實(shí)話實(shí)說，人得有清醒的自我認(rèn)知，要不然會(huì)飄。這是今天討論問題的前提。

W君一直覺得頭條這邊的粉絲關(guān)心的話題是軍事、國(guó)際形勢(shì)以及生活中的那些屎尿屁。前陣子頭條的認(rèn)證規(guī)則變了，W君從軍事領(lǐng)域轉(zhuǎn)到科學(xué)領(lǐng)域，最近寫文章也就盡量脫離開一些軍事內(nèi)容，想給大家講講批在軍事外衣下的科技和狠活。但始料不及的是最近發(fā)現(xiàn)一篇講數(shù)學(xué)的文章大家的回復(fù)和關(guān)注度超級(jí)高。甚至有人這樣回復(fù)，已經(jīng)開始讓W(xué)君推薦數(shù)學(xué)的入門書了。

第一、真心高興，大家能對(duì)數(shù)學(xué)有興趣；第二、就是有點(diǎn)慚愧了。慚愧就在于W君自己也不是什么數(shù)學(xué)家，只是日常的工作中經(jīng)常拿著別人寫好的公式當(dāng)作工具來用罷了。這和建筑工地上的農(nóng)民工并沒有什么分別，只不過他們拿著的是別人發(fā)明的鐵鍬和風(fēng)鎬，而W君用的是別人總結(jié)出的公式。

恰巧，最近關(guān)于錢老的一個(gè)言論又成了新聞熱點(diǎn)，錢老說“人再笨，還能學(xué)不會(huì)微積分嗎？”

有人就回復(fù)“錢老還是被保護(hù)的太好了，很少接觸我們這些沒進(jìn)化完全的猴子”。

其實(shí)，如果你在工作中經(jīng)常用到數(shù)學(xué)，你會(huì)覺得錢老這句話一點(diǎn)都不為過。

這句話相當(dāng)于成吉思汗討論騎馬射箭，他也會(huì)說“人再笨還能學(xué)不會(huì)騎射嗎？”，放在一般的草原牧民的視角這句話一點(diǎn)毛病都沒有，就是完全絕對(duì)正確的。但放在當(dāng)時(shí)中原農(nóng)耕百姓的眼里大多數(shù)人別說騎馬射箭，敢騎牛而不摔下來的都是少數(shù)。

在騎射這件事上，草原人與中原人的差距并不是天生的，而是環(huán)境與文化使然。草原上的孩子從小就跟著父輩騎馬放牧，日常飲食、生計(jì)乃至榮譽(yù)都與騎射緊密相連，它幾乎是生存的“常識(shí)”。而中原農(nóng)耕社會(huì)以土地為中心，牛是耕地的工具而非坐騎，百姓從小缺乏接觸騎馬的機(jī)會(huì)，更別說邊騎邊射了。草原人視之為日用之學(xué)，中原人則覺得是危險(xiǎn)的專門技能。

換句話說，中原漢人騎馬不行，原因在于摔下馬的次數(shù)太少，而一個(gè)草原牧民小孩成年前摔下馬的次數(shù)恐怕要比中原一個(gè)村子的人落馬的總數(shù)還要多。

所以，如果成吉思汗當(dāng)年和治下的中原人說14歲就應(yīng)該學(xué)會(huì)騎馬，那么中原百姓大抵會(huì)這樣回復(fù)“大汗自幼馳騁于馬上，弓矢如臂使指，自是天經(jīng)地義之事。然我等農(nóng)家子，生來伏牛執(zhí)犁，能不被牛角頂翻已屬僥幸。大汗言人人可習(xí)騎射，此誠(chéng)至理，然于吾輩，猶若未脫毛之猿猴，未嘗進(jìn)化，豈敢與大草原子弟同日而語。”

這和今天許多人看待微積分如出一轍：對(duì)科研工作者而言，它不過是日常工具；可在缺乏數(shù)學(xué)語境的教育環(huán)境里，微積分就像騎射之于中原人，看似高不可攀，實(shí)則只是環(huán)境不同所造成的隔閡。

老實(shí)講，大多數(shù)普通人的生活里，數(shù)學(xué)毛用沒有。買菜靠四則運(yùn)算，做賬靠Excel，手機(jī)上自帶計(jì)算器，算法的邏輯也被APP封裝得干干凈凈。換句話說，哪怕你一輩子不懂微積分只懂得算術(shù)也沒問題，該吃吃、該喝喝，人生一樣能過下去。

正因如此，很多人一聽“微積分”就條件反射：這玩意兒跟我八竿子打不著。而再把視角轉(zhuǎn)回錢學(xué)森，你會(huì)發(fā)現(xiàn)他在科學(xué)界的“牛逼”，其實(shí)并不是像愛因斯坦那樣提出震驚世界的理論，而是站在一個(gè)需要工程落地的體系里，把微積分、控制論、空氣動(dòng)力學(xué)這些現(xiàn)成的工具用得很熟練。

畢竟，錢老在1934年畢業(yè)于交通大學(xué)、后赴美在麻省理工大學(xué)、加州理工學(xué)院深造，從1936年開始師從航天泰斗馮·卡門，在1939年，獲得加州理工學(xué)院航空學(xué)和數(shù)學(xué)博士學(xué)位。這里有一個(gè)咱們國(guó)內(nèi)很多自媒體沒弄明白的事情，很多人認(rèn)為錢老在1939年6月9日同時(shí)獲得了了航空學(xué)博士和數(shù)學(xué)博士?jī)蓚€(gè)學(xué)位，其實(shí)錢老所獲得的學(xué)位是一個(gè)工學(xué)博士（Doctor of Philosophy inaeronautics and mathematics）其中航空學(xué)和數(shù)學(xué)是并列在一起的。

這個(gè)學(xué)科是一個(gè)結(jié)合了航空航天工程和數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專業(yè)博士學(xué)位，通常專注于航空航天領(lǐng)域的研究和高級(jí)問題解決。主要是學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)建模和分析來應(yīng)對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)、推進(jìn)和航空航天結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域的各種挑戰(zhàn)和問題。

不過錢老的這個(gè)博士證書的含金量就比普通的博士證書高多了，注意Doctor of Philosophy下的一行小字“Magna Cum Laude（拉丁文：極優(yōu)等成績(jī)）”。這個(gè)位置一般會(huì)有四個(gè)情況，不標(biāo)記、“Cum Laude”優(yōu)等成績(jī)、“Magna Cum Laude”極優(yōu)等成績(jī)和“Summa Cum Laude”最優(yōu)等成績(jī)。不過W君查過加州理工學(xué)院的記錄的，至今“最優(yōu)等”這個(gè)榮譽(yù)還沒有發(fā)出來過。即便是Magna Cum Laude也是鳳毛麟角——這才是錢老在加州理工拿博士學(xué)位最值得夸耀的地方。以至于后期錢老和馮·卡門搞出來的錢·卡門定律（rule），到現(xiàn)在還在NASA的各種計(jì)算和驗(yàn)證中不停的在使用，且沒有更好的替代。

不過，就數(shù)學(xué)本身而言，錢老就是一般水平了。這并不是貶低錢老的成就，而是一個(gè)實(shí)事求是的事情。你要理解一個(gè)很重要的個(gè)事情——貝多芬是偉大的鋼琴家，但不一定會(huì)造鋼琴。也像我們一樣，我們都會(huì)用電腦，但不一定都會(huì)造電腦，所以，我們都是“計(jì)算機(jī)用戶”。錢老實(shí)際上是一名“數(shù)學(xué)用戶”，數(shù)學(xué)在他的工作中就是一個(gè)已經(jīng)被熟練使用的工具，騎馬射箭而已。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上并沒有錢學(xué)森定理和錢學(xué)森猜想，甚至可以毫不客氣的說，錢學(xué)森在數(shù)學(xué)上的建樹為零。當(dāng)然了，這并不妨礙他的工程學(xué)地位也并不妨礙他的《工程控制論》成為封神之作。

所以說，在錢老談微積分的時(shí)候，我們大多少人真的沒必要妄自菲薄菲薄把自己比成猴子。

其實(shí)前面鋪墊這么多，咱還沒進(jìn)入正題呢，就是為了勾起大家的好奇心，讓大家對(duì)后面的內(nèi)容哪怕感一點(diǎn)興趣，W君也就覺得寫了2000多個(gè)字的鋪墊值得了。

錢老說“人再笨，還能學(xué)不會(huì)微積分嗎？”這話W君是同意的，今天也想用后面的一兩千字給大家聊聊怎么入門微積分——好了，正片開啟：

一、極限：

微積分的門檻，叫“極限”。聽著高大上，其實(shí)它回答的問題特別樸素：一個(gè)東西越來越接近某個(gè)點(diǎn)時(shí)，它到底會(huì)靠到哪兒去？

打個(gè)比方，你端著一杯熱水放在桌子上，溫度會(huì)從 90℃ 慢慢降到室溫 25℃。你可以問：這水最后會(huì)變成幾度？答案顯然是 25℃。這就是一個(gè)“極限問題”：時(shí)間無限延長(zhǎng)，水溫?zé)o限接近 25℃，這 25℃就是它的極限。

再換個(gè)更形象的例子：想象你追一只小貓，每次快追上時(shí)它又往前蹦一小步。你可能永遠(yuǎn)追不上，但你們之間的距離會(huì)越來越小——小到最后無限接近 0。雖然“0”這個(gè)瞬間在現(xiàn)實(shí)里可能永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生，但數(shù)學(xué)告訴你：它就是這個(gè)過程的極限。

所以，極限的精髓就是：看清變化的終點(diǎn)趨勢(shì)，而不是糾結(jié)于過程里的一次次波動(dòng)。在數(shù)學(xué)上“極限”的意義在于讓“瞬間”和“連續(xù)”變得可描述，同時(shí)是可以依據(jù)極限來定性的。

例如，肉包子是我們常見的食物，如果我們觀察餡，當(dāng)“餡”趨近于沒有的時(shí)候以及當(dāng)餡趨近于無窮的時(shí)候，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)下面兩個(gè)極限關(guān)系。

但我們還可以擴(kuò)展更多的觀察點(diǎn)，例如形狀。這時(shí)候我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)下面的公式：

于是，一個(gè)簡(jiǎn)單的“包子”，在不同極限下就能演化出饅頭、烙餅、丸子、肉餅、甚至面條。

這其實(shí)就是“極限”的精髓：我們不需要一步步去做飯，只要抓住變量的趨勢(shì)，就能知道最終會(huì)得到什么菜。 數(shù)學(xué)家是用這種思維，把復(fù)雜無比的物理過程、經(jīng)濟(jì)模型、工程系統(tǒng)變得可以分析和預(yù)測(cè)。

——看你是不是不太笨？其實(shí)理解到這一步，就已經(jīng)比當(dāng)年被“極限”嚇跑的中學(xué)同桌強(qiáng)多了。

二、導(dǎo)數(shù)

在數(shù)學(xué)里，往往會(huì)把導(dǎo)數(shù)被定義成一個(gè)極限。

在微積分里，導(dǎo)數(shù)回答的是這樣一個(gè)問題：某個(gè)量在某一瞬間究竟是怎么變化的。你看這張圖，藍(lán)色的曲線代表一個(gè)過程，它可以是汽車的行駛路程、股票的價(jià)格，甚至是你往包子里塞餡的數(shù)量?，F(xiàn)在我們關(guān)心的，是在某個(gè)點(diǎn) x?，它的變化趨勢(shì)到底是什么。

紫色的線段叫“割線”，它連著兩個(gè)點(diǎn)，表示的是平均變化率。比如說，汽車 1 小時(shí)跑了 60 公里，平均速度就是 60 公里每小時(shí)。但你真正開車的時(shí)候，不可能每一秒都剛好 60，有時(shí)候快一點(diǎn)，有時(shí)候慢一點(diǎn)。所以，更關(guān)鍵的問題是：在某一瞬間，速度是多少？

這就需要“切線”。紅色的直線就是曲線在 x? 點(diǎn)的切線，它完美貼合曲線，斜率就是這一瞬間的變化率，也就是導(dǎo)數(shù)。數(shù)學(xué)上寫作：

生活里，導(dǎo)數(shù)就是車速表上的即時(shí)讀數(shù)，是股價(jià)此刻的漲跌，是你手上這勺肉餡落放到包子皮里那一瞬間的“肉量”。它不關(guān)心你過去或未來的波動(dòng)，而是精準(zhǔn)刻畫“此刻”。

例如人在走路的時(shí)候需要抬起左腿、扭胯、放下左腿、抬起右腿、扭胯、放下右腿、再抬起左腿……這樣才能向前行走。如果我們考慮人的步幅度停頓那么我們精確的建立時(shí)間（橫軸）和步幅換算成移動(dòng)距離（縱軸）的圖形就是這樣的：

它遵從了下面的公式

單步內(nèi)速度：

單步累計(jì)位移（從該步起點(diǎn)算）：

整段位移s(t)（把前 N 步與當(dāng)前步相加）：

這樣，一來s(t) 就是如果這個(gè)人行走t秒后的位移。說白話也就是一段時(shí)間內(nèi)人走出的距離。

如果我們求導(dǎo)數(shù)，對(duì) t 求導(dǎo)

最終你會(huì)發(fā)現(xiàn)

于是你就可以得到了v（速度），那么如果按照v來看這個(gè)鋸齒形的速度表，你會(huì)發(fā)現(xiàn)圖片就成了這樣：

這是啥呢？移動(dòng)距離=時(shí)間 X 速度，速度單位是啥？米/秒！看坐標(biāo)軸，橫軸是秒縱軸是米，很明顯速度在這個(gè)案例中就是一個(gè)斜率。

3、微分

在上一步我們說：速度 v(t) = 位移 s(t) 的導(dǎo)數(shù)。換句話說：

這就是微分的原型。

這句話背后的意思特別樸素：人在走路時(shí)，30 秒走了 45 米，你算出來的平均速度是 1.5 米每秒。但現(xiàn)實(shí)里你哪有“平均速度”這個(gè)東西？腳剛抬起來那一瞬間速度幾乎是 0，邁出去一半時(shí)速度達(dá)到最大，落地的時(shí)候又慢下來了。所以真正有意義的不是平均速度，而是某一秒、某一個(gè)瞬間的速度是多少。數(shù)學(xué)家把這個(gè)問題寫成極限，就得到了導(dǎo)數(shù)。而一旦我們把這個(gè)瞬時(shí)速度和極小的時(shí)間段結(jié)合起來，就有了“微分”。微分的意思是：在一個(gè)極小的時(shí)間間隔 dt 里，你走出去的那一小段路程叫做 ds，它等于速度乘以時(shí)間，也就是 ds = v(t)\\,dt。你可以把整條路程想象成無數(shù)個(gè)微小的 ds 一點(diǎn)點(diǎn)拼出來的結(jié)果，就像一段流暢的動(dòng)作其實(shí)由一幀幀畫面連起來一樣。微分做的事情，就是把這些“無限小的片段”刻畫出來，讓變化可以被追蹤、被計(jì)算。

4、積分

說完了微分，我們自然就會(huì)遇到它的“孿生兄弟”——積分。微分是把一個(gè)過程拆開看，盯住那一瞬間的變化；積分則恰好相反，它是把無數(shù)個(gè)瞬間再拼接回去，重新得到整體。還記得剛才我們說的 ds = v(t)\\,dt 嗎？這玩意兒如果只看一瞬間，沒啥意義，可一旦我們把所有時(shí)刻的 ds 都加起來，從 t=0 到 t=T，它就成了一段時(shí)間里的總路程：

這就是積分的本質(zhì)：把“局部”拼成“整體”。想象你走路，每一步的快慢不一樣，停頓、加速、減速交替出現(xiàn)，單看某一瞬間的速度你只知道當(dāng)下，但只有把所有瞬間的變化都累積起來，你才知道最終走了多遠(yuǎn)。換句話說，積分就是幫你“結(jié)賬”的那只算盤——你在時(shí)間軸上留下的每一筆運(yùn)動(dòng)痕跡，它都老老實(shí)實(shí)地加進(jìn)去，最后告訴你一個(gè)總數(shù)。

生活里這事兒到處都是：水龍頭滴水，每一秒滴幾毫升，單看瞬間沒啥，但積個(gè)一晚上，盆就滿了；股票價(jià)格漲漲跌跌，每分鐘的波動(dòng)誰也說不清，可把面積加起來，你就能算出一整天的成交量。積分做的事，說白了就是“把細(xì)節(jié)還原成全貌”。

如果不笨的話，到此大家就應(yīng)該知道極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分的基本概念了，剩下的怎么算其實(shí)都是相當(dāng)工具化的數(shù)學(xué)方法論，這些數(shù)學(xué)方法并不比在工地上掄大錘復(fù)雜。

但到這里，很多人會(huì)覺得微積分似乎對(duì)我們沒有任何用處，如果你有這種感覺，你覺得對(duì)其實(shí)也不對(duì)。

牛頓之所以被后人奉為大神，不光是因?yàn)樗刺O果掉下來想到了萬有引力，而是因?yàn)樗掷镉辛宋⒎e分這把鑰匙。你想想，如果只會(huì)代數(shù)，他能算出行星軌道嗎？能描述出加速度、力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系嗎？所以他干脆自己把微積分發(fā)明了出來，用它去刻畫運(yùn)動(dòng)和力的連續(xù)變化。

例如F = ma，這個(gè)公式怎么來的？其實(shí)就是牛頓用用微積分一路“算”出來！

在這個(gè)過程中，牛頓先觀測(cè)沖量—?jiǎng)恿筷P(guān)系：對(duì)物體作用一段時(shí)間的力，其“時(shí)間累積量”叫沖量。

量碰撞與拉壓實(shí)驗(yàn)告訴我們：這個(gè)沖量正好等于動(dòng)量變化 Δp。把極限放到瞬間，就得到連續(xù)形式

這一步已經(jīng)把力學(xué)塞進(jìn)了微積分：力是動(dòng)量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。若質(zhì)量恒定動(dòng)量 p=mv，于是：

換句話說，力等于“速度的一階導(dǎo)數(shù)再乘質(zhì)量”，也等于“位置的二階導(dǎo)數(shù)乘質(zhì)量”。

在生活中F = ma大家耳熟能詳?shù)囊粋€(gè)公式對(duì)吧，其實(shí)就是一個(gè)微積分計(jì)算之后的簡(jiǎn)化結(jié)果。

我們看到海面上的冰山就是“F = ma”，而它的微積分推導(dǎo)過程其實(shí)才是F = ma這個(gè)公式展開后的全貌。

大多數(shù)人覺得自己跟微積分沒半點(diǎn)關(guān)系，說白了，是因?yàn)槲覀內(nèi)粘Ｉ钪慌龅奖铰冻鏊娴哪且唤恰苡盟阈g(shù)解決的問題已經(jīng)綽綽有余了。買菜算錢、工資報(bào)表、手機(jī)分期，這些四則運(yùn)算足夠讓日子過下去。可真要追問一句：這些計(jì)算的依據(jù)從哪兒來？這些事物背后有沒有一套完整的數(shù)學(xué)模型？答案就指向了水下那片龐大的冰山——微積分。它并不高冷，相反，它就是那個(gè)能把零碎經(jīng)驗(yàn)變成規(guī)律、把復(fù)雜現(xiàn)象抽絲剝繭的工具。但是，這個(gè)工具僅僅限于兩種人接觸，第一是真心喜歡數(shù)學(xué)和對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的人，第二就是類似于W君這樣不得不用這些東西做工作中的工具的人。

只不過，真正用起來，掌握了使用方法你不會(huì)覺得微積分有多難。所以錢老說“人再笨，還能學(xué)不會(huì)微積分嗎？”這話說得是完全正確的，錢老本人在數(shù)學(xué)界并不是牛頓、萊布尼茨、黎曼、希爾伯那種能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域開天辟地的人物，他的水平——嚴(yán)格講——也就是“用得熟”。他的厲害之處不在數(shù)學(xué)本身，而在于能把微積分這門工具玩得爐火純青，用來解決空氣動(dòng)力學(xué)、控制論、航天工程中的實(shí)際問題。換句話說，錢老是個(gè)頂級(jí)“數(shù)學(xué)用戶”，而不是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者。

當(dāng)然了，前面還有粉絲回復(fù)要推薦幾本數(shù)學(xué)書。W給出的推薦書單是：

沒有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人（99%的普通人）先從《數(shù)學(xué)的故事》看起，看看你能不能喜歡上數(shù)學(xué)。

然后對(duì)數(shù)學(xué)有點(diǎn)興趣之后去看《什么是數(shù)學(xué)》

這本書的唯一看點(diǎn)是——讓你真正理解為什么數(shù)學(xué)不是“算數(shù)”這么簡(jiǎn)單。

然后，你就可以去看《微積分入門》這類的工具類使用書了。

看過這本書之后，你會(huì)覺得萬物皆可微積分。

不過還得繼續(xù)深入，你就應(yīng)該看看《分析入門》或者叫做《Understanding Analysis （理解分析）》，Abbott的就沒錯(cuò)了。

到這種書就已經(jīng)進(jìn)入真正的“學(xué)院派”了?？催@本書會(huì)讓一般僅僅是對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的人看起來非常痛苦。而且你越對(duì)數(shù)學(xué)感興趣你就會(huì)越體會(huì)到這種痛苦。不過只要挺過來你會(huì)覺得自己在精神上脫胎換骨，原來你對(duì)極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分的理解會(huì)發(fā)生一次“徹底重構(gòu)”：之前以為自己懂，其實(shí)只是“會(huì)用”；讀完之后，你才知道什么叫“真正理解”。

不過，你以為這就能走出來了嗎？還沒呢，《分析入門》只是“入門”，還有更重要的是《數(shù)學(xué)分析原理》

很多人學(xué)到這里會(huì)“勸退”，因?yàn)檫@本書太干太硬了，但堅(jiān)持下來的人，就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己已經(jīng)能獨(dú)立地看懂學(xué)術(shù)論文、推導(dǎo)復(fù)雜模型了?；旧希憔湍芨享f神的課了。

到此基本上你也就不需要?jiǎng)e人給你推薦書單了。如果真按照W君的建議做下去，W君心里冷笑一下，得嘞又送走一位……