中檔題的中等生思維突破

一份有效的數(shù)學(xué)測(cè)試卷，最體現(xiàn)區(qū)分度的題目是中檔題，區(qū)分對(duì)象也是中等生，一道優(yōu)秀的中檔題，可以有效將學(xué)生得分控制在不同區(qū)間，越過它，就是中等及以上，越不過，就是中等及以下。在解題耗時(shí)上，優(yōu)秀學(xué)生可以迅速找到解題思路并規(guī)范完成，中等生則需要較長(zhǎng)時(shí)間才能找到，而后進(jìn)生則毫無頭緒，最后只能寫個(gè)解。

突破中檔題，關(guān)鍵在于對(duì)題目條件的解讀，第一是能夠解讀出條件可得出的結(jié)論，第二是能找到這些結(jié)論間關(guān)聯(lián)，第三是利用這些一級(jí)結(jié)論作為條件進(jìn)行下一步推導(dǎo)。

題目

如圖，銳角△ABC內(nèi)接于圓O，AD⊥BC，BE⊥AC，OM⊥BC，垂足分別為D、E、M

(1)若∠ACB=60°，求∠ABO的大�。�

(2)△OMB與△AEB相似嗎？為什么？

(3)判斷△OBD與△OAE的面積是否相等？并說明理由.

解析：

01

(1)∠ACB是圓周角，它所對(duì)的弧AB對(duì)著圓心角∠AOB，因此∠AOB=120°，再加上OA=OB，等腰△AOB中，底角∠ABO=30°；

02

(2)△OMB和△AEB均為直角三角形，所以在判斷它們相似的時(shí)候，已經(jīng)具備了一個(gè)角相等，在判定相似的各種方法中，兩角條件最容易找，所以很自然地想到去找剩下的一對(duì)對(duì)應(yīng)角；

在△OMB和△AEB的銳角中，∠BAE是圓周角，它所對(duì)的弧是弧BC，而弧BC所對(duì)的圓心角是∠BOC，此處應(yīng)連接OC，如下圖：

由于OM⊥BC，且OB=OC，因此在等腰△BOC中，可利用“三線合一”證明∠BOM=1/2∠BOC，同時(shí)∠BAE=1/2∠BOC，于是∠BOM=∠BAE，我們可證明△OMB∽△AEB；

03

(3)△OBD與△OAE都不是特殊三角形，所以它們的面積首先考慮最基本的面積公式，即底乘高的一半，所以我們需要作出△OAE的高OF，如下圖：

△OBD的面積為1/2BD×OM，△OAE的面積為1/2AE×OF，若是BD·OM=AE·OF，問題就能解決；

思考方向一：能否找到一對(duì)相似三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊中恰好含有以上4條線段？

答案是否；

思考方向二：這4條線段中，有2條來自于前面剛剛證明的相似三角形，△OMB和△AEB中，前者含有線段OM，后者含有線段AE，更巧的是它們也是對(duì)應(yīng)邊，所以在剩下的2條線段，BD與OF，是否存在于另一對(duì)相似三角形中？

答案是存在；

BD所在三角形較多，優(yōu)先選擇特殊三角形，即Rt△ABD，OF所在三角形也是Rt△AOF，下面我們來尋找它們相似的條件，如下圖：

和前一小題類似，它們已經(jīng)具備了一對(duì)相等的直角，剩下的銳角中，∠ABD=1/2∠AOC，理由是同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，而∠AOF=1/2∠AOC，理由和上一小題相同，因此可證明△AOF∽△ABD，于是得能成比例線段OF:BD=AO:AB，在前面的△OMB∽△AEB中，得到成比例線段OM:AE=BO:AB，觀察這兩個(gè)比例式的右邊，由AO=BO可知它們相等，所以得到新的成比例線段OF:BD=OM:AE，轉(zhuǎn)換為乘積式為BD·OM=AE·OF，兩邊分別乘以1/2，即得到S△OBD=S△OAE.

解題思考

在讀題過程中，每一句條件的解讀，需要講透，例如第一句“銳角△ABC內(nèi)接于圓O”，需要認(rèn)知到三角形的三條邊在圓內(nèi)都是弦，每條弦都有所對(duì)的圓周角和圓心角，并且它的三個(gè)內(nèi)角在圓中的“身份”都是圓周角，完成這個(gè)認(rèn)知上的轉(zhuǎn)換，后面的推導(dǎo)才有繼續(xù)的可能，否則就會(huì)始終想不到。

題目中的垂直條件較多，直角多，所以在構(gòu)造相似三角形的時(shí)候，優(yōu)先考慮直角三角形，這是常規(guī)思維。多數(shù)中等生具備常規(guī)思維是沒問題的，導(dǎo)致找不到合適的相似三角形，是因?yàn)闆]能將題目條件與結(jié)論關(guān)聯(lián)起來，例如我們?cè)趯ふ业?小題解題思路的時(shí)候，就有不少學(xué)生嘗試用割補(bǔ)法，然而試過多次后始終沒辦法將它們割補(bǔ)成規(guī)則圖形或面積可求的圖形，這個(gè)思路就一開始就歪了。

很多中等生有一個(gè)毛病，就是小聰明，自以為想到了別人想不到的方法，殊不知數(shù)學(xué)題，最講究的恰恰是常規(guī)常法，腳踏實(shí)地才是最優(yōu)解，這個(gè)心態(tài)不變，也極難走出中等生的思維困局。

本題其實(shí)已經(jīng)將思路“梯子”搭好了，第2小題就是明顯的提示，實(shí)際解題過程中，能夠完成第2小題的中等生非常多，但基本受困于第3問面積如何表示，當(dāng)我們讀完題目條件后，應(yīng)該發(fā)現(xiàn)，沒有給出任何線段長(zhǎng)度，就已經(jīng)清楚這個(gè)面積是“不可求”或“不須求”，實(shí)在沒道理在這條死胡同上耗費(fèi)更多時(shí)間。

我們期望的最佳思路，就是從成功解讀題目條件開始，當(dāng)學(xué)生解題失敗后 ，不妨去問下他們是怎么想的，從學(xué)生思路中尋找突破困境的方法，這就是引導(dǎo)。

課堂上的引導(dǎo)，與解題思路的引導(dǎo)，不能說完全相同，前者的引導(dǎo)是基于教師對(duì)學(xué)生認(rèn)知的了解作出的課堂行為，是教師主動(dòng)施加給學(xué)生，而后者則是聽取學(xué)生思路之后作出的糾正性質(zhì)的課堂行為，是由學(xué)生引發(fā)，根據(jù)不同學(xué)生的思路，引導(dǎo)也不相同，更具個(gè)性化。

解題之后的思考，更為重要，當(dāng)老師在課堂上講完一道題目之后，一定要有留白，即學(xué)生自我消化的時(shí)間，并且在這個(gè)過程中，不要消極等候，而是注重解題后的思維形成引導(dǎo)，簡(jiǎn)單說就是告訴學(xué)生這樣想是可以的，那樣想是不行的，以此題為證，等等。

從讀題，解題，反思這三個(gè)步驟去觀察，讀懂學(xué)生，才能讀懂教學(xué)。