理解圖形間的邏輯——新定義“位移點(diǎn)”

2022版新課標(biāo)對(duì)于圖形的變化學(xué)業(yè)要求如下：

理解軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、平移這三類(lèi)基本的圖形運(yùn)動(dòng)，知道三類(lèi)運(yùn)動(dòng)的基本特征，會(huì)用圖形的運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中相應(yīng)的現(xiàn)象；理解幾何圖形的對(duì)稱(chēng)性，感悟現(xiàn)實(shí)世界中的對(duì)稱(chēng)美，知道可以用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)對(duì)稱(chēng)。在這樣的過(guò)程中，發(fā)展幾何直觀和空間觀念.

在幾何圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，往往不會(huì)出現(xiàn)孤立的運(yùn)動(dòng)，各幾何元素間存在相互關(guān)聯(lián)，而這種關(guān)聯(lián)背后的邏輯，則是理解新定義的關(guān)鍵因素，下面以2025年海淀區(qū)一模第28題為例.

題目

解析：

01

(1)先來(lái)理解新定義“位移點(diǎn)”，三個(gè)幾何元素：點(diǎn)P、點(diǎn)Q和圖形M，背景是平面直角坐標(biāo)系xOy，不妨在草稿紙上作圖理解，如下圖：

我們以△ABC為圖形M，則OQ相當(dāng)于指示平移的方向和距離，按指示平移到△A'B'C'，且點(diǎn)P在△A'B'C'上；

①再來(lái)看問(wèn)題，我們將這幾個(gè)點(diǎn)分別標(biāo)在圖中，如下圖：

按要求，線(xiàn)段OA指示平移方向和距離，則圓O平移到圓A位置，即圖中虛線(xiàn)圓，顯然答案是P1和P3；

②從定義中理解點(diǎn)C的作用是指示平移方向和距離，而點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，因此距離存在最大值和最小值，當(dāng)點(diǎn)C位于端點(diǎn)A或B時(shí)，OC最大，當(dāng)點(diǎn)C位于線(xiàn)段AB中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)三線(xiàn)合一，此時(shí)OC為點(diǎn)O到線(xiàn)段AB的距離，故OC最短，如下圖：

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C上，則OP最短時(shí)，點(diǎn)P在線(xiàn)段OC與圓C交點(diǎn)，此時(shí)OP=OC-1，而OP最長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)P在線(xiàn)段OC的延長(zhǎng)線(xiàn)與圓C交點(diǎn)，此時(shí)OP=OC+1，在等腰Rt△BOC中，OA=OB=2，則AB=2√2，所以O(shè)C最短為√2，最長(zhǎng)為2，所以√2-1≤OP≤3；

多說(shuō)一點(diǎn)，不妨將圓A的運(yùn)動(dòng)軌跡描出來(lái)，幫助學(xué)生理解OP最大值和最小值是如何得到的，如下圖：

進(jìn)一步簡(jiǎn)化為下圖：

我們得到一個(gè)類(lèi)似操場(chǎng)形狀的范圍，其中AB分別向左下或右上平移1個(gè)單位后，得到線(xiàn)段A'B'和A"B"，兩頭分別是半圓A和半圓B，半徑為1，這便是所有可能的點(diǎn)P集合，再去理解OP的最值，對(duì)后面解題有幫助；

02

(2)本題難點(diǎn)在于圖形眾多，關(guān)聯(lián)也較多，理清它們之間的邏輯極為重要，我們分步作圖，首先來(lái)看點(diǎn)P可能在哪里，不妨讓點(diǎn)T在原點(diǎn)，作半徑為1的圓T，然后取圓T上一點(diǎn)E，連接OE，則線(xiàn)段OE指示了平移的方向和距離，如下圖：

我們觀察線(xiàn)段AB的端點(diǎn)A，按線(xiàn)段OE指示的方向和距離平移至點(diǎn)A'，連接后得平行四邊形OAA'E，得AA'=1，由于點(diǎn)A是定點(diǎn)，則點(diǎn)A'到點(diǎn)A的距離始終為1，由圓的概念可知，點(diǎn)A'在以A為圓心，半徑為1的圓上，同理點(diǎn)B'也在以點(diǎn)B為圓心，半徑為1的圓上，推導(dǎo)出線(xiàn)段AB上所有的點(diǎn)平移后都在一個(gè)類(lèi)似“操場(chǎng)”的范圍內(nèi)；

由這個(gè)判斷我們還可以得到一個(gè)經(jīng)驗(yàn)，平移只改變點(diǎn)A的位置；因此平移后的點(diǎn)A'與點(diǎn)E具有相同的“運(yùn)動(dòng)狀態(tài)”；

在這個(gè)“操場(chǎng)”上，兩端是兩個(gè)半圓，圓心分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B，兩條線(xiàn)段距離點(diǎn)T最遠(yuǎn)和最近的時(shí)候，即OE⊥AB時(shí)，如下圖：

接下來(lái)我們?cè)賮?lái)看圓心T的坐標(biāo)(t,0)，意味著圓T的圓心在x軸上，當(dāng)圓平移時(shí)，圓上的點(diǎn)E隨之平移，前圖中的“操場(chǎng)”會(huì)如何運(yùn)動(dòng)？

為研究“操場(chǎng)”如何運(yùn)動(dòng)，我們?nèi)匀徊捎锰厥馕恢梅?，排除干擾，關(guān)注重點(diǎn)，如下圖：

在圖中，我們將點(diǎn)E放在x軸上，這樣平移后的點(diǎn)A'也在x軸上，可知OE=AA'=t-1，又點(diǎn)E在圓T上，則ET=1，則點(diǎn)A'所在圓的圓心G到點(diǎn)A'距離為1，即A'G=1，可得AG=AA'+A'G=t，發(fā)現(xiàn)AG=OT，OA=TG；

由以上推導(dǎo)結(jié)果，我們可以判斷當(dāng)圓T在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，整個(gè)“操場(chǎng)”也沿x軸方向隨之平移，點(diǎn)A向右平移t個(gè)單位后得到點(diǎn)G，同理點(diǎn)B也向右平移t個(gè)單位后得到點(diǎn)F，如下圖：

在圖中，“操場(chǎng)”及其內(nèi)部的點(diǎn)，均為點(diǎn)P可能的位置，接下來(lái)我們?cè)賮?lái)看題目條件中對(duì)點(diǎn)D的描述，如下圖：

點(diǎn)D在圓S上，△ODP為等腰直角三角形，當(dāng)然這只是其中一種情況，在OD另一側(cè)還有一個(gè)點(diǎn)P，稍后再說(shuō)；

連接OS，以O(shè)S為邊在右側(cè)構(gòu)造等腰Rt△OQS，如下圖：

我們很容易得到一對(duì)相似三角形，△ODS∽△OPQ，由DS=√2可得PQ=1，再來(lái)看點(diǎn)Q，是否定點(diǎn)？不妨過(guò)點(diǎn)Q構(gòu)造“一線(xiàn)三直角”模型，如下圖：

易證△OQU≌△QSR，設(shè)Q(x,y)，則OU=RQ=x，QU=SR=y，顯然有OU=2+SR，得x=2+y，而RQ+QU=6，得x+y=6，解得x=4，y=2，即Q(4,2)，它是定點(diǎn)，因此我們得到點(diǎn)P在以Q為圓心，半徑為1的圓上，如下圖：

還記得前面的我們得到的“操場(chǎng)”嗎？結(jié)合點(diǎn)P也在圓Q上，只要“操場(chǎng)”和圓Q有公共點(diǎn)即可；

想像一下，隨著t的變化，圓T的位置隨之改變，“操場(chǎng)”的位置也隨之改變，我們只需要觀察它與圓Q何時(shí)有公共點(diǎn)即可，從特殊位置出發(fā)，如下圖：

我們可通過(guò)上圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)“操場(chǎng)”上半部的圓F與圓Q相切時(shí)，為一種臨界狀態(tài)，由前面的分析可知點(diǎn)F是由點(diǎn)B向右平移t個(gè)單位得到，圓F的半徑和圓Q半徑均為1，因此可求出F(6,2)，此時(shí)t=6；

還記得前面我們的“操場(chǎng)”形成過(guò)程中的探究嗎？如下圖：

上圖中，我們的點(diǎn)T在原點(diǎn)，但并不妨礙我們過(guò)點(diǎn)T作TR⊥HK，垂足為R，再延長(zhǎng)RK交x軸于點(diǎn)U，得等腰Rt△TRU，可通過(guò)計(jì)算得到TR=TW+WR，其中TW=√2，而WR即平移距離，WR=OE=1，所以TR=√2+1，于是OU=√2TR=2+√2，因此對(duì)于任意點(diǎn)T而言，我們可知“操場(chǎng)”上距離點(diǎn)T最遠(yuǎn)的邊HK，其距離為√2+1，這就足夠了；

而對(duì)于點(diǎn)T的一般情況，如下圖：

當(dāng)圓Q與直線(xiàn)HK相切時(shí)，不妨令切點(diǎn)為V，再連接VQ，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線(xiàn)，取點(diǎn)Q'，構(gòu)造等腰Rt△VQQ'，可求出V(4-√2/2，2-√2/2)，如下圖：

將點(diǎn)V坐標(biāo)代入到直線(xiàn)HK中，可求出t=4-2√2；

現(xiàn)在我們得到了t的一個(gè)范圍，4-2√2≤t≤6，那回到前面“稍后再說(shuō)”的部分，對(duì)于等腰Rt△ODP，點(diǎn)P只能在OD右側(cè)嗎？左側(cè)應(yīng)該還有一個(gè)點(diǎn)P，如下圖：

此時(shí)的點(diǎn)Q'與點(diǎn)Q關(guān)于OS軸對(duì)稱(chēng)，因此易求點(diǎn)Q'(-2,4)，而點(diǎn)P'在圓Q'上，“操場(chǎng)”的上半部分與之相切時(shí)，t=-2；

綜上所述，t=-2，4-2√2≤t≤6.

解題思考

這道題的復(fù)雜程度較高，涉及到直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、兩圓位置關(guān)系等，綜合性很強(qiáng)，一般情況下，學(xué)生需要理解“位移點(diǎn)”的概念描述，并且明確各幾何元素間的關(guān)聯(lián)，更重要的是，它們之間的邏輯.

本題基本上都是直接答出的形式，因此對(duì)思維要求很高，不再用解題格式進(jìn)行要求，則學(xué)生可自由發(fā)揮的空間極大，更能體現(xiàn)出學(xué)生數(shù)學(xué)思維間的差異，優(yōu)秀的學(xué)生和普通的學(xué)生在答題時(shí)間上可能相差很遠(yuǎn)，更不用提解答正確率.

所以由解這道題衍生出另外一個(gè)問(wèn)題，我們?nèi)绾巫寣W(xué)生具備優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思維？

這個(gè)問(wèn)題很大，不是片言只語(yǔ)可以說(shuō)清楚，僅就此題所涉及到的范圍來(lái)講，我們需要學(xué)生能夠迅速在腦子里構(gòu)圖，而在腦子里構(gòu)圖的前提，是在紙上構(gòu)圖，平時(shí)課堂上，學(xué)生手中并無(wú)幾何畫(huà)板、GGB這等工具，因此手中的繪圖用具很關(guān)鍵，學(xué)會(huì)使用繪圖用具，其實(shí)也是在訓(xùn)練構(gòu)圖能力，能將現(xiàn)實(shí)的圖形變成腦子里的圖形，離不開(kāi)平時(shí)的“做一做”、“畫(huà)一畫(huà)”、“說(shuō)一說(shuō)”等課堂活動(dòng)，教師如何組織這些活動(dòng)，是課堂上培養(yǎng)學(xué)生能力的關(guān)鍵.

再由近期熱門(mén)的高考數(shù)學(xué)話(huà)題說(shuō)起，我非常贊同任正非的一句話(huà)，軟件其實(shí)是卡不住脖子的，軟件的精髓是數(shù)學(xué)，是符號(hào)、代碼、算法，根子是數(shù)學(xué)層面的東西，而數(shù)學(xué)，需要一個(gè)(群)好腦子，現(xiàn)在再來(lái)看高考數(shù)學(xué)，是不是理解又不一樣了？

本題作為模擬中考?jí)狠S題，充分體現(xiàn)以上思想，也給我們平時(shí)的教學(xué)提供了正確導(dǎo)向，落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，或者說(shuō)核心素養(yǎng)的提升，將課標(biāo)“三會(huì)”內(nèi)涵貫徹于每一節(jié)數(shù)學(xué)課，是每一位數(shù)學(xué)教師應(yīng)該做到的事情.