女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

七種飾帶圖案是眾所周知的，但如果想在一條材料中展示多種對(duì)稱性，它們之間的過渡是必要的，以便展示所有可用的對(duì)稱性，而不會(huì)突然改變?cè)O(shè)計(jì)。這項(xiàng)工作探索了七種傳統(tǒng)飾帶圖案之間的可行轉(zhuǎn)換，初步考慮將這一結(jié)果擴(kuò)展到十七種利用顏色反轉(zhuǎn)對(duì)稱性的飾帶圖案。

眾所周知，對(duì)于出現(xiàn)在飾帶中的周期性圖案(通常稱為“飾帶圖案”)，可能有七種不同的對(duì)稱群。許多論文討論了飾帶圖案，特別是考慮到它們?cè)诜谴硇运囆g(shù)中的文化流行[1，4，5，6]，它們非常適合裝飾性的邊界或窄帶材料，如皮帶。然而，為了在一件作品中展示多種圖案，使用允許一種圖案自然流入另一種圖案的過渡狀態(tài)提供了一種在一件作品中使用各種不同對(duì)稱組的不引人注目的方法。不同鑲嵌或鑲嵌之間的過渡已被廣泛用于以鑲嵌為導(dǎo)向的工作，特別是在M·C·埃舍爾的變形系列版畫和威廉赫夫的拼花變形，這也是以前的bridge論文[2，3]的主題。然而，大多數(shù)涉及圖案過渡的工作都是在保持單一基本對(duì)稱性的同時(shí)對(duì)圖案進(jìn)行變形，而不是展示各種對(duì)稱性；一個(gè)顯著的例外是Karl Schaffer對(duì)舞蹈中對(duì)稱性的探索，隨著時(shí)間的推移，舞蹈家群體中對(duì)稱性的變化是一種廣泛使用的舞蹈技巧[7]。本文旨在闡明如何在一件作品中通過適當(dāng)?shù)倪^渡來表達(dá)多種不同的對(duì)稱：例如，雖然飾帶群可以用七條單獨(dú)的腰帶來展示，每條腰帶都有不同的圖案，但展示對(duì)稱的優(yōu)雅方式將允許用一條腰帶展示所有對(duì)稱。

因?yàn)檫@個(gè)項(xiàng)目的目的是作為對(duì)上面討論的顏色反轉(zhuǎn)對(duì)稱的最終探索的序言，我們可以在一開始就確定，圖案具有等量的正(黑色)和負(fù)(白色)空間是可取的；這是任何顏色反轉(zhuǎn)對(duì)稱的必要屬性，但我們將要求它，即使這項(xiàng)工作涉及的圖案，它不是由底層對(duì)稱性強(qiáng)制要求的。同樣考慮到以后引入這類更大的對(duì)稱，為了恰當(dāng)?shù)乜紤]七個(gè)標(biāo)準(zhǔn)飾帶對(duì)稱群作為構(gòu)成顏色反轉(zhuǎn)群的子群，我們將只展示那些根本不具有任何顏色反轉(zhuǎn)對(duì)稱性的橫紋作為這七個(gè)橫紋的代表。

受這些限制，圖1中顯示了七個(gè)橫紋組的代表性顏色平衡圖案，并通過其標(biāo)準(zhǔn)晶體學(xué)名稱進(jìn)行識(shí)別。如果一個(gè)對(duì)稱的保模變換群是高階對(duì)稱的子群，那么它就可以說是低階對(duì)稱。保持對(duì)稱變換偏序集的Hasse圖如圖2所示。

圖1：顯示可能的飾帶對(duì)稱的七種圖案

圖2：七種飾帶對(duì)稱的Hasse圖

通過從低階對(duì)稱到高階對(duì)稱的轉(zhuǎn)變，我們的意思是在單個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)的圖案的連續(xù)變形，使得圖案在轉(zhuǎn)換過程中所有點(diǎn)都表現(xiàn)出低階對(duì)稱，僅在變形結(jié)束時(shí)表現(xiàn)出高階對(duì)稱，并且在變形過程中任何點(diǎn)都沒有其他對(duì)稱。在圖2中有12對(duì)可比較的對(duì)稱，特別注意到pmm2和p111之間以及pmg2和p111之間的可比性在Hasse圖中被省略了，因?yàn)樗鼈兪怯身樞虻膫鬟f性暗示的。從展示所有這些可比性的角度來看，如果有可能為每一對(duì)可比性對(duì)稱產(chǎn)生躍遷，那將是理想的。

飾帶對(duì)稱之間的過渡

圖1中顯示的特定模式是這樣的，一些轉(zhuǎn)換是對(duì)眾所周知的幾何變換的直接調(diào)用，為了簡單起見，我們將描述為應(yīng)用于黑色區(qū)域。具體而言，通過將平行四邊形剪切成矩形，p111展示的圖案可以轉(zhuǎn)換成pm11展示的圖案，并且類似的過程將p112圖案轉(zhuǎn)換成pmm2。此外，p111可以通過垂直于中心線平移平行四邊形來轉(zhuǎn)換成p112，并且對(duì)矩形執(zhí)行的類似過程將pm11轉(zhuǎn)換成pmm2。最后，通過同時(shí)進(jìn)行這兩種轉(zhuǎn)化，p111可以直接轉(zhuǎn)化為pmm2。給出的例子中類似的直接轉(zhuǎn)換是將p1g1的梯形剪切成pmg2的等腰梯形的結(jié)果。為了簡潔起見，這些簡單的轉(zhuǎn)換沒有一個(gè)完整地展示出來。

因?yàn)閜111是一個(gè)非常容易變換的對(duì)稱，p111圖案自由變形為三個(gè)圖案(p1m1、p1g1和pmg2)也是非常簡單的，盡管以面積保持的方式變形為p1m1在算術(shù)上有些混亂。特別地，p111到pmg2的轉(zhuǎn)換可以通過將每個(gè)平行四邊形一分為二成兩個(gè)梯形，并將其中一個(gè)向上和向右平移來容易地獲得。這種轉(zhuǎn)換在圖3a中線性顯示。到p1g1的轉(zhuǎn)換非常相似，包含一個(gè)剪切元素，如圖3b所示。為了變換到p1m1，平行四邊形的兩個(gè)最右邊的頂點(diǎn)可以自由地向三角形的右頂點(diǎn)移動(dòng)，而左上頂點(diǎn)進(jìn)一步向上和向左移動(dòng)；雖然這些運(yùn)動(dòng)中有兩個(gè)是線性的，但是為了保持面積，右下角的點(diǎn)實(shí)際上會(huì)描繪出一條拋物線路徑。這種轉(zhuǎn)換可以在圖3c中看到。

圖3：從p111對(duì)稱到(a) pmg2對(duì)稱，(b) p1g1對(duì)稱和(c) p1m1對(duì)稱的圖案轉(zhuǎn)換

圖4：圖案從(a) pm11到pmg2對(duì)稱，(b) p1m1到pmm2對(duì)稱，以及(c) p112到pmg2對(duì)稱的變換

圖中每個(gè)對(duì)稱用一個(gè)頂點(diǎn)表示，有效的過渡用鄰接表示，這在視覺上與圖中的Hasse圖非常相似；唯一的區(qū)別是pmm2和pmg2與p111的相似性，這在Hasse圖中是隱含的，在轉(zhuǎn)變圖中是一條邊。這張圖上的歐拉或哈密爾頓遍歷將分別代表每一個(gè)躍遷和每一個(gè)對(duì)稱的展示。

雖然歐拉回路在躍遷圖上是不可能的，因?yàn)閜m11和p112都參與了三個(gè)躍遷，但在躍遷圖上，從pm11到p112的歐拉軌跡是可能的，這意味著有可能做出一條飾帶，顯示狀態(tài)之間所有可能的躍遷。圖5展示了這樣一個(gè)飾帶，每個(gè)過渡由五個(gè)重復(fù)組成。這個(gè)特殊的飾帶對(duì)應(yīng)于歐拉軌跡，它依次訪問頂點(diǎn)pm11, pmm2, p1m1, p111, pmm2, p112, pmg2, p1g1, p111, pmg2, pm11, p111和p112。

圖5：61個(gè)重復(fù)的飾帶，經(jīng)歷所有12個(gè)過渡；過渡端點(diǎn)顯示為紅色。

周期修改

值得注意的是，任何具有水平反射軸的對(duì)稱都有滑移反射，但是滑移反射的相關(guān)平移距離是一個(gè)完整的周期，而不是一個(gè)周期的一半。因此，感覺上圖2中的Hasse圖并不完全準(zhǔn)確:p1m1和p2mm具有滑移反射對(duì)稱性，因此它們的對(duì)稱群是p1g1和pmg2的對(duì)稱群的超集，盡管周期是兩倍大。因此，對(duì)對(duì)稱性轉(zhuǎn)變的更全面的探索不僅要考慮單個(gè)周期的對(duì)稱群之間的關(guān)系，還要考慮它們與長度減半或加倍的周期上的對(duì)稱群之間的關(guān)系。

如果我們用下標(biāo)2表示半周期上的對(duì)稱群，那么我們可以考慮14個(gè)全寬和半寬對(duì)稱的擴(kuò)展偏序集，其中除了全寬子集和半寬子集內(nèi)已建立的排序，以及每個(gè)全寬對(duì)稱與其半寬變體之間的可比性，我們還將具有p1g1 < p1m12和pmg2 < pmm22的可比性。這種結(jié)構(gòu)可以無限地向上或向下擴(kuò)展，子集不僅可以是半周期的，也可以是四分之一或更小周期的，在相反的方向上可以是兩倍、四倍等等。

未來的工作

還有許多其他對(duì)稱族，在這些對(duì)稱族上，設(shè)計(jì)對(duì)稱之間的過渡的問題可能對(duì)于構(gòu)建展示多重對(duì)稱的展示作品是有意義的。這個(gè)項(xiàng)目最初是出于建立一個(gè)展示所有17種飾帶反對(duì)稱的編織帶的設(shè)計(jì)的愿望，這些反對(duì)稱是由Weber [8]系統(tǒng)化的，它依賴于一個(gè)通過飾帶反對(duì)稱轉(zhuǎn)換圖上的哈密爾頓導(dǎo)線展示所有對(duì)稱的計(jì)劃，或者更雄心勃勃地通過歐拉導(dǎo)線展示所有反對(duì)稱轉(zhuǎn)換。識(shí)別過渡的相同過程也可能與十七個(gè)平面對(duì)稱相關(guān)，也稱為“墻紙圖案”，或H.J. Woods的四十六種“變換”平面對(duì)稱[9]。然而，平面對(duì)稱中的過渡呈現(xiàn)出獨(dú)特的挑戰(zhàn)和機(jī)遇：不僅圖案，而且基本域也必須作為過渡的一部分改變形狀，并且沿著兩個(gè)不同的軸在兩個(gè)不同的方向上過渡圖案的能力意味著正在經(jīng)歷過渡的作品的底層結(jié)構(gòu)可能比簡單地在圖形中穿行更豐富。

參考文獻(xiàn)

[1] B. L. Bodner. “Frieze Patterns of the Alhambra.” Bridges Conference Proceedings. San Sebastian, Spain, July 24–27 2007. pp. 203–208. http://archive.bridgesmathart.org/2007/bridges2007-203.html.

[2] C. S. Kaplan. “Metamorphosis in Escher’s Art.” Bridges Conference Proceedings. Leeuwarden, the Netherlands, July 24–28 2008. pp. 39–46. http://archive.bridgesmathart.org/2008/bridges2008-39.html.

[3] C. S. Kaplan. “Curve Evolution Schemes for Parquet Deformations.” Bridges Conference Proceedings. Pécs, Hungary, July 24–28 2010. pp. 95–102.

http://archive.bridgesmathart.org/2010/bridges2010-95.html.

[4] L. Koss. “One-color Frieze Patterns in Friendship Bracelets: A Cross-Cultural Comparison.” Bridges Conference Proceedings. 2021. pp. 253–256.

http://archive.bridgesmathart.org/2021/bridges2021-253.html.

[5] G. R. Laigo, H. M. GebreYohannes, and F. M. H. Al Khamisi. “Symmetry Groups of Islamic Patterns at the Sultan Qaboos Grand Mosque.” Bridges Conference Proceedings. 2014. pp. 183–190.

http://archive.bridgesmathart.org/2014/bridges2014-183.html.

[6] L. Radovic and S. Jablan. “Antisymmetry and Modularity in Ornamental Art.” Bridges Conference Proceedings. 2001. pp. 55–66. http://archive.bridgesmathart.org/2001/bridges2001-55.html.

[7] K. Schaffer. “Dichromatic Dances.” Bridges Conference Proceedings. Waterloo, Canada, July 27–31 2017. pp. 291–298. http://archive.bridgesmathart.org/2017/bridges2017-291.pdf.

[8] L. Weber. “XII. Die Symmetrie homogener ebener Punktsysteme.” Zeitschrift für Kristallographie, vol. 70, 1929, pp. 309–327. https://doi.org/10.1524/zkri.1929.70.1.309.

[9] H. J. Woods. “The Geometrical Basis of Pattern Design. Part IV: Counterchange Symmetry in Plane Patterns.” Journal of the Textile Institute Transactions, vol. 27, no. 12, 1936, pp. T305–T320.

https://doi.org/10.1080/19447023608661695.

[10] D. Jacob Wildstrom, Transition Processes for Frieze Patterns

青山不改，綠水長流，在下告退。

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