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最近《量子雜志》計(jì)算機(jī)科學(xué)專欄作家Ben Brubaker撰文探討了忙碌海貍游戲與數(shù)學(xué)中一個(gè)著名的開(kāi)放性問(wèn)題——科拉茨猜想（Collat??z猜想，即3n+1猜想）之間的聯(lián)系。

一只勇敢忙碌的海貍，正與可怕的反九頭蛇正面交鋒。插畫(huà)由才華橫溢的Nico Roper繪制。

作者：Ben Brubaker（量子雜志計(jì)算機(jī)科學(xué)專欄作家）2025-10-22

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-10-28

2024年夏天，我報(bào)道了一個(gè)在線社區(qū) https://bbchallenge.org ， 該社區(qū)確定了一個(gè)名為BB(5)的數(shù)字的精確值 https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematicians-find-fifth-busy-beaver-turing-machine-20240702/ ——這是50年來(lái)在理論計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域一個(gè)古老問(wèn)題（被稱為“忙碌海貍游戲”）上取得的首個(gè)重大突破。BB(5)，現(xiàn)在已知為47176870，是所謂的“忙碌海貍數(shù)”中的第五個(gè)，該數(shù)衡量的是簡(jiǎn)單計(jì)算機(jī)程序能夠完成的最復(fù)雜計(jì)算的復(fù)雜度。（該團(tuán)隊(duì)最近發(fā)表了一篇論文，詳細(xì)描述了他們的研究結(jié)果 http://arxiv.org/abs/2509.12337 。）

這項(xiàng)獨(dú)特的研究工作的下一步是確定第六個(gè)忙碌海貍數(shù) BB(6)，目前已經(jīng)取得了一些顯著進(jìn)展——幾個(gè)月前我寫(xiě)了一篇后續(xù)文章 https://www.quantamagazine.org/busy-beaver-hunters-reach-numbers-that-overwhelm-ordinary-math-20250822/ 。但忙碌海貍研究人員并不指望能很快確定 BB(6) 的真正值。這是因?yàn)橐龅竭@一點(diǎn)，他們需要理解一個(gè)名為“Antihydra”（反九頭蛇）的程序的行為，這個(gè)程序類似于數(shù)學(xué)中一個(gè)長(zhǎng)期懸而未決的問(wèn)題——科拉茨（Collat??z）猜想（即3n+1猜想）。 （請(qǐng)不要將反九頭蛇與假九頭蛇 https://goblinpunch.blogspot.com/2014/09/false-hydra.html 混淆，后者是 D&D 博主 Arnold Kemp 構(gòu)思的一種非常酷且非?？膳碌墓治?。）

一位分享了我第一個(gè)忙碌海貍故事的 Twitter 用戶更簡(jiǎn)潔地總結(jié)了這種情況：

需要注意的是：“編碼 Collat??z 猜想”并不完全正確，我們稍后會(huì)看到。

我的兩篇故事都只是非常簡(jiǎn)短地提到了“反九頭蛇”屏障。在這篇博文中，我將更詳細(xì)地探討它：反九頭蛇究竟是什么？什么是“科拉茨猜想”？它們之間有何關(guān)聯(lián)？以及它們?yōu)楹稳绱肆钊送罚?/p>

忙碌海貍的基礎(chǔ)知識(shí)

如果你還沒(méi)讀過(guò)我寫(xiě)的兩篇《量子雜志》上關(guān)于“忙碌海貍”游戲的故事，建議你先讀讀，因?yàn)檫@兩篇故事都很有趣！接下來(lái)我會(huì)回顧一下“忙碌海貍”游戲的玩法，以便大家能夠理解。

我上面寫(xiě)道，忙碌海貍數(shù)“衡量的是簡(jiǎn)單計(jì)算機(jī)程序所能完成的最瘋狂計(jì)算的復(fù)雜性”。為了更準(zhǔn)確地定義它們，我們首先需要一個(gè)數(shù)學(xué)框架來(lái)衡量計(jì)算機(jī)程序本身的復(fù)雜性，以確定哪些程序是“簡(jiǎn)單的”。然后，我們需要一種方法來(lái)量化計(jì)算的復(fù)雜性——計(jì)算機(jī)程序所做的事情——這樣我們才能識(shí)別出最瘋狂的程序。

在“忙碌海貍”游戲中，計(jì)算機(jī)程序由一種名為圖靈機(jī)的假想設(shè)備來(lái)表示，這些設(shè)備通過(guò)在被劃分為多個(gè)單元的無(wú)限磁帶上讀寫(xiě) 0 和 1，以離散的步驟進(jìn)行計(jì)算。每臺(tái)圖靈機(jī)的行為都受一套獨(dú)特的規(guī)則控制。任何你能用普通計(jì)算機(jī)程序完成的事情，原則上都能用一套合適的圖靈機(jī)規(guī)則來(lái)完成。（在忙碌海貍文獻(xiàn)中，這些規(guī)則被稱為“狀態(tài)”。） “原則上”在這句話中承擔(dān)了大量工作——即使你設(shè)法獲得了必要的無(wú)限磁帶，用圖靈機(jī)進(jìn)行計(jì)算也會(huì)極其低效。但從理論上講，圖靈機(jī)比更實(shí)用的編程語(yǔ)言更容易分析。

讓我們更詳細(xì)地解析一下圖靈機(jī)的工作原理。在每一步中，圖靈機(jī)都會(huì)參考其中一條規(guī)則并編輯磁帶上的一個(gè)單元格。每條規(guī)則有兩種情況：如果當(dāng)前單元格包含 0 該怎么辦？如果當(dāng)前單元格包含 1 該怎么辦？“該怎么辦”在這里指的是在當(dāng)前單元格中寫(xiě)入什么、下一步要朝哪個(gè)方向移動(dòng)以及下一步要參考哪條規(guī)則。其中一條規(guī)則的一種情況打破了這種模式：它告訴圖靈機(jī)“停止”，即停止運(yùn)行。但這條指令本身的存在并不能保證圖靈機(jī)會(huì)停止——機(jī)器可能永遠(yuǎn)不會(huì)停止。

量子雜志的視覺(jué)設(shè)計(jì)師 Kristina Armitage 將所有這些內(nèi)容封裝在一張精美的信息圖中。 （在我的第一篇忙碌海貍故事中，你還會(huì)看到圖靈機(jī)運(yùn)行的動(dòng)畫(huà)。 https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematicians-find-fifth-busy-beaver-turing-machine-20240702/ ）

圖源： Kristina Armitage / Quanta Magazine 的“忙碌的海貍獵人得出的數(shù)字超越了普通數(shù)學(xué)”

圖靈機(jī)所擁有的規(guī)則數(shù)量將作為我們衡量程序復(fù)雜度的標(biāo)準(zhǔn)。這種選擇讓我們能夠?qū)㈥P(guān)于簡(jiǎn)單計(jì)算機(jī)程序能夠完成的最復(fù)雜任務(wù)的模糊問(wèn)題，替換為一系列關(guān)于不同復(fù)雜程度的具體問(wèn)題，這些問(wèn)題對(duì)應(yīng)不同的忙碌海貍數(shù)。你可以通過(guò)回答“單規(guī)則圖靈機(jī)能夠完成的最復(fù)雜計(jì)算是什么？”這個(gè)問(wèn)題來(lái)了解 BB(1)的值。同樣，BB(2)衡量雙規(guī)則圖靈機(jī)能夠完成的最復(fù)雜計(jì)算，依此類推。

要回答這些問(wèn)題，我們需要一個(gè)精確的定義，來(lái)解釋是什么使得一個(gè)計(jì)算比另一個(gè)計(jì)算更復(fù)雜。一個(gè)自然的衡量標(biāo)準(zhǔn)是圖靈機(jī)完成計(jì)算需要多少步?！巴瓿伞焙苤匾颗_(tái)永不停止的圖靈機(jī)都會(huì)運(yùn)行無(wú)限多步，但這實(shí)際上不是一個(gè)公平的比較。圖靈機(jī)在停止之前（以及它是否停止）所執(zhí)行的步數(shù)可能取決于磁帶上 0 和 1 的初始模式。對(duì)于忙碌海貍游戲，我們總是從所謂的“空白磁帶”開(kāi)始，磁帶的每個(gè)單元都是 0。

現(xiàn)在，我們已經(jīng)掌握了正式定義忙碌海貍數(shù)的所有必要信息。我們以 BB(6) 為例：它是所有六規(guī)則圖靈機(jī)中，從空白磁帶啟動(dòng)時(shí)最長(zhǎng)的有限運(yùn)行時(shí)間。原則上，找到這個(gè)數(shù)字很簡(jiǎn)單。首先，列出所有可能的六規(guī)則圖靈機(jī)。接下來(lái)，將它們分為兩類：一類是最終會(huì)在空白磁帶上運(yùn)行時(shí)停止的機(jī)器，另一類是永遠(yuǎn)運(yùn)行的機(jī)器。剔除所有不停機(jī)的機(jī)器。最后，測(cè)量每臺(tái)停機(jī)機(jī)器在停止前需要執(zhí)行多少步。最大的數(shù)字是 BB(6)。

該計(jì)劃的問(wèn)題在于第二步，即根據(jù)圖靈機(jī)是否停止，將其分成兩組。事實(shí)證明，判斷一臺(tái)圖靈機(jī)是否會(huì)停止，這可以說(shuō)是一個(gè)極其困難的問(wèn)題。如果你無(wú)法判斷一臺(tái)給定的機(jī)器是否會(huì)停止，那么你就無(wú)法確定你的停止圖靈機(jī)列表是否完整，也就無(wú)法確定是否找到了運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)的機(jī)器！截至本文撰寫(xiě)時(shí)，研究人員已將絕大多數(shù)六規(guī)則機(jī)器分為停止型或非停止型。但仍有 1618 臺(tái)“未停止”機(jī)器的命運(yùn)未知。

反九頭蛇（Antihydra）就是這些“頑固分子”之一。為了確定 BB(6)的值，研究人員必須首先確定反九頭蛇是否會(huì)停止運(yùn)行，而這似乎超出了任何已知數(shù)學(xué)方法的范疇。為了理解其中的原因，我們需要退一步思考：“這些圖靈機(jī)到底在做什么？”

進(jìn)階

你可能會(huì)反對(duì)這一點(diǎn)，認(rèn)為我們已經(jīng)確切地知道這些圖靈機(jī)在做什么：每臺(tái)圖靈機(jī)只是遵循特定的規(guī)則序列，在磁帶上邊走邊寫(xiě) 0 和 1。但這種“低級(jí)”描述有點(diǎn)像說(shuō)“當(dāng)我按下這些按鈕時(shí)，我的袖珍計(jì)算器會(huì)按照特定的模式打開(kāi)和關(guān)閉晶體管”。這很可能是真的，但像“當(dāng)我按下這些按鈕時(shí)，我的袖珍計(jì)算器會(huì)將 3 和 4 相乘”這樣的“高級(jí)”描述通常更有用。

無(wú)法保證任何給定的圖靈機(jī)的行為都能接受這種簡(jiǎn)單的高級(jí)描述。（此外，在很多情況下，低級(jí)描述就足夠了。例如，證明圖靈機(jī)停止運(yùn)行最簡(jiǎn)單的方法就是逐步模擬它，直到它停止運(yùn)行。當(dāng)這種情況發(fā)生時(shí)，你不需要深入了解它停止的原因：只需記錄它的運(yùn)行時(shí)間，然后繼續(xù)下一步即可。） 但請(qǐng)記住，圖靈機(jī)可以執(zhí)行所有可能的計(jì)算 - 這意味著至少有一些圖靈機(jī)必須執(zhí)行具有人類可以理解的高級(jí)描述的程序。

實(shí)際上，迄今為止，忙碌海貍的研究人員研究過(guò)的最著名的五規(guī)則和六規(guī)則圖靈機(jī)都具有相對(duì)簡(jiǎn)單的高級(jí)描述 - 其中包括最終停止的運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)的五規(guī)則和六規(guī)則機(jī)器、最復(fù)雜的非停止五規(guī)則機(jī)器，以及像 Antihydra（反九頭蛇）這樣的頑固分子。（這是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)觀察，而非不證自明的真理。事實(shí)上，一些研究人員曾預(yù)計(jì)，運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)的圖靈機(jī)將是缺乏任何高級(jí)描述的“意大利面條式代碼”機(jī)器！ https://nickdrozd.github.io/2021/09/25/spaghetti-code-conjecture-false.html ）

讓我們看一個(gè)具體的例子。第五個(gè)忙碌海貍在停止前運(yùn)行了 47176870 步，遵循以下低級(jí)規(guī)則：

圖源：忙碌海貍大挑戰(zhàn)?！啊北硎尽巴Ｖ埂薄?https://bbchallenge.org/story

1993年，數(shù)學(xué)家帕斯卡·米歇爾（Pascal Michel）證明這些規(guī)則等同于一個(gè)簡(jiǎn)單的高級(jí)程序 http://link.springer.com/10.1007/BF01409968 ：

1. 設(shè) x=0 。

2. 將 x 除以 3 并檢查余數(shù)。

   如果余數(shù)為 0，則計(jì)算 (5x+18)/3 。結(jié)果就是新的x值。

   如果余數(shù)為 1，則計(jì)算 (5x+22)/3 。結(jié)果就是新的x值。

   如果余數(shù)為 2，則停止。

3. 如果尚未停止，請(qǐng)返回步驟 2 并插入新的x值 。

一旦你有了這樣的高級(jí)描述，你就可以使用它來(lái)確定機(jī)器是否會(huì)停止 - 如果會(huì)，那么它到底需要多少步。（像這樣的高級(jí)程序中的每一步都對(duì)應(yīng)著許多獨(dú)立的圖靈機(jī)步驟。每當(dāng)你證明高級(jí)描述和低級(jí)描述之間的等價(jià)性時(shí)，你都會(huì)得到一些公式，可以用來(lái)計(jì)算每個(gè)高級(jí)步驟需要多長(zhǎng)時(shí)間。我不會(huì)談?wù)撊绾螌?shí)際證明這些等價(jià)性。） 在這種情況下，高級(jí)程序只是重復(fù)插入新的 x 值，直到找到一個(gè)除以 3 余 2 的值。三分之一的數(shù)字具有該性質(zhì)，因此你可能會(huì)猜測(cè)程序?qū)⑿枰蚨嗷蛏偃螄L試才能找到一個(gè)。如果從隨機(jī)值 x 開(kāi)始，你會(huì)發(fā)現(xiàn)三次迭代確實(shí)是典型的。但事實(shí)證明，如果從 x=0 開(kāi)始，該程序?qū)⒅貜?fù)第二步 15 次，才能找到余數(shù)為 2 的數(shù)字！忙碌海貍研究人員經(jīng)常喜歡將他們研究的圖靈機(jī)擬人化，想象這些機(jī)器正在積極地嘗試盡可能長(zhǎng)時(shí)間地運(yùn)行。采用這種觀點(diǎn)，我們可以說(shuō)這臺(tái)圖靈機(jī)非常幸運(yùn)。

第五只忙碌的海貍只是“Collat??z 類”圖靈機(jī)家族的一員，其高級(jí)行為具有以下一般形式：

1. 將 x 設(shè)置為某個(gè)起始值（可能是 0 也可能不是）。

2. 用 x 除以一個(gè)固定數(shù) N 。余數(shù)告訴你該用什么公式來(lái)得到新的值 x 。

3. 檢查是否滿足特定的停止條件。

   如果沒(méi)有，則返回步驟 2，并使用新值 x 。

   （正如我們?cè)谏厦娴睦又锌吹降?，停止條件可以簡(jiǎn)單到“余數(shù)具有特定值”。下面我們將看到一些具有不同停止條件的例子。）

類 Collat??z 圖靈機(jī)家族包括停機(jī)機(jī)和非停機(jī)機(jī)。它的名字來(lái)源于數(shù)學(xué)家 Lothar Collat??z（洛塔爾·科拉茨，1910 - 1990）于1937年設(shè)計(jì)的一種生成數(shù)字序列的程序：

1. 為 x 選擇一個(gè)起始值。

2. 檢查 x 是偶數(shù)還是奇數(shù)。

   如果是偶數(shù)，則計(jì)算 x/2 。結(jié)果就是新的 x 值。

   如果是奇數(shù)，則計(jì)算 3x+1 。結(jié)果就是新的 x 值。

3. 檢查是否滿足 x=1 。如果不是，則返回步驟 2。

這看起來(lái)與我們對(duì) Collat??z 類機(jī)器高級(jí)行為的一般描述非常相似，以 x=1 作為停止條件。 （“檢查 x 是偶數(shù)還是奇數(shù)”其實(shí)就是“用 x 除以 2 并檢查余數(shù)”的另一種說(shuō)法。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，我們不必指定序列在 x=1 時(shí)停止。但如果在 x=1 之后繼續(xù)應(yīng)用規(guī)則，序列就會(huì)進(jìn)入無(wú)限循環(huán)：1 > 4 > 2 > 1，依此類推。）

嘗試從任意初始整數(shù)值 x 迭代這些規(guī)則 https://collatz-graph.vercel.app ——我愿意打賭，無(wú)論你選多少數(shù)字，你最終都會(huì)得到 1。Collat??z猜想 https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-still-cant-solve-the-collatz-conjecture-20200922/ 斷言，對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，無(wú)論??多大，都會(huì)發(fā)生這種情況。人們已經(jīng)對(duì)所有至少 20億萬(wàn)億（?。┮詢?nèi)的整數(shù)進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何反例，這有力地暗示該猜想是正確的。但沒(méi)有人知道如何嚴(yán)格證明它。

神秘動(dòng)物學(xué)

讓我們退一步來(lái)看。在這篇文章的開(kāi)頭，我指出了科拉茨猜想和“反九頭蛇”之間的聯(lián)系：沒(méi)有人知道如何證明科拉茨猜想，這就是為什么研究人員不知道如何最終確定“反九頭蛇”是否會(huì)停止運(yùn)行。但現(xiàn)在，我把科拉茨猜想與第五個(gè)“忙碌海貍”聯(lián)系起來(lái)，后者是一臺(tái)已被證明會(huì)停止運(yùn)行的機(jī)器。這到底是怎么回事？

這個(gè)看似難題的解決方案是：對(duì)于忙碌海貍游戲，我們只關(guān)心圖靈機(jī)從特定磁帶配置（即空白磁帶）開(kāi)始運(yùn)行時(shí)是否會(huì)停止。這意味著我們只關(guān)心相應(yīng)的類 Collat??z 序列是否會(huì)因單個(gè)輸入而停止。而 Collat??z猜想則詢問(wèn)是否最終對(duì)每個(gè)輸入都命中 x=1 。很容易證明 Collat??z 序列最終對(duì)任何一個(gè)輸入都命中 x=1 ，就像很容易證明第五個(gè)忙碌海貍會(huì)停止一樣（一旦你建立了其低級(jí)規(guī)則和高級(jí)類 Collat??z 程序之間的等價(jià)關(guān)系）。事實(shí)上，忙碌海貍獵人海納·馬克森 (Heiner Marxen) 和尤爾根·邦特羅克 (Jürgen Buntrock) 率先通過(guò)直接模擬證明了第五只忙碌海貍會(huì)停止行動(dòng)（盡管他們使用了一些技巧來(lái)加快速度）。米歇爾只是在事后才識(shí)別出它的高級(jí)行為。

我們可以輕松構(gòu)建 Collat??z 問(wèn)題的變體，即使對(duì)于單個(gè)輸入，它也很難解決。我們需要做的就是將奇數(shù)的 3x+1 規(guī)則更改為 5x+1 。在這種情況下，從某些輸入（例如 x=7 ）開(kāi)始的軌跡看起來(lái)會(huì)發(fā)散，永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)到 1，也不會(huì)陷入循環(huán)。但研究人員還無(wú)法證明這些軌跡中的任何一個(gè)會(huì)發(fā)散。這里面存在著內(nèi)在的不對(duì)稱性。如果你想證明一個(gè)序列最終會(huì)在某個(gè)地方結(jié)束，你總是可以使用蠻力，至少在原則上是這樣。但如果你想證明一個(gè)序列永不終止，即使是單個(gè)輸入也可能很難。

現(xiàn)在，我們終于準(zhǔn)備好對(duì)抗恐怖的“反九頭蛇”（Antihydra https://wiki.bbchallenge.org/wiki/Antihydra ）了。它遵循以下高級(jí)規(guī)則：

1. 設(shè)置 x=8 。

   （這看起來(lái)似乎有點(diǎn)奇怪，因?yàn)樵凇懊β岛Ｘ偂庇螒蛑校覀儜?yīng)該從空白磁帶開(kāi)始。但在這里仍然如此——只是 Antihydra（反九頭蛇） 在開(kāi)始迭代這個(gè)序列之前，花了一段時(shí)間在磁帶上進(jìn)行操作，而所有這些操作的最終效果是將起始值設(shè)置為 8。）

2. 檢查 x 是偶數(shù)還是奇數(shù)。

   如果是偶數(shù)，計(jì)算 3x/2 。結(jié)果就是新的 x 值。將你應(yīng)用此偶數(shù)規(guī)則的次數(shù)加一。

   如果是奇數(shù)，計(jì)算 (3x?1)/2 。結(jié)果就是新的 x 值。將你應(yīng)用此奇數(shù)規(guī)則的次數(shù)加一。

3. 檢查“奇數(shù)”計(jì)數(shù)是否是“偶數(shù)”計(jì)數(shù)的兩倍以上。

   如果是，則停止。

   如果不是，則返回步驟 2。

這是一組非常奇特的規(guī)則。公式 3x/2 和 (3x?1)/2 似乎并沒(méi)有系統(tǒng)地偏向奇數(shù)或偶數(shù)，所以你可能會(huì)認(rèn)為，反復(fù)迭代它們就像反復(fù)拋硬幣并記錄正面和反面出現(xiàn)的次數(shù)一樣。在拋硬幣的初期，正面出現(xiàn)的次數(shù)很可能是反面出現(xiàn)的次數(shù)的兩倍以上。但如果這種情況沒(méi)有立即發(fā)生，那么隨著拋硬幣時(shí)間的延長(zhǎng)，這種可能性就會(huì)越來(lái)越小。

研究人員現(xiàn)在已經(jīng)模擬了 Antihydra 的行為超過(guò) 2700 億步，正如預(yù)期的那樣，“偶數(shù)”和“奇數(shù)”的計(jì)數(shù)非常接近相等——遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到停機(jī)條件所要求的極端不平衡程度。因此，Antihydra 永不停機(jī)的可能性似乎非常大。但沒(méi)有人知道如何證明這一點(diǎn)！數(shù)學(xué)家約翰·康威 (John Conway，1937 - 2020) 為這種情況創(chuàng)造了一個(gè)令人愉快的術(shù)語(yǔ)“probviously”（（probabilistic + obvious + ly）——在這種情況下，感興趣的具體問(wèn)題很難解決，但對(duì)類似問(wèn)題的“典型”行為進(jìn)行概率推理使得答案變得顯而易見(jiàn)。

反九頭蛇的行為在性質(zhì)上與 Collat??z 猜想的 5x+1 版本相似，我們尚不清楚如何證明任何單一軌跡都會(huì)發(fā)散。我想強(qiáng)調(diào)的是，就研究人員所知，這兩個(gè)問(wèn)題之間并沒(méi)有更精確的數(shù)學(xué)聯(lián)系：解決了其中一個(gè)問(wèn)題，并不會(huì)自動(dòng)解決另一個(gè)問(wèn)題。但這兩個(gè)問(wèn)題看似困難，原因卻非常相似。如果有人真的成功證明 Collat??z 猜想，那么證明中使用的數(shù)學(xué)技巧很可能對(duì)解決反九頭蛇問(wèn)題大有裨益（反之亦然）。

實(shí)際上，Antihydra 只是眾多具有類似 Collat??z 行為的、可能不停機(jī)的圖靈機(jī)之一。當(dāng)這些機(jī)器首次在標(biāo)準(zhǔn)“忙碌海貍”游戲的變體中被發(fā)現(xiàn)時(shí)，忙碌海貍獵人 Shawn Ligocki 將這些機(jī)器稱為“神秘生物”（cryptids https://www.sligocki.com/2023/10/16/bb-3-3-is-hard.html ）。 這些變體除了 0 和 1 之外還使用額外的磁帶符號(hào)。例如，忙碌海貍游戲的 BB(3,3) https://wiki.bbchallenge.org/wiki/BB(3,3) 版本研究了具有三個(gè)規(guī)則的圖靈機(jī)的行為，這些規(guī)則可以讀寫(xiě)三個(gè)符號(hào)：0、1 和 2。

一只神秘生物，被弗恩 (Fern) 的朋友、忙碌海貍大挑戰(zhàn)discord 服務(wù)器成員勞倫 (Lauren) 描繪成洛夫克拉夫特式（Lovecraftian）的海貍。

最早被發(fā)現(xiàn)的兩種神秘生物分別名為“大腳怪”（https://wiki.bbchallenge.org/wiki/Bigfoot )和“九頭蛇”（https://wiki.bbchallenge.org/wiki/Hydra “反九頭蛇”因與“九頭蛇”在數(shù)學(xué)上的聯(lián)系而得名）；研究人員如今已發(fā)現(xiàn)如此之多的神秘生物，以至于不再有必要為每一種生物單獨(dú)命名。所有這些神秘生物的存在意味著，在研究人員開(kāi)發(fā)出新的數(shù)學(xué)工具來(lái)解決類似 Collat??z 問(wèn)題之前，BB(5) 以上的忙碌海貍數(shù)仍將遙不可及。據(jù)說(shuō)，傳奇數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s，1913 - 1996）曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)可能還沒(méi)有準(zhǔn)備好應(yīng)對(duì)此類問(wèn)題?！?/p>

但這并不意味著忙碌海貍獵人應(yīng)該放棄。在所謂的“神秘動(dòng)物生態(tài)學(xué)”領(lǐng)域，仍有許多問(wèn)題有待探索。神秘動(dòng)物有多少個(gè)亞種？它們之間以及與科拉茨猜想之外的其他數(shù)學(xué)未解問(wèn)題之間有何關(guān)聯(lián)？ https://www.quantamagazine.org/the-busy-beaver-game-illuminates-the-fundamental-limits-of-math-20201210/ 自忙碌海貍狩獵開(kāi)始以來(lái)，狂熱的獵人就不斷遇到令人驚訝的圖靈機(jī)新行為，而且這種模式絲毫沒(méi)有減弱的跡象。

今年八月，我去了密歇根州上半島的塔夸梅農(nóng)瀑布，這里似乎是大腳怪目擊事件的熱點(diǎn)地區(qū)。幸運(yùn)的是，我沒(méi)有遇到任何神秘生物，但我確實(shí)對(duì)一些比較友好的小動(dòng)物有了些了解。驚喜的發(fā)現(xiàn)可能無(wú)處不在！

參考資料

https://benbrubaker.com/why-busy-beaver-hunters-fear-the-antihydra/

https://bbchallenge.org

https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematicians-find-fifth-busy-beaver-turing-machine-20240702/

http://arxiv.org/abs/2509.12337

http://link.springer.com/10.1007/BF01409968

https://www.quantamagazine.org/busy-beaver-hunters-reach-numbers-that-overwhelm-ordinary-math-20250822/

https://goblinpunch.blogspot.com/2014/09/false-hydra.html

https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematicians-find-fifth-busy-beaver-turing-machine-20240702/

https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-still-cant-solve-the-collatz-conjecture-20200922/

https://www.quantamagazine.org/the-busy-beaver-game-illuminates-the-fundamental-limits-of-math-20201210/

https://nickdrozd.github.io/2021/09/25/spaghetti-code-conjecture-false.html

https://collatz-graph.vercel.app

https://wiki.bbchallenge.org/wiki/Antihydra

https://www.sligocki.com/2023/10/16/bb-3-3-is-hard.html

https://wiki.bbchallenge.org/wiki/BB(3,3)

https://wiki.bbchallenge.org/wiki/Bigfoot

https://wiki.bbchallenge.org/wiki/Hydra

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