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數(shù)千年來(lái)，科學(xué)家們一直在試圖測(cè)量宇宙的大小。

作者：Peter Lynch（都柏林大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院名譽(yù)教授）2026-1-15

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-1-23

宇宙的范圍是有限還是無(wú)限？這個(gè)問(wèn)題數(shù)千年來(lái)一直是哲學(xué)界的關(guān)注焦點(diǎn)，科學(xué)家們至今仍在為之不懈探索。無(wú)論 “無(wú)限” 出現(xiàn)在何處，悖論總會(huì)隨之浮現(xiàn)：鑒于光速是有限的，一個(gè)無(wú)限的宇宙中必然存在人類永遠(yuǎn)無(wú)法觸及的區(qū)域。但即便是有限的宇宙，也同樣令人困惑：如果宇宙是有邊界的，那么邊界之外又是什么？

空間形狀問(wèn)題的核心，在于 “曲率”（curvature）這一數(shù)學(xué)概念。我們都熟悉平面上的曲線，比如道路上平緩或陡峭的彎道。通過(guò)讓一個(gè)圓與曲線相切，我們可以用該圓半徑的倒數(shù)來(lái)描述曲率：半徑越大，曲率越小；半徑越小，曲率越大。一級(jí)方程式（F1）賽車手對(duì)此深有體會(huì)。

曲率的概念同樣適用于曲面。在平坦的平面上，歐幾里得幾何（Euclidean geometry）占據(jù)主導(dǎo)：任意三角形的內(nèi)角和為兩個(gè)直角（180°），勾股定理（Pythagoras' theorem）完全成立。但在球形的地球表面，情況則截然不同 —— 這里遵循的是非歐幾何（non-Euclidean geometry）：一個(gè)以北極點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)、另外兩個(gè)頂點(diǎn)在赤道上的三角形，可能包含兩個(gè)甚至三個(gè)直角，勾股定理也不再適用。

正曲率曲面（上）、負(fù)曲率曲面（中）、零曲率曲面（下）

圖源：維基共享資源（Wikimedia Commons）

在曲面上的某個(gè)固定點(diǎn)，不同方向的曲率可能存在差異：不妨想象山路埡口的頂端 —— 左右兩側(cè)地勢(shì)隆起，而前后方向則向下傾斜。

大數(shù)學(xué)家卡爾?弗里德里希?高斯（Carl Friedrich Gauss）提出，可通過(guò)三維空間中貼合曲面的 “最大圓” 與 “最小圓” 來(lái)描述曲面的總曲率。對(duì)于球面而言，這些 “相切圓”（kissing circles）的半徑完全相同，其曲率為半徑的平方的倒數(shù)，且球面各處的曲率均為正值。而在山路埡口處，前后方向與左右方向的曲率符號(hào)相反，它們的乘積即為高斯曲率（Gaussian curvature），其值為負(fù)。

高斯證明了一個(gè)他稱之為 “絕妙定理”（Remarkable Theorem）的重要成果。該定理指出，三維空間中曲面的曲率，完全可以通過(guò)曲面內(nèi)部的測(cè)量來(lái)確定。高斯曲率具有 “內(nèi)在不變性”（內(nèi)稟性）—— 即便曲面被彎曲（而非拉伸），其曲率也不會(huì)改變。例如，圓柱面的曲率為零，因?yàn)樗梢员粺o(wú)損展平為平面；與之相反，球形地球的表面永遠(yuǎn)無(wú)法在不產(chǎn)生畸變的情況下映射到平面上，這也是為何不存在完美的世界地圖。

伯恩哈德?黎曼（Bernhard Riemann）極大地拓展了高斯的研究，將曲率的定義延伸至多維空間。黎曼曲率張量（Riemann curvature tensor）成為了愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的核心數(shù)學(xué)工具。在這一理論中，宇宙的曲率與其總質(zhì)量 - 能量密度（mass-energy density，質(zhì)能密度）緊密相關(guān)：正曲率（類似球面）意味著宇宙是有限的；而零曲率（類似平面）或負(fù)曲率（類似馬鞍面或油炸薯片形狀），則預(yù)示著宇宙是無(wú)限的。

可觀測(cè)宇宙（observable universe）是一個(gè)直徑約 500 億光年的近似球形區(qū)域，但我們目前的認(rèn)知是，空間的延伸范圍遠(yuǎn)不止于此。最新的天文學(xué)觀測(cè)表明，宇宙的曲率極其微小—— 這意味著宇宙要么是無(wú)限的，要么是 “難以言喻的龐大”：其尺度如此廣袤，絕大多數(shù)區(qū)域?qū)⒂肋h(yuǎn)超出人類的探索范圍。

參考資料

https://thatsmaths.com/2026/01/15/the-shape-and-size-of-the-universe-curvature-is-key/

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