6 月 26 日，日本某主營手機(jī)應(yīng)用及游戲軟件開發(fā)的科技企業(yè)，因存在財(cái)務(wù)造假嫌疑，被證券交易監(jiān)察委員會立案調(diào)查，監(jiān)察委員會認(rèn)為該企業(yè)“公示文件存在虛假記載”，違反了《金融產(chǎn)品交易法》。

類似這樣的大企業(yè)財(cái)務(wù)造假的丑聞屢屢見諸報(bào)端。這些企業(yè)通過人為修改財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，使最終公布的利潤數(shù)字低于實(shí)際，從而達(dá)到逃稅目的。而且像新聞中提到的這家企業(yè)，他們的財(cái)務(wù)造假行為，據(jù)說還得到了某大型審計(jì)公司的幫忙。在這種情況下，想要發(fā)現(xiàn)財(cái)務(wù)造假就會極其困難。

即使這樣，稅務(wù)機(jī)關(guān)還是成功窺破了企業(yè)的虛假粉飾，真是了不起。這就不得不提到數(shù)學(xué)中的“本福特定律”，它的神奇之處往往很違背直覺。

來源 | 《數(shù)學(xué)思考法：解析直覺與謊言》

作者 | [日]神永正博

譯者 | 孫慶媛

01

數(shù)學(xué)也可以打擊不法行為

在復(fù)雜的財(cái)務(wù)報(bào)表中，要想識別出會計(jì)的不正當(dāng)操作，不是一件很容易的事情。更何況有的情況下，連會計(jì)師事務(wù)所這種負(fù)責(zé)糾正違法會計(jì)行為的財(cái)務(wù)審計(jì)機(jī)構(gòu)都可能與企業(yè)沆瀣一氣，結(jié)果導(dǎo)致企業(yè)的財(cái)務(wù)舞弊行為變得更加隱秘，難以被覺察。

針對這種現(xiàn)象，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家哈爾·范里安（Hal Ronald Varian）給出了解決方法。他在研究中發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法可以有效揭露企業(yè)中會計(jì)的隱秘造假行為。那么，他到底給出了什么樣的靈丹妙藥呢？

對于一般的非專業(yè)人士來說，閱讀企業(yè)的財(cái)務(wù)報(bào)表是一件非常令人頭疼的事情。財(cái)務(wù)報(bào)表中通常包含了各種財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，比如產(chǎn)品和服務(wù)價(jià)格就可能有幾百種，這些基本數(shù)據(jù)經(jīng)過加、減、乘、除又形成了如銷售收入、成本、費(fèi)用類、往來款項(xiàng)類等數(shù)據(jù)。這些數(shù)字看起來也是一樣的雜亂無章，你我這樣的一般人應(yīng)該根本看不出其中有什么規(guī)律可言吧。

但是，哈爾·范里安則明確指出：“這些數(shù)字是具有一定規(guī)律性的?！边@個規(guī)律就是在 20 世紀(jì) 20 年代被發(fā)現(xiàn)的“本福特定律”，也稱為“第一數(shù)字定律”。

當(dāng)時(shí)，物理學(xué)家弗蘭克·本福特（Frank Benford）在其研究中發(fā)現(xiàn)，人口統(tǒng)計(jì)數(shù)字、計(jì)算機(jī)內(nèi)的文件大小數(shù)字，如 161 974、14 739、1980、1 476 820…首位數(shù)字是“1”的情形非常多，而 2、3、…、9這些數(shù)字排在數(shù)據(jù)首位的比例是在不斷降低的，數(shù)字越大出現(xiàn)的頻率越低（圖 21）。

在范里安教授的研究中，正是把本福特發(fā)現(xiàn)的數(shù)據(jù)首位數(shù)字的分布規(guī)律，即“本福特定律”應(yīng)用到了揭露企業(yè)財(cái)務(wù)舞弊的行為上。

范里安教授指出，如果企業(yè)的會計(jì)數(shù)據(jù)經(jīng)過了人為修改，那么本福特定律應(yīng)該不適用于這些數(shù)據(jù)。利用這一特點(diǎn)，審計(jì)人員和監(jiān)管機(jī)構(gòu)可以通過統(tǒng)計(jì)該財(cái)報(bào)中數(shù)據(jù)首位數(shù)字的分布比例，并計(jì)算其與本福特定律中的比例之間的差值，從而判斷企業(yè)是否有會計(jì)舞弊行為。

不過，先不要激動，冷靜下來再觀察一下圖 21。有沒有覺得哪里不對勁？比如到底為什么“1”排在數(shù)據(jù)首位的比例會這么多呢？

其他情況也是如此嗎？

為了解答這個疑問，我們需要進(jìn)行一下驗(yàn)證。把整數(shù)中所有的 1位數(shù)和 2 位數(shù)（也就是 1 ～ 99）作為一個數(shù)據(jù)組，我們來分析一下 1 ～ 9各自作為數(shù)據(jù)首位有效數(shù)字出現(xiàn)的比例，結(jié)果以圖 22 的形式呈現(xiàn)。

可以看到，在圖 22 中，每個數(shù)字排在數(shù)據(jù)首位的比例都是相同的。從 1 到 9，每個數(shù)字出現(xiàn)在數(shù)據(jù)首位的頻率都是 11 次。仔細(xì)想一想確實(shí)也應(yīng)該如此，如果對于排在首位的有效數(shù)字的范圍沒有任何限制，那么每個數(shù)字出現(xiàn)的比例確實(shí)是相等的。因此，在這個案例中，顯而易見，本福特定律是不成立的。

那么如果我們擴(kuò)大一下數(shù)據(jù)組的數(shù)據(jù)采集范圍呢？情況會不會不一樣？例如，我們可以統(tǒng)計(jì)一下整數(shù) 1 ～ 365 的范圍內(nèi)的首位有效數(shù)字的分布情況，結(jié)果如圖 23 所示?？梢钥吹?，1 和 2 排在數(shù)據(jù)首位的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他數(shù)字，3 較之略低，但也大大高于 4 ～ 9 出現(xiàn)的概率。

這個分布情況和我們分析 1 ～ 99 的數(shù)據(jù)組時(shí)得出的結(jié)論是截然不同的。原因就在于這次測試中，我們其實(shí)對首位有效數(shù)字的范圍進(jìn)行了限制。在這種情形下，就會出現(xiàn)從某個數(shù)字開始概率急劇下降的情況（圖 23 中是從數(shù)字 4 開始）。

這個結(jié)論顯然與本福特定律也是不相符的。在本福特定律中，1 ～ 9 出現(xiàn)在首位有效數(shù)字的概率應(yīng)當(dāng)是逐步平穩(wěn)下降，而在圖 23中，數(shù)字 4 ～ 9 出現(xiàn)的概率是相同的。

從這兩個例子看，本福特定律也不是在所有情況下都適用。既然這樣，范里安教授為何要選擇這個定律來進(jìn)行研究呢？他的決定似乎有點(diǎn)兒令人費(fèi)解。

02

股價(jià)數(shù)字中存在的定律

為了理解范里安教授的研究，我們還需要更多的實(shí)際案例來驗(yàn)證。正好我手邊有一份股票的收盤價(jià)格數(shù)據(jù)，于是就以此為樣本又開始了新一輪的驗(yàn)證分析。如圖 24，我選取的是 2013 年 5 月 24 日在日本東京證券交易所（簡稱“東證”）一部和東證二部上市交易的3700 只股票（包括指數(shù)）的收盤價(jià)作為數(shù)據(jù)組，然后統(tǒng)計(jì)其中首位有效數(shù)字的分布情況，最終繪制了如圖 24 的分布圖。

分析的結(jié)果令人驚異！我這次只不過是恰好手頭有這個數(shù)據(jù)，所以抱著試試看的心態(tài)進(jìn)行了分析。但是看到圖 24，我都不禁要懷疑自己的眼睛了。在這個圖表中，可以很清晰地看到，股票收盤價(jià)的首位有效數(shù)字中，1 ～ 9 出現(xiàn)的頻率隨著數(shù)值的增大而呈逐漸遞減的趨勢，非常接近本福特定律下的分布形態(tài)。

不過，這個結(jié)果還是有可能會受到質(zhì)疑，不管從圖像上看這個分布趨向和本福特定律下的分布有多么相像，但理論上真的和定律相吻合嗎？我自己也抱有這樣的疑問，所以必須實(shí)際驗(yàn)證一下。但問題來了，如何才能驗(yàn)證這個現(xiàn)象是否符合本福特定律呢？有哪些科學(xué)合理的方法嗎？

答案是進(jìn)行數(shù)字對比。將根據(jù)本福特定律預(yù)測的首位數(shù)字的分布，與實(shí)際案例中統(tǒng)計(jì)得到的首位數(shù)字的分布一一對比，然后從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度，分析兩者的差值是否在可容許的范圍內(nèi)，最終就可以做出判斷了。

將根據(jù)本福特定律計(jì)算得出的首位數(shù)字的分布（以下稱為“理論值”，計(jì)算方法將在下文中詳細(xì)說明），與實(shí)際的股票價(jià)格數(shù)據(jù)中首位數(shù)字的分布相對比，就得出了如圖 25 的柱狀圖。

這張圖也反映出，兩種數(shù)據(jù)是無限接近的。雖然存在些微的差距，但是這些差值是否大到超出了可容許的范疇呢？要判斷這一點(diǎn)，一般可以采用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的“統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)”的方法。

我馬上使用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方式進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果顯示“不能否定股價(jià)數(shù)據(jù)中首位有效數(shù)字的分布不適用于本福特定律”。

這個結(jié)論可能有點(diǎn)兒拗口。一般人可能覺得直接說“適用于定律”不就好了，為什么還要這么麻煩呢？其實(shí)這是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個原則。統(tǒng)計(jì)學(xué)本就是用來處理那些局部的、偶然發(fā)生的現(xiàn)象的，因此，一般不能直接給出諸如“一定是這樣的”等絕對性論調(diào)。在這次的檢驗(yàn)結(jié)果中，雖然使用的措辭較為模糊，但是實(shí)質(zhì)上是肯定了兩個數(shù)據(jù)對比的結(jié)果吻合度非常高。

雖然無法做出完全與定律一致的結(jié)論，但是這種高度一致的關(guān)系已經(jīng)足夠令人感到驚嘆。在現(xiàn)實(shí)中，我們應(yīng)該還能夠挖掘出其他更多的適用本福特定律的案例。

03

素?cái)?shù)中的本福特定律

素?cái)?shù)是只能被 1 或者自己整除的整數(shù)。素?cái)?shù)有無窮多個，100萬以下的數(shù)字中有 78 498 個素?cái)?shù)。這一次，我們使用這些素?cái)?shù)作為一個數(shù)據(jù)組，同樣對首位有效數(shù)字的分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如圖 26。

從圖 26 中確實(shí)可以看到，數(shù)字“1”排在首位的頻率是最高的，但是 1 ～ 9 每個數(shù)字排在首位的頻率相差不是很大，而且可以說是更接近于平均分布，而不是本福特定律中的遞減趨勢。

這個結(jié)果是不是意味著本福特定律只是適用于極少數(shù)情況的一種規(guī)律呢？又或者根本就是本福特教授的一個錯覺？

數(shù)學(xué)家盧克（B. Luque）和拉卡薩（L. Lacasa）在其 2009 年共同發(fā)表的論文《素?cái)?shù)的首位有效數(shù)字的分布》11 中，對此問題進(jìn)行了研究。他們在論文中提出，可以將本福特定律解釋為是一個具有普遍適用性的定律的一種特定情形，而素?cái)?shù)的首位數(shù)字的分布，就可以用這個更為普遍的本福特定律來說明。

這個說法有點(diǎn)晦澀，換句話說，就是我們可以把本福特定律區(qū)分成“一般本福特定律”和“古典本福特定律”兩種不同類型。那么，怎樣去理解這兩個定律的不同之處呢？

盧克和拉卡薩認(rèn)為，古典本福特定律更接近于一個反比例函數(shù)曲線，如圖 27 所示。他們在論文中指出了兩者之間的對應(yīng)關(guān)系：“首位數(shù)字是 1 的概率等于圖中坐標(biāo) 1 到 2 之間的面積；首位數(shù)字是 2 的概率，則等于坐標(biāo) 2 到 3 之間的面積……”通過調(diào)整設(shè)置，使全部的面積之和恰好等于 100%。

而與此相對，在一般本福特定律中，當(dāng)反比例函數(shù)曲線變?yōu)?/p>

時(shí)，上述對應(yīng)關(guān)系同樣成立。其中，當(dāng) a =1時(shí)，就是古典本福特定律。圖 28 形象地說明了兩個定律之間的關(guān)系。

29 則描述了當(dāng) a 的值發(fā)生變化時(shí)，分布曲線的相應(yīng)變化。可以看到，當(dāng) a 的值逐漸減小時(shí)，曲線是逐漸趨于平緩的。圖 30 顯示了 a = 0.04 時(shí)的本福特定律。圖中坐標(biāo)數(shù)字對應(yīng)的長方形的面積，就是該數(shù)字作為首位數(shù)字的概率。

根據(jù)這個理論，盧克和拉卡薩對更大范圍的素?cái)?shù)的首位數(shù)字的分布頻率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。圖 31 顯示了該統(tǒng)計(jì)結(jié)果，以圖（a）為例，黑色柱狀圖表示的是10^8以內(nèi)的 5 761 455 個素?cái)?shù)的首位數(shù)字的分布頻率。與之并列的白色柱狀圖，表示的是一般本福特定律（a = 0.0583）的理論值。很明顯，這兩個數(shù)據(jù)具有驚人的一致性。

將素?cái)?shù)的范圍再進(jìn)行擴(kuò)大，也還是能夠找到與之對應(yīng)的一般本福 特 定 律。 圖（b）中，素?cái)?shù)的范圍擴(kuò)大到了10^9，相對應(yīng)地，a = 0.0513 時(shí)的一般本福特定律與之一致；圖（c）中素?cái)?shù)的范圍是10^10，對應(yīng) a = 0.0458；圖（d）中素?cái)?shù)的范圍是10^11，對應(yīng) a =0.0414。可以發(fā)現(xiàn)，在這四種情況下，a 的值都有略微的差異，但最終與相應(yīng)的素?cái)?shù)首位數(shù)字的分布頻率都非常吻合。

除了使用圖形對比以外，在盧克和拉卡薩的論文中，同樣采用了上文中我們在對比股價(jià)首位數(shù)字分布時(shí)使用的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，對上述四種情形進(jìn)行了檢驗(yàn)。結(jié)果沒有任何疑義地顯示出了高度一致性。

自范里安教授初次提出可以將本福特定律應(yīng)用于揭露財(cái)務(wù)舞弊行為之后，會計(jì)學(xué)教授馬克·尼格里尼（Mark Nigrini）在 20 世紀(jì) 90年代從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度說明了如何利用本福特定律揭露會計(jì)的造假、欺詐和逃稅等財(cái)務(wù)舞弊行為，并因此名揚(yáng)天下。迄今為止，研究者們已經(jīng)使用本福特定律進(jìn)行了許多這方面的實(shí)踐應(yīng)用，這些都讓人不禁感嘆，當(dāng)初范里安教授真的是獨(dú)具慧眼！

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《數(shù)學(xué)思考法：解析直覺與謊言》

作者： [日]神永正博

譯者：孫慶媛

《簡單微積分》作者神永正博經(jīng)典著作！

分析信息真正價(jià)值 / 拆解轉(zhuǎn)化復(fù)雜問題 / 破除思維定式陷阱。

通過用數(shù)學(xué)思維解析實(shí)際生活案例、公眾認(rèn)知中的錯誤直覺、數(shù)學(xué)經(jīng)典名題等方式，由淺入深地傳授了分析數(shù)據(jù)信息價(jià)值、辨別謊言、拆解轉(zhuǎn)化復(fù)雜問題、抓住事物本質(zhì)的思考之法，同時(shí)講解了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識與理論，可以有效提高理性思維、判斷與解決問題能力。