰恩斯及其《概率論沉思錄》簡介”，編輯：YWA。

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