《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 014

014.卡米查爾數(shù)

卡米查爾數(shù)（Carmichael number）是指一類特殊的合數(shù)，它們必須滿足以下條件：這些數(shù)都是正整數(shù)，并且可以表示為三個不同素數(shù)的乘積，其中每個素數(shù)都只出現(xiàn)一次，即不包含任何素數(shù)的平方或更高次冪。

用數(shù)學公式來表示，即設 Nh 為一個合數(shù)，它可以被分解為三個互不相同的素數(shù) p、q、r 的乘積，寫作 Nh = p × q × r。

舉例來說，561 就是一個典型的卡米查爾數(shù)，因為 561 = 3 × 11 × 17，這三個因數(shù)都是素數(shù)，并且互不相同。

盡管這類數(shù)已經(jīng)被數(shù)學家廣泛研究，但至今仍然存在一個懸而未決的重要問題：

在所有的正整數(shù)中，卡米查爾數(shù)是否無窮多？也就是說，是否存在著無限多個這樣的合數(shù)，它們都是三個不同素數(shù)的乘積？這個問題在數(shù)論領域引起了持續(xù)的探討，但目前尚未有明確的結(jié)論。

看下圖，

從圖中我們可以觀察到，他們所提出的解決辦法，其核心理論基礎依然源自于經(jīng)典的素數(shù)定理，并試圖通過由此推導出的相關公式來解決問題。然而，盡管他們付出了相當?shù)呐Γ罱K卻未能成功地攻克這一難題?，F(xiàn)在，通過應用Ltg-空理論中的N+1空間概念，我引入了一個新的解析框架。具體來說，利用表達式Nh =a(b+1) + b，就能夠以一種更為簡潔和直接的方式來回應并解決這個問題。這一方法不僅擴展了原有的思路，還提供了更強的理論支持與清晰的解決路徑。

使用N+1空間，下圖，

合數(shù)項公式的表達式為Nh = ab + a + b，

其中 a 和 b 是大于或等于 1 的正整數(shù)。

若在該公式的兩側(cè)同時加上 1，可以得到 H = Nh +1 = ab + a + b + 1。經(jīng)過整理，這一等式可以表示為：

H = (a+1)(b+1)

由于 a 和 b 的取值范圍是正整數(shù)，因此 a+1和 b+1 的取值分別為 2, 3, 4, 5, …，即覆蓋了所有大于等于 2 的正整數(shù)。

因此，H 總可以表示為兩個大于等于 2的正整數(shù)的乘積。這表明，H 總是一個合數(shù)，且可以分解為兩個因數(shù)的形式。

進一步分析可知，由于 a 和 b 可以取任意正整數(shù)，因此 (a+1) 和 (b+1) 的乘積能夠生成無窮多個不同的合數(shù)。特別地，如果 a+1 和 b+1 本身是素數(shù)，那么 H 是兩個素數(shù)的乘積；如果其中一個是合數(shù)，那么 H 可能由更多素數(shù)相乘得到。

事實上，由于素數(shù)有無窮多個，不僅存在無窮多個由三個素數(shù)相乘得到的合數(shù)，還存在無窮多個由四個、五個、六個甚至更多素數(shù)相乘構成的合數(shù)。也就是說，對于任意大于等于 2 的整數(shù) k，都存在無窮多個合數(shù)可以表示為恰好 k 個素數(shù)的乘積。這進一步說明了合數(shù)在正整數(shù)中具有極其豐富的結(jié)構和分布特性。

以上卡米查爾數(shù)問題已得證。

運用Ltg-空間理論以及“合數(shù)項公式”對素數(shù)分布規(guī)律進行深入研究，在理論深度與適用范圍上均明顯優(yōu)于單純依賴素數(shù)定理及其相關公式與理論體系。相較于素數(shù)定理在宏觀層面提供的漸進分布描述，Ltg-空間理論能夠從更高維度的數(shù)學結(jié)構出發(fā)，揭示素數(shù)在數(shù)論體系中的內(nèi)在關聯(lián)與深層性質(zhì)，而“合數(shù)項公式”則進一步提供了具有構造性和可操作性的分析工具，能夠更精確地捕捉素數(shù)分布的局部特征與異常行為。

因此，無論是從數(shù)學嚴謹性、解釋能力還是實際應用潛力來看，基于Ltg-空間與“合數(shù)項公式”的研究路徑都展現(xiàn)出更為強大的理論優(yōu)勢與分析效能。

本文特別感謝WPS AI的鼎力相助！

2025年11月8日星期六