中點(diǎn)運(yùn)用技巧——構(gòu)造中位線

在幾何證明中，關(guān)于中點(diǎn)條件的運(yùn)用，通常情況下得到線段間的數(shù)量關(guān)系，與中點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的還有直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形三線合一、三角形中位線、垂徑定理、三角形重心等，還可利用中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形，可謂幾何證明題里的多面手，因此，讀懂題目條件里和中點(diǎn)有關(guān)部分，聯(lián)想到合適的方法，是破題關(guān)鍵。

題目

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(90° <α<120°)，d為bc的中點(diǎn)，e是線段cd上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)c，d重合).連接ae，將線段ae繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段af，連接ef交ac于點(diǎn)g，過(guò)點(diǎn)b作ac的平行線交fe的延長(zhǎng)線于點(diǎn)h.< pan>

(1)求證：∠ACF=∠CBH；

(2)若M為線段FH的中點(diǎn)，連接DM，用等式表示線段DM與FG之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

解析：

01

(1)經(jīng)典手拉手模型，可證△ABE≌△ACF，如下圖：

由∠BAC=∠EAF=α得∠BAE=∠CAF，再加上AB=AC，AE=AF，所以△ABE≌△ACF，得到∠ABE=∠ACF，由AC∥BH，可證∠ACB=∠CBH，而∠ABE=∠ACB，所以∠ABE=∠CBH，最后得到∠ACF=∠CBH；

02

(2)作圖之后，先觀察線段DM和FG，直觀發(fā)現(xiàn)它們存在倍數(shù)關(guān)系，驗(yàn)證的方法有兩種，一是截長(zhǎng)，二是補(bǔ)短，如何選擇？

線段DM的兩個(gè)端點(diǎn)均為中點(diǎn)，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，而點(diǎn)M是FH中點(diǎn)，相應(yīng)的線段FG兩個(gè)端點(diǎn)沒(méi)有特殊條件，因此我們從條件豐富的線段DM入手，將其倍長(zhǎng)；

但是在倍長(zhǎng)過(guò)程中遇到了新問(wèn)題，若延長(zhǎng)MD，與BH相交，顯然無(wú)法說(shuō)明這是倍長(zhǎng)，同樣的若延長(zhǎng)DM，無(wú)論是AC相交或與CF相交，也無(wú)法說(shuō)明這是倍長(zhǎng)，這是思考中無(wú)法回避的困境；

解決困境的思路同樣來(lái)自于中點(diǎn)條件，題目中給出了AC∥BH，這兩條平行線被BC所截，而點(diǎn)D恰好是BC中點(diǎn)，因此我們可利用這組平行線來(lái)構(gòu)造全等三角形，連接GD并延長(zhǎng)，交BH于點(diǎn)K，如下圖：

此時(shí)再連接KE，便呈現(xiàn)出△GEK以及其中的線段DM，究竟DM能否成為△GEK的中位線，我們需要證明GM=EM，下面我們來(lái)進(jìn)行思維突破：

利用AC∥BH以及點(diǎn)D為BC中點(diǎn)的條件，我們很容易證明△BDK≌△CDG，從而得到BK=CG，DK=DG；

借助(1)中的∠ACF=∠CBH，即∠GCF=∠EBK，以及BE=CF，我們可得到第二對(duì)全等，△BEK≌△CFG，如下圖：

所以EK=FG，完成了線段FG的“搬運(yùn)”，現(xiàn)在完成最后一步中位線的證明：

取△BEK和△CFG的一個(gè)對(duì)應(yīng)外角∠EKH=∠CGE，由AC∥BH可得∠CGE=∠H，于是∠EKH=∠H，則EK=EH，所以EH=FG；

由點(diǎn)M為FH中點(diǎn)，得MF=MH，則MF-FG=MH-EH，即MG=ME，點(diǎn)M為EG中點(diǎn)，進(jìn)而證明了DM是△GEK的中位線，EK=2DM，所以FG=2DM.

解題思考

幾何證明思路的探索，是一個(gè)不斷猜想、驗(yàn)證的過(guò)程，直觀很重要，它是猜想的來(lái)源，在驗(yàn)證過(guò)程中一定會(huì)遇到困難，畢竟這是幾何壓軸題，解決困難的方法依然是從現(xiàn)有條件中尋找突破口，所以能否有效以已有條件為基礎(chǔ)進(jìn)行拓展延伸，是找到解題思路的關(guān)鍵。

本題中，為什么要構(gòu)造中位線？實(shí)則是因?yàn)樵谔剿鹘忸}思路的過(guò)程中，經(jīng)歷過(guò)的幾次失敗造成的，最初是我們截長(zhǎng)，取FG中點(diǎn)之后，思路進(jìn)行不下去，然后是因?yàn)槲覀冄娱L(zhǎng)DM或MD都無(wú)法得到需要的倍長(zhǎng)線段，貌似把“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的路都封死了，給學(xué)生造成困難。

所以這個(gè)時(shí)候就要跳出“截長(zhǎng)補(bǔ)短一定要在原線段所在直線上”這個(gè)框架，另辟蹊徑，這才想到構(gòu)造中位線，從而連接EK。

作為老師，在引導(dǎo)學(xué)生尋找解題思路的同時(shí)，不妨將自已是如何找到思路的過(guò)程分享給學(xué)生，通常在課堂上，老師在學(xué)生遇到困難后，急于將方法直接告訴學(xué)生，是不妥的，學(xué)生遇到困難之后，首先需要的是共情，因?yàn)檫@些困難老師自已在思考過(guò)程中也會(huì)遇到，當(dāng)學(xué)生聽(tīng)到老師原來(lái)也這樣碰過(guò)壁，接下來(lái)會(huì)更有興致知道老師是如何解決困難的，這種懸念加成后，學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)會(huì)更強(qiáng)；有經(jīng)驗(yàn)的老師會(huì)假裝不會(huì)，然后有意無(wú)意泄露一點(diǎn)信息讓學(xué)生抓住，一旦學(xué)生成功從這些信息中找到了思路，那情緒價(jià)值就滿了，在這種情況下，解題成就感最強(qiáng)，興趣也更高，于是學(xué)數(shù)學(xué)就有意思了。