20世紀物理學(xué)的星空群星璀璨，而馬克斯·玻恩（Max Born）的名字或許不如愛因斯坦或玻爾那般家喻戶曉，但他提出的“玻恩規(guī)則”卻成為量子力學(xué)最堅韌的骨架。

1926年，當(dāng)他在哥廷根大學(xué)寫下“波函數(shù)模平方即概率密度”時，不僅解答了薛定諤方程的現(xiàn)實意義，更徹底動搖了牛頓力學(xué)的決定論基石。玻恩的洞見在于：量子世界本質(zhì)是概率的，而非確定的——電子沒有預(yù)設(shè)的軌道，只有概率的分布；測量不是揭示預(yù)設(shè)狀態(tài)，而是概率性的隨機事件。

這一簡潔卻極具顛覆性的詮釋，徹底改變了人類對微觀世界本質(zhì)的理解，將概率性提升為量子理論最根本的特征。玻恩的概率詮釋并非憑空產(chǎn)生，它誕生于量子力學(xué)初期矩陣力學(xué)與波動力學(xué)激烈的思維碰撞中，是玻恩對量子現(xiàn)象本質(zhì)長期沉思的結(jié)晶。它的提出，不僅解決了波動力學(xué)的詮釋危機，更深刻地統(tǒng)一了量子力學(xué)的不同表述形式，最終成為整個理論體系不可動搖的基石，彰顯了玻恩作為概率詮釋的奠基人的歷史地位。

圖1 馬克斯·玻恩（Max Born）的肖像圖（圖片來源：Wikipedia）

Part.1

從經(jīng)典到量子——玻恩規(guī)則的歷史起點

19世紀末到20世紀初，經(jīng)典物理學(xué)正處于鼎盛時期。牛頓力學(xué)和麥克斯韋電磁理論構(gòu)建了一座宏偉的科學(xué)大廈，似乎能解釋一切自然現(xiàn)象。然而，隨著實驗技術(shù)的進步，越來越多的結(jié)果無法用經(jīng)典理論解釋。普朗克在1900年提出量子假設(shè)以解釋黑體輻射，愛因斯坦在1905年提出光量子理論解釋光電效應(yīng)，這些工作揭開了量子論的序幕，但也暴露了經(jīng)典物理的深層危機。

然而，真正的難題在于：微觀粒子的運動狀態(tài)究竟如何被描述？1913年，玻爾提出的原子模型在解釋氫原子光譜上取得成功，但在多電子/原子和復(fù)雜體系中顯得力不從心。1925年，海森堡創(chuàng)立了矩陣力學(xué)，薛定諤則提出波動力學(xué)。兩種理論雖然在數(shù)學(xué)上被薛定諤證明等價，但在物理意義上的解釋分歧依然存在，尤其是波函數(shù)的含義問題懸而未決。

正是在這迷霧重重的時刻，身處哥廷根大學(xué)理論物理研究所的玻恩，從解決一個具體的物理難題中找到了突破口——電子散射問題。當(dāng)一束電子射向原子靶時，它們會以不同的角度被散射出去。經(jīng)典物理可以計算確定軌跡的偏轉(zhuǎn)，但在量子領(lǐng)域，粒子表現(xiàn)出波動性，其散射行為需要用波函數(shù)描述。玻恩在仔細分析散射過程的理論計算和實驗數(shù)據(jù)時，做出了劃時代的洞察：波函數(shù) 本身并不描述粒子位置，但其模的平方（），在給定的空間位置和時刻，精確地給出了在該處發(fā)現(xiàn)一個粒子的概率密度！

1926年6月，玻恩在論文《Zur Quantenmechanik der Stossvorg?nge》一文中首次明確提出了這一觀點，并在同年晚些時候的文章中將其推廣到一般的量子態(tài)測量。這個簡潔而深刻的規(guī)則（計算波函數(shù)模平方以獲得概率）后來被稱為“玻恩規(guī)則”。這是量子力學(xué)發(fā)展史上一個決定性的時刻，它為薛定諤方程的解賦予了清晰、可操作的物理意義，但也因其核心引入的根本隨機性，引發(fā)了物理學(xué)界最激烈的哲學(xué)爭論。

然而，這一突破引發(fā)了物理學(xué)界的激烈爭論。愛因斯坦在1926年給玻恩的信中寫道：“量子力學(xué)確實令人印象深刻，但它讓我感到不安……上帝不會擲骰子。”玻恩則是堅定地回復(fù)：“親愛的愛因斯坦，請別指揮上帝該怎么做?！边@段往來不僅展現(xiàn)了兩位學(xué)術(shù)巨匠的學(xué)術(shù)鋒芒，也透露出那個年代物理學(xué)家們對于概率與確定性的激烈討論。

圖2 玻恩提出概率詮釋的原始論文（圖片來源：參考文獻[1]）

Part.2

量子世界的語言——玻恩規(guī)則的核心內(nèi)涵

經(jīng)典物理學(xué)的圖景清晰而確定：如果已知初始條件和作用力，就可以完全預(yù)測未來狀態(tài)。但量子世界打破了這種確定性。玻恩規(guī)則指出，波函數(shù)的模平方代表了粒子在給定位置與時間被發(fā)現(xiàn)的概率密度。

這看似簡單的一句話，實際上是量子力學(xué)數(shù)學(xué)形式得以物理化的關(guān)鍵。它告訴我們：

概率的目錄：波函數(shù) 并非可觀測的物理量，而是“概率的目錄”。例如氫原子中的電子，其波函數(shù)描繪了核周圍的概率云，而非行星般的固定軌道；

測量的本質(zhì)：單次量子測量的結(jié)果具有隨機性，但大量重復(fù)實驗的統(tǒng)計分布必然收斂于的預(yù)測——如同賭場無法預(yù)知單次輪盤結(jié)果，卻可掌控長期收益；

概率的疊加性：雙縫干涉實驗中，單個電子的落點不可預(yù)測，但大量電子形成的干涉條紋正是的空間分布體現(xiàn)。

這一解釋很好地回答了雙縫干涉實驗中的謎團——當(dāng)單個電子或光子通過雙縫時，其落點是隨機的，但經(jīng)過足夠多次測量，干涉條紋會自然顯現(xiàn)。這是因為每個粒子都有一個由波函數(shù)決定的概率分布，而玻恩規(guī)則正是計算這一分布的工具。需要指出的是，當(dāng)時的雙縫干涉實驗多集中于光子或電子束的整體效應(yīng)，單電子的逐一干涉是在后來的技術(shù)發(fā)展中才得以直接觀測。

玻恩規(guī)則不僅統(tǒng)一了量子力學(xué)的數(shù)學(xué)和物理意義，還使得量子理論能夠被直接檢驗和應(yīng)用。它讓量子力學(xué)不再是一套抽象的數(shù)學(xué)游戲，而成為解釋和預(yù)測實驗現(xiàn)象的現(xiàn)實理論。

圖3 雙縫干涉實驗的示意圖（圖片來源：Wikipedia）

Part.3

玻恩規(guī)則的確立——實驗驗證與深遠影響

盡管遭遇哲學(xué)上的巨大爭議，玻恩概率詮釋的強大生命力，最終源于其無與倫比的解釋和預(yù)言實驗現(xiàn)象的能力，以及隨之而來的堅實實驗驗證。

散射實驗的直接驗證：玻恩最初提出概率詮釋就是為了解釋散射問題。很快，基于玻恩規(guī)則的量子力學(xué)對粒子散射角分布的精確計算，與盧瑟福實驗以及后來的高能物理實驗數(shù)據(jù)完美吻合。散射粒子在探測器上的分布，精確地遵循著給出的概率預(yù)言。這是對玻恩詮釋最直接、最有力的支持。

原子光譜與躍遷概率：矩陣力學(xué)和波動力學(xué)都能計算原子能級間躍遷的概率，并且采用玻恩規(guī)則得到的理論結(jié)果，與觀測到的光譜線相對強度高度一致。概率詮釋為理解原子光譜提供了自然的基礎(chǔ)。

電子衍射與干涉：當(dāng)電子束通過晶體或雙縫時，會產(chǎn)生清晰的衍射或干涉圖樣。這些圖樣無法用經(jīng)典粒子軌跡解釋，卻完美符合將電子波函數(shù)疊加并計算所得到的空間概率分布。這強有力地證明了電子等粒子的行為受概率幅支配。

隨著實驗證據(jù)的不斷累積和量子力學(xué)在各個領(lǐng)域的巨大成功，玻恩的概率詮釋逐漸被絕大多數(shù)物理學(xué)家所接受，并被寫入教科書，成為學(xué)習(xí)量子力學(xué)的起點。任何量子系統(tǒng)的狀態(tài)演化由薛定諤方程描述，而任何測量結(jié)果的預(yù)言則必然通過玻恩規(guī)則給出。概率性，被確立為量子世界最本質(zhì)、不可還原的特征。

Part.4

結(jié)語

馬克斯·玻恩提出的概率詮釋，是量子理論皇冠上最璀璨的明珠，是賦予量子力學(xué)精密數(shù)學(xué)框架以生命的深邃“靈魂”。在經(jīng)典決定論觀念根深蒂固的時代，玻恩以非凡的勇氣和深刻的洞察力，揭示了微觀世界內(nèi)稟的概率本質(zhì)。他通過這一簡潔卻威力無窮的規(guī)則，將抽象的波函數(shù)與現(xiàn)實世界的測量結(jié)果——概率，牢固地聯(lián)系起來。

鑒于概率詮釋對量子力學(xué)乃至整個現(xiàn)代物理學(xué)的革命性貢獻，馬克斯·玻恩于1954年被授予諾貝爾物理學(xué)獎。獲獎理由是他在量子力學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)性研究，特別是“對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋”。而他的概率詮釋，其價值遠超一枚獎?wù)?。它徹底革新了人類的自然觀，將概率和不確定性置于物理實在的核心。

圖4 馬克斯·玻恩于1954年被授予諾貝爾物理學(xué)獎（圖片來源：Nobel Prize的官網(wǎng)）

然而，玻恩對量子力學(xué)的塑造，并不僅限于概率的語言。在他與學(xué)生海森堡以及數(shù)學(xué)物理學(xué)家約旦的合作中，一套全新的數(shù)學(xué)體系誕生——矩陣力學(xué)。這不僅是量子力學(xué)最早的系統(tǒng)化形式之一，也為概率詮釋的提出奠定了堅實基礎(chǔ)。那么，玻恩是如何與海森堡攜手，把一個尚未成形的物理直覺鍛造成量子理論的骨架？這段科學(xué)史上的傳奇合作，正是我們將在下一篇中探尋的故事。

參考文獻:

[1] Born M. Quantenmechanik der sto?vorg?nge[J]. Zeitschrift für physik, 1926, 38(11): 803-827.

[2] Born M. Statistical interpretation of quantum mechanics[J]. Science, 1955, 122(3172): 675-679.

[3] Born M, Heisenberg W, Jordan P. Zur quantenmechanik. II[J]. Zeitschrift für Physik, 1926, 35(8): 557-615.

[4] Born M, Jordan P. Zur quantenmechanik[J]. Zeitschrift für Physik, 1925, 34(1): 858-888.

[5] Born, Max. 1969. The Born–Einstein Letters: Friendship, Politics and Physics in Uncertain Times. London: Macmillan.

[6] B Born M. Statistical interpretation of quantum mechanics[J]. Science, 1955, 122(3172): 675-679.

出品：科普中國

作者：欒春陽、王雨桐

監(jiān)制：中國科普博覽

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