圖片來源：https://academyflex.com/advanced-portfolio-construction-techniques/

導(dǎo)語

在當今高度互聯(lián)的世界中，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)無處不在。從自然生態(tài)系統(tǒng)到城市基礎(chǔ)設(shè)施，再到社會網(wǎng)絡(luò)與互聯(lián)網(wǎng)，這些網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成了我們生活和工作的基礎(chǔ)框架。然而，這些網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在面對環(huán)境變化和外部擾動時，往往表現(xiàn)出高度的脆弱性。例如，生態(tài)系統(tǒng)中物種數(shù)量的減少可能引發(fā)食物鏈的連鎖反應(yīng)；電網(wǎng)中的局部故障可能迅速蔓延導(dǎo)致大規(guī)模停電；人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中負面信息的傳播可能引發(fā)社會動蕩；互聯(lián)網(wǎng)上一次網(wǎng)絡(luò)攻擊可能使大量用戶的服務(wù)中斷。這些事件不僅會造成巨大的經(jīng)濟損失，還可能對社會的穩(wěn)定和人類的生活產(chǎn)生深遠的影響。

因此，深入理解網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)韌性和崩潰機制的影響，實現(xiàn)對系統(tǒng)的有效調(diào)控與崩潰預(yù)防，已成為當前復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)的關(guān)鍵課題。通過融合網(wǎng)絡(luò)科學(xué)、控制理論及人工智能等方法，研究者們正致力于揭示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)規(guī)律，提升系統(tǒng)對風(fēng)險的預(yù)測、干預(yù)及恢復(fù)能力，為各領(lǐng)域復(fù)雜系統(tǒng)的安全與可持續(xù)發(fā)展提供理論與技術(shù)支持。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、網(wǎng)絡(luò)韌性、韌性映射方法、不完全信息韌性估計、多領(lǐng)域韌性應(yīng)用

李明章丨作者

周莉丨審校

目錄

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)簡介

基于網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的網(wǎng)絡(luò)韌性通用框架

不完全信息下的韌性估計

情況1：未知完整的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)信息

情況2：未知完整的網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)信息

應(yīng)用場景

1、政治極化現(xiàn)象研究

2、交通網(wǎng)絡(luò)的韌性分析

3、互惠共生生態(tài)系統(tǒng)的韌性分析

韌性控制

結(jié)語

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)簡介

復(fù)雜系統(tǒng) (Complex Systems) 由大量相互作用的部分組成，如生態(tài)系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、電力系統(tǒng)和社會系統(tǒng)等。而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化表示，通過節(jié)點與連邊關(guān)系來揭示復(fù)雜系統(tǒng)的內(nèi)在特性與動態(tài)行為，圖1 中展示了一些經(jīng)典的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)。

圖1. 經(jīng)典的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[4]

本文關(guān)注的復(fù)雜系統(tǒng)主要是網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng) (Networked Dynamics) [1-3]，具體表現(xiàn)為一個N 維耦合非線性方程，如下公式 (1) 所示。其中xi表示每個節(jié)點在 t 時刻的狀態(tài)，F(xiàn)是節(jié)點i的自身動力學(xué)，G是節(jié)點i與節(jié)點j的交互動力學(xué)，Aij則表示節(jié)點i節(jié)點j的鄰接關(guān)系。通過適配 F(xi) 和 G(xi, xj) 的形式，可用于模擬復(fù)雜系統(tǒng)中被廣泛關(guān)注的韌性現(xiàn)象，例如生態(tài)系統(tǒng)中的環(huán)境承載力，物流系統(tǒng)中的資源供需網(wǎng)絡(luò)等。圖2中展示了相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)場景，具體見文獻[3]。

圖2. 網(wǎng)絡(luò)動力學(xué) 。圖中展示了傳染病、調(diào)控、種群等 7 類不同領(lǐng)域的動力學(xué)模型，在模型網(wǎng)絡(luò)（如 ER、無標度網(wǎng)絡(luò)）與真實網(wǎng)絡(luò)（如社交、PPI、電網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)）上的測試場景，呈現(xiàn)各系統(tǒng)固定點狀態(tài)及關(guān)鍵動力學(xué)特征。

基于網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的網(wǎng)絡(luò)韌性通用框架

韌性的定義并不統(tǒng)一，本文關(guān)注的韌性主要是系統(tǒng)韌性（Resilience），這表示復(fù)雜系統(tǒng)在外部擾動作用下自我恢復(fù)與重構(gòu)的能力[5]。過去大多數(shù)研究主要集中于低維系統(tǒng)，通過低維非線性動力學(xué)方程來描述復(fù)雜系統(tǒng)的行為。這里以一維系統(tǒng)為例，其動力學(xué)模型可以用一個非線性方程來表示： ，其中函數(shù) f(β, x) 描述了系統(tǒng)的動態(tài)行為，參數(shù) β 反映了環(huán)境條件的變化。此時系統(tǒng)動力學(xué)可以看作是單個節(jié)點的自身交互行為。不妨假設(shè)該系統(tǒng)具有穩(wěn)定點 x0 ，基于動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論[1,6]，我們可以通過解方程（2-3）來確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)：

其中的式（2）給出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)，式（3）確保系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性。通過解這些方程可以得到韌性函數(shù) x(β) ，該函數(shù)表示系統(tǒng)在不同環(huán)境條件 β 下的可能狀態(tài)，其形狀由 f(β, x) 的函數(shù)形式唯一確定。系統(tǒng)的瞬時狀態(tài)由參數(shù) β 決定。當 β 達到臨界值 βc 時，韌性函數(shù) x(β) 可能發(fā)生分岔（圖3.a）或變得非解析（圖3.b,c），這表明系統(tǒng)的狀態(tài)突變?yōu)榉匠蹋?）的另一個不動點，從而會失去韌性，此時系統(tǒng)往往會處于一種不理想的狀態(tài)。

圖 3 一維系統(tǒng)的韌性分析。在一維系統(tǒng)中，韌性可由韌性函數(shù) x(β)描述，它刻畫了系統(tǒng)狀態(tài)隨著可調(diào)參數(shù) β的變化。我們用三種典型示例加以說明：a. 分岔型韌性函數(shù)，當 β>βc時系統(tǒng)僅存在一個穩(wěn)定的平衡點（藍色）；而當 β <βc時，出現(xiàn)兩個或更多穩(wěn)定平衡點，其中一個為期望態(tài)（藍色），另一個為不期望態(tài)（紅色）。b. 一階躍遷型韌性函數(shù)，隨著 β變化系統(tǒng)會從期望態(tài)（藍色）發(fā)生突變式躍遷，直接切換到不期望態(tài)（紅色），呈現(xiàn)一階相變特征。c. 無恢復(fù)型韌性函數(shù)，當 β<βc時系統(tǒng)仍具有穩(wěn)定解；但一旦 β超過 βc，穩(wěn)定解消失，系統(tǒng)進入失控發(fā)散或混沌狀態(tài)。< pan>

然而，真實世界中的系統(tǒng)都是由大量組件通過復(fù)雜的相互作用連接而成的。這些相互作用受到多種參數(shù)的共同控制，而不是單一參數(shù)。這些系統(tǒng)可以被看作是由許多動力單元（節(jié)點）和加權(quán)或有向連接（邊）構(gòu)成的高維耦合網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)系統(tǒng)。因此，現(xiàn)實中的系統(tǒng)往往具有高維網(wǎng)絡(luò)化特征，節(jié)點和邊的多重耦合使得傳統(tǒng)的單參數(shù)韌性分析方法無法有效預(yù)測系統(tǒng)的臨界行為。

此外，網(wǎng)絡(luò)可能會受到各種各樣的干擾：

• 節(jié)點干擾：隨機地移除或增加一些節(jié)點；

• 邊干擾：改變邊的連接方式或者調(diào)整邊的權(quán)重；

• 全局干擾：對所有邊的權(quán)重進行統(tǒng)一的調(diào)整。

網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模越大，干擾的組合方式就越多，數(shù)量會呈指數(shù)級增長，這就使得傳統(tǒng)的分析方法在計算成本上變得難以承受。因此，傳統(tǒng)的分岔分析方法很難在合理的時間內(nèi)對整個網(wǎng)絡(luò)進行全面的韌性評估分析。

針對傳統(tǒng)韌性方法在處理高維網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)時面臨的維數(shù)災(zāi)難問題，高建喜、Baruch Barzel、Albert-László Barabási等人提出了基于網(wǎng)絡(luò)理論的通用韌性理論框架——Gao-Barzel-Barabási（GBB）韌性映射方法[1]，利用降維分析的思想，將多維復(fù)雜系統(tǒng)的動態(tài)映射到一維空間，從而有效地解決了傳統(tǒng)方法在高維系統(tǒng)分析中的局限性。具體地，可以通過定義平均鄰居活動水平來表征系統(tǒng)的有效狀態(tài) xeff，如公式（4）所示：

其中1是單位向量， 是輸出加權(quán)度向量， 是輸入加權(quán)度向量。等式右側(cè)的項 ，而 則是加權(quán)平均度。如果鄰接矩陣 Aij 的各項之間相關(guān)性較小，那么利用有效狀態(tài) xeff 就可以將多維問題降為一維問題，其有效狀態(tài)滿足

其中最近鄰加權(quán)度 βeff 可以寫為

因此，微觀描述中 N2 個參數(shù) Aij 被壓縮為一個宏觀韌性參數(shù) βeff 。任何由 Aij 變化引起的系統(tǒng)狀態(tài)變化，都可以通過相應(yīng)的 βeff 的變化一一這一變化由系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)則 F(xi) 和 G(xi, xj) 決定一一來完整表達。如圖4所示，通過將多維系統(tǒng)映射到 β 空間，可以準確預(yù)測其對各種擾動的響應(yīng)以及臨界轉(zhuǎn)變點。

圖4. 多維系統(tǒng)中的網(wǎng)絡(luò)韌性。圖4.d-f，在多維系統(tǒng)中，單個參數(shù)β被復(fù)雜的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)Aij所替代，其特性取決于環(huán)境條件和特定的成對相互作用強度。因此，現(xiàn)在描述向量狀態(tài)x(Aij)的行為的韌性函數(shù)是一個多維流形，這使得分析變得困難。三維圖展示了四節(jié)點系統(tǒng)的韌性平面，顯示了在固定A12和A34情況下的x(A23,A24)。N維系統(tǒng)的完整描述需要一個N2維的平面，追蹤系統(tǒng)狀態(tài)隨所有Aij的變化。圖4.g.表示應(yīng)用GBB韌性映射方法后，d-f中所示的多維流形在β空間中坍縮為一維韌性函數(shù)（藍色和紅色實線）。該函數(shù)的結(jié)構(gòu)及其臨界點（虛線）完全由系統(tǒng)的動態(tài)F(xi)和 G(xi, xj)決定，網(wǎng)絡(luò)拓撲Aij（右）通過方程(6)確定βeff，從而決定了系統(tǒng)的具體狀態(tài)（棕色點）。

為驗證 GBB 韌性映射方法的普適性，研究團隊在不同網(wǎng)絡(luò)類型與動力學(xué)模型中開展了大規(guī)模仿真實驗，具體涵蓋以下三類場景：

1. 生態(tài)二分網(wǎng)絡(luò)場景：以7個真實植物—動物互惠網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，同時納入 ER 隨機網(wǎng)絡(luò)、BA 無標度網(wǎng)絡(luò)、隨機區(qū)塊模型等多種人造網(wǎng)絡(luò)；針對這類網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計節(jié)點刪除（如物種滅絕）、邊刪除（如生態(tài)交互關(guān)系斷裂）、全局權(quán)重調(diào)節(jié)（如環(huán)境因素導(dǎo)致的交互強度變化）三類擾動，模擬真實生態(tài)系統(tǒng)的擾動形式。

2. 特定功能系統(tǒng)場景：針對珊瑚礁生態(tài)系統(tǒng)，采用生態(tài)動力學(xué)方程刻畫其物種間的動態(tài)交互；針對交流電網(wǎng)系統(tǒng)，構(gòu)建 “電壓崩潰” 模型模擬電網(wǎng)運行特性，分別測試 GBB 方法在兩類功能明確的復(fù)雜系統(tǒng)中的適用性。

3. 社會與基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)場景：覆蓋交通路網(wǎng)、通信網(wǎng)絡(luò)等具有典型拓撲結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，進一步拓展 GBB 方法的應(yīng)用邊界。

上述多維度、跨類型的仿真實驗結(jié)果表明，GBB 方法可有效適配不同特性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，充分驗證了其普適性。

總的來說，GBB 韌性方法突破了傳統(tǒng)韌性分析方法的局限性，系統(tǒng)化地研究復(fù)雜系統(tǒng)韌性的多維性和多重解特性，為網(wǎng)絡(luò)韌性的研究提供了有效的手段。

相關(guān)文章推薦：

不完全信息下的韌性估計

要研究網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的韌性，往往需要獲取網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)相關(guān)信息，包括網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)、網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)信息。然而，在現(xiàn)實世界中，要獲取一個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的完整信息是非常困難的。一方面，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模龐大且動態(tài)變化，像互聯(lián)網(wǎng)這樣復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，其節(jié)點和連接關(guān)系數(shù)量龐大、屬性多樣且不斷演變，難以精確測量和實時更新。另一方面，許多網(wǎng)絡(luò)因安全、隱私或商業(yè)原因，部分信息不公開或受限，導(dǎo)致數(shù)據(jù)缺失或不準確。此外，網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)性使得其拓撲結(jié)構(gòu)和動力學(xué)特性持續(xù)變化，進一步增加了獲取完整信息的難度。因此，在不完整信息的條件下研究網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的韌性，已成為當前研究的熱點問題。基于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的兩類信息，該問題可以劃分成三種情況（如圖5所示）：1、未知網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)信息；2、未知網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)信息；3、網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)、網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)信息均未知。對這三種情況，高建喜團隊已經(jīng)開展了相關(guān)研究，下面將介紹他們的研究工作。

圖 5. 不完全信息下的網(wǎng)絡(luò)韌性研究

情況1：未知完整的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)信息

對于網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的信息，往往是可以知道少部分子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)信息，而無法掌握全局結(jié)構(gòu)信息。那么如何從已知的部分拓撲信息去推測整個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的真實穩(wěn)態(tài)？針對這個挑戰(zhàn)，高建喜團隊基于平均場（mean-field）的方法[7]，通過估計網(wǎng)絡(luò)的韌性參數(shù) β ，將未觀測部分的網(wǎng)絡(luò)對觀測部分的影響簡化為一個平均影響，從而能夠從少量觀測節(jié)點（如5個）中恢復(fù)整個網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)。例如森林中的物種生態(tài)系統(tǒng)（如下圖6），假設(shè)有100只動物（節(jié)點），隨機抽取其中5只動物（節(jié)點），那么這5個節(jié)點的度是與原始網(wǎng)絡(luò)的度是接近的，因此可以通過分析這個5個節(jié)點之間的網(wǎng)絡(luò)韌性去估計整體網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)。

圖 6. 基于5個物種的相互作用關(guān)系，預(yù)測包含97個物種的生態(tài)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)豐度 [7]

情況2：未知完整的網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)信息

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力系統(tǒng)中，準確推斷控制參數(shù)對預(yù)測節(jié)點動態(tài)至關(guān)重要，例如基因表達水平、物種豐度或種群密度。許多實際系統(tǒng)往往只能獲取穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)，且這些數(shù)據(jù)常常受到噪聲的干擾。在網(wǎng)絡(luò)規(guī)模很龐大的時候，這種參數(shù)擬合問題也是十分棘手的。針對這些挑戰(zhàn)，高建喜團隊基于通用韌性框架，提出了一種推斷動力學(xué)參數(shù)的方法[8]，該方法通過優(yōu)化代理目標函數(shù)來獲得更準確地近似真實情況的穩(wěn)態(tài)，算法框架如圖7所示。根據(jù)平均場理論，可以給出網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的簡化近似方程，如公式（7）所示：

其中是節(jié)點i 的入度。每個節(jié)點的動態(tài)只依賴于全局有效狀態(tài)xeff, 而不是其他節(jié)點的具體狀態(tài)?；诠剑?）可以構(gòu)造一個代理目標函數(shù)如下：

其中是在參數(shù)θ下通過解耦ODE得到的第i 個節(jié)點的穩(wěn)態(tài)。通過梯度下降法優(yōu)化代理目標函數(shù) ，可以得到滿足使目標函數(shù)最小化的參數(shù)。

圖 7. 優(yōu)化代理函數(shù)，推斷動力學(xué)參數(shù)[8]

雖然目前已有多種方法用于分析網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但這些方法大多基于對節(jié)點動態(tài)和網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的簡化假設(shè)。這種簡化雖然有助于理論分析，卻也在很大程度上限制了這些方法在實際復(fù)雜系統(tǒng)中的應(yīng)用效果。同時，許多現(xiàn)有研究在分析過程中，未能充分結(jié)合實際觀測數(shù)據(jù)，而是主要依賴于理論模型和預(yù)設(shè)的假設(shè)條件。這種依賴可能導(dǎo)致對系統(tǒng)韌性的評估出現(xiàn)偏差，進而影響我們對系統(tǒng)真實穩(wěn)定性的準確把握。針對這些挑戰(zhàn)，高建喜等人提出了一種深度學(xué)習(xí)框架——ResInf [9]，如圖8所示。該框架能夠直接從實際觀測數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)節(jié)點活動動態(tài)和網(wǎng)絡(luò)拓撲的復(fù)雜特征，無需依賴于簡化的理論假設(shè)。ResInf 融合了 Transformer 和 Graph Neural Network 的技術(shù)優(yōu)勢，不僅能夠精準地推斷網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的韌性，還能在低維空間中直觀地可視化系統(tǒng)狀態(tài)。

圖 8. 數(shù)據(jù)驅(qū)動的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)韌性預(yù)測模型ResInf [9]

推薦閱讀文章：

應(yīng)用場景

通用GBB網(wǎng)絡(luò)韌性方法在真實場景有著廣泛的應(yīng)用，下面介紹相關(guān)應(yīng)用工作。

1、政治極化現(xiàn)象研究

在政治領(lǐng)域中存在一種極化現(xiàn)象：不同政治派別或群體之間的觀點、立場和態(tài)度差異逐漸擴大，導(dǎo)致政治分歧加劇，雙方或多方之間的對立和沖突日益明顯，難以達成共識或進行有效合作。圖9展示了新聞媒體網(wǎng)絡(luò)中的極化現(xiàn)象[20]。研究這種現(xiàn)象有助于理解其對民主、社會的負面影響，并為制定緩解策略提供依據(jù)。然而政治極化現(xiàn)象非常復(fù)雜，社會、政治環(huán)境往往是動態(tài)變化的，不容易進行量化分析。

GBB韌性映射方法可以提供一個新的角度去研究政治極化現(xiàn)象的核心機制。Michael等人基于GBB方法的思想，構(gòu)建了一個基于代理（agents）的觀點動力學(xué)模型[10]，模擬兩黨制立法機構(gòu)中代理（代表立法者或政治參與者）的意見動態(tài)。通過“影響”（influence）和“同質(zhì)性”（homophily）機制，代理之間產(chǎn)生相互作用，導(dǎo)致極化加劇或緩解。研究發(fā)現(xiàn)，政治極化存在臨界點，越過該點后，即使面對共同的外部威脅，極化也可能變得難以逆轉(zhuǎn)。黨派認同的增強和對分歧容忍度的降低會加劇極化，而外部沖擊（如共同威脅）可能在一定程度上緩解極化。該模型揭示了政治極化中的臨界點和不可逆性，為理解和應(yīng)對民主治理中的政治分裂提供了新的視角和潛在的干預(yù)手段。

圖 9. 兩個選舉年每個新聞媒體類別的前 25 名影響者節(jié)點的相似性網(wǎng)絡(luò)[20]。

推薦閱讀文章：

交通系統(tǒng)作為存在大量狀態(tài)變化與多重平衡態(tài)的復(fù)雜系統(tǒng)，可通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抽象建模?；诮煌ňW(wǎng)絡(luò)的拓撲性質(zhì)的分析的，能夠科學(xué)地評估其網(wǎng)絡(luò)韌性，為城市交通系統(tǒng)管理提供關(guān)鍵支撐，圖 10 所示的香港多式聯(lián)運公共運輸網(wǎng)絡(luò) [21] 便是典型研究案例。研究交通系統(tǒng)韌性的方法較多，滲流理論是常用手段，其通過移除網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點或連邊來模擬退化過程，進而揭示網(wǎng)絡(luò)受干擾時的行為特征。依托通用的GBB網(wǎng)絡(luò)韌性框架，可進一步挖掘交通網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)在機制，為交通系統(tǒng)韌性分析提供合理支撐。在具體研究實踐中，已有多位學(xué)者基于上述方法開展實證探索，形成了豐富的研究成果：

Zeng等人采用基于滲透理論的模型[11]，通過分析北京和上海的高分辨率GPS交通數(shù)據(jù)，將道路按相對速度分為功能性道路 (Functional roads) 與擁堵道路（failed roads）兩類，計算擁堵道路比例（擁堵率）以評估網(wǎng)絡(luò)性能。此研究發(fā)現(xiàn)城市交通系統(tǒng)存在多個亞穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)及臨界點，揭示了不同擁堵水平下的性能變化規(guī)律; Liu等人提出了基于最大熵模型構(gòu)建城市交通系統(tǒng)的能量景觀[12]，以此來識別隱藏高風(fēng)險狀態(tài)。研究發(fā)現(xiàn)這些未被觀測到的正常狀態(tài)具有高概率進入危險最小值，導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰; Dong等人提出了基于網(wǎng)絡(luò)滲透理論的分析框架[13]，通過定義結(jié)構(gòu)故障（Structural Failure）、功能故障（Functional Failure）和拓撲故障（Topological Failure），量化了洪水對交通網(wǎng)絡(luò)連通性的動態(tài)影，該研究發(fā)現(xiàn)即使是適度的洪水也可能引發(fā)道路網(wǎng)絡(luò)的災(zāi)難性崩潰。這些針對性的實證研究，不僅驗證了前文所述方法的有效性，更深化了對交通系統(tǒng)韌性演化規(guī)律的認知，為城市規(guī)劃和災(zāi)害管理提供了重要的理論支持和決策依據(jù)。

圖10. 香港的多式聯(lián)運公共運輸網(wǎng)絡(luò)[21]。六個子系統(tǒng)包括港鐵（黃色）、輕鐵（藍綠色）、專營巴士（紅色）、綠色專線小巴（綠色）、渡輪（黑色）和電車（藍色）。

推薦閱讀文章：

互惠網(wǎng)絡(luò)（mutualistic networks）是用于描述物種之間互利關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，節(jié)點代表物種，邊代表物種間的互利關(guān)系。例如圖11中的互惠網(wǎng)絡(luò)，植物與傳粉者（如蜜蜂、蝴蝶等）之間的關(guān)系是典型的互惠關(guān)系，植物為傳粉者提供花蜜作為食物，而傳粉者則幫助植物完成授粉確保植物的繁殖。互惠網(wǎng)絡(luò)在生態(tài)系統(tǒng)中起著關(guān)鍵作用，通過物種之間的相互作用，增強生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和韌性。研究互惠網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和動態(tài)可以幫助我們理解生態(tài)系統(tǒng)在面對干擾（如氣候變化、生境破壞等）時的響應(yīng)機制，從而制定更有效的保護策略。

目前已有學(xué)者通過多種模型與技術(shù)開展針對性研究，取得了一系列進展：Zhang等人通過構(gòu)建包含動態(tài)特征的協(xié)同適應(yīng)模型[14]，研究了互惠網(wǎng)絡(luò)在面對物種滅絕時的響應(yīng)機制（即通過調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的連邊權(quán)重來適應(yīng)物種變化），他們研究發(fā)現(xiàn)動態(tài)適應(yīng)模型通過增強網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性顯著提高了網(wǎng)絡(luò)的韌性；Jiang等人利用降維的思想[15]，將高維的生態(tài)互惠網(wǎng)絡(luò)簡化為一個二維動態(tài)系統(tǒng)，通過加權(quán)平均方法處理物種豐度，從而有效地預(yù)測系統(tǒng)在環(huán)境變化下的臨界點，該方法在59個真實的互惠網(wǎng)絡(luò)中得到了驗證；Zhang等人嘗試通過降維方法[16]，將復(fù)雜生態(tài)系統(tǒng)的高維動態(tài)參數(shù)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡化為一維函數(shù)。同時引入恢復(fù)率的縮放因子，使不同互惠系統(tǒng)能在同一尺度上比較其韌性和到臨界點的距離；Wang等人構(gòu)建非線性網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)模型[17]，并結(jié)合網(wǎng)絡(luò)拓撲分析與降維技術(shù)，深入探究了人類開發(fā)活動對互利生態(tài)系統(tǒng)所產(chǎn)生的影響。研究發(fā)現(xiàn)，在人類過度開發(fā)的壓力下，生態(tài)系統(tǒng)會經(jīng)歷安全、部分滅絕、雙穩(wěn)態(tài)、三穩(wěn)態(tài)以及崩潰這五個階段。基于這些發(fā)現(xiàn)，他們進一步提出了以“主動重新引入策略 (active reintroduction strateg) ”為核心的恢復(fù)方法。上述這些工作為生態(tài)保護研究提供了新視角，為生態(tài)系統(tǒng)的防護管理提供了豐富的理論支持。

圖 11. 生態(tài)網(wǎng)絡(luò)的韌性分析[1]

推薦閱讀文章：

韌性控制

許多復(fù)雜系統(tǒng)在面對外部干擾或內(nèi)部故障時，可能會突然從一個穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€不期望的狀態(tài)。這種轉(zhuǎn)變通常是不可預(yù)測的，并一旦發(fā)生，想要讓系統(tǒng)重新回歸健康狀態(tài)，往往需要付出巨大成本，甚至可能陷入 “不可逆” 的困境。例如，湖泊可能從清澈狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楦粻I養(yǎng)化狀態(tài)，森林可能從健康狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橥嘶癄顟B(tài)。那么，面對這樣的挑戰(zhàn)，如何科學(xué)解析復(fù)雜系統(tǒng)的韌性機制，找到高效引導(dǎo)系統(tǒng)恢復(fù)的路徑，就成為了網(wǎng)絡(luò)韌性研究亟待突破的核心問題。這里分別探討兩種情況下的網(wǎng)絡(luò)韌性控制：

1. 外部噪聲擾動下的韌性控制

外部噪聲就像系統(tǒng)的 “意外干擾源”—— 可能是氣候波動對農(nóng)田生態(tài)的影響，也可能是突發(fā)客流對地鐵網(wǎng)絡(luò)的沖擊，這類擾動往往讓系統(tǒng)在 “低穩(wěn)態(tài)”（如農(nóng)田減產(chǎn)、地鐵擁堵）中徘徊。而韌性控制的核心，就是通過調(diào)整關(guān)鍵參數(shù)或引入可控噪聲，幫助系統(tǒng) “跳回” 高穩(wěn)態(tài)。

在一維系統(tǒng)（單變量系統(tǒng)）中，韌性恢復(fù)方法主要關(guān)注：系統(tǒng)在噪聲作用下，從低穩(wěn)態(tài)（一個穩(wěn)定狀態(tài)）恢復(fù)到高穩(wěn)態(tài)（另一個穩(wěn)定狀態(tài)）的過程。這些方法通常會結(jié)合系統(tǒng)的動力學(xué)方程和噪聲特性，來預(yù)測恢復(fù)所需時間。不過，盡管現(xiàn)有研究在理解一維系統(tǒng)韌性恢復(fù)方面有了一定進展，但這些方法很難直接應(yīng)用于高維、非線性的復(fù)雜系統(tǒng) —— 尤其是具有空間擴展特性的系統(tǒng)。這里說的空間擴展系統(tǒng)（Spatially-extended Systems），指的是系統(tǒng)中的變量會在空間中分布，且變量之間存在相互作用，通常用網(wǎng)絡(luò)或格點模型來描述：每個節(jié)點代表一個變量，節(jié)點間的連接（邊）則是 “紐帶”，代表變量間的相互作用，以及物質(zhì)、能量或信息的流動。這類系統(tǒng)在生活中很常見，比如城市系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等二維空間擴展系統(tǒng)，都能用網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)方程來描述。下面的圖 12 展示的就是一個空間擴展生態(tài)網(wǎng)絡(luò) [22]，其中的節(jié)點表示具有特定生態(tài)功能的空間單元（像森林斑塊、濕地、河流段等）。

針對空間擴展系統(tǒng)的韌性恢復(fù)難題，高建喜等人基于成核理論（Nucleation Theory）提出了一種通用的韌性恢復(fù)方法[18]。他們重點研究了空間擴展系統(tǒng)中的局部轉(zhuǎn)變過程（類似物理中的核化現(xiàn)象，即系統(tǒng)在噪聲作用下從低穩(wěn)態(tài)向高穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變）及其傳播機制—— 高穩(wěn)態(tài)區(qū)域會通過與周圍區(qū)域的相互作用逐漸擴展。通過這種方法，他們量化了系統(tǒng)局部轉(zhuǎn)變的能力和所需時間，提出了一個普適的標度律來描述恢復(fù)時間與系統(tǒng)參數(shù)（如系統(tǒng)大小、噪聲強度）之間的關(guān)系?；谶@些發(fā)現(xiàn)，他們進一步提出了具體的韌性控制方案：通過調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)（如捕撈率、營養(yǎng)加載率等）或者適當引入噪聲，可以改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性和恢復(fù)能力。這種方法不僅適用于生態(tài)系統(tǒng)，還可以推廣到其他具有多變量、空間擴展特性的復(fù)雜系統(tǒng)，為理解和控制復(fù)雜系統(tǒng)的韌性恢復(fù)提供了理論支持。

圖 12. 空間擴展生態(tài)網(wǎng)絡(luò)[22]

2. 系統(tǒng)內(nèi)部故障下的韌性控制

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在遭受節(jié)點或鏈接的刪除、鏈接強度減弱等拓撲結(jié)構(gòu)損傷后，往往會從一個功能狀態(tài)突然轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€非功能狀態(tài)。這種轉(zhuǎn)變通常是不可逆的，因為即使恢復(fù)了受損的拓撲結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)也可能由于滯后現(xiàn)象而無法自發(fā)恢復(fù)其失去的功能。例如基因突變或藥物干擾可能導(dǎo)致某些蛋白質(zhì)的功能喪失，進而破壞蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)；腦部損傷、神經(jīng)退行性疾病（如阿爾茨海默病、帕金森病）或藥物濫用可能導(dǎo)致神經(jīng)元的死亡或突觸連接的丟失，從而破壞腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)；自然災(zāi)害（如地震、颶風(fēng)）、設(shè)備故障或人為攻擊可能導(dǎo)致某些節(jié)點或連接的損壞，從而破壞電力網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)，引發(fā)停電事故。那么如何恢復(fù)因拓撲結(jié)構(gòu)損傷而失去功能的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)呢？

為了應(yīng)對這一挑戰(zhàn)，高建喜等人基于網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)模型，提出了一種創(chuàng)新的兩步恢復(fù)方案[19]：第一步是拓撲重構(gòu)（Restructuring），通過重新引入丟失的節(jié)點和鏈接、增強現(xiàn)有鏈接權(quán)重等方式，把網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重拓撲修復(fù)到“能被重新激活的基礎(chǔ)狀態(tài)”（無需完全復(fù)原原始拓撲）；第二步是動態(tài)干預(yù)（Reigniting），通過控制少數(shù)節(jié)點的活動，施加滿足臨界強度的外部驅(qū)動，重新激活系統(tǒng)功能。這種方法不僅在理論模型中得到了驗證，還在細胞動力學(xué)、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)、腸道菌群等實際生物系統(tǒng)中展現(xiàn)出顯著應(yīng)用潛力，為恢復(fù)受損的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)提供了新的思路。

圖13. 恢復(fù)崩潰的網(wǎng)絡(luò)[19]

推薦閱讀文章：

結(jié)語

本文較為系統(tǒng)梳理了高建喜團隊提出的網(wǎng)絡(luò)韌性通用方法，綜述了相關(guān)研究的核心進展，涵蓋不完全信息下的韌性分析、網(wǎng)絡(luò)韌性的真實應(yīng)用及韌性控制等關(guān)鍵方向。這套 GBB 通用框架為真實系統(tǒng)的臨界狀態(tài)預(yù)警與恢復(fù)控制提供了扎實的理論支撐，也為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)韌性領(lǐng)域的后續(xù)研究提供了重要參考。未來，隨著網(wǎng)絡(luò)韌性研究與人工智能、大數(shù)據(jù)技術(shù)的深度融合，我們還將迎來更多可能：為供應(yīng)鏈設(shè)計 “抗擾動拓撲”，讓極端天氣下的物資運輸仍能暢通；為腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 “修復(fù)模型”，為治療神經(jīng)退行性疾病提供新的思路；為能源網(wǎng)格優(yōu)化 “動態(tài)干預(yù)方案”，讓電力供應(yīng)在設(shè)備故障時實現(xiàn)快速自愈。這些研究的價值，不僅在于揭示復(fù)雜系統(tǒng)的運行規(guī)律，更在于賦予我們 “設(shè)計韌性”“控制風(fēng)險” 的能力 —— 讓每一張網(wǎng)絡(luò)都能在挑戰(zhàn)面前保持彈性，讓我們的世界在變化中始終行穩(wěn)致遠。

參考文獻

1. Gao J, Barzel B, Barabási AL (2016). Universal resilience patterns in complex networks. Nature 530(7590):307–312.

2. Barzel B, Barabási A L. Universality in network dynamics[J]. Nature physics, 2013, 9(10): 673-681.

3. Emergent stability in complex network dynamics

4. Reorganizing A New Generation Airline Network Based on An Ant-Colony Optimization-Inspired Small-World Network (圖1來源）

5. Liu, Xueming, et al. "Network resilience." Physics Reports 971 (2022): 1-108.

6. 馬知恩, 周義倉, 李承治. 常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M]. 科學(xué)出版社, 2001.

7. Jiang, Chunheng, Jianxi Gao, and Malik Magdon-Ismail. "True nonlinear dynamics from incomplete networks." Proceedings of the AAAI Conference on Artificial Intelligence. Vol. 34. No. 01. 2020.

8. Ding Y, Gao J, Magdon-Ismail M (2024). Efficient parameter inference in networked dynamical systems via steady states: A surrogate objective function approach integrating mean-field and nonlinear least squares. Phys. Rev. E .

9. Liu C, Xu F, Gao C, Wang Z, Li Y, Gao J (2024). Deep learning resilience inference for complex networked systems. Nat. Commun.

10. Macy MW, Ma M, Tabin DR, Gao J, Szymanski BK (2021). Polarization and tipping points. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 118(50):e2114333118.

11. Zeng G, Gao J, Shekhtman L, Guo S, Lv W, Wu J, Liu H, et al. (2020). Multiple metastable network states in urban traffic. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 117(30):17528–17534.

12. Liu S, Bai M, Guo S, Gao J, Sun H, Gao Z, Li D (2025). Hidden high-risk states identification from routine urban traffic. PNAS Nexus .

13. Dong S, Gao X, Mostafavi A, Gao J (2022). Modest flooding can trigger catastrophic road network collapse due to compound failure. Commun. Earth Environ. 3(1):1–10.

14. Zhang, Huixin, et al. "Co-adaptation enhances the resilience of mutualistic networks." Journal of the Royal Society Interface 17.168 (2020): 20200236.

15. Jiang J, et al. (2018). Predicting tipping points in mutualistic networks through dimension reduction. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 115(4):E639–E647.

16. Zhang H, Wang Q, Zhang W, Havlin S, Gao J (2022). Estimating comparable distances to tipping points across mutualistic systems by scaled recovery rates. Nat. Ecol. Evol. 6:1–13.

17. Wang G, Liu X, Xiao Y, Yuan Y, Pan L, Guan X, Gao J, Zhang H (2024). Extinction chains reveal intermediate phases between the safety and collapse in mutualistic ecosystems. Engineering 43:89–98.

18. Ma C, Korniss G, Szymanski BK, Gao J (2021). Universality of noise-induced resilience restoration in spatially extended ecological systems. Commun. Phys. 4(1):1–12.

19. Sanhedrai H, Gao J, Bashan A, Schwartz M, Havlin S, Barzel B (2022). Reviving a failed network through microscopic interventions. Nat. Phys. 18:1–12.

20. Flamino J, Galeazzi A, Feldman S, et al. Political polarization of news media and influencers on Twitter in the 2016 and 2020 US presidential elections[J]. Nature Human Behaviour, 2023, 7(6): 904-916.

21. Xu Z, Chopra S S. Interconnectedness enhances network resilience of multimodal public transportation systems for Safe-to-Fail urban mobility[J]. Nature communications, 2023, 14(1): 4291.

22. Gonzalez A, Thompson P, Loreau M. Spatial ecological networks: planning for sustainability in the long-term[J]. Current opinion in environmental sustainability, 2017, 29: 187-197.

參考文獻可上下滑動查看

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)讀書會

集智俱樂部聯(lián)合合肥工業(yè)大學(xué)物理系教授李明、同濟大學(xué)副教授張毅超、北京師范大學(xué)特聘副研究員史貴元與在讀博士生邱仲普、張章共同發(fā)起 。本次讀書會將探討：同步相變的臨界性、如何普適地刻畫多穩(wěn)態(tài)與臨界點、如何識別并預(yù)測臨界轉(zhuǎn)變、如何通過局部干預(yù)來調(diào)控系統(tǒng)保持或回到期望穩(wěn)態(tài)、爆炸逾滲臨界行為的關(guān)鍵特征、不同類型的級聯(lián)過程對逾滲相變的影響有何異同、高階相互作用的影響能否等效為若干簡單機制的疊加、如何有效地促進人類個體間的合作等問題。讀書會已完結(jié)，現(xiàn)在報名可加入社群并解鎖回放視頻權(quán)限。

詳情請見：

1.

2.

3.

4.

5.

6.