《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 004

004. 證明a^2+1級(jí)數(shù)

這個(gè)猜想為：在級(jí)數(shù)a^2 + 1中，素?cái)?shù)是否有無(wú)窮多個(gè)？這也是一個(gè)古老且著名的數(shù)論猜想。哈代和李特爾伍德曾進(jìn)行過(guò)相關(guān)證明，還提出了一個(gè)猜想，但至今無(wú)人能夠證明該猜想。

相關(guān)圖示如下：

這也表明我的“Ktg - 空間理論”是由我首次發(fā)現(xiàn)的，處于世界領(lǐng)先水平。不然，這些大數(shù)學(xué)家們?cè)缇湍軌蜻\(yùn)用這個(gè)“由等差數(shù)列組構(gòu)成正整數(shù)的結(jié)構(gòu)空間，即Ltg - 空間理論”輕松證明該問(wèn)題了。

通過(guò)書中敘述可知，這些世界一流數(shù)學(xué)家們研究方法的理論基礎(chǔ)是“解析數(shù)論”。盡管已經(jīng)取得了一定進(jìn)展，但最終仍未能完成對(duì)該猜想的證明，其證明難度猶如天數(shù)一般。解析數(shù)論研究方法的基礎(chǔ)理論，一是“高斯素?cái)?shù)定理”，二是需要“黎曼猜想”的結(jié)果，三是要運(yùn)用“歐拉素?cái)?shù)乘積”。

看下圖，

運(yùn)用我的這一理論來(lái)解決數(shù)論中的一些古老猜想，其簡(jiǎn)單程度達(dá)到了令人難以置信的地步，因此必然會(huì)引發(fā)一些人的嫉妒與恐懼，這也情有可原，畢竟一些人一生的努力在這個(gè)理論的沖擊下將化為泡影。

當(dāng)然，我的證明并非數(shù)學(xué)專業(yè)范疇的，我只是提供一本科普讀物，讓大家了解有這么一種“數(shù)學(xué)思維”就足夠了。

今天我用Ltg-空間理論中的2N+A(A=1、2)再次證明一遍這個(gè)猜想。

使用2N+A表格，表格如下：

這個(gè)空間由兩個(gè)數(shù)列，即奇數(shù)數(shù)列 2N + 1 和偶數(shù)數(shù)列 2N + 2 構(gòu)成，這兩個(gè)數(shù)列能夠表示所有正整數(shù)。

我們可以將奇數(shù)數(shù)列 2N + 1視為一個(gè)封閉空間，不受其他因素干擾，尤其要避免受到“解析數(shù)論”的影響，采用初等方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。需要注意的是，我們能夠把等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)，其理論依據(jù)就是初等函數(shù)的理論基礎(chǔ)，要避免“把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化”。

1、奇數(shù)數(shù)列包含了除2以外的所有素?cái)?shù)。

2、在這個(gè)空間中，合數(shù)和素?cái)?shù)都有其固定的位置，素?cái)?shù)并非隨機(jī)出現(xiàn)。

3、奇數(shù)數(shù)列存在一個(gè)用于確定合適位置的“合數(shù)項(xiàng)公式”：

Nh = a(2b + 1) + b

其中，a和b均為項(xiàng)數(shù)，且a、b ≥1。

注意：合數(shù)項(xiàng)Nh是項(xiàng)數(shù)，將其代入2N + 1才是實(shí)際的數(shù)值。

4、相對(duì)地，存在一個(gè)素?cái)?shù)項(xiàng)公式：

Ns = N - Nh （注意這個(gè)公式有一定特殊性，也可表示為Ns = N\Nh）

5、這兩個(gè)公式涵蓋了2N + 1上的所有位置，直至無(wú)窮大。

6、合數(shù)項(xiàng)公式在區(qū)間（0，∞）內(nèi)滿足條件且性質(zhì)不變（初等函數(shù)）。

有了上述條件，我們證明級(jí)數(shù)a^2 + 1中存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)就極為簡(jiǎn)單了。

證明：

在表達(dá)式 a^2 + 1 中，只有當(dāng)a^2為偶數(shù)時(shí)，a^2 + 1 才構(gòu)成奇數(shù)數(shù)列。因此，設(shè) a = 2k，則a^2= 4k^2，此時(shí) a^2 + 1 可表示為 4k^2 + 1。

我們知道，在2N + 1 數(shù)列中的合數(shù)可被合數(shù)項(xiàng)公式Nh = a(2b + 1) + b 全面覆蓋。只有當(dāng) 4k^2 + 1 與Nh = a(2b + 1) + b 完全重合時(shí)，4k^2 + 1 才不會(huì)含有素?cái)?shù)。

Nh = a(2b + 1) + b 的解是一組直線族（合數(shù)等差數(shù)列），而 4k^2 + 1 的圖形是拋物線。無(wú)需證明，我們便可斷定這兩個(gè)公式永遠(yuǎn)不會(huì)重合。

所以，級(jí)數(shù) a^2 + 1 中含有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)。

證畢！

這個(gè)方法能夠有效地應(yīng)用于解決數(shù)論領(lǐng)域中一系列古老猜想相關(guān)的問(wèn)題。這些猜想往往歷史悠久，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，而該方法為其提供了一種全新的解決途徑，具有重要的理論價(jià)值和實(shí)踐意義。通過(guò)深入挖掘數(shù)論問(wèn)題的本質(zhì)特征，這種方法展現(xiàn)出了強(qiáng)大的適應(yīng)性和廣泛的應(yīng)用前景，為研究者們探索這些復(fù)雜難題提供了有力的支持。

李鐵鋼 2025年10月27日星期一 于保定市