導(dǎo)語(yǔ)

為了理解復(fù)雜系統(tǒng)中的自組織和涌現(xiàn)現(xiàn)象，近期，復(fù)雜系統(tǒng)和非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的知名學(xué)者、美國(guó)加州大學(xué)戴維斯分校物理系教授 James P. Crutchfield 與合作者在 Physics Reports 發(fā)表綜述文章，基于內(nèi)在計(jì)算（intrinsic computation）和演化算子（evolution operators）構(gòu)建了一套新的自組織現(xiàn)象研究框架——關(guān)于涌現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)力學(xué)（ statistical mechanics of emergence）。涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)通過(guò)分析系統(tǒng)中不同層次的相互作用，揭示了宏觀行為與微觀機(jī)制之間的復(fù)雜關(guān)系，從而能夠處理跨越多個(gè)尺度的復(fù)雜系統(tǒng)。

研究領(lǐng)域：非平衡熱力學(xué)，模式形成，自組織，涌現(xiàn)，內(nèi)在計(jì)算，演化算子，熵產(chǎn)生

龔銘康| 編譯

論文題目：On principles of emergent organization 論文地址：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157324001327 期刊名稱(chēng)：Physics Reports

自20世紀(jì)起，自組織現(xiàn)象逐漸成為物理學(xué)和復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)的研究熱點(diǎn)之一。對(duì)自組織現(xiàn)象的描述挑戰(zhàn)了傳統(tǒng)熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)，因?yàn)檫@些現(xiàn)象并不總是符合平衡態(tài)熱力學(xué)的經(jīng)典理論。近年來(lái)，隨著對(duì)自組織理論的研究逐漸深入，許多重要概念已經(jīng)逐漸明晰，這篇由Crutchfield等撰寫(xiě)的綜述文章詳細(xì)介紹了自組織理論研究的歷史和現(xiàn)狀，并基于內(nèi)在計(jì)算 （intrinsic computation） 和演化算子 （evolution operators） 構(gòu)建了一個(gè)新的自組織現(xiàn)象研究框架。

James P. Crutchfield，復(fù)雜系統(tǒng)和非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的知名學(xué)者，目前是美國(guó)加州大學(xué)戴維斯分校物理系的教授。

1. 自組織研究的背景與挑戰(zhàn)

在自然界和人造系統(tǒng)中，遠(yuǎn)離平衡態(tài)的系統(tǒng)常常表現(xiàn)出驚人的自組織行為。例如，貝納德不穩(wěn)定性是一種典型的現(xiàn)象，當(dāng)流體在加熱時(shí)會(huì)形成規(guī)則的六邊形對(duì)流單元。這個(gè)現(xiàn)象展示了一個(gè)簡(jiǎn)單系統(tǒng)在外部驅(qū)動(dòng)下如何通過(guò)自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺而產(chǎn)生有序結(jié)構(gòu)。這類(lèi)現(xiàn)象廣泛存在于自然界，從晶體的形成到生物體的模式發(fā)育，再到天氣系統(tǒng)中的風(fēng)暴和行星氣旋。然而，盡管這些現(xiàn)象看似簡(jiǎn)單，其背后的物理機(jī)制卻非常復(fù)雜。

對(duì)稱(chēng)性破缺是理解自組織的一個(gè)關(guān)鍵概念。物理學(xué)中，對(duì)稱(chēng)性破缺指的是一個(gè)系統(tǒng)從高對(duì)稱(chēng)性狀態(tài)向低對(duì)稱(chēng)性狀態(tài)的轉(zhuǎn)變。舉例來(lái)說(shuō)，貝納德不穩(wěn)定性中，均勻加熱的流體層具有高度的對(duì)稱(chēng)性，但隨著溫度梯度的增加，流體不再均勻地流動(dòng)，而是形成了穩(wěn)定的六邊形對(duì)流單元。這種結(jié)構(gòu)的形成即是對(duì)稱(chēng)性破缺的結(jié)果。

然而，盡管對(duì)稱(chēng)性破缺為理解自組織提供了一個(gè)基本框架，它在處理復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)卻顯得力不從心。復(fù)雜系統(tǒng)中的自組織往往涉及多個(gè)尺度的相互作用和不同的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，傳統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性分析在這些情況下難以適用。模式形成（Pattern formation） 理論是目前研究自組織的一種有力工具，但其在面對(duì)遠(yuǎn)離平衡態(tài)的復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)也面臨挑戰(zhàn)。具體而言，模式形成理論主要關(guān)注小擾動(dòng)的增長(zhǎng)如何導(dǎo)致特定結(jié)構(gòu)的形成，但對(duì)于復(fù)雜的、多尺度的自組織現(xiàn)象，顯得捉襟見(jiàn)肘。

要理解遠(yuǎn)離平衡態(tài)的復(fù)雜自組織現(xiàn)象，僅僅依靠傳統(tǒng)的物理理論是不夠的。傳統(tǒng)的還原論方法試圖通過(guò)將系統(tǒng)分解為簡(jiǎn)單的部分來(lái)理解整體行為，這種方法在處理復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)顯得無(wú)力。復(fù)雜系統(tǒng)通常具有涌現(xiàn)（emergence） 現(xiàn)象，即系統(tǒng)整體的行為不能簡(jiǎn)單地歸結(jié)為各部分行為的總和。涌現(xiàn)是自組織現(xiàn)象中的一個(gè)重要概念，表明系統(tǒng)在宏觀尺度上展示出與微觀規(guī)則完全不同的行為模式。

為了理解復(fù)雜系統(tǒng)中的涌現(xiàn)和自組織，現(xiàn)代物理學(xué)家和復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)家開(kāi)始轉(zhuǎn)向新的數(shù)學(xué)框架：涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)（statistical mechanics of emergence） 。內(nèi)在計(jì)算和演化算子是這一新框架中至關(guān)重要的兩種工具。

2. 演化算子：揭示動(dòng)力系統(tǒng)的隱藏結(jié)構(gòu)

演化算子，如Koopman算子和Perron-Frobenius算子，為分析動(dòng)力系統(tǒng)提供了一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。這些算子通過(guò)在高維空間中分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化，捕捉到系統(tǒng)中隱藏的結(jié)構(gòu)和模式。

Koopman 算子是一種線性算子，可以作用于非線性系統(tǒng)，并在線性空間中描述系統(tǒng)的演化。這種方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)在于，它能夠在希爾伯特空間中捕捉到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的本征特性，而這些特性往往是復(fù)雜自組織現(xiàn)象的核心所在。

Perron-Frobenius算子則通過(guò)描述概率密度的演化來(lái)捕捉系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。這種方法特別適用于分析隨機(jī)性較高的系統(tǒng)。通過(guò)對(duì)這些算子的本征函數(shù)和本征值的分析，可以揭示出系統(tǒng)中長(zhǎng)時(shí)間尺度上的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。這種分析方法不僅適用于物理系統(tǒng)，也能擴(kuò)展到生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等其他領(lǐng)域，幫助理解這些領(lǐng)域中的自組織現(xiàn)象。

3. 內(nèi)在計(jì)算：預(yù)測(cè)復(fù)雜系統(tǒng)中的自組織

內(nèi)在計(jì)算提供了一種從預(yù)測(cè)角度理解自組織的途徑。內(nèi)在計(jì)算的核心思想是預(yù)測(cè)等價(jià)性（predictive equivalence） ，即系統(tǒng)的歷史能夠用來(lái)預(yù)測(cè)其未來(lái)行為的程度。通過(guò)構(gòu)建預(yù)測(cè)模型，內(nèi)在計(jì)算能夠識(shí)別系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)，并量化這些結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和穩(wěn)定性。這個(gè)框架使得我們能夠?qū)⒆越M織視為系統(tǒng)中規(guī)律性和規(guī)則性的涌現(xiàn)，而這些規(guī)律性和規(guī)則性是系統(tǒng)在特定的初始條件和外部驅(qū)動(dòng)下自發(fā)形成的。

內(nèi)在計(jì)算的一個(gè)重要應(yīng)用是在理解從完全規(guī)則到完全無(wú)序之間的組織結(jié)構(gòu)。比如，木星的大紅斑是一個(gè)經(jīng)典的自組織現(xiàn)象，其規(guī)模和穩(wěn)定性無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單的流體力學(xué)方程直接解釋。然而，內(nèi)在計(jì)算能夠通過(guò)分析該現(xiàn)象的歷史數(shù)據(jù)，構(gòu)建出一個(gè)能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)其未來(lái)行為的模型，從而揭示出其背后的自組織機(jī)制。

4. 涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)：超越還原論的新框架

通過(guò)結(jié)合演化算子和內(nèi)在計(jì)算，我們可以期望建立起一種新的涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)。傳統(tǒng)的還原論方法試圖通過(guò)解析系統(tǒng)的基本方程來(lái)理解其行為，但復(fù)雜系統(tǒng)的一個(gè)顯著特點(diǎn)是其行為無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單的方程描述。涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)提供了一種超越傳統(tǒng)還原論的方法，它不依賴(lài)于事先指定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)或封閉形式的運(yùn)動(dòng)方程，而是通過(guò)分析系統(tǒng)行為本身，提取出其背后的組織結(jié)構(gòu)。

在涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)中，復(fù)雜系統(tǒng)的行為被視為由多種相互作用的動(dòng)力學(xué)機(jī)制所驅(qū)動(dòng)。這些機(jī)制可能包括確定性的動(dòng)力學(xué)、隨機(jī)性和外部驅(qū)動(dòng)的相互作用。涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的目標(biāo)是通過(guò)分析這些相互作用，揭示系統(tǒng)中組織結(jié)構(gòu)的形成機(jī)制。

這一方法的一個(gè)關(guān)鍵特點(diǎn)是它能夠處理跨越多個(gè)尺度的復(fù)雜系統(tǒng)。復(fù)雜系統(tǒng)的一個(gè)典型特點(diǎn)是其行為在不同的空間和時(shí)間尺度上可能呈現(xiàn)出不同的特征。比如，氣候系統(tǒng)中的大氣循環(huán)、海洋流動(dòng)和生物圈相互作用，使得氣候系統(tǒng)表現(xiàn)出多尺度的復(fù)雜行為。傳統(tǒng)的熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)難以處理這種多尺度的復(fù)雜性，而涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)通過(guò)結(jié)合內(nèi)在計(jì)算和演化算子，為理解這種復(fù)雜行為提供了新的途徑。

5. 生物學(xué)與社會(huì)科學(xué)中的自組織

涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)還在生物學(xué)中具有重要應(yīng)用。例如，在形態(tài)發(fā)生 （morphogenesis） 中，生物體從一個(gè)單細(xì)胞發(fā)育為具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的多細(xì)胞個(gè)體，涉及一系列的自組織過(guò)程。傳統(tǒng)的生物學(xué)理論主要關(guān)注基因的作用，但在形態(tài)發(fā)生中，基因表達(dá)的空間模式和細(xì)胞間的相互作用同樣重要。通過(guò)涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)，可以構(gòu)建出描述這些復(fù)雜相互作用的數(shù)學(xué)模型，從而揭示形態(tài)發(fā)生過(guò)程中的自組織機(jī)制。

另外，社會(huì)科學(xué)中群體行為的研究也可以從涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)中受益。例如，城市的形成、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)以及經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)，都可以看作是復(fù)雜自組織現(xiàn)象。傳統(tǒng)的社會(huì)科學(xué)研究往往依賴(lài)于簡(jiǎn)單的因果關(guān)系模型，而復(fù)雜系統(tǒng)中的群體行為卻往往無(wú)法通過(guò)這些模型解釋。涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)提供了一種新的方法，通過(guò)分析系統(tǒng)中個(gè)體的相互作用和行為模式，揭示出群體行為中的自組織現(xiàn)象。

6. 通向自組織原理之路

涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的一個(gè)重要貢獻(xiàn)在于它強(qiáng)調(diào)了系統(tǒng)整體行為與微觀機(jī)制之間的關(guān)系。傳統(tǒng)的物理學(xué)理論通常關(guān)注微觀粒子的行為，并試圖通過(guò)這些微觀行為推導(dǎo)出宏觀現(xiàn)象。然而，在復(fù)雜系統(tǒng)中，宏觀現(xiàn)象往往無(wú)法簡(jiǎn)單地歸因于微觀粒子的行為。涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)通過(guò)分析系統(tǒng)中不同層次的相互作用，揭示了宏觀行為與微觀機(jī)制之間的復(fù)雜關(guān)系。這種方法在理解自然界和人類(lèi)社會(huì)中的復(fù)雜現(xiàn)象方面具有廣泛的應(yīng)用前景。

涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的一個(gè)核心理念是“學(xué)習(xí)”而非“構(gòu)建”。傳統(tǒng)的物理學(xué)方法試圖通過(guò)構(gòu)建一組描述系統(tǒng)行為的基本方程來(lái)理解系統(tǒng)，而涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)則通過(guò)從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)系統(tǒng)的行為模式，提取出系統(tǒng)中的組織結(jié)構(gòu)。這種“數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)”的方法特別適用于復(fù)雜系統(tǒng)，因?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)的行為往往無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單的方程描述，而數(shù)據(jù)卻可以揭示出系統(tǒng)中的潛在規(guī)律。

在實(shí)踐中，涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)可以應(yīng)用于一系列的復(fù)雜系統(tǒng)研究。例如，在生態(tài)系統(tǒng)中，物種之間的相互作用、環(huán)境變化和人為干預(yù)使得生態(tài)系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的自組織行為。通過(guò)涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)，可以分析生態(tài)系統(tǒng)中不同物種的動(dòng)態(tài)關(guān)系，揭示出生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性和多樣性的機(jī)制。

要理解自組織現(xiàn)象，需要超越傳統(tǒng)的物理學(xué)框架，結(jié)合現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具和統(tǒng)計(jì)力學(xué)的方法。涌現(xiàn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)通過(guò)結(jié)合演化算子和內(nèi)在計(jì)算，為理解復(fù)雜系統(tǒng)中的自組織現(xiàn)象提供了新的視角。無(wú)論是在物理學(xué)、生物學(xué)還是社會(huì)科學(xué)中，這一理論框架都展現(xiàn)出了巨大的潛力。

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