數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論問題。不同時(shí)代的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都從認(rèn)識(shí)論角度提出不同的理論和觀點(diǎn)。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展又暴露出它們的片面性或局限性，特別是，當(dāng)計(jì)算機(jī)引起數(shù)學(xué)研究方式的變革時(shí)，又提出有關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)更深層次的問題，從而推動(dòng)著人們?nèi)娑q證地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

一、數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的一般性與特殊性

數(shù)學(xué)作為對(duì)客觀事物的一種認(rèn)識(shí)，與其他科學(xué)認(rèn)識(shí)一樣，其認(rèn)識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程遵循實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐的認(rèn)識(shí)路線。但是，數(shù)學(xué)對(duì)象（量）的特殊性和抽象性，又產(chǎn)生與其他科學(xué)不同的、特有的認(rèn)識(shí)方法和理論形式。由此產(chǎn)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論的特有問題。

數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的一般性 認(rèn)識(shí)論是研究認(rèn)識(shí)的本質(zhì)以及認(rèn)識(shí)發(fā)生、發(fā)展一般規(guī)律的學(xué)說，它涉及認(rèn)識(shí)的來源、感性認(rèn)識(shí)與理性認(rèn)識(shí)的關(guān)系、認(rèn)識(shí)的真理性等問題。數(shù)學(xué)作為對(duì)客觀事物的一種認(rèn)識(shí)，其認(rèn)識(shí)論也同樣需要探討這些問題；其認(rèn)識(shí)過程，與其他科學(xué)認(rèn)識(shí)一樣，也必然遵循實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐這一辯證唯物論的認(rèn)識(shí)路線。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)史上的許多新學(xué)科都是在解決現(xiàn)實(shí)問題的實(shí)踐中產(chǎn)生的。最古老的算術(shù)和幾何學(xué)產(chǎn)生于日常生活、生產(chǎn)中的計(jì)數(shù)和測(cè)量，這已是不爭(zhēng)的歷史事實(shí)。數(shù)學(xué)家應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)在解決生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)提出的新的數(shù)學(xué)問題的過程中，通過試探或試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出解決新問題的具體方法，歸納或概括出新的公式、概念和原理；當(dāng)新的數(shù)學(xué)問題積累到一定程度后，便形成數(shù)學(xué)研究的新問題（對(duì)象）類或新領(lǐng)域，產(chǎn)生解決這類新問題的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套經(jīng)驗(yàn)知識(shí)。這樣，有了新的問題類及其解決問題的新概念、新方法等經(jīng)驗(yàn)知識(shí)后，就標(biāo)志著一門新的數(shù)學(xué)分支學(xué)科的產(chǎn)生，例如，17世紀(jì)的微積分。由此可見，數(shù)學(xué)知識(shí)是通過實(shí)踐而獲得的，表現(xiàn)為一種經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的積累。

這時(shí)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)是零散的感性認(rèn)識(shí)，概念尚不精確，有時(shí)甚至導(dǎo)致推理上的矛盾。因此，它需要經(jīng)過去偽存真、去粗取精的加工制作，以便上升為有條理的、系統(tǒng)的理論知識(shí)。

數(shù)學(xué)知識(shí)由經(jīng)驗(yàn)知識(shí)形態(tài)上升為理論形態(tài)后，數(shù)學(xué)家又把它應(yīng)用于實(shí)踐，解決實(shí)踐中的問題，在應(yīng)用中檢驗(yàn)理論自身的真理性，并且加以完善和發(fā)展。同時(shí)，社會(huì)實(shí)踐的發(fā)展，又會(huì)提出新的數(shù)學(xué)問題，迫使數(shù)學(xué)家創(chuàng)造新的方法和思想，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，即新的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。由此可見，數(shù)學(xué)作為一種認(rèn)識(shí)，與其他科學(xué)認(rèn)識(shí)一樣，遵循著感性具體——理性抽象——理性具體的辯證認(rèn)識(shí)過程。這就是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的一般性。

數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的特殊性 科學(xué)的區(qū)分在于研究對(duì)象的特殊性。數(shù)學(xué)研究對(duì)象的特殊性就在于，它是研究事物的量的規(guī)定性，而不研究事物的質(zhì)的規(guī)定性；而“量”是抽象地存在于事物之中的，是看不見的，只能用思維來把握，而思維有其自身的邏輯規(guī)律。所以數(shù)學(xué)對(duì)象的特殊性決定了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)方法的特殊性。這種特殊性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)由經(jīng)驗(yàn)形態(tài)上升為理論形態(tài)的特有的認(rèn)識(shí)方法——公理法或演繹法，以及由此產(chǎn)生的特有的理論形態(tài)——公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)。因此，它不能像自然科學(xué)那樣僅僅使用觀察、歸納和實(shí)驗(yàn)的方法，還必須應(yīng)用演繹法。同時(shí)，作為對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)概括的公理系統(tǒng)，是否正確地反映經(jīng)驗(yàn)知識(shí)呢？數(shù)學(xué)家解決這個(gè)問題與自然科學(xué)家不盡相同。特別是，他們不是被動(dòng)地等待實(shí)踐的裁決，而是主動(dòng)地應(yīng)用形式化方法研究公理系統(tǒng)應(yīng)該滿足的性質(zhì)：無矛盾性、完全性和公理的獨(dú)立性。為此，數(shù)學(xué)家進(jìn)一步把公理系統(tǒng)抽象為形式系統(tǒng)。因此，演繹法是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)特殊性的表現(xiàn)。

二、概括數(shù)學(xué)本質(zhì)的嘗試

數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的一般性表明，數(shù)學(xué)的感性認(rèn)識(shí)表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)；數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的特殊性表明，數(shù)學(xué)的理性認(rèn)識(shí)表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識(shí)的演繹性質(zhì)。因此，認(rèn)識(shí)論中關(guān)于感性認(rèn)識(shí)與理性認(rèn)識(shí)的關(guān)系在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論中表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性的關(guān)系。所以，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性的辯證關(guān)系。那么數(shù)學(xué)哲學(xué)史上哲學(xué)家是如何論述數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性的關(guān)系，從而得出他們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的看法的呢？

數(shù)學(xué)哲學(xué)史上最早探討數(shù)學(xué)本質(zhì)的是古希臘哲學(xué)家柏拉圖。他在《理想國》中提出認(rèn)識(shí)的四個(gè)階段，認(rèn)為數(shù)學(xué)是處于從感性認(rèn)識(shí)過渡到理性認(rèn)識(shí)的一個(gè)階梯，是一種理智認(rèn)識(shí)。這是柏拉圖對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在認(rèn)識(shí)論中的定位，第一次觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題。

17世紀(jì)英國經(jīng)驗(yàn)論哲學(xué)家J.洛克（1632～1704）在批判R.笛卡爾的天賦觀念中建立起他的唯物主義經(jīng)驗(yàn)論，表述了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)論觀點(diǎn)。他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)來源于經(jīng)驗(yàn)，但又認(rèn)為屬于論證知識(shí)的數(shù)學(xué)不如直覺知識(shí)清楚和可靠。

德國哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家G.W.萊布尼茨（1646～1716）在建立他的唯理論哲學(xué)中，闡述了唯理論的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。他認(rèn)為：“全部算術(shù)和全部幾何學(xué)都是天賦的”；數(shù)學(xué)只要依靠矛盾原則就可以證明全部算術(shù)和幾何學(xué)；數(shù)學(xué)是屬于推理真理。他否認(rèn)了數(shù)學(xué)知識(shí)具有經(jīng)驗(yàn)性。

德國哲學(xué)家I.康德（1724～1804）為了克服唯理論與經(jīng)驗(yàn)論的片面性，運(yùn)用他的先驗(yàn)論哲學(xué)，從判斷的分類入手，論述了數(shù)學(xué)是“先天綜合判斷”。由于這一觀點(diǎn)帶有先驗(yàn)性和調(diào)和性，所以它并沒有解決數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性的辯證關(guān)系。

康德以后，數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)入一個(gè)新時(shí)期，它的一個(gè)重要特點(diǎn)是公理化傾向。這一趨勢(shì)使大多數(shù)數(shù)學(xué)家形成一種認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)是一門演繹的科學(xué)。這種觀點(diǎn)的典型代表是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)派中的邏輯主義和形式主義。前者把數(shù)學(xué)歸結(jié)為邏輯，后者把數(shù)學(xué)看作是符號(hào)游戲。1931年哥德爾不完全性定理表明了公理系統(tǒng)的局限性和數(shù)學(xué)演繹論的片面性。這就使得一些數(shù)學(xué)家開始懷疑“數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)”的觀點(diǎn)，提出，數(shù)學(xué)是一門有經(jīng)驗(yàn)根據(jù)的科學(xué)，但它并不排斥演繹法。這引起一場(chǎng)來自數(shù)學(xué)家的有關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)的討論（參見(16)）。

I.拉卡托斯（1922～1974）為了避免數(shù)學(xué)演繹論與經(jīng)驗(yàn)論的片面性，從分析數(shù)學(xué)理論的結(jié)構(gòu)入手，提出數(shù)學(xué)是一門擬經(jīng)驗(yàn)科學(xué)。他說：“作為總體上看，按歐幾里得方式重組數(shù)學(xué)也許是不可能的，至少最有意義的數(shù)學(xué)理論像自然科學(xué)理論一樣，是擬經(jīng)驗(yàn)的?！保á啵?1頁）盡管拉卡托斯給封閉的歐幾里得系統(tǒng)打開了第一個(gè)缺口，但是，擬經(jīng)驗(yàn)論實(shí)際上是半經(jīng)驗(yàn)論，并沒有真正解決數(shù)學(xué)性質(zhì)問題，因而數(shù)學(xué)家對(duì)它以及數(shù)學(xué)哲學(xué)史上有關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)的概括并不滿意。1973年，數(shù)理邏輯學(xué)家A.羅賓遜說：“就應(yīng)用辯證法來仔細(xì)分析數(shù)學(xué)或某一種數(shù)學(xué)理論（如微積分）而言，在我所讀的從黑格爾開始的這方面的著作中，還沒有發(fā)現(xiàn)經(jīng)得起認(rèn)真批判的東西?！保?16)，第12頁）因此，當(dāng)計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用引起數(shù)學(xué)研究方式的變革時(shí)，特別是當(dāng)計(jì)算機(jī)證明了四色定理和借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行大量試驗(yàn)而創(chuàng)立分形幾何時(shí)，再次引起了數(shù)學(xué)家們對(duì)“什么是證明？”“什么是數(shù)學(xué)？”這類有關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)的爭(zhēng)論。（參見(17)，第六章）

三、數(shù)學(xué)本質(zhì)的辯證性

正因?yàn)橐恍┲麛?shù)學(xué)家不滿意對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的概括，他們開始從數(shù)學(xué)研究的體驗(yàn)來闡明數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性的相互關(guān)系。D.希爾伯特說：數(shù)學(xué)的源泉就在于思維與經(jīng)驗(yàn)的反復(fù)出現(xiàn)的相互作用（(11)，第60—61頁），馮·諾伊曼說：數(shù)學(xué)的本質(zhì)存在著經(jīng)驗(yàn)與抽象的二重性（(11)，第117—123頁）；R.庫朗說：數(shù)學(xué)“進(jìn)入抽象性的一般性的飛行， 必須從具體和特定的事物出發(fā)，并且又返回到具體和特定的事物中去”（(12)，第83頁）；而A.羅賓遜則寄希望于：“出現(xiàn)一種以辯證的研究方法為基礎(chǔ)的、態(tài)度認(rèn)真的數(shù)學(xué)的哲學(xué)”（(16)，第12頁）。

本節(jié)將根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的三種形態(tài)（經(jīng)驗(yàn)知識(shí)、公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)）及其與實(shí)踐的關(guān)系，具體說明數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性的辯證關(guān)系。為了顯示數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)踐的關(guān)系，用框圖表示如右。

數(shù)學(xué)知識(shí)形態(tài)及其與實(shí)踐的關(guān)系

經(jīng)驗(yàn)知識(shí) 是有關(guān)數(shù)學(xué)模型及其解決方法的知識(shí)。數(shù)學(xué)家利用數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的知識(shí)，從現(xiàn)實(shí)問題中提煉或抽象出數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)模型），然后求模型的數(shù)學(xué)解（求模型解），并返回實(shí)踐中去解決現(xiàn)實(shí)問題。這一過程似乎是數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但事實(shí)并非如此。因?yàn)閿?shù)學(xué)模型是主觀對(duì)客觀的反映，而人的認(rèn)識(shí)并非一次完成，特別是遇到復(fù)雜的問題時(shí)，需要修正已有的數(shù)學(xué)模型及其求解的方法和理論，并經(jīng)多次反復(fù)試驗(yàn)，才能解決現(xiàn)實(shí)問題。況且社會(huì)實(shí)踐的發(fā)展，使得舊的方法和知識(shí)在解決新問題時(shí)顯得繁瑣，甚至無能為力，從而迫使數(shù)學(xué)家發(fā)明或創(chuàng)造新的方法、思想和原理，并在實(shí)踐中得到反復(fù)檢驗(yàn)，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。這時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)是在解決實(shí)踐提出的數(shù)學(xué)問題中產(chǎn)生的，屬于經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，具有經(jīng)驗(yàn)的性質(zhì)。

數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性向演繹性轉(zhuǎn)化 第一部分講過，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)具有零散性和不嚴(yán)密性，有待于上升或轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的理論知識(shí)；而數(shù)學(xué)對(duì)象的特殊性使得這種轉(zhuǎn)化采取特殊的途徑和方法——公理法，產(chǎn)生特有的理論形態(tài)——公理系統(tǒng)。所以，數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性向演繹性的轉(zhuǎn)化，具體表現(xiàn)為經(jīng)驗(yàn)知識(shí)向作為理論形態(tài)的公理系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化。

公理系統(tǒng) 是應(yīng)用公理方法從某門數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)中提煉出少數(shù)基本概念和公理作為推理的前提，然后根據(jù)邏輯規(guī)則演繹出屬于該門知識(shí)的命題構(gòu)成的一個(gè)演繹系統(tǒng)。它是數(shù)學(xué)知識(shí)的具體理論形態(tài)，是對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的理論概括。就其內(nèi)容來說，是經(jīng)驗(yàn)的；但就其表現(xiàn)形式來說，是演繹的，具有演繹性質(zhì)。因?yàn)閿?shù)學(xué)成果（一般表現(xiàn)為定理）不能靠歸納或?qū)嶒?yàn)來證實(shí)，而必須通過演繹推理來證明，否則，數(shù)學(xué)家是不予承認(rèn)的。

公理系統(tǒng)就其對(duì)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的概括來說，是理性認(rèn)識(shí)對(duì)感性認(rèn)識(shí)的抽象反映。為了證實(shí)這種抽象反映的正確性，數(shù)學(xué)家采取兩種解決辦法。一是讓理論回到實(shí)踐，通過實(shí)際應(yīng)用來檢驗(yàn)、修改理論。歐幾里得幾何的不嚴(yán)密性就是通過此種方法改進(jìn)的。二是從理論上研究公理系統(tǒng)應(yīng)該滿足的性質(zhì)：無矛盾性、完全性和公理的獨(dú)立性。這就引導(dǎo)數(shù)學(xué)家對(duì)公理系統(tǒng)的進(jìn)一步抽象，產(chǎn)生形式系統(tǒng)。

形式系統(tǒng) 是形式化了的公理系統(tǒng)，是由形式語言、公理和推理規(guī)則組成的。它是應(yīng)用形式化方法從不同的具體公理系統(tǒng)中抽象出共同的推理形式，構(gòu)成一個(gè)形式系統(tǒng)；然后用有窮推理方法研究形式系統(tǒng)的性質(zhì)。所以，形式系統(tǒng)是撇開公理系統(tǒng)的具體內(nèi)容而作的進(jìn)一步抽象，是數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象理論形態(tài)。它采用的是形式推理的方法，表現(xiàn)其知識(shí)形態(tài)的演繹性。

數(shù)學(xué)的演繹性向經(jīng)驗(yàn)性的轉(zhuǎn)化 這除了前面說過的認(rèn)識(shí)論原因外，對(duì)公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)的研究也證實(shí)了這種轉(zhuǎn)化的必要性。哥德爾不完全性定理嚴(yán)格證明了公理系統(tǒng)的局限性：（1 ）形式公理系統(tǒng)的相容性不可能在本系統(tǒng)內(nèi)得到證明，必須求助于更強(qiáng)的形式公理系統(tǒng)才能證明。而相容性是對(duì)公理系統(tǒng)最基本的要求，那么在找到更強(qiáng)的形式公理系統(tǒng)之前，數(shù)學(xué)家只能像公理集合論那樣，讓公理系統(tǒng)回到實(shí)踐中去，通過解決現(xiàn)實(shí)問題而獲得實(shí)踐的支持。（2 ）如果包含初等算術(shù)的形式公理系統(tǒng)是無矛盾的，那么它一定是不完全的。這就是說，即使形式系統(tǒng)的無矛盾性解決了，它又與不完全性相排斥?！安煌耆浴笔侵福谠撓到y(tǒng)中存在一個(gè)真命題及其否定都不可證明（稱為不可判定命題）。所以，“不完全性”說明，作為對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的抽象的公理系統(tǒng)，不可能把屬于該門數(shù)學(xué)的所有經(jīng)驗(yàn)知識(shí)（命題）都包括無遺。對(duì)于“不可判定命題”的真假，只有訴諸實(shí)踐檢驗(yàn)。因此，這兩種情況說明，要解決公理系統(tǒng)的無矛盾性和不可判定命題，必須讓數(shù)學(xué)的理論知識(shí)返回到實(shí)踐接受檢驗(yàn)。

由此可見，數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程是：在解決現(xiàn)實(shí)問題的實(shí)踐基礎(chǔ)上獲得數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)；然后上升為演繹性的理論知識(shí)（公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)）；再返回到實(shí)踐中，通過解決現(xiàn)實(shí)問題而證實(shí)自身的真理性，完善或發(fā)展新的數(shù)學(xué)知識(shí)。這是辯證唯物論的認(rèn)識(shí)論在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論上的具體表現(xiàn)，反映了數(shù)學(xué)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性在實(shí)踐基礎(chǔ)上的辯證統(tǒng)一。

四、數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)

既然數(shù)學(xué)的本質(zhì)是經(jīng)驗(yàn)性與演繹性在實(shí)踐基礎(chǔ)上的辯證統(tǒng)一，那么能否對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)進(jìn)一步作出哲學(xué)概括呢？即用簡(jiǎn)潔的語言表達(dá)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，就像拉卡托斯說的“數(shù)學(xué)是擬經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)”那樣。為此，本文提出，數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)（其中“演”表示演繹，“算”表示計(jì)算或算法，“演算”表示演與算這對(duì)矛盾的對(duì)立統(tǒng)一）。在此，必須說明三點(diǎn)：何以如此概括？“演算”能否反映數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)以及能否反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的辯證性？

1. 何以如此概括？

首先，從理論上講，數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)觀的一個(gè)重要問題，而數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)方法論是統(tǒng)一的，所以可以通過方法論來分析數(shù)學(xué)觀。數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)對(duì)象的特殊性決定了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)方法的特殊性。這種特殊性表現(xiàn)在，數(shù)學(xué)研究除了像自然科學(xué)那樣僅僅采用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納的方法外，還必須采用演繹法。因此，可以通過研究數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)方法來反映數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的本質(zhì)。

其次，從事實(shí)上看，數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)性表明數(shù)學(xué)是適應(yīng)社會(huì)實(shí)踐需要而產(chǎn)生的，是解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)積累。社會(huì)實(shí)踐提出的數(shù)學(xué)問題都要求給出定量的回答，而要作出定量的回答就必須進(jìn)行具體的計(jì)算，所以計(jì)算表征了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的特點(diǎn)。而對(duì)于各種具體的計(jì)算方法及其一般概括的“算法”（包括公式、原理、法則），也都可以用“算”來概括、反映數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)性在方法論上的計(jì)算或算法特點(diǎn)。同時(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的演繹性反映數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)在方法論上的演繹特點(diǎn)，所以，可以用“演”來反映數(shù)學(xué)知識(shí)的演繹性。因此，我們可以用“演算”來反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性。

第三，為避免概括數(shù)學(xué)本質(zhì)的片面性。自從數(shù)學(xué)分為應(yīng)用數(shù)學(xué)與純粹數(shù)學(xué)以后，許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，數(shù)學(xué)來源于經(jīng)驗(yàn)是很早以前的事，現(xiàn)在已經(jīng)不是了，而是變成一門演繹科學(xué)了。而一般人也接受這種觀點(diǎn)。但這樣強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的演繹性特點(diǎn)，卻忽視了數(shù)學(xué)具有經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)的一面。為了避免這種片面性，這里特別通過數(shù)學(xué)方法論來概括和反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

2.“演算”反映了數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)研究對(duì)象的特殊性產(chǎn)生了數(shù)學(xué)研究特有的問題：計(jì)算與證明。它們成為數(shù)學(xué)研究的兩項(xiàng)主要工作。關(guān)于“證明”。數(shù)學(xué)對(duì)象的特殊性使得數(shù)學(xué)成果不能像自然科學(xué)成果那樣通過實(shí)驗(yàn)來證實(shí)，而必須通過邏輯演繹來證明，否則數(shù)學(xué)家是不予承認(rèn)的。所以，數(shù)學(xué)家如何把自己的成果表達(dá)成一系列的演繹推理（即證明）就成為重要工作。證明成為數(shù)學(xué)研究工作的重要特點(diǎn)。關(guān)于“計(jì)算”。數(shù)學(xué)本身就是起源于計(jì)算，即使數(shù)學(xué)發(fā)展到高度抽象理論的今天，也不能沒有計(jì)算。數(shù)學(xué)家在證明一個(gè)定理之前，必須經(jīng)過大量的具體計(jì)算，進(jìn)行各種試驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)，并加以分析、歸納，才能形成證明的思路和方法。只有在這時(shí)候，才能從邏輯上進(jìn)行綜合論證，表達(dá)為一系列的演繹推理過程，即證明。從應(yīng)用數(shù)學(xué)來看，更是需要大量的計(jì)算，所以人們才發(fā)明各種計(jì)算機(jī)。在電子計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算的規(guī)模更大了，以致在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn)。因此，計(jì)算成為數(shù)學(xué)研究的另一項(xiàng)重要工作。

既然“計(jì)算與證明”是數(shù)學(xué)研究的兩項(xiàng)主要工作和特點(diǎn)，那么“數(shù)學(xué)是演算的科學(xué)”這一概括是否反映出這一特點(diǎn)？“證明”是從一定的前提（基本概念和公理）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則所進(jìn)行的一種演繹推理。而“演（繹）”正可以反映“證明”這一特點(diǎn)。而“算”顯然更可以直接反映“計(jì)算”或“算法”及其特點(diǎn)。由此可見，“演算”反映了數(shù)學(xué)研究的計(jì)算和證明這兩項(xiàng)基本工作及其特點(diǎn)。

3.“演”與“算”的對(duì)立統(tǒng)一反映數(shù)學(xué)性質(zhì)的辯證性

首先，從數(shù)學(xué)發(fā)展的宏觀來看。數(shù)學(xué)史告訴我們，數(shù)學(xué)起源于“算”，即起源于物體個(gè)數(shù)、田畝面積、物體長(zhǎng)度等的計(jì)算。要計(jì)算就要有計(jì)算方法，當(dāng)各種計(jì)算方法積累到一定數(shù)量的時(shí)候，數(shù)學(xué)家就進(jìn)行分類，概括出適用于某類問題的計(jì)算公式、法則、原理，統(tǒng)稱為算法。所以數(shù)學(xué)的童年時(shí)期叫做算術(shù)，它表現(xiàn)為一種經(jīng)驗(yàn)知識(shí)。當(dāng)歐幾里得建立數(shù)學(xué)史上第一個(gè)公理系統(tǒng)時(shí)，才出現(xiàn)“演繹法”。此后，“演”與“算”便構(gòu)成了數(shù)學(xué)發(fā)展中的一對(duì)基本矛盾，推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展。這在西方數(shù)學(xué)思想史中表現(xiàn)最為突出。大致說來，在歐幾里得以前，數(shù)學(xué)思想主要是算法；歐幾里得所處的亞歷山大里亞前期，數(shù)學(xué)主要思想已由算法轉(zhuǎn)向演繹法；從亞歷山大里亞后期到18世紀(jì)，數(shù)學(xué)主要思想再次由演繹法轉(zhuǎn)向算法；19世紀(jì)到20世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)主要思想又由算法轉(zhuǎn)向演繹法；電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用促進(jìn)了計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展及其與之交叉的諸如計(jì)算流體力學(xué)、計(jì)算幾何等邊緣學(xué)科的產(chǎn)生以及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的出現(xiàn)。這一切又使算法思想重新得到發(fā)展，成為與演繹法并駕齊驅(qū)的思想?？梢灶A(yù)言，隨著計(jì)算機(jī)作為數(shù)學(xué)研究工具地位的確立，算法思想將成為今后相當(dāng)長(zhǎng)一個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的主要思想。算法思想與演繹思想在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的這種更迭替代，從一個(gè)側(cè)面體現(xiàn)了“演”與“算”這對(duì)矛盾在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化。所以，有的數(shù)學(xué)史工作者從方法論的角度把數(shù)學(xué)的發(fā)展概括為算法傾向與演繹傾向螺旋式交替上升的過程。（參見⑩）

其次，從數(shù)學(xué)研究的微觀來看?！把荨敝杏小八恪保@充分表明了我們上面所分析的“證明”中包含著“計(jì)算”，包含著“算”向“演”轉(zhuǎn)化?！八恪敝杏小把荨?，這充分表現(xiàn)在算術(shù)和代數(shù)中。算術(shù)和代數(shù)表現(xiàn)為“算”，但是，算術(shù)和代數(shù)的“算”，并不是自由地計(jì)算，而是要遵循基本的四則運(yùn)算及其規(guī)律，即計(jì)算要按照一定的計(jì)算規(guī)則，就像證明要遵守推理規(guī)則一樣。所以“算”中包含著“演”，包含著“演”向“算”的轉(zhuǎn)化?！把荨迸c“算”的這種對(duì)立統(tǒng)一更充分地體現(xiàn)在計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算和定理證明中。這種“算”與“演”的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性的辯證關(guān)系，反映了數(shù)學(xué)性質(zhì)的辯證性。

綜上所述，既然“演算”概括了數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)，反映了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性及其辯證關(guān)系，我們就有理由把它作為對(duì)數(shù)學(xué)本（性）質(zhì)的概括，說“數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)”。

原文參考文獻(xiàn)：

① 柏拉圖著，郭斌和、張竹明譯：《理想國》，商務(wù)印書館1995年版。

② 北京大學(xué)哲學(xué)系外國哲學(xué)史教研室編譯：《十六——十八世紀(jì)西歐各國哲學(xué)》，三聯(lián)書店1958年版。

③ 洛克著，關(guān)文運(yùn)譯：《人類理解論》，商務(wù)印書館1997年版。

④ 萊布尼茨著，陳修齋譯：《人類理智新論》，商務(wù)印書館1982年版。

⑤ 康德著，龐景仁譯：《任何一種作為科學(xué)出現(xiàn)的未來形而上學(xué)——導(dǎo)論》，商務(wù)印書館1995年版。

⑥ 康德著，藍(lán)公武譯：《純粹理性批判》，商務(wù)印書館1982年版。

⑦ B.羅素著，晏成書譯：《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》，商務(wù)印書館1982年版。

⑧ 拉卡托斯著，林夏水等譯：《數(shù)學(xué)、科學(xué)和認(rèn)識(shí)論》，商務(wù)印書館1993年版。

⑨ M.克萊因著：《古今數(shù)學(xué)思想》，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社1979年版。

⑩ 李文林著：《算法、演繹傾向與數(shù)學(xué)史的分期》，《自然辯證法通訊》，1986年第2期。

(11) 《數(shù)學(xué)史譯文集》，上海科學(xué)技術(shù)出版社1981年版。

(12) 《數(shù)學(xué)史譯文集》（續(xù)集），上?？茖W(xué)技術(shù)出版社1985年版。

(13) J.N.Kapur編，王慶人譯：《數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)本質(zhì)》， 北京大學(xué)出版社1989年版。

(14) 莫里茲編著，朱劍英編譯：《數(shù)學(xué)家言行錄》，江蘇教育出版社1990年版。

(15) 林夏水著：《數(shù)學(xué)的對(duì)象與性質(zhì)》，社會(huì)科學(xué)文獻(xiàn)出版社1994年版。

(16)中國社會(huì)科學(xué)院哲學(xué)研究所邏輯研究室編：《數(shù)理哲學(xué)譯文集》，商務(wù)印書館1988年版。

(17) 林夏水、董光璧、梁芳著：《分形的哲學(xué)漫步》，首都師范大學(xué)出版社1999年版。

《哲學(xué)研究》 ， 2000

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