《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 004

004. 證明a^2+1級數(shù)

這個猜想為：在級數(shù)a^2 + 1中，素數(shù)是否有無窮多個？這也是一個古老且著名的數(shù)論猜想。哈代和李特爾伍德曾進(jìn)行過相關(guān)證明，還提出了一個猜想，但至今無人能夠證明該猜想。

相關(guān)圖示如下：

這也表明我的“Ktg - 空間理論”是由我首次發(fā)現(xiàn)的，處于世界領(lǐng)先水平。不然，這些大數(shù)學(xué)家們早就能夠運用這個“由等差數(shù)列組構(gòu)成正整數(shù)的結(jié)構(gòu)空間，即Ltg - 空間理論”輕松證明該問題了。

通過書中敘述可知，這些世界一流數(shù)學(xué)家們研究方法的理論基礎(chǔ)是“解析數(shù)論”。盡管已經(jīng)取得了一定進(jìn)展，但最終仍未能完成對該猜想的證明，其證明難度猶如天數(shù)一般。解析數(shù)論研究方法的基礎(chǔ)理論，一是“高斯素數(shù)定理”，二是需要“黎曼猜想”的結(jié)果，三是要運用“歐拉素數(shù)乘積”。

看下圖，

運用我的這一理論來解決數(shù)論中的一些古老猜想，其簡單程度達(dá)到了令人難以置信的地步，因此必然會引發(fā)一些人的嫉妒與恐懼，這也情有可原，畢竟一些人一生的努力在這個理論的沖擊下將化為泡影。

當(dāng)然，我的證明并非數(shù)學(xué)專業(yè)范疇的，我只是提供一本科普讀物，讓大家了解有這么一種“數(shù)學(xué)思維”就足夠了。

今天我用Ltg-空間理論中的2N+A(A=1、2)再次證明一遍這個猜想。

使用2N+A表格，表格如下：

這個空間由兩個數(shù)列，即奇數(shù)數(shù)列 2N + 1 和偶數(shù)數(shù)列 2N + 2 構(gòu)成，這兩個數(shù)列能夠表示所有正整數(shù)。

我們可以將奇數(shù)數(shù)列 2N + 1視為一個封閉空間，不受其他因素干擾，尤其要避免受到“解析數(shù)論”的影響，采用初等方法來解決這個問題。需要注意的是，我們能夠把等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)，其理論依據(jù)就是初等函數(shù)的理論基礎(chǔ)，要避免“把簡單問題復(fù)雜化”。

1、奇數(shù)數(shù)列包含了除2以外的所有素數(shù)。

2、在這個空間中，合數(shù)和素數(shù)都有其固定的位置，素數(shù)并非隨機(jī)出現(xiàn)。

3、奇數(shù)數(shù)列存在一個用于確定合適位置的“合數(shù)項公式”：

Nh = a(2b + 1) + b

其中，a和b均為項數(shù)，且a、b ≥1。

注意：合數(shù)項Nh是項數(shù)，將其代入2N + 1才是實際的數(shù)值。

4、相對地，存在一個素數(shù)項公式：

Ns = N - Nh （注意這個公式有一定特殊性，也可表示為Ns = N\Nh）

5、這兩個公式涵蓋了2N + 1上的所有位置，直至無窮大。

6、合數(shù)項公式在區(qū)間（0，∞）內(nèi)滿足條件且性質(zhì)不變（初等函數(shù)）。

有了上述條件，我們證明級數(shù)a^2 + 1中存在無窮多個素數(shù)就極為簡單了。

證明：

在表達(dá)式 a^2 + 1 中，只有當(dāng)a^2為偶數(shù)時，a^2 + 1 才構(gòu)成奇數(shù)數(shù)列。因此，設(shè) a = 2k，則a^2= 4k^2，此時 a^2 + 1 可表示為 4k^2 + 1。

我們知道，在2N + 1 數(shù)列中的合數(shù)可被合數(shù)項公式Nh = a(2b + 1) + b 全面覆蓋。只有當(dāng) 4k^2 + 1 與Nh = a(2b + 1) + b 完全重合時，4k^2 + 1 才不會含有素數(shù)。

Nh = a(2b + 1) + b 的解是一組直線族（合數(shù)等差數(shù)列），而 4k^2 + 1 的圖形是拋物線。無需證明，我們便可斷定這兩個公式永遠(yuǎn)不會重合。

所以，級數(shù) a^2 + 1 中含有無窮多個素數(shù)。

證畢！

這個方法能夠有效地應(yīng)用于解決數(shù)論領(lǐng)域中一系列古老猜想相關(guān)的問題。這些猜想往往歷史悠久，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，而該方法為其提供了一種全新的解決途徑，具有重要的理論價值和實踐意義。通過深入挖掘數(shù)論問題的本質(zhì)特征，這種方法展現(xiàn)出了強(qiáng)大的適應(yīng)性和廣泛的應(yīng)用前景，為研究者們探索這些復(fù)雜難題提供了有力的支持。

李鐵鋼 2025年10月27日星期一 于保定市