摘要

在物理測(cè)量中，從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中估計(jì)連續(xù)參數(shù)的精度受限于系統(tǒng)所攜帶的費(fèi)舍信息（FI）——它刻畫了未知參數(shù)在觀測(cè)數(shù)據(jù)中的可辨識(shí)度。隨著人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被廣泛引入實(shí)驗(yàn)測(cè)量與反演分析，理解它們?cè)趦?nèi)部如何處理、傳遞并保留這些與參數(shù)相關(guān)的信息，成為一個(gè)關(guān)鍵問題。本文提出了一種方法，用于監(jiān)測(cè)費(fèi)舍信息在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的流動(dòng)過程，從輸入層到輸出層進(jìn)行追蹤。研究表明，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到最優(yōu)估計(jì)性能時(shí)，F(xiàn)I傳輸達(dá)到最大；若繼續(xù)訓(xùn)練，信息反而開始損失，對(duì)應(yīng)過擬合的出現(xiàn)。該工作不僅揭示了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的物理機(jī)制，還提出了一種基于FI的“無(wú)模型早?！睖?zhǔn)則，為深度學(xué)習(xí)的高效與可解釋訓(xùn)練提供了新思路。

關(guān)鍵詞：費(fèi)舍信息（Fisher Information, FI），人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Artificial Neural Networks, ANNs），信息流（Information Flow），無(wú)模型的早停準(zhǔn)則（model-free stopping criterion），參數(shù)估計(jì)（Parameter Estimation）

趙思怡丨作者

論文題目：Fisher Information Flow in Artificial Neural Networks 論文鏈接：https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/kn3z-rmm8 發(fā)表時(shí)間：2025年9月16日 論文來(lái)源：Physical Review X

費(fèi)舍信息視角下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

信息流動(dòng)的物理圖景

在現(xiàn)代科學(xué)研究中，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ ANNs）已成為從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取規(guī)律、估計(jì)參數(shù)的重要工具。無(wú)論是在光學(xué)成像、量子測(cè)量，還是復(fù)雜材料建模中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都展現(xiàn)出超越傳統(tǒng)算法的強(qiáng)大表現(xiàn)。然而，研究者們提出了一個(gè)極具洞察力的問題：

當(dāng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)估計(jì)一個(gè)物理參數(shù)時(shí)，信息是如何在層與層之間流動(dòng)、損失或被壓縮的？

近期，來(lái)自維也納工業(yè)大學(xué)、格拉斯哥大學(xué)、魯爾大學(xué)波鴻和法國(guó)格勒諾布爾大學(xué)的研究團(tuán)隊(duì)提出了一種全新的分析框架，利用費(fèi)舍信息（FI）來(lái)定量追蹤神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中與待估參數(shù)相關(guān)的信息流動(dòng)。他們發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程可被視為費(fèi)舍信息逐步守恒的演化過程；當(dāng)信息傳輸達(dá)到最大化時(shí)，網(wǎng)絡(luò)也恰好實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的估計(jì)性能。相關(guān)成果為深度學(xué)習(xí)提供了一個(gè)具有物理意義的解釋路徑，并提出了無(wú)需驗(yàn)證集的“信息早?！睖?zhǔn)則。

從互信息到費(fèi)舍信息：

量化信息流的新方法

傳統(tǒng)的信息論研究通常依賴互信息（Mutual Information, MI）衡量輸入與輸出之間共享的信息量，但在高維連續(xù)空間中，互信息的計(jì)算往往極其困難，并可能在確定性映射中出現(xiàn)發(fā)散。相比之下，FI關(guān)注的是系統(tǒng)對(duì)未知連續(xù)參數(shù)的響應(yīng)靈敏度，直接與參數(shù)估計(jì)的精度極限——克拉美–羅下界（Cramér–Rao Lower Bound, CRLB）相關(guān)。

本研究的出發(fā)點(diǎn)在于：不僅僅考察網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的不確定性，而是追蹤輸入數(shù)據(jù)中關(guān)于物理參數(shù)的信息在網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的傳輸過程。為此，研究團(tuán)隊(duì)提出了一個(gè)可計(jì)算的近似指標(biāo)——線性費(fèi)舍信息（Linear Fisher Information, LFI）。LFI只依賴樣本的均值與協(xié)方差即可估計(jì)信息量，無(wú)需顯式知道數(shù)據(jù)的概率分布，從而能夠在復(fù)雜的深度網(wǎng)絡(luò)中高效計(jì)算并逐層追蹤信息變化。

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：

在噪聲主導(dǎo)的光學(xué)成像中追蹤信息流

為驗(yàn)證理論框架，研究團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了一個(gè)具有代表性的物理實(shí)驗(yàn)：在光學(xué)顯微鏡下，對(duì)一個(gè)印有“Space Invader”圖案的微小物體進(jìn)行水平位移測(cè)量（如圖1）。實(shí)驗(yàn)條件被刻意設(shè)置為極低信噪比（約 13%），以模擬在噪聲主導(dǎo)環(huán)境下的極限參數(shù)估計(jì)問題。

圖1：左側(cè)光源發(fā)出的光束照射在刻有“space invader”圖案的玻璃載片上。透過物鏡到達(dá)相機(jī)的光場(chǎng)強(qiáng)度包含關(guān)于目標(biāo)水平位置 θ 的FI。實(shí)驗(yàn)所得圖像被輸入ANN進(jìn)行訓(xùn)練，用于預(yù)測(cè)參數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需盡可能保留FI，才能實(shí)現(xiàn)對(duì) θ 的高精度估計(jì)。

在這一任務(wù)中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被訓(xùn)練來(lái)預(yù)測(cè)物體的水平位置參數(shù) θ。研究者在訓(xùn)練過程中實(shí)時(shí)計(jì)算各層的LFI，以監(jiān)測(cè)信息在網(wǎng)絡(luò)中的傳播規(guī)律。結(jié)果表明：

• 在訓(xùn)練初期，隨機(jī)初始化的權(quán)重導(dǎo)致大量費(fèi)舍信息在非線性層中損失；

• 隨著訓(xùn)練的推進(jìn)，網(wǎng)絡(luò)逐步優(yōu)化內(nèi)部映射，使得信息傳輸效率顯著提升；

• 當(dāng)模型性能達(dá)到最優(yōu)時(shí)，輸出層的FI接近輸入層，表明網(wǎng)絡(luò)幾乎保留了輸入數(shù)據(jù)中關(guān)于參數(shù)的全部有效信息。

在模擬數(shù)據(jù)中，這種“信息守恒”關(guān)系幾乎完美成立；而在真實(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，約有80%的信息得以保留，主要受限于實(shí)驗(yàn)噪聲和參數(shù)取值范圍（如圖2）。

圖2：數(shù)值模擬數(shù)據(jù)的LFI最大化過程。曲線顯示LFI在連續(xù)高維嵌入下的變化趨勢(shì)。虛線為理論計(jì)算的真實(shí)FI，用于驗(yàn)證算法收斂性。

信息約束下的最優(yōu)訓(xùn)練：

無(wú)需驗(yàn)證集的早停準(zhǔn)則

深度學(xué)習(xí)中，判斷訓(xùn)練何時(shí)結(jié)束是一項(xiàng)長(zhǎng)期存在的挑戰(zhàn)。通常做法依賴驗(yàn)證集監(jiān)控誤差變化，但這一經(jīng)驗(yàn)性方法缺乏理論依據(jù)。本文基于FI框架提出了一個(gè)物理意義明確的早停判據(jù)：當(dāng)模型的均方誤差（MSE）達(dá)到由FI決定的克拉美–羅下限CRLB時(shí)，網(wǎng)絡(luò)已提取完全部可用信息。此時(shí)若繼續(xù)訓(xùn)練，網(wǎng)絡(luò)將開始擬合噪聲，導(dǎo)致過擬合現(xiàn)象。

這一條件可通過簡(jiǎn)單的乘積形式：MSE × I ≈ 1來(lái)檢驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)表明，該準(zhǔn)則預(yù)測(cè)的最佳停止時(shí)刻與驗(yàn)證集誤差最小點(diǎn)高度一致，但無(wú)需額外數(shù)據(jù)集即可實(shí)現(xiàn)訓(xùn)練控制，為信息驅(qū)動(dòng)的模型優(yōu)化提供了實(shí)用工具（如圖3）。

圖3：歸一化均方誤差（MSE）隨訓(xùn)練歷元的變化。 (a) 為帶高斯噪聲的模擬數(shù)據(jù)，(b) 為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。深色曲線為驗(yàn)證損失，淺色曲線為訓(xùn)練損失。虛線表示 MSE×I=1的位置，對(duì)應(yīng)訓(xùn)練的最佳停止點(diǎn)。

意義與前景：

以信息流為核心的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理解

這項(xiàng)研究為理解深度學(xué)習(xí)的內(nèi)部機(jī)制提供了新的定量化視角。通過追蹤費(fèi)舍信息在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的傳播路徑，研究者揭示了一個(gè)可能的普遍規(guī)律：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程可被理解為費(fèi)舍信息逐步趨于守恒的過程。

這一觀點(diǎn)不僅有助于解釋網(wǎng)絡(luò)在不同訓(xùn)練階段的表現(xiàn)差異，也為模型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了新的啟發(fā)。未來(lái)，研究者計(jì)劃將這一框架擴(kuò)展至帶有殘差連接的ResNet結(jié)構(gòu)、物理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Physical Neural Networks）及更廣泛的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析任務(wù)中。

在更宏觀的意義上，這項(xiàng)工作展示了信息論與深度學(xué)習(xí)、實(shí)驗(yàn)物理的融合潛力。當(dāng)信息流動(dòng)被視為科學(xué)系統(tǒng)的共同約束原則，我們或許能夠在人工智能與自然智能之間，找到一種更深層次的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

大模型可解釋性讀書會(huì)

集智俱樂部聯(lián)合上海交通大學(xué)副教授張拳石、阿里云大模型可解釋性團(tuán)隊(duì)負(fù)責(zé)人沈旭、彩云科技首席科學(xué)家肖達(dá)、北京師范大學(xué)碩士生楊明哲和浙江大學(xué)博士生姚云志共同發(fā)起。本讀書會(huì)旨在突破大模型“黑箱”困境，嘗試從以下四個(gè)視角梳理大語(yǔ)言模型可解釋性的科學(xué)方法論：

自下而上：Transformer circuit 為什么有效？

自上而下：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的精細(xì)決策邏輯和性能根因是否可以被嚴(yán)謹(jǐn)、清晰地解釋清楚？

復(fù)雜科學(xué)：滲流相變、涌現(xiàn)、自組織等復(fù)雜科學(xué)理論如何理解大模型的推理與學(xué)習(xí)能力？

系統(tǒng)工程：如何擁抱不確定性，在具體的業(yè)界實(shí)踐中創(chuàng)造價(jià)值？

五位發(fā)起人老師會(huì)帶領(lǐng)大家研讀領(lǐng)域前沿論文，現(xiàn)誠(chéng)邀對(duì)此話題感興趣的朋友，一起共創(chuàng)、共建、共享「大模型可解釋性」主題社區(qū)，通過互相的交流與碰撞，促進(jìn)我們更深入的理解以上問題。無(wú)論您是致力于突破AI可解釋性理論瓶頸的研究者，探索復(fù)雜系統(tǒng)與智能本質(zhì)的交叉學(xué)科探索者，還是追求模型安全可信的工程實(shí)踐者，誠(chéng)邀您共同參與這場(chǎng)揭開大模型“黑箱”的思想盛宴。

讀書會(huì)已于2025年6月19日啟動(dòng)，每周四晚19:30-21:30，預(yù)計(jì)持續(xù)分享8-10周左右。

詳情請(qǐng)見：

1.

2.

3.

4.

5.

6.