昨天在討論新銳航天幾乎都是坑的時(shí)候，有這么一個(gè)留言：

“地球上發(fā)射一枚火箭，繞太陽(yáng)一周后返回地球，請(qǐng)列出其運(yùn)動(dòng)方程——列不出來(lái)，我就不信你的文章”

愛(ài)信不信啊，W君就是因?yàn)樘e，沒(méi)事寫點(diǎn)東西打發(fā)時(shí)間，這也總好過(guò)刷短視頻看大腚吧。

黃吉虎教授

“地球上發(fā)射一枚火箭，繞太陽(yáng)一周后返回地球，請(qǐng)列出其運(yùn)動(dòng)方程”這件事是黃吉虎教授在紀(jì)念錢老誕辰100周年的一篇文章《錢學(xué)森與中國(guó)科大力學(xué)系》中提到的錢老和科大之間的點(diǎn)點(diǎn)滴滴故事中的一個(gè)段落。如果能好好看這篇黃教授的文章，一個(gè)更豐滿的錢老的形象會(huì)在大家的心中建立起來(lái)。

不過(guò)，現(xiàn)在碎片化的自媒體作者往往就抓出文章中的某些大家都不明白的“點(diǎn)”，拉扯出一些情緒去搏流量了。至于錢老在1962年1月27日那場(chǎng)開(kāi)卷考試中提到的軌道計(jì)算問(wèn)題本身卻在大多數(shù)自媒體作者的雞血文里面卻沒(méi)有后繼了……

今天恰好有這么一個(gè)留言，咱們就來(lái)講講錢老的這個(gè)考題要如何解。

這個(gè)問(wèn)題之所以讓普通網(wǎng)民覺(jué)得很不可思議，主要的問(wèn)題在于“領(lǐng)域問(wèn)題”，航空航天的計(jì)算對(duì)于大多數(shù)普通網(wǎng)民來(lái)說(shuō)有點(diǎn)過(guò)于遙遠(yuǎn)了。而且，在大部分中國(guó)人的思維里面一談到數(shù)學(xué)就是算出結(jié)果，例如3+5=？ 一定得等于8，不能等于4+4或者128/16。這是文化的局限性，我們的文化在一些時(shí)候太注重“結(jié)果”，而忽略了數(shù)學(xué)中的“equal”。

不扯閑篇，咱們說(shuō)回錢老的問(wèn)題：

這件事最簡(jiǎn)單的方法是利用“共振軌道”進(jìn)行軌道設(shè)計(jì)，反正是繞太陽(yáng)一圈再回來(lái)嘛，用這種方式進(jìn)行軌道設(shè)計(jì)是最簡(jiǎn)單的形式。所謂的“軌道共振”是指兩顆天體（這里是地球和飛行器）繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期形成了一個(gè)整數(shù)比關(guān)系。最典型的例子就是 2:1 共振：地球一年圍繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)一圈，飛行器兩年轉(zhuǎn)一圈。這樣兩年之后，飛行器完成一次繞日大橢圓，地球也正好完成兩次公轉(zhuǎn)，二者在幾何上就會(huì)再次相遇。

這個(gè)問(wèn)題挺好理解的，基于軌道力學(xué)我們可以計(jì)算出地球的軌道公式在某一點(diǎn)位置上的速度，然后以這個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)（主要是太陽(yáng)和火箭的距離）來(lái)計(jì)算滿足2倍軌道周期上的軌道速度就可以了。

第一步，我們可以先定義參考坐標(biāo)系，例如在上圖中，我們就用了日心作為參考坐標(biāo)系的中點(diǎn)，設(shè)定近日點(diǎn)在1AU的位置上，在這個(gè)點(diǎn)到太陽(yáng)的距離就可以定義為火箭軌道的近日點(diǎn)距離。

第二步，我們可以引入開(kāi)普勒軌道定律。主要要用到第三定律：各個(gè)行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的平方及其橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方成正比。

也就是：

所以要讓火箭圍繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)的軌道周期等于兩倍地球圍繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)的周期，也就是T?=2T?，

也就是說(shuō)這枚火箭的軌道的半長(zhǎng)軸是1.5874個(gè)天文單位。通過(guò)半長(zhǎng)軸的大小以及它的近日點(diǎn)就是1個(gè)天文單位（r?=1AU），這時(shí)候我們有了a了也有了r?了，就可以使用軌道速度公式來(lái)計(jì)算近日點(diǎn)的速度v?了。

最終v?=1.170486854 倍的地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的速度。這時(shí)候29.78km/s * 1.1705，我們就可以得出火箭應(yīng)該具有的太陽(yáng)軌道速度為34.86km/s 了

在以太陽(yáng)黃道面為平面，太陽(yáng)為原點(diǎn)的J2000參考系中

地球已經(jīng)為火箭提供了29.78km/s的軌道速度，假設(shè)我們已經(jīng)把火箭發(fā)射到了200km的高度，我們只需再提高火箭的速度就可以讓這枚火箭脫離地球軌道而進(jìn)入太陽(yáng)公轉(zhuǎn)軌道。

如果從 200 km 高度的近地圓軌道出發(fā)，真正要算的是逃逸速度和這部分余速的合成，公式為：

代入數(shù)值后大約是 4.5 km/s 的理想點(diǎn)火速度。

第三步，返回進(jìn)入火箭軌道后，到第二年返回到時(shí)候會(huì)比地球公轉(zhuǎn)的速度快5.08千米/秒，也就是說(shuō)，它雖然“幾何上”相遇了，但速度并不匹配。要想被地球再次捕獲，就必須進(jìn)行制動(dòng)，否則，火箭只會(huì)從地球身邊一掠而過(guò)。這時(shí)候又回到了火箭公式，Δv又起到作用了，我們需要向火箭飛行的反方向啟動(dòng)火箭，讓火箭慢慢的被地球引力所捕獲。

以上這些，就是錢老考題的標(biāo)準(zhǔn)答案了！不過(guò)，這個(gè)東西并不是錢老考題的正確答案。

如果用這個(gè)方法答題去設(shè)計(jì)一枚圍繞太陽(yáng)飛一圈在飛回地球的火箭飛行彈道還是不夠的。畢竟，所有的火箭飛行都是以完成任務(wù)為目的的。

圍繞太陽(yáng)兜了一個(gè)比地球還大的圈子，與其費(fèi)勁繞遠(yuǎn)路，不如直接在地球軌道上放一顆衛(wèi)星繞一年，性價(jià)比可能更高。正因如此，這道題才顯得特別：它不是讓你算一個(gè)“能飛多遠(yuǎn)”的結(jié)果，而是考察你是不是能用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ò褑?wèn)題拆解清楚。

就軌道計(jì)算來(lái)說(shuō)，一枚近日軌道衛(wèi)星所承載的技術(shù)難度遠(yuǎn)比人們想象的要大。我們都熟悉地球的第一宇宙速度——7.9 km/s，這是擺脫地球引力、進(jìn)入近地軌道的最低門檻?？扇绻麚Q成太陽(yáng)，用同樣的方法來(lái)算“第一宇宙速度”，結(jié)果會(huì)是驚人的 473 km/s，差不多是地球的 60 倍。

那么問(wèn)題來(lái)了：為什么地球卻能以區(qū)區(qū) 29.8 km/s 的速度，安安穩(wěn)穩(wěn)地繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)？原因其實(shí)很樸素——地球離太陽(yáng)足夠遠(yuǎn)。距離把太陽(yáng)的引力削弱了許多，正好讓地球用一個(gè)“溫和”的速度就能維持軌道。

這個(gè)現(xiàn)象在地球體系里也能找到類比。比如地球同步軌道上的衛(wèi)星（距離地面35786 千米），從地面看仿佛“靜止不動(dòng)”，速度是零；但在更高層次的參考系里，它其實(shí)以大約 3.07 km/s 的速度繞地球飛行。速度的大小，往往取決于你選擇的參照系。

正因如此，那驚人的 473 km/s，在目前的人類科技條件下，還完全不可能實(shí)現(xiàn)。把宏觀物體在 J2000 日心慣性系中加速到這樣的速度，并且還要做到可控，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了現(xiàn)有的推進(jìn)手段。作為對(duì)比，人類迄今為止飛得最快的宏觀航天器——旅行者 1 號(hào)，在 J2000 參考系中的速度也不過(guò) 17 km/s 左右（v∞），和 473 km/s 相差了整整一個(gè)數(shù)量級(jí)以上。

所以……錢老會(huì)不知道這件事情嗎？那么““地球上發(fā)射一枚火箭，繞太陽(yáng)一周后返回地球，請(qǐng)列出其運(yùn)動(dòng)方程””當(dāng)初這還是個(gè)問(wèn)題嗎？

錢老當(dāng)然清楚這些。在他那個(gè)年代，中國(guó)的航天事業(yè)才剛剛起步，計(jì)算條件極為有限，甚至連最基礎(chǔ)的計(jì)算尺都要靠他自掏腰包捐助學(xué)生。他出的題目，從來(lái)都不是為了讓學(xué)生在紙面上得出一個(gè)漂亮的“最終答案”。真正的目的，是訓(xùn)練一種思維方式：面對(duì)復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，你能不能把它拆開(kāi)、抽象成方程，再逐層分析和求解。

在這一點(diǎn)上，錢老的考題其實(shí)很“狡猾”。他表面上拋出一個(gè)看似離奇的問(wèn)題——火箭繞太陽(yáng)飛一圈再回來(lái)。但只要學(xué)生一頭扎進(jìn)去，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：這背后涉及的，既有天體力學(xué)的兩體解、三體問(wèn)題的不可積，又有工程上的拼接圓錐近似，還有能量收支、再入捕獲的 Δv 預(yù)算。任何一個(gè)環(huán)節(jié)都不可能被輕易跳過(guò)。最終，學(xué)生哪怕沒(méi)算出完整軌道，也會(huì)在這個(gè)過(guò)程中深刻體會(huì)到什么叫“系統(tǒng)工程”的思維。

這就是W君開(kāi)始說(shuō)中國(guó)人的文化太糾結(jié)于“結(jié)果”，而不是“等于（equal）”的原因了。

數(shù)學(xué)從來(lái)都不是算數(shù)，是不要結(jié)果的。錢老讓大家列出運(yùn)動(dòng)方程的過(guò)程也不是要一個(gè)答案而是驗(yàn)證大家是不是真的學(xué)會(huì)了完整的知識(shí)。這件事和張三豐教張無(wú)忌太極拳一樣——“你忘了嗎？”“還沒(méi)有忘干凈？”“那繼續(xù)忘掉”是相同的道理，在中國(guó)的一些武學(xué)里面叫做“忘形得意”，不在于招式的死記，而在于你是否掌握了背后的勁路與呼吸。

要是W君當(dāng)年在課堂，就會(huì)斜愣著眼問(wèn)錢老，“您真要結(jié)果嗎？似乎紙不夠啊”。

但，基本的幾步方程還是還是可以進(jìn)行進(jìn)一步的推導(dǎo)的。剛剛在說(shuō)的概念，其實(shí)已經(jīng)包括了1AU位置上運(yùn)行2年后返回地球的特定計(jì)算——這就是一個(gè)最讓人不屑的“答案”。

運(yùn)動(dòng)方程呢？

我們可以基于這個(gè)答案聯(lián)立運(yùn)動(dòng)方程！0.9AU、0.5AU、0.1AU的軌道方程我們都可以推導(dǎo)出來(lái)，這時(shí)候再利用霍夫曼軌道轉(zhuǎn)移公式我們就可以建立轉(zhuǎn)移軌道和轉(zhuǎn)移路徑。

例如向0.5AU深入太陽(yáng)系：

以日心 J2000 慣性系計(jì)算，1 AU 圓軌道速度 v1=29.78km/s，目標(biāo)半徑r2=0.5AU，

然后就是推速度了，近端減速遠(yuǎn)端加速。軌道就會(huì)逐漸的重整為想要的形狀。

深入太陽(yáng)系（靠近太陽(yáng)）的事情，人類一直在做，今天一個(gè)名叫派克的太陽(yáng)探測(cè)器正在一遍一遍的圍繞太陽(yáng)近距離飛行。

在 2024 年 11 月 6 日，帕克太陽(yáng)探測(cè)器完成了最后一次霍曼轉(zhuǎn)移機(jī)動(dòng)，正式進(jìn)入了距離太陽(yáng)0.046 個(gè)天文單位（約 9.86 個(gè)太陽(yáng)半徑）的極端軌道。這意味著它比水星的近日點(diǎn)還要靠近太陽(yáng)足足六倍。

為了抵達(dá)這里，帕克并不是單純依靠自身推進(jìn)器“硬沖”進(jìn)去的，而是通過(guò)精巧的軌道設(shè)計(jì)，反復(fù)借助金星的引力彈弓效應(yīng)來(lái)減速、調(diào)整軌道傾角，并逐步縮小近日點(diǎn)半徑。每一次近金星飛掠，都會(huì)像擰動(dòng)螺絲一樣，把探測(cè)器的軌道往太陽(yáng)更深處推進(jìn)一步。

在近日點(diǎn)，這個(gè)探測(cè)器的速度已經(jīng)達(dá)到了191km/s。

就這個(gè)探測(cè)器的路徑推演而言，所涉及的計(jì)算量已經(jīng)達(dá)到了天文數(shù)字。即便是依靠當(dāng)今最先進(jìn)的計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行軌道設(shè)計(jì)與數(shù)值積分，也依然不可能“算盡”所有影響因素——太陽(yáng)風(fēng)、相對(duì)論修正、熱效應(yīng)、姿態(tài)控制誤差，每一項(xiàng)都可能帶來(lái)擾動(dòng)。

那么錢老的意圖在哪里？

他并不是要學(xué)生真的算出一條可發(fā)射的軌跡。這份考題出自《星際航行概論》的課程，而這門課本身就是錢老在中國(guó)科大開(kāi)設(shè)的通識(shí)教育——它的目的不是培養(yǎng)幾個(gè)馬上能設(shè)計(jì)火箭的技師，而是訓(xùn)練學(xué)生面對(duì)龐大復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)的建模能力和分解能力。

所以，這道題的真正意義，不在于算出一個(gè)完整軌道，更不在于和工程實(shí)際完全對(duì)接，而是告訴學(xué)生：面對(duì)龐大未知，不要被復(fù)雜性嚇住，先寫下方程，把問(wèn)題拆開(kāi)，再逐步求解。

更需要大家留意的一點(diǎn)是，錢老是“工程控制論”的奠基人，從工程控制論的角度來(lái)說(shuō)，真的不一定要解答特定問(wèn)題的特定答案，而是要找出關(guān)鍵控制點(diǎn)。這樣才能用最小的工程代價(jià)來(lái)對(duì)一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題求解。

其實(shí)在各種方程中是有邊界性的。這些過(guò)程不能單一依靠某個(gè)公式的數(shù)值解。

例如剛剛給大家埋了個(gè)扣，要計(jì)算0.5個(gè)AU天文單位的時(shí)候太陽(yáng)的軌道速度。這個(gè)公式能不能算貼近太陽(yáng)的速度呢，似乎能吧？

你要看0.5被放在了公式的哪個(gè)位置啊！真能用0做分母嗎？那樣不數(shù)值爆炸了？而且不厭其煩的去開(kāi)根號(hào)？倒不如每次一半的距離去逼近。而這個(gè)逼近的過(guò)程恰恰就是在控制論中修正誤差提供反饋的過(guò)程——中間砍一刀大幅度簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程和縮減計(jì)算步驟。

在今天的工程里，這套邏輯已經(jīng)無(wú)處不在：導(dǎo)彈沿著既定彈道飛行時(shí)要不斷測(cè)量和修正，雷達(dá)鎖定目標(biāo)時(shí)要不斷濾波和反饋，你家空調(diào)調(diào)節(jié)溫度時(shí)也在實(shí)時(shí)修正誤差、趨向穩(wěn)定。

考完試的學(xué)生下學(xué)期不就是開(kāi)《工程控制論了》嗎？！ 所以你覺(jué)得錢老出這種傳奇考試題的意圖是啥？