大家好，我是船長。

概率論與統(tǒng)計學(xué)研究中充滿了“可能”、“偶然”和“不確定性”。那么，數(shù)學(xué)追求的“絕對真實”，在概率論這片看似混沌的領(lǐng)域是否依然適用？長久以來，概率論因其與經(jīng)驗的緊密聯(lián)系和對“隨機性”的擁抱，被許多數(shù)學(xué)家視為“非正統(tǒng)”，甚至希爾伯特在1900年也將概率論視作物理學(xué)（而非數(shù)學(xué)）的一部分。直至今天，概率論都不能有效地納入邏輯經(jīng)驗論和分析哲學(xué)的數(shù)學(xué)觀。

而其實早在1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家安德雷·柯爾莫哥洛夫就已經(jīng)證明，概率論和其他數(shù)學(xué)分支一樣，也是建立在一組公理之上的符號系統(tǒng)。1713年，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利給出了大數(shù)定理的數(shù)學(xué)證明。大數(shù)定理是指，隨著拋硬幣的次數(shù)增多，該隨機事件（硬幣某一面朝上或朝下的次數(shù)趨于相同）發(fā)生的“可能性”越來越大。用數(shù)學(xué)公式表示，就是它占總“可能性空間”的比例趨于1，即其概率接近于1——這是一個關(guān)于“可能性空間”收斂的、嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定理，基于符號系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（數(shù)學(xué)）的真實性而非經(jīng)驗的真實性。

由此便可以探尋隨機事件的真實根基：雖然隨機過程不可預(yù)測，但“隨機事件整體”的結(jié)構(gòu)（如拋硬幣所有可能結(jié)果的集合）、隨機事件的結(jié)果（可通過受控觀察確證）、以及對結(jié)果的測量（測度）都分別對應(yīng)著普遍可重復(fù)受控實驗的不同層面，因而都具有真實性。正是通過這三個層面與真實實驗結(jié)構(gòu)的牢固連接，概率論的公理系統(tǒng)得以建立并獲得其作為科學(xué)真實符號系統(tǒng)的地位。

圖：正態(tài)分布

破解概率之謎——大數(shù)定理與數(shù)學(xué)真實的邊界

文/金觀濤

大數(shù)定理：概率之謎

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，概率論和統(tǒng)計數(shù)學(xué)是一個與一般數(shù)學(xué)不同但又極為重要的領(lǐng)域。那么，本編第二章對于數(shù)學(xué)真實的分析，是否適用于概率論和統(tǒng)計數(shù)學(xué)呢？我們又該如何理解概率論和統(tǒng)計數(shù)學(xué)的真實性呢？

在相當(dāng)長的時間中，數(shù)學(xué)家認(rèn)為概率與來自《幾何原本》的所有數(shù)學(xué)觀念都不同，甚至于離開經(jīng)驗，概率論是否為真都無法判定。直至19世紀(jì)末，概率論仍不是一門嚴(yán)格的學(xué)科。1900年，德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特在法國舉辦的國際數(shù)學(xué)家大會上做了題為“數(shù)學(xué)問題”的著名講演，他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果與發(fā)展趨勢總結(jié)了23個問題，其中第六個問題是用數(shù)學(xué)的方式實現(xiàn)物理學(xué)的公理化，而處在首位的便是概率論和力學(xué)的公理化。概率論可以和數(shù)理邏輯甚至是抽象代數(shù)那樣，成為具有某種特定結(jié)構(gòu)（真實）的純符號系統(tǒng)嗎？表面上看來，這是不可能的。即便希爾伯特在1900年也將概率論視作物理學(xué)（而非數(shù)學(xué)）的一部分。

因此，概率論對20世紀(jì)哲學(xué)（特別是數(shù)學(xué)哲學(xué)）一直構(gòu)成巨大挑戰(zhàn)。關(guān)于什么是概率，邏輯經(jīng)驗論和分析哲學(xué)存在兩種看法。一種是將其視為經(jīng)驗研究，這方面的代表人物之一是德國哲學(xué)家漢斯·賴欣巴哈。他先將概率陳述視作“類”之間的關(guān)系，即“關(guān)于一個特定序列的一類元素的陳述之間的一般蘊涵關(guān)系”。之后，他以頻率來定義概率，即“概率是在一個無限序列中頻率的極限”。這種解釋面臨的最大問題在于，在經(jīng)驗世界中，任何序列都是有限的。在這種情況下，我們不可能通過對經(jīng)驗世界的觀察獲得有關(guān)“無限序列中頻率的極限”的信息。另一種主流看法以美國分析哲學(xué)家魯?shù)婪颉た柤{普為代表，其根據(jù)數(shù)學(xué)即邏輯的大前提，認(rèn)為概率是符號系統(tǒng)符合經(jīng)驗的即“確證度”，故在認(rèn)識論上亦屬于邏輯范疇。卡爾納普的觀點存在兩個繞不過去的困難。第一，根據(jù)邏輯經(jīng)驗論，只要符號系統(tǒng)符合（指涉）經(jīng)驗對象，它就獲得經(jīng)驗的真實性。任何一個隨機事件都可用一個符號串來表達(dá)，該符號串是符合經(jīng)驗的，故不存在符號串的確證度問題。為了建立符號系統(tǒng)的確證度，必須將概率論的研究對象限定在全稱陳述，或那些不是直接指涉經(jīng)驗對象的符號系統(tǒng)。然而，一旦做出這一限定，概率論就只涉及如何從單稱陳述得到全稱陳述，即歸納邏輯的一部分，而實際上概率論的研究范圍比歸納邏輯廣泛得多。第二，確證度的計算必須基于等概率事件的存在，概率論不能保證這一點。故直至今天，概率論都不能有效地納入邏輯經(jīng)驗論和分析哲學(xué)的數(shù)學(xué)觀。

其實，正當(dāng)布爾巴基學(xué)派把各門數(shù)學(xué)建立在集合論之上時，概率論的基礎(chǔ)終于有了答案。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家安德雷·柯爾莫哥洛夫證明：概率論和其他數(shù)學(xué)分支一樣，也是建立在一組公理之上的符號系統(tǒng)。我認(rèn)為，概率論公理實為將對控制結(jié)果的不確定性（隨機事件）研究納入受控實驗普遍可重復(fù)為真的結(jié)果。下面我以大數(shù)定理的發(fā)現(xiàn)來說明如何用普遍可重復(fù)的受控實驗來研究隨機事件（控制結(jié)果的不確定性）。

圖注：以特定擲單個骰子的過程來展示大數(shù)定律

所謂大數(shù)定理，是指在實驗不變的條件下，重復(fù)實驗多次，隨機事件的頻率會接近它的概率。比如，我們拋一枚硬幣，硬幣落下后，某一面朝上是不確定的（即是隨機事件），能確定的只是硬幣某一面朝上或朝下的概率。所謂“朝上”或“朝下”的概率是指可能發(fā)生的事件（硬幣某一面朝上或朝下）在總可能性空間中所占的比例。因為總共只有硬幣某一面朝上或朝下兩種可能，它們是相同的。這樣，每一種占可能性空間的比例都是1/2，即某一面朝上和朝下的概率均為1/2。頻率是指若干次實驗后，隨機事件發(fā)生數(shù)占實驗總次數(shù)的比例。當(dāng)我們拋硬幣的次數(shù)足夠多，達(dá)到上萬次、幾十萬次甚至百萬次時，就會發(fā)現(xiàn)硬幣某一面朝上（或朝下）的次數(shù)約占實驗總次數(shù)的1/2，也就是隨機事件的頻率似乎在“逼近”它的概率。

表面上看，“頻率逼近概率”出于經(jīng)驗觀察，故一開始大數(shù)定理被稱為“大數(shù)定律”。定律何來用于指來自經(jīng)驗的法則，它和數(shù)學(xué)推出的定理是不同的。這樣，概率論似乎類似于物理學(xué)，也建立在經(jīng)驗規(guī)律之上。然而，人們很快就發(fā)現(xiàn)將大數(shù)定理視為經(jīng)驗定律是不能成立的。原因在于，即便重復(fù)再多次實驗，硬幣某一面朝上（或朝下）的次數(shù)并不一定是實驗總次數(shù)的一半。既然大數(shù)定理不是經(jīng)驗觀察的結(jié)果，即當(dāng)實驗的總次數(shù)趨于無窮時，“頻率一定逼近概率”在經(jīng)驗上并不成立，那它又是什么意思？

圖：瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利

直至1713年，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利才給出了大數(shù)定理的數(shù)學(xué)證明。該證明是數(shù)學(xué)的，不需要經(jīng)驗檢驗。從此以后，“大數(shù)定律”成為“大數(shù)定理”。伯努利的數(shù)學(xué)推理方式如下。還是以拋硬幣為例，每次硬幣正面朝上的概率為p（0

這里，伯努利根據(jù)排列組合從某一隨機事件A的概率算出另一隨機事件（A在n次重復(fù)實驗中發(fā)生k次）的概率。由此，可以進(jìn)一步用數(shù)學(xué)得出：當(dāng)n趨于無窮時，隨機事件A出現(xiàn)np次的概率會不斷接近1。表面上看，“大數(shù)定律”是指我們在經(jīng)驗上觀察到隨機事件A的頻率逼近它的概率，伯努利則指出這是不成立的，因為上述隨機事件并一定發(fā)生（即不是真的）。但根據(jù)排列組合，可以算出隨機事件頻率逼近其概率的“概率”，計算證明，隨著n趨向無窮大，隨機事件頻率逼近其概率的“概率”會越來越接近1。

準(zhǔn)確地講，μ是n次獨立實驗中隨機事件A發(fā)生的次數(shù)，當(dāng)隨機事件A在每次實驗中發(fā)生的概率為p時，所謂隨機事件頻率逼近其概率是指對任意正數(shù)ε,存在如下公式：

上述公式顯示，大數(shù)定理是數(shù)學(xué)定理而非經(jīng)驗定律。也就是說，隨著拋硬幣的次數(shù)日益增多，硬幣某一面朝上（或朝下）的次數(shù)趨于相同并不是真實的事件，而是一種“可能性”。大數(shù)定理是指，隨著拋硬幣的次數(shù)增多，該隨機事件（硬幣某一面朝上或朝下的次數(shù)趨于相同）發(fā)生的“可能性”越來越大。用數(shù)學(xué)公式表示，就是它占總“可能性空間”的比例趨于1，即其概率接近于1。由此可見，概率論推出的大數(shù)定理本身是一個概率上成立之陳述，它之所以為真，只是因為其發(fā)生的概率無限接近于1而已。

這一點可以用數(shù)學(xué)證明，基于如下兩個前提。第一，拋硬幣本身是一個無限可重復(fù)的實驗，每一次硬幣某一面不是朝上就是朝下，只有兩種可能，這一點不會改變。這樣，可以把每次實驗可能性空間的大小定為1，由此可以得到n次實驗的總可能性空間的大小為1的n次方。第二，根據(jù)這兩起事件是等可能性的，我們可以算出每一個隨機事件序列（它亦是隨機事件）的概率。所謂隨機事件序列的概率，是隨機事件序列可能性占總可能性（可能性空間）的比例，該比例隨著實驗次數(shù)增多而趨近于1。大數(shù)定理的成立，基于符號系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（數(shù)學(xué)）的真實性而不是經(jīng)驗的真實性！

圖：拋硬幣

隨機事件的符號表達(dá)及其真實性

讓我們來分析大數(shù)定理為符號（數(shù)學(xué)）真實性的根據(jù)。本書第一編第二章指出，數(shù)學(xué)是普遍可重復(fù)受控實驗的符號結(jié)構(gòu)，規(guī)定數(shù)學(xué)各分支的公理實為受控實驗各環(huán)節(jié)的細(xì)部結(jié)構(gòu)，以及它們普遍可重復(fù)的符號表達(dá)。受控實驗的普遍可重復(fù)是一種結(jié)構(gòu)，其為真意味著該結(jié)構(gòu)是真的，它保證具有該結(jié)構(gòu)的符號系統(tǒng)也為真，這是數(shù)學(xué)作為純符號系統(tǒng)為真的根據(jù)。顯而易見，隨機事件不滿足普遍可重復(fù)性的要求。如果以受控實驗（經(jīng)驗）普遍可重復(fù)為真實性標(biāo)準(zhǔn)，隨機事件本身就不是真的，其符號表達(dá)當(dāng)然亦無真實性可言。

然而，我們明明知道隨機事件的存在，并可以用一個符號串來指涉它，說其不是真的，這和人們的直覺矛盾。問題出在什么地方呢？我仍用拋硬幣為例來分析其真實性。在拋硬幣實驗中，就每次實驗結(jié)果（硬幣某一面朝上或朝下）而言，哪一種可能性實現(xiàn)是隨機的，不具備普遍可重復(fù)性？我們之所以覺得每一次實驗都為真，是因為該實驗的結(jié)果（硬幣某一面朝上或朝下）可以被一個普遍可重復(fù)的受控觀察（或?qū)嶒灒┳C明。然而，這里被證明為真的是拋硬幣的結(jié)果，而不是導(dǎo)致該結(jié)果的過程。

什么是導(dǎo)致隨機事件結(jié)果的過程？它是指我們拋硬幣的控制動作導(dǎo)致硬幣某一面一定朝上（或朝下），它作為隨機事件本身，不具備普遍可重復(fù)性。我們覺得其為真是看到該隨機過程的結(jié)果即硬幣某一面朝上（或朝下），它是可能性的實現(xiàn)。對于這一結(jié)果的真實性，基于硬幣某一面朝上（或朝下）可以用一個普遍可重復(fù)的受控觀察（或?qū)嶒灒﹣碜C明。我們認(rèn)為隨機事件是真實的，這是用其結(jié)果來代替過程帶來的錯覺，因為隨機事件（可能性）實現(xiàn)后，它已經(jīng)不是隨機事件（可能性）了。

圖：隨機圖

既然拋硬幣的結(jié)果為真，那么規(guī)定結(jié)果的過程即隨機事件本身難道不是真的嗎？拋硬幣有兩種可能結(jié)果，即硬幣某一面朝上或朝下。我們通常所說的拋硬幣過程，是指這兩種結(jié)果中必然有一種出現(xiàn)，而不是其中某一種一定出現(xiàn)。換言之，正因為我們已經(jīng)把這兩者中的任何一個發(fā)生視為拋硬幣的過程，拋硬幣的過程作為某種控制活動當(dāng)然是真的。因為這時拋硬幣已經(jīng)不是隨機事件，它是一個普遍可重復(fù)的受控實驗！

通過上面的嚴(yán)格分析可以得出如下結(jié)論。首先，作為包含隨機事件所有可能結(jié)果之“隨機事件整體”對應(yīng)著一個控制活動，它不是隨機事件，因為這一控制活動是普遍可重復(fù)的，它必定是真的。我們可以用一個符號真實之公理來表達(dá)“隨機事件整體”。其次，隨機事件發(fā)生后，其結(jié)果對應(yīng)著普遍可重復(fù)的受控觀察或受控實驗，故是真的。這促使隨機事件的符號表達(dá)成為可能。為什么？因為隨機過程和其結(jié)果一一對應(yīng)，當(dāng)我們用一個符號串指涉隨機過程的結(jié)果時，它也對應(yīng)著導(dǎo)致該結(jié)果的隨機過程。最后，正因為隨機事件的結(jié)果是真實的，我們可以分析各個結(jié)果對應(yīng)的另一些受控觀察和受控實驗，研究它們之間的關(guān)系。如果這些關(guān)系是真實的，我們一定可以用另一組代表符號真實的公理表達(dá)它們，這就是隨機事件的概率。這樣，也就得到定義隨機事件概率的公理。它和“隨機事件整體”對應(yīng)的控制行動的公理一樣，亦是受控實驗普遍可重復(fù)的符號表達(dá)。

由此可見，雖然隨機事件本身不滿足受控實驗普遍可重復(fù)的要求，不能將其真實性表達(dá)為普遍可重復(fù)受控實驗的符號結(jié)構(gòu)，但它和普遍可重復(fù)的受控實驗存在著如下三個割不斷的聯(lián)系。第一，隨機事件整體對應(yīng)著普遍可重復(fù)的受控實驗。第二，隨機過程的結(jié)果可以用普遍可重復(fù)的受控觀察（實驗）證明，我們用指涉其結(jié)果的符號串加上限定以準(zhǔn)確表達(dá)隨機事件，即用符號串指涉隨機事件是可行的。第三，當(dāng)隨機事件的結(jié)果對應(yīng)著測量時，測量也是普遍可重復(fù)的受控實驗。這樣隨機事件本身雖不是真的（不對應(yīng)著普遍可重復(fù)的受控實驗），但其結(jié)果的測量是普遍可重復(fù)的。也就是說，只要隨機事件符號集可測，其測量結(jié)果即“測度”是真的。

正因為隨機事件上述三個和普遍可重復(fù)的受控實驗相連接的部分都對應(yīng)著真實的符號結(jié)構(gòu)，我們可以將隨機事件納入科學(xué)真實的研究，用這些相連接的部分之符號表達(dá)建立一個純粹的符號系統(tǒng)。該符號系統(tǒng)就是概率論的公理。它們和本編第二章數(shù)學(xué)系統(tǒng)滿足的公理系統(tǒng)不盡相同，但同樣是真實的。

本文系摘選自《真實與虛擬》一書第三章1-2節(jié)。為便于閱讀，部分段落做了拆分和刪減，推文標(biāo)題為編者所擬，學(xué)術(shù)討論請以原文為準(zhǔn)。文中部分配圖來源于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系公眾號后臺刪除。

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