大家好，我是船長(zhǎng)。

我們習(xí)慣用自然數(shù)丈量世界，卻鮮少追問：為何“1、2、3…”既能描述蘋果的數(shù)量，又能推導(dǎo)出質(zhì)數(shù)分布的規(guī)律？讓我們重新審視一個(gè)始于古希臘的認(rèn)知框架——自然數(shù)，其具有貫通經(jīng)驗(yàn)真實(shí)與數(shù)學(xué)真實(shí)的雙重結(jié)構(gòu)。

金觀濤老師通過思想史溯源闡明：自然數(shù)是首個(gè)自洽的雙重結(jié)構(gòu)符號(hào)系統(tǒng)。皮亞諾公理體系構(gòu)建了純數(shù)學(xué)的邏輯骨架，而“三個(gè)蘋果”的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)則賦予其現(xiàn)實(shí)錨點(diǎn)。兩種結(jié)構(gòu)的重合，使數(shù)學(xué)推理得以穿透經(jīng)驗(yàn)世界。但這一優(yōu)勢(shì)在空間測(cè)量中遭遇挑戰(zhàn)：古希臘人證明，正方形對(duì)角線與邊長(zhǎng)的比值無法表達(dá)為整數(shù)比，該發(fā)現(xiàn)摧毀了“一切皆可度量”的直覺，卻意外催生出科學(xué)真實(shí)的奠基范式。

歐幾里得幾何學(xué)將作圖動(dòng)作抽象為公理，使定理證明對(duì)應(yīng)于受控實(shí)驗(yàn)的符號(hào)化組織過程。邏輯推導(dǎo)的本質(zhì)，是實(shí)驗(yàn)可重復(fù)性在符號(hào)結(jié)構(gòu)中的傳遞。當(dāng)公理表征的測(cè)量操作被驗(yàn)證為普遍有效，定理的真實(shí)性便由符號(hào)邏輯與經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)共同擔(dān)?！獛缀螌W(xué)由此成為第一塊“拱頂石”，在經(jīng)驗(yàn)真實(shí)與數(shù)學(xué)真實(shí)間建立穩(wěn)定聯(lián)結(jié)。

自然數(shù)靜默承載著理性文明的基因符碼，幾何公理驀然鏈接著抽象的數(shù)學(xué)世界與我們身處的經(jīng)驗(yàn)世界。重溯這座被現(xiàn)代哲學(xué)淡忘的認(rèn)知橋梁，能幫助我們?cè)谔搶?shí)交融的時(shí)代，重新校準(zhǔn)“真實(shí)”的尺度。

圖：《最后的晚餐》

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的啟示

文/金觀濤

在數(shù)“數(shù)”的背后：自然數(shù)的雙重結(jié)構(gòu)

在《消失的真實(shí)》一書中，我就指出現(xiàn)代科學(xué)理論就是橫跨數(shù)學(xué)真實(shí)和經(jīng)驗(yàn)真實(shí)的拱橋。為了剖析這座拱橋的結(jié)構(gòu)，我首先要指出，從真實(shí)性本身的擴(kuò)展來講，科學(xué)（經(jīng)驗(yàn)）真實(shí)和數(shù)學(xué)（符號(hào)）真實(shí)的展開都只能依靠自身的真實(shí)性結(jié)構(gòu)。如前所述，純粹數(shù)學(xué)圍繞提出定義（命題）、公理化、定理的推導(dǎo)和證明猜想展開，其發(fā)展必須基于數(shù)學(xué)真實(shí)自身的“邏輯”；科學(xué)（經(jīng)驗(yàn)）真實(shí)通過普遍可重復(fù)的受控實(shí)驗(yàn)確立，其擴(kuò)展依賴受控實(shí)驗(yàn)的自我迭代和組織。

雖然科學(xué)（經(jīng)驗(yàn)）真實(shí)和數(shù)學(xué)真實(shí)各自都可以獨(dú)自發(fā)展，但在歐幾里得《幾何原本》出現(xiàn)之前，數(shù)學(xué)真實(shí)從來沒有根據(jù)自身的真實(shí)性結(jié)構(gòu)順利地拓展過；同樣，現(xiàn)代科學(xué)理論尚未形成之時(shí)，科學(xué)（經(jīng)驗(yàn)）真實(shí)的進(jìn)展亦是緩慢的，其發(fā)現(xiàn)也沒有通過受控實(shí)驗(yàn)自我迭代和組織呈不斷加速的趨勢(shì)。這時(shí)，數(shù)學(xué)真實(shí)和科學(xué)（經(jīng)驗(yàn)）真實(shí)的展開大多出于偶然事件。雖然技術(shù)與受控實(shí)驗(yàn)之間的關(guān)系十分密切，但技術(shù)的進(jìn)步所依靠的受控過程之迭代和組織也不是經(jīng)常發(fā)生的。這一切導(dǎo)致傳統(tǒng)社會(huì)科學(xué)和技術(shù)發(fā)展的緩慢。

科學(xué)技術(shù)史和數(shù)學(xué)史都表明，古希臘哲人發(fā)現(xiàn)幾何學(xué)是數(shù)學(xué)真實(shí)和科學(xué)（經(jīng)驗(yàn)）真實(shí)在互動(dòng)中擴(kuò)張的第一步。隨著歐幾里得《幾何原本》建立了從公理導(dǎo)出所有（幾何學(xué)）定理的公理化思維模式，幾何學(xué)就成為橫跨數(shù)學(xué)真實(shí)和科學(xué)（經(jīng)驗(yàn)）真實(shí)拱橋的第一塊拱頂石。從此以后，通過對(duì)歐幾里得《幾何原本》的模仿，在各個(gè)領(lǐng)域把科學(xué)（經(jīng)驗(yàn)）真實(shí)和數(shù)學(xué)真實(shí)互相聯(lián)系起來的架橋工程開始了。

17世紀(jì)之后，《幾何原本》的公理化結(jié)構(gòu)通過數(shù)理天文學(xué)進(jìn)入力學(xué)，形成了第二塊拱頂石，那就是以牛頓命名的經(jīng)典力學(xué)。以實(shí)數(shù)為符號(hào)系統(tǒng)的現(xiàn)代力學(xué)理論形成之后，數(shù)學(xué)真實(shí)和科學(xué)（經(jīng)驗(yàn)）真實(shí)的擴(kuò)張開始呈加速發(fā)展趨勢(shì)。我們看到新拱頂石的不斷出現(xiàn)與互相整合，其后果是橫跨科學(xué)（經(jīng)驗(yàn)）真實(shí)和數(shù)學(xué)真實(shí)的拱橋越來越寬。在《消失的真實(shí)》中，我已簡(jiǎn)述過現(xiàn)代科學(xué)形成的歷史?，F(xiàn)在必須從新的視角，再一次檢討這一過程。我先分析拱橋的第一塊拱頂石是如何發(fā)現(xiàn)的，然后敘述一塊塊拱頂石如何互相整合，最后形成現(xiàn)代科學(xué)理論神奇的整體結(jié)構(gòu)。

圖：0-3 符號(hào)真實(shí)性和經(jīng)驗(yàn)真實(shí)性之間的拱橋

幾何學(xué)源于經(jīng)驗(yàn)測(cè)量?？臻g測(cè)量是人類最早掌握的受控實(shí)驗(yàn)之一，但是在古希臘人發(fā)現(xiàn)幾何公理之前，它從來沒有和數(shù)學(xué)真實(shí)建立真正的聯(lián)系。橫跨科學(xué)（經(jīng)驗(yàn)）真實(shí)和數(shù)學(xué)真實(shí)拱橋的最初形態(tài)是幾何學(xué)，其出現(xiàn)是一件令人驚異的事情。幾何學(xué)一方面聯(lián)系經(jīng)驗(yàn)世界，另一方面立足于數(shù)學(xué)世界（具有真實(shí)性結(jié)構(gòu)的純符號(hào)系統(tǒng)）。

數(shù)學(xué)真實(shí)的運(yùn)行可以通過原始拱橋傳遞到經(jīng)驗(yàn)真實(shí)，幫助其擴(kuò)張。經(jīng)驗(yàn)真實(shí)對(duì)數(shù)學(xué)真實(shí)的推動(dòng)亦如此，而傳遞這種推動(dòng)力的正是拱頂石。因此分析古希臘幾何學(xué)出現(xiàn)的各種前提，就成為研究建立橫跨符號(hào)真實(shí)和經(jīng)驗(yàn)真實(shí)拱橋的拱頂石的最佳案例。如前所述，橫跨經(jīng)驗(yàn)真實(shí)和符號(hào)真實(shí)之拱橋必須是具有雙重結(jié)構(gòu)的符號(hào)系統(tǒng)。不可思議的是，這樣的符號(hào)系統(tǒng)自從人類學(xué)會(huì)數(shù)“數(shù)”以來就已經(jīng)存在，那就是自然數(shù)。

至今我們?nèi)圆恢雷匀粩?shù)是如何起源的，但只要會(huì)用自然數(shù)進(jìn)行各種計(jì)算，第一個(gè)具有雙重結(jié)構(gòu)的符號(hào)系統(tǒng)已經(jīng)擺在人類面前了！我在“皮亞諾公理和科學(xué)真實(shí)的結(jié)構(gòu)”一節(jié)指出，自然數(shù)可以視為一個(gè)和經(jīng)驗(yàn)無關(guān)的純符號(hào)系統(tǒng)，因?yàn)樗哂衅喼Z—戴德金公理給出的結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)最大的問題是很難用于數(shù)學(xué)計(jì)算。讓我們?cè)囅朐谠摷兎?hào)系統(tǒng)中做加、減、乘、除等運(yùn)算，其過程如下：先在符號(hào)系統(tǒng)中定義什么是加、減、乘、除等運(yùn)算。就純符號(hào)系統(tǒng)本身而言，任何一種運(yùn)算實(shí)為從集合中任意兩個(gè)元素找到其他一個(gè)元素的映射，該映射必須滿足一組法則。

用這一組法則來做加、減、乘、除等運(yùn)算不僅復(fù)雜而困難，而且要讓這些法則對(duì)集合內(nèi)所有元素有效，自然數(shù)集必須進(jìn)一步拓展。學(xué)過初等數(shù)學(xué)就知道，只有擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集合，加、減、乘、除等計(jì)算才對(duì)其所有元素都是有效的。換言之，當(dāng)自然數(shù)作為一個(gè)非經(jīng)驗(yàn)的純符號(hào)系統(tǒng)時(shí)，它很難用于進(jìn)行計(jì)算。

表： 早期記數(shù)系統(tǒng)

為了計(jì)算，必須從另一個(gè)角度定義自然數(shù)。該定義人人皆知。先定義什么是1，它既是計(jì)數(shù)的單位，又是起始元素。然后把兩個(gè)1定義為 2，2是1的后繼元素，接著把三個(gè)1稱為3，3是2的后繼元素，如此等等……該定義實(shí)際上是把自然數(shù)視為其序號(hào)等同于大小之集合。請(qǐng)注意，給出計(jì)數(shù)單位必須立足于經(jīng)驗(yàn)（計(jì)數(shù)的單位），對(duì)后繼元素的定義也離不開經(jīng)驗(yàn)（計(jì)數(shù)的單位），故這是自然數(shù)的經(jīng)驗(yàn)定義。

我后面將證明，用經(jīng)驗(yàn)定義符號(hào)（即符號(hào)系統(tǒng)符合經(jīng)驗(yàn)），實(shí)際上是用符號(hào)關(guān)系表達(dá)經(jīng)驗(yàn)對(duì)象的結(jié)構(gòu)。比如2是兩個(gè)1，3是繼2之后用單位數(shù)目數(shù)三次，這些都是數(shù)“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)（結(jié)構(gòu)）的符號(hào)表達(dá)。一旦理解了自然數(shù)的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，我們就有一個(gè)驚人的發(fā)現(xiàn)：在自然數(shù)定義中符號(hào)系統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)和其作為純符號(hào)之真實(shí)性結(jié)構(gòu)完全重合！

圖：皮亞諾公理

簡(jiǎn)而言之，實(shí)際上，作為數(shù)學(xué)起點(diǎn)的自然數(shù)本身就具有雙重結(jié)構(gòu)：一重結(jié)構(gòu)是皮亞諾—戴德金公理，它具有純符號(hào)的真實(shí)性；另一重是和經(jīng)驗(yàn)對(duì)象的結(jié)構(gòu)相同的符號(hào)結(jié)構(gòu)，“數(shù)”的大小代表數(shù)“數(shù)”經(jīng)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)。在《消失的真實(shí)》和本書“經(jīng)驗(yàn)的真實(shí)性和邏輯的真實(shí)性”一節(jié)，我指出可以用符號(hào)之間一一對(duì)應(yīng)來數(shù)“數(shù)”，這種表達(dá)集合大小的方法是非經(jīng)驗(yàn)的，而先規(guī)定數(shù)“數(shù)”單位，用單位的倍數(shù)表達(dá)經(jīng)驗(yàn)對(duì)象的大小，這種數(shù)“數(shù)”方法是經(jīng)驗(yàn)的，得到的符號(hào)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是經(jīng)驗(yàn)對(duì)象之間的關(guān)系。

“自然數(shù)為真”不僅表明其為普遍可重復(fù)受控實(shí)驗(yàn)之符號(hào)結(jié)構(gòu)，還在于它表達(dá)了數(shù)“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)。它是第一個(gè)將經(jīng)驗(yàn)世界和數(shù)學(xué)世界加以整合的具有雙重結(jié)構(gòu)的符號(hào)系統(tǒng)！為什么自然數(shù)有如此神奇的結(jié)構(gòu)？我們不知道。然而，正因?yàn)樽匀粩?shù)的雙重結(jié)構(gòu)，由自然數(shù)純符號(hào)的真實(shí)性（自然數(shù)的公理）推出的定理在經(jīng)驗(yàn)上一定是正確的。數(shù)論研究的不斷拓展就是符號(hào)真實(shí)和經(jīng)驗(yàn)真實(shí)互相促進(jìn)的結(jié)果。

既然自然數(shù)是第一個(gè)具有雙重結(jié)構(gòu)的符號(hào)系統(tǒng)，它為什么不能成為科學(xué)真實(shí)中橫跨符號(hào)和經(jīng)驗(yàn)拱橋最早的拱頂石呢？因?yàn)閿?shù)“數(shù)”所表達(dá)的經(jīng)驗(yàn)似乎不是受控實(shí)驗(yàn)。下面我將證明：受控實(shí)驗(yàn)的基本結(jié)構(gòu)可以包含在自然數(shù)中，但發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)極為困難。直至把自然數(shù)和線段（角度等）測(cè)量結(jié)果等同，才可能用自然數(shù)結(jié)構(gòu)表達(dá)受控實(shí)驗(yàn)。

理由很清楚，空間測(cè)量是最基本的普遍可重復(fù)的受控實(shí)驗(yàn)，如果我們能用自然數(shù)代表測(cè)量結(jié)果，自然數(shù)就能將自己的經(jīng)驗(yàn)定義給予測(cè)量，自然數(shù)的雙重結(jié)構(gòu)立即轉(zhuǎn)移到空間測(cè)量這一類獨(dú)特的受控實(shí)驗(yàn)之符號(hào)表達(dá)中。

空間測(cè)量一旦成為具有雙重結(jié)構(gòu)的符號(hào)系統(tǒng)，科學(xué)真實(shí)中受控實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)之間的拱橋就有了第一塊拱頂石，經(jīng)驗(yàn)真實(shí)和符號(hào)真實(shí)在互動(dòng)中的擴(kuò)張就可以開始了。奇怪的是，每一個(gè)文明都知道空間測(cè)量可以用自然數(shù)來表達(dá)，但只有古希臘文明才孕育出了歐幾里得公理系統(tǒng)。這又是為什么呢？

關(guān)鍵在于，我們?cè)谥庇X上感受到每一條線段都有一確定的測(cè)量值（兩個(gè)自然數(shù)之比），但這個(gè)直覺是錯(cuò)的。只有先認(rèn)識(shí)建立自然數(shù)之比和測(cè)量結(jié)果不可能一一對(duì)應(yīng)，即發(fā)現(xiàn)存在著不可測(cè)量（比）的線段，我們才能找到第一塊拱頂石。在所有軸心文明中，只有古希臘文明發(fā)現(xiàn)了不可測(cè)量（比）線段 的存在。

圖：牛河梁三重圓祭壇（中）直徑比例接近根號(hào)二

“哲學(xué)之死”及其回光返照

測(cè)量是求兩條線段的比例，如果以a線段作為尺，用它來測(cè)量另一個(gè)線段b，得到比例是b/a，它的意義是b和多少個(gè)a重合。當(dāng)不能重合時(shí)，把a(bǔ)分為n等份，用a/n作為尺來數(shù)不重合的部分。通常認(rèn)為當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)，用其來數(shù)b是多少個(gè)a/n總是可能的。所謂測(cè)量結(jié)果，是指b/a=m/n。這里，n和m是自然數(shù)。換言之，測(cè)量作為求兩條線段a和b的比例，就是去尋找相應(yīng)的n和m，一旦找到，就建立了測(cè)量過程和自然數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這也是用數(shù)“數(shù)”經(jīng)驗(yàn)定義了線段的長(zhǎng)度。為了分析上述對(duì)應(yīng)是否可能，我們必須對(duì)測(cè)量過程做出更為細(xì)致的描述。

事實(shí)上，用數(shù)“數(shù)”經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)定義線段的長(zhǎng)度，其前提是它可以用數(shù)“數(shù)”來測(cè)量。所謂用自然數(shù)來測(cè)量是指用如下受控過程（實(shí)驗(yàn)）來比較兩條已經(jīng)給出的線段。先將任何一條（可控過程規(guī)定的）線段分為n等份，用該線段的1/n作為單位長(zhǎng)度（即尺）來數(shù)自己和另一個(gè)（可控過程規(guī)定的）線段，看它們是尺的多少倍。

當(dāng)尺的m倍做不到和被測(cè)長(zhǎng)度重合時(shí)，選比n更大的整數(shù)n+1將第一條線段再做等分，得到更精確的尺，看其若干倍能否和另一條線段相重合。用這樣的方法一直做下去，使得到的尺的若干倍和被測(cè)量線段重合為止。通常認(rèn)為，上述方法是可行的，即只要將n一點(diǎn)點(diǎn)變大，總可以找到一種測(cè)量單位即尺，使第一根線段是尺的n倍，第二根線段是尺的m倍。

圖： 古巴比倫人用六十進(jìn)制計(jì)算根號(hào)二

顯而易見，n和m不能同時(shí)是偶數(shù)。為什么？因?yàn)槿绻鹡和m均為偶數(shù)，則可用第一條線段的2/n作為尺再次測(cè)量，這兩條線段長(zhǎng)度分別為n/2和m/2。如果這兩個(gè)數(shù)仍然都是偶數(shù)，則用第一條線段的4/n作為尺進(jìn)行測(cè)量，一直到其中一個(gè)為奇數(shù)為止。因此，整個(gè)測(cè)量過程如下：我們從1開始增加n的數(shù)目，用第一條線段a的1/n當(dāng)作尺來數(shù)第二條線段b，看尺的m倍能否和b重合；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，m必定為奇數(shù)。

這里，一個(gè)自然數(shù)如n首先是指某一種測(cè)量方法，其為將第一個(gè)線段a分為n等份，得到尺。與此同時(shí)，自然數(shù)還代表了測(cè)量結(jié)果，如對(duì)第一個(gè)線段a數(shù)了n次，對(duì)第二個(gè)線段b數(shù)了m次。由此可見，測(cè)量結(jié)果和自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)，是指對(duì)于任意兩個(gè)由受控過程得到的線段a和b，都能用上述測(cè)量方法找到兩個(gè)最小的自然數(shù)n和m與其對(duì)應(yīng)，這就是線段的可測(cè)量（比）性。

表面上看，線段的可測(cè)量（比）和線段存在長(zhǎng)度等同，因?yàn)槿嗽诮?jīng)驗(yàn)上可感知線段的大小即其有長(zhǎng)度，故想當(dāng)然地認(rèn)為任何線段都是可測(cè)量（比）的。然而，這不成立！也就是說，存在著某些可控過程規(guī)定的兩條線段是不可能用上述方法和自然數(shù)n、m對(duì)應(yīng)的。下面就是一個(gè)例子。

圖2-1是一個(gè)正方形，其作圖是一個(gè)普遍可重復(fù)的受控過程。我們可以用正方形作圖得到兩條線段，一條是正方形的邊AB=BC，另一條是正方形兩個(gè)頂點(diǎn)對(duì)角線AC。我們來尋找“尺”測(cè)量這兩條線段的長(zhǎng)度，即將AB分為n等份，用AB/n作為“尺”來數(shù)AC。下面可以證明，無論怎么選n，都不可能使尺的m倍和AC重合。為什么？因?yàn)樽鲌D可以證明：直角三角形ABC斜邊之平方是另兩條邊平方的和。也就是說，AC2=2AB2,如果可以找到自然數(shù)n、m和AB及AC對(duì)應(yīng)，必定有m2=2n2。

根據(jù)前面測(cè)量的定義，n和m不能同為偶數(shù)，因?yàn)閙2是偶數(shù)，m必定是偶數(shù)。這樣，n只能是奇數(shù)。然而，基于自然數(shù)公理可推知：當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時(shí)，m2=2n2是不可能的。為什么？因?yàn)閙是偶數(shù)，它可以表達(dá)為m=2p，于是有m2=4p2=2n2,則有n2=2p2。這樣，n只能是偶數(shù)，這與線段測(cè)量要求n為奇數(shù)矛盾。

圖：2-1 直角三角形斜邊的不可測(cè)比性

不可測(cè)比線段的存在，表明不能將線段測(cè)量這類受控實(shí)驗(yàn)和自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來。原來，對(duì)那些不可測(cè)比的線段，用兩個(gè)自然數(shù)之比來表達(dá)測(cè)量結(jié)果，這只是一種近似，充其量為數(shù)學(xué)（用自然數(shù)來數(shù)“數(shù)”）的應(yīng)用，并不是發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)和線段長(zhǎng)短之間存在著必然的聯(lián)系。這時(shí)，數(shù)學(xué)真實(shí)和測(cè)量結(jié)果之間存在著鴻溝，空間測(cè)量和線段及角度關(guān)系之研究不可能運(yùn)用自然數(shù)結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)推理（公理化推導(dǎo)）。這一切表明，即使在空間測(cè)量這種最單純的受控實(shí)驗(yàn)中，找到橫跨科學(xué)（經(jīng)驗(yàn)）真實(shí)和數(shù)學(xué)真實(shí)鴻溝拱橋的第一塊拱頂石也并不容易，這正是除古希臘外其他軸心文明沒有發(fā)現(xiàn)幾何學(xué)的重要原因。

如何克服不可測(cè)比的困難？一個(gè)辦法是改變數(shù)的定義，把每一條線段的長(zhǎng)度和一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)。這就是把數(shù)的定義從自然數(shù)擴(kuò)大到實(shí)數(shù)集，自然數(shù)只是實(shí)數(shù)集的子集合。從經(jīng)驗(yàn)上定義實(shí)數(shù)很容易。這就是把線段等經(jīng)驗(yàn)對(duì)象視為有大小的，其大小就是長(zhǎng)度，長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)著數(shù)。定義經(jīng)驗(yàn)對(duì)象的大小如長(zhǎng)度，這和自然數(shù)的經(jīng)驗(yàn)定義類似，運(yùn)用序號(hào)等于其大小的原則。

但如何使每一個(gè)實(shí)數(shù)（連續(xù)量的序號(hào)）在不指涉經(jīng)驗(yàn)對(duì)象時(shí)也是真的？這極為困難。自然數(shù)的最奇妙之處在于，它既具備數(shù)“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，又具備純符號(hào)真實(shí)性的皮亞諾—戴德金結(jié)構(gòu)。把實(shí)數(shù)和線段長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)，只是其經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，如何讓實(shí)數(shù)集具有純符號(hào)的真實(shí)性，這涉及引進(jìn)新的表達(dá)符號(hào)真實(shí)之公理。本章后文會(huì)談到實(shí)數(shù)的公理化結(jié)構(gòu)，這是19世紀(jì)下半葉才確立的。

由此可見，要找到橫跨經(jīng)驗(yàn)世界和數(shù)學(xué)世界的拱橋的第一塊拱頂石，一開始只能用另一個(gè)辦法，那就是先用邏輯語言陳述測(cè)量過程及其結(jié)果，它符合經(jīng)驗(yàn)，使相應(yīng)符號(hào)串具有經(jīng)驗(yàn)世界的結(jié)構(gòu)，然后再將這些符號(hào)串和自然數(shù)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，使整個(gè)符號(hào)系統(tǒng)具有純符號(hào)真實(shí)的結(jié)構(gòu)。這樣一來，測(cè)量就成為具有雙重結(jié)構(gòu)的符號(hào)系統(tǒng)。下面我們來證明這樣的符號(hào)系統(tǒng)就是幾何學(xué)。

本文系摘選自《真實(shí)與虛擬》一書第二編第一章節(jié)1-2兩節(jié)。為便于閱讀，部分段落做了拆分和刪減，推文標(biāo)題為編者所擬，學(xué)術(shù)討論請(qǐng)以原文為準(zhǔn)。文中部分配圖來源于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系公眾號(hào)后臺(tái)刪除。

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