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具有百年歷史的拓?fù)鋵W(xué)難題——博內(nèi)問(wèn)題核心探究 “少量局部信息能否唯一確定整個(gè)曲面”。1月20日，《量子雜志》

Quanta Magazine

圖源： Mark Belan / Quanta Magazine

Publications mathématiques de l’IHéS 142, 241–293 (2025)

一、原文大意

1月20日由《量子雜志》記者 Elise Cutts 撰寫(xiě)的這篇文章，圍繞百年歷史的拓?fù)鋵W(xué)難題 —— 博內(nèi)問(wèn)題（Bonnet problem）展開(kāi)。

皮埃爾·奧西恩·博內(nèi)（Pierre Ossian Bonnet，1819—1892）

博內(nèi)問(wèn)題核心探究 “少量局部信息能否唯一確定整個(gè)曲面”，法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·奧西恩·博內(nèi) （Pierre Ossian Bonnet，1819—1892）于1867年證明，若已知曲面上每一點(diǎn)的度量（metric）和平均曲率（mean curvature），通常可確定曲面形態(tài)，但 “通?！?并非 “總是”。

曲面上每一點(diǎn)的曲率可能都不相等，最大的曲率和最小曲率取（算術(shù)）平均值，得到平均曲率。

以平面、圓柱面（半徑為1）、球面（半徑為1）為例，求平均曲率：

平面、圓柱面與球面的度量差異：

通過(guò) “粘貼一張平坦的標(biāo)簽” ，可以看出平面與圓柱面因可無(wú)拉伸 / 撕裂變形，度量相同（標(biāo)簽貼合）；而球面需拉伸 / 撕裂才能貼合標(biāo)簽，故度量有所不同。

過(guò)去150年，數(shù)學(xué)家雖發(fā)現(xiàn)違背該規(guī)律的曲面（即具有相同度量和平均曲率卻有不同全局結(jié)構(gòu)），但這些曲面均為非緊致（non-compact）的，要么向某方向無(wú)限延伸（如平面、圓柱），要么有邊緣（如從大形狀裁剪下的部分）。

而像球面、甜甜圈狀環(huán)面（tori）這類緊致（compact）曲面，1981年小布萊恩?勞森（H. Blaine Lawson, Jr.，參閱） 與 雷納托·德·阿澤維多·特里布齊（Renato de Azevedo Tribuzy） 證明球面及拓?fù)涞葍r(jià)無(wú)孔緊致曲面可由局部信息唯一確定，對(duì)帶孔的緊致環(huán)面，僅理論推測(cè)給定度量和平均曲率最多對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同環(huán)面，卻始終未找到 “緊致博內(nèi)對(duì)”（compact Bonnet pairs）實(shí)例，學(xué)界一度認(rèn)為環(huán)面也能由局部信息唯一確定。

圖源：Mark Belan / Quanta Magazine

Publications mathématiques de l’IHéS 142, 241–293 (2025)

直到2025年10月，柏林工業(yè)大學(xué)的 Alexander Bobenko、慕尼黑工業(yè)大學(xué)的 Tim Hoffmann 與北卡羅來(lái)納州立大學(xué)的 Andrew Sageman-Furnas 在《IHéS 數(shù)學(xué)出版物》（

Publications mathématiques de l’IHéS

從左到右：Andrew Sageman-Furnas，Tim Hoffmann，Alexander Bobenko

研究過(guò)程中，Alexander Bobenko 曾于21世紀(jì)初嘗試證明緊致博內(nèi)對(duì)存在，因難度大擱置，轉(zhuǎn)而研究離散曲面（discrete surfaces，類似光滑曲面像素化低分辨率版本）。

要獲得一個(gè)離散曲面，先取一個(gè)有限的點(diǎn)集合，然后用線將它們連接起來(lái)，形成具有平坦面的形狀。通過(guò)選擇不同的點(diǎn)，你可以用不同的方式表示給定的光滑曲面。例如，下面是一些表示球面的方法：

從左到右：6個(gè)點(diǎn)、26個(gè)點(diǎn)、62個(gè)點(diǎn)的離散曲面、光滑球面

圖源：Mark Belan / Quanta Magazine

2010年代，Andrew Sageman-Furnas（當(dāng)時(shí)為哥廷根大學(xué)博士生）受漁網(wǎng)等編織材料力學(xué)啟發(fā)研究離散數(shù)學(xué)，提出博內(nèi)問(wèn)題的離散版本，還與導(dǎo)師 Max Wardetzky 及 Tim Hoffmann 找到離散情形下構(gòu)造博內(nèi)定理反例的方法 https://arxiv.org/abs/dg-ga/9610006 ，只是反例仍為非緊致。

圖源：Mark Belan / Quanta Magazine

Publications mathématiques de l’IHéS 142, 241–293 (2025)

2018年春，Andrew Sageman-Furnas 通過(guò)計(jì)算機(jī)搜索，找到一種類似 “折紙犀牛”（rhino）的帶孔緊致離散環(huán)面，其具備生成博內(nèi)對(duì)的屬性，且生成的博內(nèi)對(duì)也為緊致環(huán)面。雖存在計(jì)算機(jī)舍入誤差風(fēng)險(xiǎn)，但經(jīng) Tim Hoffmann 與 Andrew Sageman-Furnas 驗(yàn)證，該 “犀牛” 具有研究?jī)r(jià)值。他們發(fā)現(xiàn) “犀?！?邊緣的曲率線（curvature lines）僅位于平面或球面上，這一特殊性質(zhì)成為關(guān)鍵線索。

讓·加斯東·達(dá)布（ Jean Gaston Darboux，1842 - 1917）

隨后，三人借鑒19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家讓·加斯東·達(dá)布（ Jean Gaston Darboux） 提出的生成特定曲率線曲面的公式，調(diào)整公式使曲率線閉合，得到光滑版 “犀?！保⒁源松墒讓?duì)緊致博內(nèi)對(duì)（最初為鏡像對(duì)稱，后進(jìn)一步調(diào)整得到更明顯不同的扭曲環(huán)面）。該成果顛覆學(xué)界認(rèn)知，杜克大學(xué)的 Robert Bryant 與馬薩諸塞大學(xué)阿默斯特分校的 Rob Kusner 均表示意外，目前 Alexander Bobenko 還希望證明存在無(wú)自交的博內(nèi)環(huán)面。

二、主要數(shù)學(xué)思想

1. 曲率與度量

1）外在曲率與平均曲率：外在曲率描述曲面在空間中的彎曲情況，對(duì)曲面上任一點(diǎn)，沿不同方向計(jì)算曲率，取最大與最小曲率的平均值即為平均曲率（mean curvature），可反映曲面在周圍空間中的位置特征。

2）內(nèi)蘊(yùn)曲率與度量：內(nèi)蘊(yùn)曲率是曲面不依賴外部空間的幾何屬性，而度量（metric）是曲面上測(cè)量距離的規(guī)則，由內(nèi)蘊(yùn)曲率決定。如平面與圓柱可通過(guò)無(wú)拉伸、無(wú)撕裂的變形轉(zhuǎn)換，兩點(diǎn)間曲線長(zhǎng)度不變，故度量相同；但平面無(wú)法無(wú)損傷地包裹球面，曲線長(zhǎng)度會(huì)改變，故二者度量不同。

2. 離散與光滑

1）離散曲面的工具性：離散曲面由有限點(diǎn)和連線構(gòu)成平面，可模擬光滑曲面，且因點(diǎn)數(shù)量有限，能借助計(jì)算機(jī)研究。Alexander Bobenko 與 Tim Hoffmann 長(zhǎng)期研究如何通過(guò)離散曲面保留光滑曲面的關(guān)鍵幾何特征；Andrew Sageman-Furnas 則通過(guò)離散曲面的博內(nèi)問(wèn)題反例，為光滑曲面研究提供思路。

2）從離散到光滑的遷移：Andrew Sageman-Furnas 找到的離散 “犀?！?環(huán)面，其曲率線僅位于平面或球面的特殊性質(zhì)，為光滑曲面研究提供線索。研究團(tuán)隊(duì)借鑒達(dá)布公式，將離散曲面的特殊結(jié)構(gòu)遷移到光滑曲面，最終構(gòu)造出光滑的緊致博內(nèi)對(duì)。

離散 “犀牛” 環(huán)面

圖源：原論文插圖

三、核心創(chuàng)新點(diǎn)

1. 首次構(gòu)造 “緊致博內(nèi)對(duì)”

此前發(fā)現(xiàn)的博內(nèi)定理反例均為非緊致曲面，而該研究首次找到一對(duì)緊致環(huán)面（tori）：它們擁有相同的度量（metric）和平均曲率（mean curvature），卻具備完全不同的全局結(jié)構(gòu)，填補(bǔ)了 “緊致曲面是否違背博內(nèi)定理” 的研究空白，證明緊致曲面中也存在 “局部信息無(wú)法唯一確定全局結(jié)構(gòu)” 的情況。

緊致博內(nèi)對(duì)：兩個(gè)不全等的浸入式實(shí)解析環(huán)面（immersed real analytic tori），二者通過(guò)保平均曲率等距變換（mean curvature preserving isometry）相關(guān)聯(lián)。每個(gè)曲面上對(duì)應(yīng)的生成元（generators）分別以橙色和藍(lán)色標(biāo)注。需注意，頂部的兩個(gè)大型氣泡狀凸起比底部對(duì)應(yīng)的氣泡狀凸起更為靠近，且兩個(gè)曲面均具有180度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。這對(duì)博內(nèi)環(huán)面源自一族帶平面曲率線（planar curvature lines）的等溫環(huán)面（isothermic torus）的共形變換（conformal transformations）：橙色生成元源自平面曲線，因此彼此全等（congruent），而藍(lán)色生成元?jiǎng)t不全等。

圖源：原論文插圖

2. 離散與光滑幾何的跨領(lǐng)域聯(lián)動(dòng)

打破 “光滑幾何研究領(lǐng)先，離散幾何滯后” 的傳統(tǒng)認(rèn)知，以離散曲面為突破口：先通過(guò)計(jì)算機(jī)在離散幾何中找到具備生成博內(nèi)對(duì)屬性的緊致 “犀?！?環(huán)面，再基于其特殊曲率線特征（僅在平面或球面），結(jié)合達(dá)布公式調(diào)整，推導(dǎo)得到光滑的緊致博內(nèi)對(duì)，實(shí)現(xiàn)離散幾何對(duì)光滑幾何研究的推動(dòng)。

3. 突破經(jīng)典公式的限制

達(dá)布提出的生成特定曲率線曲面的公式，原本生成的曲率線呈螺旋狀且延伸至無(wú)窮遠(yuǎn)，無(wú)法形成封閉的緊致曲面。研究團(tuán)隊(duì)通過(guò)調(diào)整該公式，使曲率線能夠閉合，成功構(gòu)造出光滑的 “犀?！?環(huán)面，進(jìn)而生成緊致博內(nèi)對(duì)，拓展了經(jīng)典公式的應(yīng)用范圍。

圖源：原論文插圖

四、待解決問(wèn)題與科研攻關(guān)方向

1. 待解決問(wèn)題

動(dòng)畫(huà)源：Quanta Magazine

1）無(wú)自交的緊致博內(nèi)對(duì)是否存在：目前發(fā)現(xiàn)的緊致博內(nèi)對(duì)（扭曲環(huán)面）存在自交現(xiàn)象（如數(shù)字“8”形狀），尚未證明是否存在無(wú)自交的博內(nèi)環(huán)面（Bonnet tori），這是當(dāng)前最直接的未解決問(wèn)題。

2）緊致博內(nèi)對(duì)的普遍性：現(xiàn)有成果僅為 “存在性” 證明，尚未明確緊致博內(nèi)對(duì)在所有緊致曲面中的分布規(guī)律，例如不同孔數(shù)的緊致曲面（如雙孔環(huán)面）是否也存在博內(nèi)對(duì)，仍需進(jìn)一步探索。

2. 科研攻關(guān)方向

1）深化離散與光滑幾何的融合：此次研究中離散幾何為光滑幾何提供關(guān)鍵線索，未來(lái)可進(jìn)一步探索離散曲面的特殊結(jié)構(gòu)（如更多特殊曲率線分布、不同拓?fù)洳蛔兞浚?，嘗試遷移到更高維光滑流形的研究中，為高維拓?fù)鋵W(xué)難題提供新方法。

2）拓展博內(nèi)問(wèn)題的研究維度：當(dāng)前研究集中于二維緊致曲面，未來(lái)可向更高維緊致流形延伸，探究在高維空間中 “局部信息（如高維度量、曲率）與全局結(jié)構(gòu)的關(guān)系”，是否存在類似 “高維緊致博內(nèi)對(duì)” 的現(xiàn)象，豐富博內(nèi)問(wèn)題的理論體系。

3）計(jì)算機(jī)與理論數(shù)學(xué)的深度協(xié)作：此次研究依賴計(jì)算機(jī)搜索離散曲面實(shí)例，未來(lái)可開(kāi)發(fā)更精準(zhǔn)的計(jì)算模型，減少舍入誤差對(duì)結(jié)果驗(yàn)證的影響；同時(shí)結(jié)合理論數(shù)學(xué)，建立離散與光滑幾何轉(zhuǎn)換的更嚴(yán)謹(jǐn)邏輯框架，提升研究結(jié)果的可靠性與普適性。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/two-twisty-shapes-resolve-a-centuries-old-topology-puzzle-20260120/

https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-025-00159-z

https://arxiv.org/abs/dg-ga/9610006

https://arxiv.org/abs/2110.06335v2

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