精確性與確定性，是數(shù)學(xué)陳述與生俱來(lái)的鮮明標(biāo)志，這一點(diǎn)在學(xué)界乃至大眾認(rèn)知中都無(wú)可爭(zhēng)議。從基礎(chǔ)的算術(shù)運(yùn)算到復(fù)雜的拓?fù)鋷缀?，每一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)都遵循嚴(yán)格的邏輯法則，每一個(gè)數(shù)學(xué)命題的真?zhèn)味加兄鞔_的判斷標(biāo)準(zhǔn)。

然而，當(dāng)我們跳出具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，追問(wèn)“數(shù)學(xué)本身是人類(lèi)的發(fā)明還是對(duì)客觀存在的發(fā)現(xiàn)”這一根本性問(wèn)題時(shí)，原本統(tǒng)一的認(rèn)知便瞬間分裂為針?shù)h相對(duì)的陣營(yíng)。這種充滿思辨性的爭(zhēng)議，本是哲學(xué)領(lǐng)域探討存在與認(rèn)知、主觀與客觀關(guān)系的經(jīng)典議題，卻因數(shù)學(xué)這一極具客觀性的學(xué)科而變得更加復(fù)雜多元。事實(shí)上，“數(shù)學(xué)是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)”絕非非此即彼的簡(jiǎn)單選擇題，而是一個(gè)橫跨哲學(xué)、數(shù)學(xué)、認(rèn)知科學(xué)與人類(lèi)學(xué)的跨學(xué)科課題，它不僅關(guān)乎我們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，更牽涉到人類(lèi)認(rèn)知邊界、文明發(fā)展路徑等深層命題，顯然無(wú)法僅憑數(shù)學(xué)學(xué)科自身的邏輯體系直接給出答案。

要理清這一爭(zhēng)議，首先需要明確“發(fā)明”與“發(fā)現(xiàn)”的核心差異。從概念內(nèi)涵來(lái)看，“發(fā)現(xiàn)”的本質(zhì)是對(duì)已有存在的探尋與揭示，它暗示著在人類(lèi)心智之外，存在著一個(gè)真實(shí)的、獨(dú)立的“數(shù)學(xué)世界”——無(wú)論是具象的物理宇宙背后的規(guī)律，還是抽象的超驗(yàn)領(lǐng)域中的法則，數(shù)學(xué)的任務(wù)只是像探險(xiǎn)家測(cè)繪未知疆域一樣，將這些早已存在的規(guī)律挖掘出來(lái)。而“發(fā)明”則聚焦于人類(lèi)心智的創(chuàng)造性活動(dòng)，它強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是人類(lèi)為了理解世界、解決問(wèn)題而構(gòu)建的思維工具，無(wú)論是具體的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算規(guī)則，還是完整的理論體系，都是人類(lèi)主觀建構(gòu)的產(chǎn)物，而非對(duì)客觀存在的直接映射。

兩種觀點(diǎn)的分歧，本質(zhì)上是對(duì)“數(shù)學(xué)對(duì)象的本體論地位”的不同認(rèn)知：數(shù)學(xué)對(duì)象是獨(dú)立于人類(lèi)認(rèn)知的客觀存在，還是依賴于人類(lèi)思維的主觀構(gòu)造？正是這一核心分歧，衍生出了綿延至今的學(xué)術(shù)爭(zhēng)論。

在這場(chǎng)爭(zhēng)論中，學(xué)界形成了兩大主流陣營(yíng)，同時(shí)也存在一種調(diào)和性的觀點(diǎn)。一部分學(xué)者秉持柏拉圖主義立場(chǎng)，堅(jiān)定地認(rèn)為數(shù)學(xué)是“發(fā)現(xiàn)”；另一部分學(xué)者則站在形式主義的角度，主張數(shù)學(xué)是“發(fā)明”。此外，還有一種更具包容性的觀點(diǎn)逐漸獲得更多認(rèn)同：“數(shù)學(xué)是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)”本身就是一個(gè)偽命題，因?yàn)閿?shù)學(xué)兼具發(fā)明與發(fā)現(xiàn)的雙重屬性——通常情況下，數(shù)學(xué)概念是人類(lèi)的發(fā)明，而基于這些概念推導(dǎo)得出的定理與規(guī)律，則是對(duì)概念間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的發(fā)現(xiàn)。為了更清晰地闡釋這一觀點(diǎn)，我們將在后續(xù)的論述中，以歐幾里得提出的黃金分割率為核心例證，深入剖析數(shù)學(xué)如何在人類(lèi)的創(chuàng)造性建構(gòu)與客觀規(guī)律的探尋中實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一。

觀點(diǎn)一：數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)——對(duì)客觀數(shù)學(xué)世界的探尋

柏拉圖主義是“數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)”這一觀點(diǎn)的哲學(xué)根基。柏拉圖認(rèn)為，在可感知的物理世界之外，存在著一個(gè)永恒的、完美的“理念世界”，而數(shù)學(xué)對(duì)象正是這一理念世界的重要組成部分。人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)的研究，本質(zhì)上就是通過(guò)理性思維去洞察和發(fā)現(xiàn)理念世界中早已存在的數(shù)學(xué)規(guī)律。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)界，許多頂尖學(xué)者都傳承了這一思想，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿蘭·孔涅（Alain Connes）便是其中的典型代表?？啄菙?shù)學(xué)界的傳奇人物，先后斬獲了菲爾茲獎(jiǎng)（1982年）與克拉夫德獎(jiǎng)（2001年）這兩項(xiàng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最高榮譽(yù)，其學(xué)術(shù)成就涵蓋算子代數(shù)、非交換幾何等多個(gè)前沿領(lǐng)域?；谧陨砩詈竦臄?shù)學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)，孔涅清晰地表達(dá)了自己的柏拉圖主義立場(chǎng)。

孔涅認(rèn)為，質(zhì)數(shù)所構(gòu)成的數(shù)學(xué)世界，遠(yuǎn)比我們身處的物質(zhì)世界更加穩(wěn)定、更加真實(shí)。

在他看來(lái)，數(shù)學(xué)家的工作與探險(xiǎn)家的探險(xiǎn)活動(dòng)有著異曲同工之妙：探險(xiǎn)家通過(guò)實(shí)地考察發(fā)現(xiàn)未知的山川河流、動(dòng)植物種，而數(shù)學(xué)家則通過(guò)邏輯推理與理性思考，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)世界中早已存在的基本事實(shí)與內(nèi)在關(guān)聯(lián)。為了佐證這一觀點(diǎn)，孔涅以質(zhì)數(shù)的研究為例：通過(guò)簡(jiǎn)單的枚舉與計(jì)算，我們可以直觀地感受到質(zhì)數(shù)序列似乎沒(méi)有盡頭，但這只是一種感性認(rèn)知；而數(shù)學(xué)家的核心任務(wù)，便是通過(guò)嚴(yán)格的邏輯論證，證明“存在無(wú)窮多個(gè)質(zhì)數(shù)”這一客觀事實(shí)——這一結(jié)論早在古希臘時(shí)期就由歐幾里得提出并完成證明。

孔涅特別強(qiáng)調(diào)，這一論證過(guò)程具有無(wú)可辯駁的客觀性：即便有一天有人宣稱發(fā)現(xiàn)了“最大的質(zhì)數(shù)”，我們也能依據(jù)已有的數(shù)學(xué)邏輯輕松證明這一說(shuō)法的謬誤。在孔涅眼中，這種不依賴于人類(lèi)主觀意志、具有絕對(duì)確定性的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，與物理世界中那些可觀測(cè)、可驗(yàn)證的客觀現(xiàn)象并無(wú)本質(zhì)區(qū)別，它們都是獨(dú)立于人類(lèi)認(rèn)知之外的真實(shí)存在。

知名數(shù)學(xué)科普作家馬丁·加德納（Martin Gardner）也堅(jiān)定地支持“數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)”的觀點(diǎn)。加德納一生撰寫(xiě)了數(shù)十部數(shù)學(xué)科普著作，以通俗易懂的語(yǔ)言將復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)傳遞給大眾，其作品影響了一代又一代的數(shù)學(xué)愛(ài)好者與研究者。

在加德納看來(lái)，數(shù)與數(shù)學(xué)規(guī)律的存在具有絕對(duì)的獨(dú)立性，無(wú)論人類(lèi)是否能夠認(rèn)識(shí)到它們，它們都客觀地存在于世界之中。為了形象地闡釋這一觀點(diǎn)，加德納曾提出過(guò)一個(gè)風(fēng)趣的設(shè)想：“如果森林中有2只恐龍與另外2只恐龍相遇，不管周?chē)欠裼腥祟?lèi)在觀察，那兒都會(huì)有4只恐龍。但是，愚蠢的熊卻不會(huì)知道?！边@個(gè)看似簡(jiǎn)單的例子，精準(zhǔn)地揭示了數(shù)學(xué)規(guī)律的客觀性：“2+2=4”這一數(shù)學(xué)事實(shí)，并不因人類(lèi)的觀測(cè)與否而改變，也不依賴于人類(lèi)是否發(fā)明了“加法”這一運(yùn)算規(guī)則——它是宇宙間固有的客觀關(guān)聯(lián)，人類(lèi)的工作只是發(fā)現(xiàn)并描述這種關(guān)聯(lián)。

加德納進(jìn)一步指出，當(dāng)人類(lèi)通過(guò)理性思維理解了某個(gè)數(shù)學(xué)概念后，就必然會(huì)面臨一些無(wú)可爭(zhēng)議的客觀事實(shí)，這些事實(shí)是概念本身所蘊(yùn)含的內(nèi)在屬性，與人類(lèi)的主觀認(rèn)知方式無(wú)關(guān)。

例如，當(dāng)我們理解了“自然數(shù)”的概念后，就會(huì)自然地發(fā)現(xiàn)“任意兩個(gè)自然數(shù)的和仍然是自然數(shù)”“存在唯一的最小自然數(shù)1”等客觀規(guī)律；當(dāng)我們掌握了“三角形”的定義后，“三角形內(nèi)角和為180度”“任意兩邊之和大于第三邊”等定理便成為了必然的客觀事實(shí)。這些規(guī)律與定理并非人類(lèi)的主觀創(chuàng)造，而是數(shù)學(xué)概念自身所固有的屬性，人類(lèi)的理性思維只是發(fā)現(xiàn)這些屬性的工具。這種觀點(diǎn)背后蘊(yùn)含著一種深刻的信念：數(shù)學(xué)是對(duì)客觀世界本質(zhì)規(guī)律的抽象反映，它的客觀性決定了它只能被發(fā)現(xiàn)，而不能被發(fā)明。

觀點(diǎn)二：數(shù)學(xué)是發(fā)明——人類(lèi)心智的創(chuàng)造性建構(gòu)

盡管柏拉圖主義的觀點(diǎn)具有強(qiáng)大的說(shuō)服力，但并非所有學(xué)者都認(rèn)同這一立場(chǎng)。許多數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家與認(rèn)知科學(xué)家從人類(lèi)認(rèn)知的局限性、文明發(fā)展的多樣性等角度出發(fā)，提出了相反的觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)是人類(lèi)心智的創(chuàng)造性發(fā)明，是人類(lèi)為了適應(yīng)環(huán)境、解決問(wèn)題而構(gòu)建的思維工具。英國(guó)數(shù)學(xué)家邁克爾·阿蒂亞爵士（Michael Atiyah）便是這一觀點(diǎn)的重要代表。阿蒂亞是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，曾獲得菲爾茲獎(jiǎng)（1966年）與阿貝爾獎(jiǎng)（2004年），其研究成果橫跨代數(shù)幾何、拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)學(xué)物理等多個(gè)領(lǐng)域，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。在為孔涅的著作撰寫(xiě)評(píng)論時(shí)，阿蒂亞表達(dá)了自己對(duì)柏拉圖主義的質(zhì)疑。

阿蒂亞承認(rèn)，每一位數(shù)學(xué)家在研究過(guò)程中，都會(huì)或多或少地感受到整數(shù)、圓等數(shù)學(xué)對(duì)象的“真實(shí)性”，柏拉圖主義的觀點(diǎn)確實(shí)具有很強(qiáng)的吸引力。但他同時(shí)指出，這種“真實(shí)性”并非來(lái)自于獨(dú)立的理念世界，而是源于人類(lèi)對(duì)物理世界的感知與抽象。阿蒂亞提出了一個(gè)極具啟發(fā)性的設(shè)想：如果宇宙是一維的，或者是離散的，那么幾何學(xué)這一數(shù)學(xué)分支是否還能孕育發(fā)展？答案顯然是否定的。

幾何學(xué)的產(chǎn)生，源于人類(lèi)對(duì)二維、三維空間的感知與認(rèn)知——人類(lèi)生活在三維空間中，能夠直觀地感受到平面、立體等幾何形態(tài)，正是這種對(duì)物理空間的體驗(yàn)，為幾何學(xué)的發(fā)明提供了基礎(chǔ)。同樣，整數(shù)與計(jì)數(shù)概念的產(chǎn)生，也與人類(lèi)的生活體驗(yàn)密切相關(guān)：人類(lèi)在長(zhǎng)期的生產(chǎn)生活中，需要對(duì)物品的數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，才逐漸發(fā)明了計(jì)數(shù)的方法與整數(shù)的概念。

為了進(jìn)一步說(shuō)明數(shù)學(xué)的發(fā)明屬性，阿蒂亞還構(gòu)想了一個(gè)極端的場(chǎng)景：假如文明并非誕生于人類(lèi)之中，而是誕生于潛藏在太平洋深處、獨(dú)居且與世隔絕的水母之中，那么它們所構(gòu)建的“數(shù)學(xué)”將會(huì)是什么樣子？水母沒(méi)有個(gè)體的體驗(yàn)，只能通過(guò)身體感知周?chē)鞯倪\(yùn)動(dòng)、溫度與壓力的變化，在這樣的生存環(huán)境中，不存在“離散”的物體，也沒(méi)有計(jì)數(shù)的需求。

因此，水母文明幾乎不可能發(fā)明出整數(shù)、計(jì)數(shù)等數(shù)學(xué)概念，更不可能發(fā)展出基于離散概念的算術(shù)與代數(shù)。阿蒂亞由此得出結(jié)論：“通過(guò)理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人類(lèi)創(chuàng)造了數(shù)學(xué)?！睌?shù)學(xué)并非獨(dú)立于人類(lèi)認(rèn)知的客觀存在，而是人類(lèi)根據(jù)自身的生存體驗(yàn)，對(duì)物理世界進(jìn)行理想化、抽象化處理后所構(gòu)建的思維體系。

語(yǔ)言學(xué)家喬治·萊考夫（George Lakoff）與心理學(xué)家拉斐爾·努涅斯（Rafael Nú?ez）從認(rèn)知科學(xué)的角度，進(jìn)一步佐證了“數(shù)學(xué)是發(fā)明”的觀點(diǎn)。

二人在合著的《數(shù)學(xué)從哪里來(lái)》一書(shū)中，通過(guò)對(duì)人類(lèi)認(rèn)知過(guò)程的深入研究，提出了“具身認(rèn)知”的數(shù)學(xué)觀：數(shù)學(xué)并非純粹的理性產(chǎn)物，而是源于人類(lèi)的身體體驗(yàn)與大腦的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。萊考夫與努涅斯認(rèn)為，人類(lèi)的數(shù)學(xué)思維能力并非與生俱來(lái)的“天賦”，而是在長(zhǎng)期的進(jìn)化過(guò)程中，為了適應(yīng)環(huán)境、解決生存問(wèn)題而逐漸發(fā)展出來(lái)的。例如，人類(lèi)對(duì)“數(shù)量”的感知，源于對(duì)身體部位的計(jì)數(shù)（如用手指計(jì)數(shù)）；對(duì)“空間”的認(rèn)知，源于對(duì)自身與周?chē)矬w位置關(guān)系的體驗(yàn)；對(duì)“運(yùn)算”的理解，源于對(duì)物理動(dòng)作的抽象（如將“合并”的動(dòng)作抽象為“加法”，將“分離”的動(dòng)作抽象為“減法”）。

萊考夫與努涅斯強(qiáng)調(diào)，所有的數(shù)學(xué)概念與理論，都是人類(lèi)通過(guò)“隱喻”這一認(rèn)知工具，從具體的身體體驗(yàn)向抽象的思維領(lǐng)域延伸的結(jié)果。例如，“直線”的概念，是對(duì)“兩點(diǎn)之間最短路徑”這一物理現(xiàn)象的抽象；“函數(shù)”的概念，是對(duì)“一個(gè)量隨另一個(gè)量變化”這一關(guān)系的抽象；“無(wú)窮”的概念，則是對(duì)“不斷延伸、沒(méi)有盡頭”這一身體體驗(yàn)的隱喻延伸。在他們看來(lái)，數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一種“隱喻性的建構(gòu)”，是人類(lèi)心智的創(chuàng)造性發(fā)明，而非對(duì)客觀規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。

“數(shù)學(xué)是發(fā)明”的觀點(diǎn)，還引發(fā)了一個(gè)極具爭(zhēng)議的衍生問(wèn)題：如果數(shù)學(xué)是人類(lèi)的主觀發(fā)明，那么它是否具有普遍性？假如外星文明真的存在，它們所發(fā)明的數(shù)學(xué)體系會(huì)與人類(lèi)的數(shù)學(xué)體系相同嗎？

著名天文學(xué)家卡爾·薩根（Carl Sagan）曾對(duì)此持樂(lè)觀態(tài)度，他在《宇宙》一書(shū)中提出，質(zhì)數(shù)是宇宙間普遍存在的數(shù)學(xué)規(guī)律，任何智能文明都有可能發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)的存在。薩根認(rèn)為，如果人類(lèi)向宇宙中發(fā)射包含質(zhì)數(shù)序列的無(wú)線電信號(hào)，外星文明接收到后，必然能夠識(shí)別出這是智能生命的產(chǎn)物——因?yàn)槿魏巫匀坏奈锢磉^(guò)程都不可能產(chǎn)生如此規(guī)整的質(zhì)數(shù)序列。但這一觀點(diǎn)顯然忽略了數(shù)學(xué)的“發(fā)明屬性”：如果外星文明的生存環(huán)境與認(rèn)知結(jié)構(gòu)與人類(lèi)截然不同，它們可能根本不會(huì)發(fā)明出“質(zhì)數(shù)”這一數(shù)學(xué)概念，自然也就無(wú)法識(shí)別質(zhì)數(shù)序列所蘊(yùn)含的信息。

數(shù)學(xué)物理學(xué)家史蒂芬·沃爾夫拉姆（Stephen Wolfram）則提出了更為激進(jìn)的觀點(diǎn)。他在《一門(mén)新科學(xué)》一書(shū)中指出，人類(lèi)所構(gòu)建的數(shù)學(xué)體系，只是眾多可能的“數(shù)學(xué)范式”中的一種。沃爾夫拉姆認(rèn)為，人類(lèi)之所以選擇基于數(shù)學(xué)公式的法則來(lái)描述自然，是因?yàn)檫@種范式符合人類(lèi)的認(rèn)知習(xí)慣，但這并不意味著它是唯一的、普遍的范式。事實(shí)上，人類(lèi)完全可以使用其他類(lèi)型的法則（如簡(jiǎn)單的計(jì)算機(jī)程序）來(lái)描述自然現(xiàn)象，而這些法則所對(duì)應(yīng)的“數(shù)學(xué)體系”，可能與我們目前所使用的數(shù)學(xué)體系截然不同。在沃爾夫拉姆看來(lái)，人類(lèi)的數(shù)學(xué)只是“數(shù)學(xué)之樹(shù)”上盛開(kāi)的一朵“花朵”，而外星文明可能會(huì)基于自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)明出完全不同的“數(shù)學(xué)花朵”。

還有一些學(xué)者從語(yǔ)言與大腦功能的角度，探討了數(shù)學(xué)的發(fā)明屬性。部分分子生物學(xué)家與認(rèn)知學(xué)家通過(guò)對(duì)大腦功能的研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)能力與語(yǔ)言能力有著密切的關(guān)聯(lián)，二者在大腦的認(rèn)知加工過(guò)程中存在諸多相似之處。換句話說(shuō)，數(shù)學(xué)與語(yǔ)言一樣，都是人類(lèi)文明的產(chǎn)物，是人類(lèi)用于交流與理解世界的工具。法國(guó)神經(jīng)系統(tǒng)學(xué)家讓-皮埃爾·尚熱（Jean-Pierre Changeux）就曾指出：“對(duì)我而言，公理化方法（歐幾里得幾何學(xué)就建立在幾條公理之上）就是與使用大腦相關(guān)的腦功能的表現(xiàn)?！痹谒磥?lái)，歐幾里得幾何學(xué)的公理體系，并非對(duì)客觀空間規(guī)律的絕對(duì)反映，而是人類(lèi)大腦為了簡(jiǎn)化對(duì)空間的認(rèn)知、構(gòu)建有序的思維體系而發(fā)明的規(guī)則。

不過(guò)，這一觀點(diǎn)也面臨著一個(gè)難以回避的疑問(wèn)：如果數(shù)學(xué)與語(yǔ)言都是人類(lèi)的發(fā)明，為何孩子學(xué)習(xí)語(yǔ)言時(shí)相對(duì)輕松，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)卻常常倍感吃力？對(duì)此，認(rèn)知學(xué)家給出的解釋是：語(yǔ)言的發(fā)明是為了滿足日常交流的需求，其規(guī)則與人類(lèi)的日常體驗(yàn)緊密相關(guān)，因此更容易被大腦接受；而數(shù)學(xué)的發(fā)明則是為了滿足抽象思維與邏輯推理的需求，其概念與規(guī)則往往遠(yuǎn)離日常體驗(yàn)，需要大腦進(jìn)行更復(fù)雜的認(rèn)知加工，因此學(xué)習(xí)起來(lái)難度更大。這一差異恰恰說(shuō)明，數(shù)學(xué)是人類(lèi)在語(yǔ)言基礎(chǔ)上，進(jìn)一步抽象、創(chuàng)造出來(lái)的更高級(jí)的思維工具，其發(fā)明屬性更為顯著。

黃金分割率：數(shù)學(xué)發(fā)明與發(fā)現(xiàn)的雙重例證

要破解“數(shù)學(xué)是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)”的爭(zhēng)議，最具說(shuō)服力的方式便是從具體的數(shù)學(xué)案例出發(fā)，分析其背后所蘊(yùn)含的發(fā)明與發(fā)現(xiàn)的雙重屬性。在眾多數(shù)學(xué)概念中，歐幾里得提出的“黃金分割率”無(wú)疑是最理想的例證。黃金分割率不僅是古希臘數(shù)學(xué)的重要成果，更在歷史發(fā)展過(guò)程中被賦予了豐富的文化內(nèi)涵，其形成過(guò)程清晰地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)明性與發(fā)現(xiàn)性的統(tǒng)一。

在歐幾里得的不朽名著《幾何原本》中，黃金分割率有著明確的定義。

《幾何原本》第6卷中記載了黃金分割率的線段分割定義：將一條線段AB分為兩段AC與CB（其中AC>CB），如果較長(zhǎng)線段AC與較短線段CB的比值，等于整條線段AB與較長(zhǎng)線段AC的比值（即AC/CB = AB/AC），那么這種分割方式就被稱為“中末比”。而在《幾何原本》第2卷中，歐幾里得還從面積的角度，對(duì)黃金分割率進(jìn)行了補(bǔ)充定義。這一比例在19世紀(jì)被正式命名為“黃金分割率”，其數(shù)值約為1.618（準(zhǔn)確表達(dá)式為(1+√5)/2）。

或許有人會(huì)疑問(wèn)：世界上存在無(wú)數(shù)種分割線段的方式，歐幾里得為何偏偏要挑選出這種分割方式，并專(zhuān)門(mén)為其下定義、進(jìn)行系統(tǒng)研究？要回答這個(gè)問(wèn)題，就必須回到古希臘的文化背景中，從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與柏拉圖學(xué)派的神秘主義思想中尋找答案。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是古希臘最早的數(shù)學(xué)學(xué)派，他們癡迷于數(shù)的研究，認(rèn)為數(shù)是宇宙的本質(zhì)，一切事物都可以用數(shù)來(lái)解釋。在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的認(rèn)知中，數(shù)不僅具有數(shù)學(xué)意義，還被賦予了道德、性別等文化屬性——他們認(rèn)為奇數(shù)代表男性、善良與完美，偶數(shù)代表女性、邪惡與缺陷。

在眾多數(shù)字中，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)字5有著特殊的偏愛(ài)。他們認(rèn)為，5是第一個(gè)奇數(shù)（3）與第一個(gè)偶數(shù)（2）的和，象征著男性與女性的結(jié)合，因此是愛(ài)情與婚姻的化身。而五角星作為由5條線段組成的圖形，被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派視為兄弟情誼的象征，其內(nèi)部就蘊(yùn)含著黃金分割率的比例關(guān)系。這是黃金分割率第一次出現(xiàn)在人類(lèi)歷史的記載中。如果我們仔細(xì)測(cè)量正五角星中任意一個(gè)三角形的長(zhǎng)邊與底邊的比值，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其比值恰好等于黃金分割率；同時(shí)，正五角星內(nèi)部所包含的正五邊形，其對(duì)角線與邊長(zhǎng)的比值也等于黃金分割率。更重要的是，在古希臘時(shí)期，人們已經(jīng)掌握了用直尺和圓規(guī)繪制正五角星的方法，而這一繪制過(guò)程的核心步驟，就是將一條線段按照黃金分割率進(jìn)行分割。

在畢達(dá)哥拉斯之后，柏拉圖進(jìn)一步賦予了黃金分割率神秘的宇宙學(xué)內(nèi)涵。古希臘人普遍認(rèn)為，宇宙由土、火、空氣、水四種基本元素構(gòu)成，而柏拉圖在其對(duì)話錄《蒂邁歐篇》中，提出了“柏拉圖多面體”的理論，用五種正多面體來(lái)解釋宇宙的結(jié)構(gòu)。這五種正多面體分別是正四面體、立方體（正六面體）、正八面體、正十二面體和正二十面體，它們是僅有的五種各面均為全等正多邊形、且所有頂點(diǎn)都在同一球面上的凸多面體。柏拉圖將這五種多面體與宇宙的四種基本元素對(duì)應(yīng)起來(lái)：正四面體對(duì)應(yīng)火，立方體對(duì)應(yīng)土，正八面體對(duì)應(yīng)空氣，正二十面體對(duì)應(yīng)水。

對(duì)于剩下的正十二面體，柏拉圖在《蒂邁歐篇》中寫(xiě)道：“對(duì)于剩下的第5種復(fù)合圖形，上帝用它來(lái)代表全部，并給它繡上精美的圖案。”也就是說(shuō)，在柏拉圖眼中，正十二面體是整個(gè)宇宙的象征。值得注意的是，正十二面體的每一個(gè)面都是正五邊形，而正五邊形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的比值恰好是黃金分割率；同時(shí)，正十二面體的體積、表面積等幾何參數(shù)，都可以用黃金分割率的表達(dá)式來(lái)精確計(jì)算。不僅如此，與正十二面體有著密切關(guān)聯(lián)的正二十面體，其幾何結(jié)構(gòu)中也處處蘊(yùn)含著黃金分割率的身影。柏拉圖通過(guò)將正十二面體與宇宙相聯(lián)系，進(jìn)一步提升了黃金分割率的文化地位，使其成為古希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)思想的重要符號(hào)。

從歷史發(fā)展的角度來(lái)看，黃金分割率的形成過(guò)程清晰地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)明屬性。首先，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在觀察正五角星的幾何結(jié)構(gòu)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這一特殊的比例關(guān)系，但他們并沒(méi)有將其抽象為獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念；直到歐幾里得在《幾何原本》中，通過(guò)嚴(yán)格的定義將這一比例關(guān)系從具體的幾何圖形中抽象出來(lái)，并命名為“中末比”，黃金分割率才成為一個(gè)正式的數(shù)學(xué)概念。這一過(guò)程并非對(duì)客觀規(guī)律的簡(jiǎn)單發(fā)現(xiàn)，而是人類(lèi)心智的創(chuàng)造性建構(gòu)——?dú)W幾里得憑借自己的數(shù)學(xué)智慧，從無(wú)數(shù)種線段分割比例中挑選出這一具有特殊文化內(nèi)涵與幾何屬性的比例，對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的分析與研究，并將其納入到歐氏幾何學(xué)的理論體系中。正是這種創(chuàng)造性的抽象與建構(gòu)，使得黃金分割率從一個(gè)偶然發(fā)現(xiàn)的幾何現(xiàn)象，成為了一個(gè)具有廣泛影響力的數(shù)學(xué)概念。

更能體現(xiàn)黃金分割率發(fā)明屬性的，是其文化差異性。通過(guò)對(duì)不同文明數(shù)學(xué)文獻(xiàn)的研究發(fā)現(xiàn)，古代中國(guó)與古印度的數(shù)學(xué)家們，盡管在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得了輝煌的成就（如古代中國(guó)的《九章算術(shù)》、古印度的三角學(xué)研究），但他們始終沒(méi)有發(fā)明出“黃金分割率”這一獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念。在古代中國(guó)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，雖然有關(guān)于線段分割、幾何圖形的研究，但從未對(duì)黃金分割率進(jìn)行過(guò)明確的定義與系統(tǒng)的探討；古印度的數(shù)學(xué)家在研究三角學(xué)定理時(shí)，雖然曾隱約涉及到黃金分割率的比例關(guān)系，但也沒(méi)有將其抽象為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念。這一現(xiàn)象充分說(shuō)明，黃金分割率并非宇宙間普遍存在的、等待被發(fā)現(xiàn)的客觀規(guī)律——如果它是客觀存在的，那么不同文明的數(shù)學(xué)家都應(yīng)該能夠“發(fā)現(xiàn)”它；恰恰相反，它是古希臘數(shù)學(xué)家基于自身的文化背景與數(shù)學(xué)需求，所發(fā)明的一個(gè)特殊數(shù)學(xué)概念。

與此同時(shí)，黃金分割率的發(fā)展過(guò)程也展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)屬性。一旦歐幾里得發(fā)明了黃金分割率的概念，并將其納入歐氏幾何學(xué)的體系中，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一系列不依賴于人類(lèi)主觀意志的客觀規(guī)律。例如，黃金分割率的數(shù)值是一個(gè)無(wú)理數(shù)，其準(zhǔn)確表達(dá)式為(1+√5)/2，這一數(shù)值是固定不變的，無(wú)論人類(lèi)是否計(jì)算出它的具體數(shù)值，它都客觀存在；再如，黃金分割率與斐波那契數(shù)列之間存在著密切的關(guān)聯(lián)——斐波那契數(shù)列是指從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和的數(shù)列（1,1,2,3,5,8,13,21,...），如果用斐波那契數(shù)列中的任意一項(xiàng)除以它前面的一項(xiàng)，其結(jié)果會(huì)隨著數(shù)列的遞增而逐漸趨近于黃金分割率。這一關(guān)聯(lián)并非人類(lèi)的主觀創(chuàng)造，而是黃金分割率與斐波那契數(shù)列各自的數(shù)學(xué)屬性所決定的客觀規(guī)律，是人類(lèi)在研究過(guò)程中“發(fā)現(xiàn)”的。

更令人驚嘆的是，黃金分割率不僅存在于數(shù)學(xué)理論之中，還被“發(fā)現(xiàn)”于自然界的諸多現(xiàn)象中。現(xiàn)代科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，在植物的葉序排列中，黃金分割率有著廣泛的應(yīng)用——許多植物的葉片在莖干上的排列方式，遵循著黃金分割率的比例，這種排列方式能夠最大限度地提高葉片接收陽(yáng)光的效率。

例如，向日葵花盤(pán)上的種子排列成螺旋狀，其螺旋線的數(shù)量往往是斐波那契數(shù)列中的數(shù)字，而螺旋線之間的夾角則接近黃金分割率；松果、菠蘿等植物的鱗片排列，也遵循著類(lèi)似的規(guī)律。此外，在部分鋁合金晶體的結(jié)構(gòu)中，科學(xué)家也發(fā)現(xiàn)了黃金分割率的身影。這些自然現(xiàn)象中的黃金分割率，并非人類(lèi)發(fā)明的結(jié)果，而是自然界在長(zhǎng)期進(jìn)化過(guò)程中形成的客觀規(guī)律，人類(lèi)的任務(wù)只是通過(guò)數(shù)學(xué)研究，發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律與黃金分割率之間的關(guān)聯(lián)。