學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，會(huì)體驗(yàn)到三種感覺。

一種是思想解放的感覺。從小學(xué)里學(xué)習(xí)加減乘除開始，就不斷地突破清規(guī)戒律。

一種是智慧和力量增長(zhǎng)的感覺。小學(xué)里使人焦頭爛額的四則應(yīng)用題，一旦學(xué)會(huì)方程，做起來(lái)輕松愉快，摧枯拉朽地就解決了。

一種是心靈震撼的感覺。小時(shí)候讀到棋盤格上放大米的數(shù)學(xué)故事，就感到震撼，原來(lái)264-1 是這樣大的數(shù)！

《思考的樂趣：matrix67的數(shù)學(xué)筆記》把精心選擇的巧妙的數(shù)學(xué)證明，一個(gè)接一個(gè)地拋出來(lái)，讓讀者反復(fù)體驗(yàn)智慧和力量增長(zhǎng)的感覺，常看常新。

——張景中

數(shù)學(xué)家、中國(guó)科學(xué)院院士

《思考的樂趣：matrix67的數(shù)學(xué)筆記》

作者：顧森

01

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的陷阱

和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)打的交道多了，什么見鬼的事情都能遇上。

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，在鈾礦工作的工人居然與其他人的壽命相當(dāng)，有時(shí)甚至更長(zhǎng)！難道統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明在鈾礦工作對(duì)身體無(wú)害么？

當(dāng)然不是！

其實(shí)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)本身并沒有說(shuō)謊，鈾礦工人的壽命真的不比普通人低，難就難在我們?nèi)绾螕荛_數(shù)據(jù)的外表，從中挖掘出正確的信息。

事實(shí)上，只有那些身強(qiáng)體壯的人才會(huì)去鈾礦工作，他們的壽命本來(lái)就長(zhǎng)一些，正是因?yàn)槿チ蒜櫟V工作，才把他們的壽命拉低到了平均水平，造成了數(shù)據(jù)的“偽獨(dú)立性”。這種現(xiàn)象常常被稱為“健康工人效應(yīng)”。

類似地，有數(shù)據(jù)表明打太極拳的人和不打太極拳的人平均壽命相同。事實(shí)上呢，太極拳確實(shí)可以強(qiáng)身健體、延長(zhǎng)壽命，但打太極拳的人往往是體弱多病的人，這一事實(shí)也給統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)帶來(lái)了虛假的獨(dú)立性。

有虛假的獨(dú)立性數(shù)據(jù)，就有虛假的相關(guān)性數(shù)據(jù)。

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，去救火的消防員越多，火災(zāi)損失越大。初次聽到這樣的結(jié)論，想必大家的反應(yīng)都一樣：這怎么可能呢？

仔細(xì)想想你就明白了：正因?yàn)榛馂?zāi)損失大，才會(huì)有很多人去救火。因果關(guān)系弄顛倒了。

數(shù)據(jù)只能顯示兩件事情有相關(guān)性，但并不能告訴你它們內(nèi)部的邏輯關(guān)系。事實(shí)上，兩個(gè)在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)上呈現(xiàn)相關(guān)性的事件，有可能根本就沒有因果關(guān)系。

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，冰淇淋銷量增加，鯊魚食人事件也會(huì)同時(shí)增加。但這并不意味著，把冰淇淋銷售點(diǎn)全部取締了，就能減小人被鯊魚吃掉的概率。

真實(shí)的情況則是，這兩個(gè)變量同時(shí)增加只不過(guò)是因?yàn)橄奶靵?lái)了。

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，足球隊(duì)的獲勝率，竟然與隊(duì)員的球襪長(zhǎng)度成正比。難道把隊(duì)員的球襪都換長(zhǎng)一些，就能增加進(jìn)球數(shù)了嗎？

顯然不是。數(shù)據(jù)背后真正的因果關(guān)系是，球隊(duì)的獲勝率和隊(duì)員的球襪長(zhǎng)度都與隊(duì)員的身高呈正相關(guān)，這導(dǎo)致了獲勝率與球襪長(zhǎng)度之間表現(xiàn)出虛假的相關(guān)性。

類似的例子還有很多。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，手指越黃的人，得肺癌的概率越大。但事實(shí)上，手指的顏色和得肺癌的概率之間顯然沒有直接的因果聯(lián)系。那么為什么統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)會(huì)顯示出相關(guān)性呢？這是因?yàn)槭种更S和肺癌都是由吸煙造成的，于是又營(yíng)造出一種虛假的相關(guān)性。

02

離奇的統(tǒng)計(jì)學(xué)現(xiàn)象

讀到這里，大家腦子里或許會(huì)產(chǎn)生這么一個(gè)顛覆性的念頭：根據(jù)同樣的道理，我們又憑什么說(shuō)吸煙會(huì)致癌呢？萬(wàn)一吸煙和肺癌也都是由另外一個(gè)東西同時(shí)導(dǎo)致的怎么辦？

其實(shí)，要想知道吸煙與癌癥之間究竟是否有因果聯(lián)系，方法本來(lái)很簡(jiǎn)單：找一群人隨機(jī)分成兩組，規(guī)定一組抽煙一組不抽煙，十幾年后再把這一撥人找回來(lái)，數(shù)一數(shù)看是不是抽煙的那一組人患肺癌的更多一些。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)方法本身是無(wú)可挑剔的，但它太不道德了，因此我們只能考慮用自然觀察法，選擇一些本來(lái)都不吸煙的健康人進(jìn)行跟蹤觀察，然后呢，過(guò)一段時(shí)間這撥人里總會(huì)出現(xiàn)一些失意了、墮落了犯上煙癮的人，于是隨著時(shí)間的流逝這幫人自然而然地分成了可供統(tǒng)計(jì)觀察的兩組人。

注意，這里“是否吸煙”這一變量并不是通過(guò)隨機(jī)化得來(lái)的，它并沒有經(jīng)過(guò)人為的干預(yù)，而是自然區(qū)分出來(lái)的。這是一個(gè)致命的缺陷！統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，犯上煙癮的那些人得肺癌的幾率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他人。這真的能夠說(shuō)明吸煙致癌嗎？

仔細(xì)想想你會(huì)發(fā)現(xiàn)這當(dāng)然不能！原因恰似之前提過(guò)的例子：完全有可能是因果關(guān)系顛倒了，或者某個(gè)第三方變量同時(shí)對(duì)“愛吸煙”和“患肺癌”產(chǎn)生影響。1957年，費(fèi)希爾（Fisher）提出了兩個(gè)備選理論：癌癥引起吸煙（煙癮是癌癥早期的一個(gè)癥狀），或者存在某種基因能夠同時(shí)引起癌癥和煙癮。

現(xiàn)實(shí)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)往往會(huì)表現(xiàn)出一些更加詭異復(fù)雜的反?，F(xiàn)象，帶來(lái)更多意想不到的麻煩。

辛普森（Simpson）悖論是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最有名的悖論：各個(gè)局部表現(xiàn)都很好，合起來(lái)一看反而更差。統(tǒng)計(jì)學(xué)在藥物實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，每次推出一種新藥，我們都需要非常謹(jǐn)慎地進(jìn)行臨床測(cè)試。但有時(shí)候，藥物實(shí)驗(yàn)的結(jié)果會(huì)匪夷所思。假設(shè)現(xiàn)在我們有一種可以代替安慰劑的新藥。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，這種新藥的效果并不比安慰劑好：

簡(jiǎn)單算算就能看出，新藥只對(duì)40%的人有效，而安慰劑則對(duì)50%的人有效。新藥按理說(shuō)應(yīng)該更好啊，那問(wèn)題出在哪里呢？是否因?yàn)檫@種新藥對(duì)某一類人有副作用？于是研究人員把性別因素考慮進(jìn)來(lái)，將男女分開來(lái)統(tǒng)計(jì)：

大家不妨實(shí)際計(jì)算一下：對(duì)于男性來(lái)說(shuō)，新藥對(duì)高達(dá)70%的人都有效，而安慰劑則只對(duì)60%的人有效；對(duì)于女性來(lái)說(shuō)，新藥對(duì)30%的人都有效，而安慰劑則只對(duì)20%的人有效。

滑稽的一幕出現(xiàn)了：我們驚奇地發(fā)現(xiàn)，新藥對(duì)男性更加有效，對(duì)女性也更加有效，但對(duì)整個(gè)人類則無(wú)效！

這種怪異的事屢見不鮮。曾有一個(gè)高中的師弟給我發(fā)短信，給了我兩所大學(xué)的名字，問(wèn)該填報(bào)哪個(gè)好。我考慮了各方面的因素，甚至非常認(rèn)真地幫他查了一下兩所大學(xué)的男女生比例，并且很細(xì)致地將表格精確到了各個(gè)院系。

然后呢，怪事出現(xiàn)了：A學(xué)校的每個(gè)院系的女生比例都比B學(xué)校的同院系要高，但合起來(lái)一看就比B學(xué)校的低。

當(dāng)然，進(jìn)錯(cuò)了大學(xué)找不到女朋友是小事，但醫(yī)藥研究需要的是極其精細(xì)的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，稍微出點(diǎn)差錯(cuò)的話害死的可就不是一兩個(gè)人了。

上面的例子再次告訴我們，統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)的“隨機(jī)干預(yù)”有多么重要。從上面的數(shù)據(jù)里我們直接看到，這個(gè)實(shí)驗(yàn)的操作本身就有問(wèn)題：新藥幾乎全是女性在用，男性則大都在用安慰劑。被試者的分組根本沒有實(shí)現(xiàn)完全的隨機(jī)化，這才導(dǎo)致了如此混亂的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

不難設(shè)想，如果每種藥物的使用者都是男女各占一半，上述的悖論也就不會(huì)產(chǎn)生了。

當(dāng)然，研究人員也并不笨，這么重大的失誤一般還是不會(huì)發(fā)生的。問(wèn)題很可能出在一些沒人注意到的小細(xì)節(jié)上。比如說(shuō)，實(shí)驗(yàn)的時(shí)候用粉色的瓶子裝新藥，用藍(lán)色的瓶子裝安慰劑，然后讓被試人從中隨機(jī)選一個(gè)來(lái)用。結(jié)果呢，女孩子們喜歡粉色，選的都是新藥；男的呢則大多選擇了藍(lán)瓶子，用的都是安慰劑。最后，200 份新藥和200份安慰劑正好都發(fā)完，因此不到結(jié)果出來(lái)時(shí)，就沒有人會(huì)注意到這個(gè)微小的性別差異所帶來(lái)的統(tǒng)計(jì)失誤。

當(dāng)然，上面這個(gè)藥物實(shí)驗(yàn)的例子并不是真實(shí)的，一看就知道那個(gè)數(shù)據(jù)是湊出來(lái)方便大家計(jì)算的。不過(guò)，永遠(yuǎn)不要以為這種戲劇性的事件不會(huì)發(fā)生。

《致命的藥物》一書詳細(xì)披露了20世紀(jì)美國(guó)的一次重大藥害事件，其原因可以歸結(jié)到藥物實(shí)驗(yàn)上去。

人們推測(cè)，事故發(fā)生的原因就與一些類似的統(tǒng)計(jì)學(xué)現(xiàn)象相關(guān)。這些離奇的統(tǒng)計(jì)學(xué)現(xiàn)象有時(shí)會(huì)讓人感到恐慌：連統(tǒng)計(jì)數(shù)字也不可靠了，還有什么能真實(shí)地反映這個(gè)世界運(yùn)轉(zhuǎn)的規(guī)律呢？

《思考的樂趣：Matrix67數(shù)學(xué)筆記》

作者：顧森

中科院院士張景中、湯濤聯(lián)袂推薦

本書是一個(gè)瘋狂數(shù)學(xué)愛好者的數(shù)學(xué)筆記，面向所有喜愛數(shù)學(xué)的讀者。本書包括5部分內(nèi)容，即生活中的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)之美、幾何的大廈、精妙的證明、思維的尺度，涉及48篇精彩的文章。即使你不喜歡數(shù)學(xué)，也會(huì)為本書的精彩所傾倒。

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