學(xué)透概念，秒殺壓軸

2024年海淀區(qū)一模第27題

一次普通的軸對(duì)稱變換，一次普通的旋轉(zhuǎn)變換，能給圖形帶來(lái)哪些變化？

答案是無(wú)數(shù)種。

我們看到了，一個(gè)特殊的含30°角的直角三角形，其中一條短直角邊旋轉(zhuǎn)后再軸對(duì)稱，簡(jiǎn)單的幾何元素，簡(jiǎn)潔的變換，卻讓很多學(xué)生思考很久才得到解法。而思考出解法的學(xué)生又有相當(dāng)一部分走了彎路，事實(shí)上這道題，看透之后，完全可以秒殺。這里沒(méi)有技巧，沒(méi)有套路，更沒(méi)有模型，只有對(duì)幾何概念的深入理解。

題目

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0 <α≤60°)得到線段ad，點(diǎn)d關(guān)于直線bc的對(duì)稱點(diǎn)為e，連接ae，de.<>

(1)如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，用等式表示線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)連接BD，依題意補(bǔ)全圖2，若AE=BD，求α的大小.

解析：

01

(1)秒殺思路：連接BE得等邊△BDE，等腰△ADE且其頂角為120°，由特殊等腰三角形底邊與腰的數(shù)量關(guān)系得AE=√3AD，即AE=√3BD；

思路詳解：連接BE之后，由于D、E關(guān)于BC軸對(duì)稱，所以BD=BE，∠DBC=∠EBC=30°，所以∠DBE=60°，于是得到等邊△BDE；

我們知道特殊直角三角形中，AB=2AD，此時(shí)點(diǎn)D落在AB上，即為AB中點(diǎn)，由等邊△BDE得DE=BD，然后DE=AD，頂角∠ADE=120°，這個(gè)特殊等腰三角形中，底是腰的√3倍，可以用三角函數(shù)、特殊直角三角形證明，所以結(jié)果由此得來(lái)；

02

(2)秒殺思路一：作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF、CF，如下圖：

圖中的△ABD≌△FAE，得∠DAB=∠EFA，而∠DAC與∠EFA關(guān)于BC軸對(duì)稱，故∠DAC=∠EFA，所以∠DAB=∠DAC=30°，即α=30°；

思路詳解：輔助線作法可得AC=FC，即AF=2AC，而AB=2AC，所以AB=AF，由軸對(duì)稱可得AD=FE，題目條件給了AE=BD，由SSS判定△ABD≌△FAE；

由∠DAC與∠EFA關(guān)于BC軸對(duì)稱得∠DAC=∠EFA，等量代換后得到∠DAB=∠DAC，而∠BAC=60°，所以α=30°；

秒殺思路二：作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BE，F(xiàn)E，F(xiàn)B，如下圖：

由于D，E關(guān)于BC軸對(duì)稱，因此BD=BE，而BD=AE，則BE=AE，又由AF=AB且∠BAC=60°，得等邊△ABF，于是FA=FB，即EF是線段AB的垂直平分線（點(diǎn)E、F到線段AB兩端距離分別相等，故點(diǎn)E、F都在AB的垂直平分線上），由三線合一可知∠BFE=30°，∠BAD與∠BFE也關(guān)于BC軸對(duì)稱，所以∠BAD=30°，即α=30°；

思路詳解：事實(shí)上本法構(gòu)造出了兩次軸對(duì)稱，第一對(duì)是△ABD與△FBE，第二對(duì)是△FBE與△FAE，即圖中△ABD、△FBE、△FAE互為全等三角形；

解題反思

你憑啥能夠秒殺？

其實(shí)第1小題的方法非常多，例如連接CD，CE證明菱形ADEC，但如果能夠掌握特殊三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，這道題的思考方向就不會(huì)錯(cuò)，無(wú)論是走含30°角的直角三角形，等邊三角形，含120°角的等腰三角形，菱形等，都能夠很快找到思路，所以這并不是本題難點(diǎn)。

在第2小題中，旋轉(zhuǎn)只是小道，軸對(duì)稱才是需要深入理解的對(duì)象，在證明全等時(shí)，AD=FE就是利用軸對(duì)稱性質(zhì)得到的，所以我們?cè)谧鲌D時(shí)，需要清楚哪些圖形是軸對(duì)稱圖形，不妨來(lái)翻下教材：

所以軸對(duì)稱的概念中，兩個(gè)圖形重合是我們要深入理解的，怎么深入？其實(shí)我們?cè)趯W(xué)習(xí)全等的時(shí)候，同樣也是用“圖形重合”來(lái)描述的，所以當(dāng)兩個(gè)圖形是軸對(duì)稱關(guān)系的時(shí)候，全等能干的事，軸對(duì)稱同樣能干！

不妨把全等的性質(zhì)借用到軸對(duì)稱上面，兩條線段、兩個(gè)角、兩個(gè)三角形等，只要它們是軸對(duì)稱關(guān)系，則重合，則全等，則相等……

題目是解完了，我們繼續(xù)探究這道題，點(diǎn)D在以A為圓心，AC為半徑的圓上，其中點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，因此點(diǎn)E的軌跡與點(diǎn)D也應(yīng)具備相同的對(duì)稱性，即點(diǎn)E在以點(diǎn)F為圓心，半徑也為AC的圓上，如下圖：

而當(dāng)AE=BD時(shí)，點(diǎn)E在線段AB的垂直平分線上，這條直線與圓F有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么另一個(gè)公共點(diǎn)又是什么情況呢？如下圖：

我們依然可以得到AE=BD，當(dāng)然，這已經(jīng)超出了本題的研究范圍，此時(shí)的點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到△ABC外了，旋轉(zhuǎn)角α=150°+60°=210°；

一點(diǎn)感悟是，這道題解完之后感覺并不算難，方法眾多，基本上在套路之外，如果不是對(duì)軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)有足夠深刻的認(rèn)知，會(huì)走很多彎路，實(shí)際上在學(xué)生思考這道題的時(shí)候，也曾出現(xiàn)過(guò)嘗試用某模型而不得要領(lǐng)的結(jié)果，對(duì)于少數(shù)基礎(chǔ)不扎實(shí)的學(xué)生，在第1小題中出現(xiàn)偽證，把看上去像的結(jié)論當(dāng)作條件。

再次研究這道題，還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多有趣的地方，這三個(gè)三角形中，△ABD與△FBE始終是軸對(duì)稱，而隨著點(diǎn)D的旋轉(zhuǎn)，第三個(gè)三角形△AFE會(huì)和△FBE全等（軸對(duì)稱），只有當(dāng)兩次軸對(duì)稱都成型，第2小題的結(jié)論就成立了，此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角α有兩個(gè)結(jié)果，在本題條件限制下，得α=30°.