導(dǎo)語

假設(shè)你是電影制片人，你想讓你的電影中的人工鳥群飛的像自然界中的鳥群一樣靈活自然，你會選擇給每個(gè)個(gè)體都先預(yù)設(shè)好飛行路線嗎？在1986年一位計(jì)算機(jī)圖形學(xué)教授（克雷格·雷諾茲 Craig Reynolds）在探索如何讓電影特效中的鳥群飛翔得更自然時(shí)，試圖研究粒子在何種規(guī)則下能呈現(xiàn)出逼真的運(yùn)動軌跡，卻意外揭示了復(fù)雜系統(tǒng)領(lǐng)域中著名的“Boids模型”。國慶閱兵，自己家的小鴿子是跟著鄰鴿飛走了還是給家里“拐帶”了新成員？魚群在海中自由游弋，有固定的領(lǐng)導(dǎo)者嗎？魚群內(nèi)有多種游泳方向選擇的情況下，游向何方？在令人揪心的踩踏事故研究中，為何在出口處合理設(shè)置障礙柱反而能打破擁堵、加快疏散速度？從夜空中絢爛的無人機(jī)表演，到閱兵式上震撼人心的無人系統(tǒng)方陣，這些科技奇觀背后的集群系統(tǒng)究竟隱藏著怎樣的奧秘？古人云“道法自然”，在此處，這所謂的“道”，或許正是那套貫穿于自然生物與人造系統(tǒng)之間，支配著個(gè)體互動與群體涌現(xiàn)的底層法則。

關(guān)鍵詞：自組織、生物集群的多主體建模、唯像描述、集群實(shí)驗(yàn)與應(yīng)用

王稙鑫丨作者

韓戰(zhàn)剛丨審校

作者簡介

唯像描述

談到自然集群，必然有一部分研究者會進(jìn)入大家的視線：動物行為學(xué)的研究者。動物學(xué)不算小眾，到具體的行為則因物種和方向各不相同。當(dāng)做行為的同學(xué)偶爾感慨“做行為就是觀察日記”的時(shí)刻，一個(gè)聽起來小有跨界的場景是：一群理論物理或者是應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究者紛紛攜手自己鐘情的動物在頂刊封面和大家見面。這群人也可以這么形容：一群系統(tǒng)科學(xué)的人從“唯像描述”為起點(diǎn)，紛紛把魚群、鳥群、蟻群、蝗蟲群、蜂群等各種各樣的動物帶到了Nature、Science等期刊封面上。那什么是唯像描述？

何為唯像描述？

唯像理論，是指“解釋物理現(xiàn)象時(shí)，不用其內(nèi)在原因，而是用概括試驗(yàn)事實(shí)而得到的物理規(guī)律。唯像理論是試驗(yàn)現(xiàn)象的概括和提煉，但仍無法用已有的科學(xué)理論體系做出解釋”。對于集群運(yùn)動，基于觀察或者實(shí)驗(yàn)直接得到的宏觀 (群體) 層面的規(guī)律，便是集群運(yùn)動的唯像理論。然而，目前尚缺乏足夠普適的唯像理論，在不同的實(shí)驗(yàn)條件下往往得到不同的規(guī)律：因而稱之為集群運(yùn)動的“唯像描述”更為妥當(dāng)。

唯像描述在科學(xué)史中也有重要意義：

約翰內(nèi)斯·開普勒在17世紀(jì)初提出了三大行星運(yùn)動定律，這些定律是基于對天文觀測的歸納而來的。開普勒沒有深入解析行星運(yùn)動背后的力的原因，而是通過觀察和歸納總結(jié)出以下規(guī)律：

1. 軌道定律：行星沿橢圓軌道圍繞太陽運(yùn)動，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

2. 面積定律：行星與太陽連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。

3. 周期定律：行星的軌道周期的平方與其軌道半長軸的立方成正比。

這些規(guī)律僅僅是基于觀測的總結(jié)，而并沒有揭示行星運(yùn)動背后的動力學(xué)原因。在這個(gè)意義上，開普勒的工作體現(xiàn)了唯像理論的精髓，因?yàn)樗蕾囉趯?shí)驗(yàn)事實(shí)和觀察，而不是深入探討引力的本質(zhì)。牛頓在17世紀(jì)末發(fā)布的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中，提出了萬有引力定律，成功地解釋了開普勒的行星運(yùn)動定律。牛頓不僅給出了行星運(yùn)動的規(guī)律，還揭示了這些運(yùn)動背后的原因——引力。

在集群運(yùn)動研究中，科學(xué)家們可能會遇到類似的情境。實(shí)驗(yàn)中觀察到的群體行為（如鳥群、魚群或人群的運(yùn)動）可以用某些規(guī)律進(jìn)行描述，但這些規(guī)律未必揭示出群體行為背后的機(jī)制。甚至在不同的實(shí)驗(yàn)條件下，可能會得出不同的集合行為規(guī)律。此時(shí)，我們可以稱這些觀察到的規(guī)律為“集群運(yùn)動的唯像描述”。例如，研究者可能發(fā)現(xiàn)集群的密度、速度、相互作用等影響整體表現(xiàn)，但并不知道這些表現(xiàn)的內(nèi)在物理或生物機(jī)制唯像描述提供了一種工具來總結(jié)和預(yù)測這些復(fù)雜現(xiàn)象，但仍需要進(jìn)一步的研究來揭示其本質(zhì)。微觀機(jī)制的科學(xué)性大致取決于兩點(diǎn)：它本身得到什么程度的實(shí)證支持，由機(jī)制推演出的理論結(jié)果得到什么程度的實(shí)證支持。后文中couzin關(guān)于群體中有思想（有知識有經(jīng)驗(yàn)）的個(gè)體先在Nature上有了理論工作，后續(xù)有猿類生物學(xué)家給出了實(shí)證分析，堪稱微觀機(jī)制研究的巧合與典范。（具體可見韓戰(zhàn)鋼老師學(xué)堂在線課程《多主體建?！贰＃?/p>

https://www.xuetangx.com/learn/space/bnuP07111014877/bnuP07111014877/28484872/video/69807635

唯像描述的數(shù)學(xué)工具

1. 個(gè)體的運(yùn)動方向向量（Direction Vector）：方向向量是基于個(gè)體速度的總和計(jì)算得出的，從而揭示出群體的動態(tài)行為。

   。其中，N 是粒子數(shù)，vi(t) 是第 i 個(gè)粒子在時(shí)間 t 的速度向量。這個(gè)方向向量代表了從群體中心cgroup(t) 指向群體的整體運(yùn)動方向。

1. 群體極化度（Polarization Degree）：用來度量粒子群體的整體方向一致性，反映了群體運(yùn)動的極化程度。

   ，其中，N 是粒子數(shù)，vi(t) 是第 i 個(gè)粒子在時(shí)間 t 的速度向量。在生物研究中，lain couzin對魚群做了類似的建模：極化序參量 Op。

。ui 是魚 i 的單位方向向量。Op 的值在 [0, 1] 之間：Op = 0 表示沒有平均對齊（即無序）；Op = 1 則表示所有魚完全對齊（即有序。兩者本質(zhì)是相同的）。

1. 群體角動量（Collective Angular Momentum）：提供了集體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的量度，體現(xiàn)了個(gè)體運(yùn)動對整體旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的貢獻(xiàn)。

。其中，ric 是從集體中心到第 i 個(gè)粒子的位置矢量，表示為：ric =ci -cgroup。集體中心位置計(jì)算公式：，其中，ci(t) 是第 i 個(gè)粒子在時(shí)間 t 的位置向量。

質(zhì)心cgroup 被定義為全部魚的位置向量的平均值，公式如下：

。其中，ci 是魚 i 的位置向量。

類似地，有旋轉(zhuǎn)序參量 Or。

。 其中，ri 是一個(gè)單位向量，指向魚 i 的質(zhì)心。Or 也取值在 [0, 1] 之間：Or = 0 表示沒有旋轉(zhuǎn)（即靜止），Or = 1 則表示強(qiáng)旋轉(zhuǎn)。在討論旋轉(zhuǎn)序參量 Or 時(shí)，單位向量ri 通常是指從魚群的質(zhì)心（center of mass）指向特定魚 i 的位置的向量。 其中， |ci -cgroup|是從魚群的群體質(zhì)心到魚 i 的距離。

1. 集群對稱破缺（Symmetry Breaking）

Altshuler等人在2005年對螞蟻進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)驗(yàn)平臺上有兩個(gè)門時(shí)，蟻群在疏散時(shí)也會出現(xiàn)用一個(gè)門比另一個(gè)門多的對稱破缺現(xiàn)象。我們對此進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)在實(shí)驗(yàn)平臺上放置螞蟻并在兩側(cè)開兩個(gè)門時(shí)，正常情況下，螞蟻會隨機(jī)選擇一個(gè)門和另一個(gè)門各出，而整體統(tǒng)計(jì)來看在隨機(jī)波動下，從兩個(gè)門出去的數(shù)量是基本相等的。然而，若在中間放置驅(qū)蟲劑（如香茅油），螞蟻出于恐慌將會從一個(gè)門集中疏散，導(dǎo)致某個(gè)門的疏散數(shù)量明顯多于另一個(gè)門，這就是一種對稱破缺現(xiàn)象。

1. 集群規(guī)模與集群數(shù)量（Cluster Size and Number）

集群規(guī)模和數(shù)量描述了系統(tǒng)中形成的集群的特征。集群規(guī)?？梢远x為其包含的粒子數(shù)。

1. 空間關(guān)聯(lián)（Spatial Correlations）和標(biāo)度律

空間關(guān)聯(lián)分析用于研究粒子間的位置和運(yùn)動的相互影響，描述粒子在空間中的相關(guān)性。可以聯(lián)想信號與系統(tǒng)中的自相關(guān)互相關(guān)函數(shù)來加以理解。

空間關(guān)聯(lián)函數(shù) C(r) 通常表示為：

，其中 δ(r - rij) 是一個(gè)平滑的 Dirac δ-函數(shù)，用于選擇相互距離為的r“鳥對”， 和 c0 是一個(gè)歸一化因子（單位為 m2 · s-2），使得 C(r=0) = 1。相關(guān)函數(shù)測量鳥在距離r處的速度波動的平均內(nèi)積。

C(r) 的大值意味著波動幾乎是平行的，因此強(qiáng)相關(guān)。相反，當(dāng)波動是反平行的，因此是反相關(guān)時(shí)，相關(guān)函數(shù)會有負(fù)值。另一方面，當(dāng)波動不相關(guān)，指向隨機(jī)方向時(shí)，相關(guān)函數(shù)的平均值趨近于零。

空間關(guān)聯(lián)是在研究這樣的問題：一種動物的行為狀態(tài)變化會影響并受到群體中其他所有動物行為狀態(tài)變化的影響,他們互相之間的尺度問題是怎樣的？比如魚群中的個(gè)體是一個(gè)個(gè)體只能影響周圍還是影響一群（無論群體的規(guī)模）。

椋鳥集群運(yùn)動中的個(gè)體速度矢量和速度波動矢量

標(biāo)度是指系統(tǒng)特征與其規(guī)模（如大小、長度、時(shí)間等）之間的關(guān)系。標(biāo)度性可以分為以下幾類：

1. 無標(biāo)度（Scale-Free）：這是一個(gè)特殊的標(biāo)度概念，描述系統(tǒng)中某些特征不隨尺度改變而變化。例如，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)連接數(shù)遵循冪律分布，意味著在網(wǎng)絡(luò)中少數(shù)節(jié)點(diǎn)擁有大量連接，而大多數(shù)節(jié)點(diǎn)只有少量連接。在動物群體行為中，無標(biāo)度行為關(guān)聯(lián)意味著個(gè)體的行為會影響其他個(gè)體，無論群體的大小如何。

2. 標(biāo)度變化（Scaling Behavior）：這是指隨著系統(tǒng)規(guī)模的變化，其特定性質(zhì)或行為表現(xiàn)出一定的規(guī)律性。例如，某些物理系統(tǒng)的相變行為可以用標(biāo)度理論來描述，這些行為隨系統(tǒng)的大小或時(shí)間的推移而變化。

3. 分形（Fractal）：這是與標(biāo)度相關(guān)的一個(gè)概念，分形結(jié)構(gòu)在不同的尺度上都顯示出相似的模式。自然界中存在很多分形現(xiàn)象，如山脈、樹木和河流，都是在不同尺度上具有自相似性的典型例子。

集群實(shí)驗(yàn)

魚我所欲

法國圖盧茲大學(xué)的泰赫拉斯教授與北京師范大學(xué)的研究人員合作展開了一項(xiàng)關(guān)于魚群U-turn（轉(zhuǎn)向）行為的實(shí)驗(yàn)和模型研究。實(shí)驗(yàn)在一個(gè)環(huán)形魚缸中進(jìn)行，使用相對較少的水以確保魚群能夠在二維平面上自由游動。由于魚缸的設(shè)計(jì)為環(huán)形，實(shí)際上可以理解為魚在一維空間中游動。

研究者選擇了數(shù)量較少的魚群，僅使用5條魚進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以便深入觀察個(gè)體之間的相互作用。當(dāng)魚群數(shù)量較多時(shí)，觀察和建模個(gè)體之間的互動可能會變得復(fù)雜，因此在此實(shí)驗(yàn)中，通過較少數(shù)量的魚來更具體地研究和驗(yàn)證當(dāng)前假設(shè)。

在實(shí)驗(yàn)中，5條魚在魚缸中游動時(shí)，其中一條魚突然會轉(zhuǎn)向反方向游動。這會影響到其他魚，使它們也開始折返，從而形成整個(gè)魚群的U-turn現(xiàn)象。研究團(tuán)隊(duì)通過仔細(xì)觀察和分析，識別出在這些相互作用中，哪條魚對其余魚的行為影響最大，并將影響力進(jìn)行排序，從第一大到第二大、第三大，以此揭示個(gè)體之間的互動關(guān)系。

在這一領(lǐng)域，后續(xù)的研究進(jìn)一步采用機(jī)器人模型來模擬魚群的游動。通過構(gòu)建相應(yīng)的模型，研究者指導(dǎo)機(jī)器人進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)僅需一條具有最大影響力的“魚”即可使機(jī)器人群體行為表現(xiàn)出與真實(shí)魚群U-turn行為相似的模式。這一實(shí)驗(yàn)不僅驗(yàn)證了魚群之間的相互作用，還表明只需一條具有影響力的個(gè)體即可促使整個(gè)群體展現(xiàn)出明顯的U-turn行為。

下文在Couzin模型中，也有魚群的身影。我國系統(tǒng)科學(xué)的領(lǐng)軍高校北京師范大學(xué)也有一支團(tuán)隊(duì)（韓戰(zhàn)剛教授團(tuán)隊(duì)）圍繞著復(fù)雜系統(tǒng)視角下的魚群開展了系列研究，具體內(nèi)容后續(xù)另有專題展開。

鴿（各）有鴿（各）意

匈牙利學(xué)者T. Vicsek等人進(jìn)行了一項(xiàng)關(guān)于鴿子群體飛行的實(shí)驗(yàn)。他們在鴿子的身上安裝了小型差分GPS系統(tǒng)，以跟蹤鴿子在飛行過程中的信號。研究結(jié)果顯示，鴿子在飛行時(shí)出現(xiàn)了前面一只領(lǐng)頭飛行，后面的鴿子則逐級分化成為次領(lǐng)和跟隨者，表明鴿子群體中存在著一種社會結(jié)構(gòu)。

在另一項(xiàng)鳥群飛行的實(shí)驗(yàn)中，戴維·桑普特等人將鴿子從巢穴放飛，分別在10邁和20邁的距離處進(jìn)行放飛。他們發(fā)現(xiàn)單只鴿子的歸巢過程各不相同，有些鴿子能夠直線飛回巢穴；而有些則稍微繞了一下；還有一些鴿子則飛得非常遠(yuǎn)，這些鴿子被稱為“crazy bird”。研究人員隨后繼續(xù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，將鴿子一對一地放飛，觀察它們的歸巢行為。他們發(fā)現(xiàn)，有些鴿子能夠沿著較短的路徑直接飛回巢穴，而有些則稍微偏離了方向。當(dāng)將沿著短路徑飛回來的鴿子與“crazy bird”一起放飛時(shí)，觀察到開始時(shí)這兩只鴿子跟隨“crazy bird”飛行了一段時(shí)間，但經(jīng)過一段時(shí)間后，直線飛行的鴿子最終意識到自己的方向不對，從而選擇在半道上折返，直接飛回了巢穴。這一現(xiàn)象反映了在知識共享的情況下，鴿子個(gè)體之間如何進(jìn)行合作與決策。

蟻亦有慧

實(shí)驗(yàn)人員在螞蟻覓食的路徑上搭建了一個(gè)可折疊的小橋，利用幾個(gè)關(guān)節(jié)來決定橋的高度和角度。當(dāng)螞蟻通過小橋抵達(dá)食物源時(shí)，它們會將食物搬回巢穴。在經(jīng)過一兩次的覓食路徑后，螞蟻會在小橋的中間位置，自組織地搭建起一座蟻橋。螞蟻能夠根據(jù)演化的需要來調(diào)整搭建蟻橋的高度，因?yàn)槿绻罱ǖ眠^高，螞蟻需要走的路徑會變得更長；而如果搭建得過低，則需要使用更多的螞蟻來搭建橋梁。這個(gè)實(shí)驗(yàn)展示了螞蟻在覓食過程中的自組織能力，能夠完成搭建橋梁的任務(wù)，最終通過調(diào)整高度達(dá)到一個(gè)最優(yōu)的狀態(tài)。

集群運(yùn)動的理論建模

群集運(yùn)動建模主要有兩種方法:第一種是基于群體的宏觀方法其建模對象為整個(gè)群體, 采用偏微分方程來描述群體密度場和速度向量場的反應(yīng)-擴(kuò)散現(xiàn)象, 據(jù)此研究群體整體的穩(wěn)定性和運(yùn)動性質(zhì), 該方法通常對個(gè)體的具體交互行為不予考慮, 因而宏觀模型不能從個(gè)體的視角來分析群體行為.

第二種是基于個(gè)體的微觀方法，其建模主體為個(gè)體，通過常微分方程 (連續(xù)型) 或差分方程 (離散型) 來描述個(gè)體的運(yùn) 動及交互規(guī)律, 可同時(shí)考慮運(yùn)動隨機(jī)性、外部環(huán)境影響、個(gè)體的生理及心理特異性等諸多現(xiàn)實(shí)因素, 因而是對群集最直觀和自然的一種建模方法.微觀群集模型均是在討論群集運(yùn)動的發(fā)生機(jī)理問題, 即個(gè)體遵循什么樣的局部交互規(guī)則才能產(chǎn)生協(xié)調(diào)有序的宏觀群集運(yùn)動。

西工大劉明雍老師給出了這樣的分類：

SAC原則是指：

(1) 避撞 (Separation，S): 避免與鄰近個(gè)體發(fā)生碰撞,

(2) 結(jié)隊(duì) (Alignment，A): 與鄰居運(yùn)動 方向保持一致

(3) 聚集 (Cohesion，C): 向周圍鄰居靠攏. 這三者發(fā)揮共同作用, 便可模擬出與實(shí)際鳥群或魚 群頗為相似的集體運(yùn)動形式.

實(shí)際上，SAC這個(gè)名稱來自Boids模型。Boids模型是從Reynolds在1986年發(fā)表的一篇重要論文《Flocks, Herds, and Schools: A Distributed Behavioral Model》提出的。

Boids模型

Boids（bird-oid object），是一種模擬鳥集群行為的計(jì)算機(jī)算法?？死赘瘛だ字Z茲（Craig Reynolds）是一位計(jì)算機(jī)科學(xué)家，以其在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和人工智能領(lǐng)域的工作而聞名，尤其是他于1986年提出的“Boids”模型。這個(gè)模型模仿了鳥類群體的運(yùn)動，成為群體行為模擬中的經(jīng)典案例。當(dāng)時(shí)研究計(jì)算機(jī)動畫的Reynolds等人希望計(jì)算機(jī)動畫的中鳥群不要飛得太不自然，他們希望能夠像自然界的鳥一樣，要做到自然生動。此處餃子導(dǎo)演可能在哪吒2中要大呼同道中人哉。

可以講這是電影人對真實(shí)自然的跨越時(shí)空的共同追求

1986年的Reynolds提出了這些鳥在飛行的時(shí)候互相不能離得太遠(yuǎn)（離得太遠(yuǎn)就飛散了形不成鳥群；鳥之間互相也不能距離過近，飛太近就撞到一起了；距離適中不遠(yuǎn)不近的情況下，鳥兒們要對齊飛行）。這樣就可以形成計(jì)算機(jī)動畫上比較自然的鳥群的飛行的狀態(tài)。也就是上文所簡稱的SAC原則，這就是Boids模型的心路歷程。而在2026年，回頭看央視對哪吒團(tuán)隊(duì)的采訪，從制片人的回答中我們發(fā)現(xiàn)電影中“束縛所有海妖的鎖鏈”這一名場面的達(dá)成也有集群的身影。（電影《哪吒之魔童鬧?！穲?zhí)行制片人劉潘：鎖鏈如何跟這些海妖交互，就是一鍋粥。這個(gè)還不是一個(gè)粗暴地只是解決穿幫的問題。導(dǎo)演想要的是亂中又有序，還要好看。鎖鏈要像頭發(fā)絲一樣在空中隨著風(fēng)，有點(diǎn)微弱的搖曳感。）

Boids模型在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、游戲開發(fā)、生物學(xué)研究、機(jī)器人學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，為模擬和理解群體行為提供了重要的理論基礎(chǔ)。

Vicsek模型

Vicsek模型是一種用于模擬自組織運(yùn)動的二維動力學(xué)模型，尤其是在粒子系統(tǒng)中表現(xiàn)出集體行為，如鳥群、魚群或其他生物群體的運(yùn)動。該模型是由物理學(xué)家 Tamas Vicsek 及其合作者在1995年提出的，旨在研究簡單的局部交互如何導(dǎo)致復(fù)雜的全局行為。

模型的基本假設(shè)為：每個(gè)粒子在每個(gè)時(shí)間步長 t 更新其位置和方向：Xi(t + 1) = Xi(t) + Vi(t) Δt 。其中 Xi(t) 是第 i 個(gè)粒子在時(shí)刻 t 的位置； Vi(t) 是第 i 個(gè)粒子的速度；Δt 是時(shí)間步長。

粒子在每個(gè)時(shí)間步長的運(yùn)動方向更新公式：θ(t + 1) = 〈θ(t) 〉r + Δθ 其中〈θ(t) 〉r 是距離為 r 的鄰域內(nèi)所有粒子的平均方向。Δθ 是一個(gè)隨機(jī)擾動，通常從均勻分布中隨機(jī)選擇。每個(gè)粒子在每個(gè)時(shí)間步長 t 時(shí)更新其方向角度的公式為：θi(t + 1) = 〈θ(t) 〉r + Δθ。

Vicsek模型展示了如何在簡單的局部交互規(guī)則下，粒子能夠自發(fā)形成有序的集體運(yùn)動，例如線性運(yùn)動、旋轉(zhuǎn)、或更復(fù)雜的形狀。

模型生成結(jié)果

微觀群集模型圍繞著局部交互規(guī)則產(chǎn)生協(xié)調(diào)有序的宏觀群集運(yùn)動展開，提出交互規(guī)則只是完成了整個(gè)思考的一部分，根據(jù)規(guī)則產(chǎn)生的結(jié)果則進(jìn)一步佐證了該規(guī)則是否合理。（可回看上文微觀機(jī)制的科學(xué)性的論述）

Couzin三區(qū)模型

Iain Couzin是一位著名的進(jìn)化生態(tài)學(xué)家和動物行為學(xué)家，是馬普所動物行為研究所集群行為系主任，康斯坦茨大學(xué)全職教授。他提出了著名的Couzin模型。

Couzin認(rèn)為每個(gè)個(gè)體試圖在“排斥區(qū)”（zone of repulsion, zor）內(nèi)與其他個(gè)體保持一個(gè)最小距離，該區(qū)域建模為一個(gè)以個(gè)體為中心、半徑為 rr 的球體。如果在時(shí)間 t 時(shí)，排斥區(qū)內(nèi)存在 nr 個(gè)鄰居，個(gè)體 i 的反應(yīng)是遠(yuǎn)離這些鄰居。

左側(cè)為模型示意圖，右側(cè)為模型的結(jié)果

“zone of repulsion” (zor):排斥區(qū)，是一個(gè)球形區(qū)域，個(gè)體試圖保持距離以避免碰撞。

“zone of orientation” (zoo):定向區(qū)，是個(gè)體感知周圍其他個(gè)體并調(diào)整方向的區(qū)域。

“zone of attraction” (zoa):吸引區(qū)，個(gè)體感知并朝向其他個(gè)體的區(qū)域。

“blind volume”:在個(gè)體無法偵測到其他鄰居的區(qū)域，它的范圍由一個(gè)角度 α 和整體方向（360°）組成。

在模型中“排斥區(qū)”的行為規(guī)則是最優(yōu)先的。如果存在鄰居（即0\n"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}"> nr>0），那么個(gè)體的期望方向di(t + τ)將采用排斥區(qū)的計(jì)算結(jié)果dr(t + τ)。

這一公式描述了個(gè)體 i 在時(shí)間 t + τ 的期望方向 dr(t + τ），是通過計(jì)算在“排斥區(qū)”（zone of repulsion）內(nèi)其他 nr 個(gè)體的位置向量的合成，負(fù)號表示個(gè)體 i 會朝離其他個(gè)體遠(yuǎn)離的方向移動，從而保持適當(dāng)?shù)木嚯x。時(shí)間步長 sτ 必須小于排斥區(qū)半徑 rr。

如果在排斥區(qū)不存在鄰居（即nr = 0）

如果鄰居僅在定向區(qū)中（即 n = no），那么個(gè)體 i 的期望方向?qū)⒂啥ㄏ騾^(qū)決定 di(t + τ) = do(t+τ)

如果鄰居僅在僅在吸引區(qū)時(shí)：（即 n = na） 個(gè)體 i 的期望方向

如果鄰居同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)區(qū)域，個(gè)體 i 的期望方向?qū)⑹莾蓚€(gè)方向的平均值

群集運(yùn)動最為突出的特征莫過于大量個(gè)體能夠保持運(yùn)動方向的協(xié)調(diào)一致, 在SAC規(guī)則中, 這主要由結(jié)隊(duì)運(yùn)動完成. 對于現(xiàn)有的SAC群集模型相似的行為規(guī)則(SAC規(guī)則):, 根據(jù) 其中結(jié)隊(duì)運(yùn)動實(shí)現(xiàn)方式的不同可分為兩類: (1) 基于 “速度平均”的SAC群集模型, 這類模型通過個(gè)體參照周圍鄰居的平均速度(方向)調(diào)整自身速度(方向)的方式, 達(dá)成所有個(gè)體運(yùn)動的一致趨同, 其屬于應(yīng)用較廣的經(jīng)典群集運(yùn)動模型, 占現(xiàn)有SAC模型的絕大多數(shù); (2) 非速度平均SAC群集模型, 其采用諸如隨機(jī)耦合、選擇耦合、模糊邏輯等一些“非平均化”方式來 實(shí)現(xiàn)個(gè)體間的結(jié)隊(duì)運(yùn)動, 這類模型雖然較為小眾, 但卻代表了SAC規(guī)則建模研究的最新趨勢。

Couzin有知識個(gè)體*個(gè)人影響力模型

Couzin考慮到個(gè)體的聚合能力，每個(gè)個(gè)體能夠根據(jù)周圍鄰居的運(yùn)動（社交互動）來調(diào)整自己的運(yùn)動。

模型假設(shè)依然為：群體由 N 個(gè)個(gè)體組成。每個(gè)個(gè)體具有位置向量 ci(t)、方向向量 vi(t) 和速度 si，并試圖在任何時(shí)候與個(gè)體 i 及其他個(gè)體 j 之間保持最小距離 α，通過遠(yuǎn)離該范圍內(nèi)的鄰居來實(shí)現(xiàn)。

其中 di 代表期望的移動方向。這模擬了個(gè)體維護(hù)個(gè)人空間和避免碰撞的行為。避免碰撞是最高優(yōu)先級。如果在該區(qū)域內(nèi)沒有檢測到鄰居，那么個(gè)體將傾向于朝向并與 j 個(gè)處于局部交互范圍 ρ 內(nèi)的鄰居對齊。

這里 di(t + Δt）被轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的單位向量。

為了考慮知情組員的影響，部分個(gè)體 p 被給予關(guān)于偏好方向的信息（模擬為單位向量 g），代表例如通往已知資源的方向或遷移路線的一段。所有其他個(gè)體都是天真的，沒有任何朝向特定方向移動的偏好，并且不知道群體中哪些個(gè)體擁有信息，哪些沒有。知情個(gè)體通過權(quán)重項(xiàng) Ω 平衡其偏好方向和社交互動的影響，并將 替換為 ，其中：

此時(shí)Couzin研究的問題是：一群個(gè)體中如果有一部分知道了“獨(dú)家消息”，那么這部分個(gè)體的數(shù)目和個(gè)體影響力（權(quán)重）怎樣的配置能夠帶跑一整個(gè)集體？如果有知識的個(gè)體做出的決策不一樣，怎樣的配置能夠把群體分群呢？

2005年的Nature高度認(rèn)同Couzin的理論方向，并給出了封面的桂冠。而在2015年，Science對此給出了實(shí)證的結(jié)果。（圖片見上文）該部分的詳細(xì)解讀可等待后續(xù)的專題研讀。

Cucker-Smale模型

CS模型（Cucker-Smale模型）是一種使用微分方程來描述自驅(qū)動粒子（Self-Driven Particles）群體行為的數(shù)學(xué)模型。Cucker-Smale模型最早在2007年提出，它集中于描述粒子之間的相互作用以及如何通過這些交互產(chǎn)生集體運(yùn)動，：

，其中，xi 是粒子 i 的位置，vi 是其速度。Φ 是一個(gè)相互作用函數(shù)，通常依賴于粒子間的距離 ||xi -xj||。相互作用函數(shù) Φ(r) 可以設(shè)置為：

• 短程相互作用（例如，常認(rèn)為粒子之間的作用范圍有限）：

  ，其中 R 是粒子相互作用的范圍。

• 光滑的相互作用（例如Gaussian型）：

  ，這里 σ 是與作用強(qiáng)度相關(guān)的參數(shù)。

通過Cucker-Smale模型，也可以觀察到幾種主要的集體行為特征（一致性、相變、極化等）。Cucker-Smale模型的一個(gè)重要特性是其系統(tǒng)的穩(wěn)定性。該模型表明，在滿足一定條件（如相互作用強(qiáng)度充足且限制距離內(nèi)）情況下，粒子群體最終會收斂到一個(gè)統(tǒng)一的速度和方向。Cucker-Smale模型通過簡單的局部相互作用規(guī)則有效地描述了群體中的個(gè)體如何形成復(fù)雜的集體行為。其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和在多領(lǐng)域中的應(yīng)用，使其成為研究自驅(qū)動系統(tǒng)中集體運(yùn)動的重要工具。

追逃問題

在集群行為研究中，我們還引入了追逃這一問題，追逃現(xiàn)象在自然界和人工社會中頻繁出現(xiàn)，包括動物之間的圍捕和海盜對商船的追捕。

莫斯科大學(xué)的研究學(xué)者通過理論研究表明，在一個(gè)格點(diǎn)空間中，若多個(gè)捕食者追捕一個(gè)被捕食者，且其移動速度相同，當(dāng)捕食者是隨機(jī)游走時(shí)，捕食者在超過一定距離后會看不到被捕食者。此時(shí)被捕食者應(yīng)保持不動，待到臨近時(shí)再移動。然而，當(dāng)捕食者有一定視覺能力，直視被捕食者時(shí)，被捕食者就需要快速反應(yīng)。在捕食者有視覺輔助的建模情況下，數(shù)學(xué)計(jì)算表明，需要三只捕食者才能圍捕住一個(gè)被捕食者。

當(dāng)捕食者和被捕食者都是多對多的情況，數(shù)學(xué)研究暫時(shí)沒有給出嚴(yán)格解。有東京的學(xué)者研究指出，追捕者數(shù)量增加時(shí)，逃跑者的整體生存時(shí)間會下降。但捕食者的數(shù)目并不是越多越好，捕食者群體數(shù)目過大時(shí)，整體的追捕效率反而下降。

追逃問題一定是一部分同學(xué)的天選問題，可能是捕撈學(xué)，也可能是航海學(xué)院等方向的同學(xué)對追逃或追捕問題有天然的敏感和鐘情?；蛟S從集群中能得到啟發(fā)，也誠摯希望本文能帶來一點(diǎn)新的思考。

應(yīng)用

所謂自組織 （self organization），是指群體的有序時(shí)空結(jié)構(gòu)或模式產(chǎn)生自個(gè)體之間的局部交互， 而非外部指導(dǎo)、 操作或全局和集中控制的結(jié)果。這和無人系統(tǒng)中常見的編隊(duì)問題是不同的，一個(gè)是涌現(xiàn)生成，一個(gè)是外力驅(qū)動。

行為應(yīng)用·人群疏散

集群行為在人類當(dāng)中有一個(gè)典型的現(xiàn)象：擁擠踩踏事件。擁擠踩踏事件在人類社會中時(shí)有發(fā)生，造成了嚴(yán)重的人員傷亡。其中，1994年在麥加朝拜期間的投石活動導(dǎo)致270名朝圣者遇難。2005年印度哈馬拉特邦的宗教集會上也發(fā)生了踩踏，造成超過300人喪生。2014年12月31日，上海浦江邊因活動取消消息未能有效傳播，造成踩踏事件，進(jìn)一步加重了悲劇的嚴(yán)重性，現(xiàn)場救護(hù)車無法進(jìn)入加劇了混亂。

針對緊急事件中的人群疏散規(guī)律，多個(gè)國家已開展相關(guān)研究。研究發(fā)現(xiàn)，通過遺傳算法設(shè)計(jì)的封閉空間疏散通道可以顯著提高疏散效率。例如，在門口設(shè)置圓柱障礙物被證明有效促進(jìn)疏散。我們采用 agent-based modeling進(jìn)行了相關(guān)模擬，實(shí)驗(yàn)表明，在80人聚集的體育館中，設(shè)置不同數(shù)量障礙物對疏散速度的影響明顯。D Helbing等人研究人群疏散時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)場館中如果有兩個(gè)門，人群疏散的時(shí)候會更傾向于使用一個(gè)門而不是另一個(gè)?？傮w來說，正確設(shè)計(jì)疏散通道，尤其是在擁擠的場景中，能夠有效降低橫向剪切力，促進(jìn)更快速的疏散，這一發(fā)現(xiàn)為未來的公共空間設(shè)計(jì)提供了重要的原則性指導(dǎo)。這個(gè)研究工作結(jié)果被法制晚報(bào)、鳳凰咨詢、新浪等報(bào)道和轉(zhuǎn)載，題目是《出口設(shè)柱，疏散快16%》。國際著名的咨詢公司蘭德公司在給卡塔爾世界杯做咨詢時(shí)，將此工作納入其咨詢報(bào)告中，建議卡塔爾場館設(shè)計(jì)要遵循這樣的研究成果。

算法

群體智能優(yōu)化算法（Swarm Intelligence Optimization Algorithm）是一類啟發(fā)式優(yōu)化算法，其靈感來源于群體行為中的集體智能。這類算法通過模擬生物體群體（如螞蟻、鳥群、魚群等）在求解問題時(shí)的協(xié)作和集體智慧來進(jìn)行優(yōu)化搜索。群體智能優(yōu)化算法也被稱之為 元啟發(fā)式算法或者智能優(yōu)化算法。粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）就是一種基于群體智能的優(yōu)化算法。 PSO算法是由James Kennedy和Russell Eberhart于1995年提出，靈感源于鳥群、魚群等群體行為的模擬。其核心思想是通過個(gè)體（粒子）間的社會信息共享（個(gè)體經(jīng)驗(yàn)與群體經(jīng)驗(yàn)）實(shí)現(xiàn)對非線性函數(shù)的優(yōu)化。PSO結(jié)合了進(jìn)化計(jì)算和群體智能的特點(diǎn)，具有以下優(yōu)勢：

1.簡單性：僅需位置、速度、個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)（四個(gè)核心變量）。

2.低計(jì)算成本：無需復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算，適用于高維優(yōu)化問題。

3.廣泛適用性：成功應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、函數(shù)優(yōu)化等領(lǐng)域。

除去粒子群算法，也有大家所熟知的人工魚群算法，鯨魚算法等。除去優(yōu)化問題，群體智能算法在電影動畫行業(yè)也有深遠(yuǎn)影響。以電影哪吒中的片段為例：在 “洪流之戰(zhàn)” 中，2 億只妖獸的群體智能是通過分布式消息隊(duì)列來實(shí)現(xiàn)的，前鋒妖獸根據(jù)實(shí)時(shí)地形選擇沖鋒路徑，中軍自動填補(bǔ)陣形缺口，后衛(wèi)用 Swarm 算法保持攻擊節(jié)奏。餃子導(dǎo)演在這個(gè)過程中甚至用強(qiáng)化學(xué)習(xí)訓(xùn)練 AI 預(yù)測觀眾瞳孔焦點(diǎn)移動，來確保血腥場景既震撼又不會引發(fā)生理不適。

集群機(jī)器人

與生物集群相類似，集群機(jī)器人系統(tǒng)具備如下5個(gè)主要特點(diǎn)：

(1)系統(tǒng)由可自由運(yùn)動的機(jī)器人組成;

(2)機(jī)器人可感知并改變周圍環(huán)境;

(3)機(jī)器人功能相對簡單，感知與通信能力有限;

(4)系統(tǒng)無中心控制、個(gè)體無全局信息;

(5)機(jī)器人通過合作形成群體完成特定任務(wù)。

相比于通過中心控制對系統(tǒng)內(nèi)各機(jī)器人行為進(jìn)行規(guī)劃的傳統(tǒng)方法，上述特征使集群機(jī)器人具備如下優(yōu)勢:

(1)高魯棒性。對于系統(tǒng)內(nèi)個(gè)體的故障或失效具備良好的容錯(cuò)能力。

(2)可擴(kuò)展性。能夠在不同群體規(guī)模下保持任務(wù)完成效率，引入、移除個(gè)體均不影響集群性能。

(3)靈活性。集群系統(tǒng)能夠完成多種不同任務(wù)。

集群機(jī)器人基于行為的設(shè)計(jì)方法系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法主要為2種：

(1) 虛擬物理力（virtual physical force，VPF）． 該方法廣泛應(yīng)用于集群機(jī)器人圖樣形成、集群探索 等方面．機(jī)器人可抽象為物理實(shí)體，個(gè)體之間存在 排斥、吸引與對齊等相互作用力，通過調(diào)節(jié)作用力 的作用范圍等參數(shù)，可實(shí)現(xiàn)集群運(yùn)動的宏觀現(xiàn)象。比如Khatib 等最早提出的人工勢場概念（artificial potential field）。

(2) 隨機(jī)有限狀態(tài)機(jī)（probabilisticfinitestatema chine，PFSM）。該方法將機(jī)器人的行為方式抽象為若干狀態(tài)，如隨機(jī)運(yùn)動、靜止等，機(jī)器人可在不同狀態(tài)之間以一定概率進(jìn)行轉(zhuǎn)換，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率由設(shè)計(jì)者或局部相互作用給出。Sahin等給出了PFS M方法的典型形式。機(jī)器人的行為狀態(tài)包括接近、遠(yuǎn)離以及等待3種（approach、repel、wait），通過預(yù)先給定狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率，可實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的聚集。

通過不同設(shè)計(jì)方法建立的機(jī)器人行為規(guī)則能否實(shí)現(xiàn)預(yù)期的集群行為以及性質(zhì)是衡量設(shè)計(jì)方法性能的主要依據(jù)，為了對系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的性能與有效性進(jìn)行評價(jià)，學(xué)者們提出了3種主要分析方法:

(1)計(jì)算機(jī)模擬。該方法借助計(jì)算機(jī)對環(huán)境因素，個(gè)體之間、個(gè)體與環(huán)境間的相互作用進(jìn)行模擬，驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的可行性并進(jìn)行優(yōu)化，如Pin-ciroli等切建立的ARGoS系統(tǒng)。

(2)動力學(xué)模型。該方法通過隨機(jī)過程以及動力學(xué)方法等經(jīng)典理論工具對設(shè)計(jì)方法的收斂性進(jìn)行驗(yàn)證。

(3)機(jī)器人實(shí)驗(yàn)。由于環(huán)境噪聲、機(jī)器人之間的相互干擾等因素難以在計(jì)算機(jī)中完全模擬，因此實(shí)際機(jī)器人系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)是驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法可行性與魯棒性的必要手段。

歡迎大家指正，歡迎大家到讀書會開展討論。

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群體智能讀書會

如果你對這些反直覺但極有用的現(xiàn)象感興趣——從蟻群搭橋、魚群同步、到無人機(jī)集群表演、集群機(jī)器人協(xié)作、群智優(yōu)化與多智能體系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)輿論建模研究等——?dú)g迎加入「群體智能」讀書會：我們用動物—人類—機(jī)器三條線，希望把群體智能的涌現(xiàn)這件事講清楚、講透徹；用物理學(xué)、數(shù)理邏輯、多主體建模、計(jì)算傳播等多學(xué)科視角，去追問同一個(gè)核心：集群何以比個(gè)體更聰明？群體智能又在何時(shí)涌現(xiàn)？

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