在數(shù)學與物理學中，肥皂膜形成的極小曲面一直是引人入勝的研究對象。19世紀，比利時物理學家約瑟夫·普拉托通過將金屬絲框架浸入肥皂水觀察薄膜形成，提出了經(jīng)典的普拉托問題：對于任意閉合曲線，是否存在以該曲線為邊界且表面積最小的曲面？直到20世紀30年代，數(shù)學家杰西·道格拉斯與蒂博爾·拉多才獨立證明這一問題的存在性，道格拉斯也因此成為首位菲爾茲獎得主。

然而，隨著研究深入，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)當問題進入更高維空間時，極小曲面可能出現(xiàn)奇點——即曲面發(fā)生折疊、收縮或自交的非光滑點。1968年，吉姆·西蒙斯在八維空間中構(gòu)造出帶奇點的極小曲面，打破了“極小曲面必光滑”的認知。盡管1985年數(shù)學家羅伯特·哈特與萊昂·西蒙證明八維空間中的奇點可通過微調(diào)邊界消除（即“通用正則性”），但更高維度的進展在此后近40年間陷入停滯。

這一僵局于2023年被打破。斯坦福大學奧蒂斯·喬多什、萊斯大學克里斯托斯·曼圖利迪斯與華威大學費利克斯·舒爾茨合作，首次證明在九維和十維空間中，光滑極小曲面仍是普遍現(xiàn)象。2025年，團隊進一步與康奈爾大學博士后研究員王志涵合作，將結(jié)論推進至十一維空間。

王志涵是一名優(yōu)秀的青年數(shù)學家，他于2014年從山東省實驗中學考入清華大學數(shù)學科學系，2018年本科畢業(yè)后赴普林斯頓大學攻讀博士學位，師從著名微分幾何學家費爾南多·科達·馬奎斯。在2023年獲得博士學位后，他先后于芝加哥大學、康奈爾大學從事博士后研究，主要研究方向為微分幾何與幾何分析。

團隊在十一維空間中的證明面臨獨特挑戰(zhàn)。曼圖利迪斯指出：“高維空間中的奇點類型復雜多樣，就像一個奇點動物園，任何成功的論證必須足夠廣泛以覆蓋所有情況。”王志涵的專長正是處理高維奇點的分析，他與團隊合作改進了名為“分離函數(shù)”的工具，通過量化奇點間距離，證明適當擾動邊界可使奇點消失。這一方法克服了此前技術(shù)在十一維空間中對特定三維奇點無效的局限。

這項成果被學界視為幾何分析領(lǐng)域的重要突破。斯坦福大學教授布萊恩·懷特評價：“他們將我們的理解拓展了幾個維度，這真是太棒了?！痹摻Y(jié)論不僅解決了普拉托問題在高維情形的懸疑，更為其他數(shù)學領(lǐng)域提供了工具，例如廣義相對論中的正質(zhì)量定理——其證明曾依賴極小曲面的光滑性，此前僅適用于七維及以下空間。

在數(shù)學物理領(lǐng)域，這項突破具有深遠意義。正能量定理是廣義相對論中的核心結(jié)論，斷言宇宙的總能量必為正。1970年代，Richard Schoen與丘成桐利用最小化曲面在七維及以下給出了證明；2017年，他們又把結(jié)果推廣到所有維度。如今，關(guān)于普拉托問題的新進展為九、十、十一維提供了另一條驗證正質(zhì)量定理的途徑，為理解宇宙的基本規(guī)律提供了新的數(shù)學工具。

盡管十一維空間的突破標志著巨大進步，但更高維度的普拉托問題仍待探索。舒爾茨坦言：“要進入十二維及以上空間，我們需要全新的數(shù)學工具和思路。”數(shù)學家們期待，這一突破性方法還能應(yīng)用于材料科學、相變理論等更多領(lǐng)域，比如解釋冰的融化過程或其他物理系統(tǒng)中的界面現(xiàn)象。

無論未來結(jié)果如何，這項研究已為數(shù)學與物理學的交叉領(lǐng)域打開新的可能性，展示了基礎(chǔ)數(shù)學研究在解釋自然現(xiàn)象中的持久生命力。

文章來源：水木TsinghuaCent。