導語

非平衡電流漲落是非平衡物理學的核心議題之一。熱力學不確定性關系（TUR）因嚴格建立了電流漲落的下界而廣受贊譽，該下界用熵產(chǎn)生率和平均電流表示。本文關注的是漲落上界，稱之為逆熱力學不確定性關系（iTUR）。針對由過阻尼朗之萬方程控制的連續(xù)變量系統(tǒng)，以及由馬爾可夫跳躍過程描述的離散變量系統(tǒng)，推導出了一個用熵產(chǎn)生率表示的通用iTUR表達式。iTUR建立了一個不可行定理，禁止在具有有限熵產(chǎn)生率和有限譜間隙的系統(tǒng)中出現(xiàn)永久的超擴散。任何電流方差的發(fā)散只有在對稱化時間演化算子的譜間隙閉合或熵產(chǎn)生率發(fā)散時才成為可能。本文將iTUR應用于巨擴散現(xiàn)象，強調(diào)了譜間隙和熵產(chǎn)生的關鍵作用。

關鍵詞：非平衡統(tǒng)計物理，電流漲落，熱力學不確定性關系（Thermodynamic Uncertainty Relation，TUR），逆熱力學不確定性關系（inverse thermodynamic uncertainty relation，iTUR），熵產(chǎn)生，譜間隙（spectral gap），巨擴散（giant diffusion）、超擴散（superdiffusion）

彭晨丨作者

趙思怡丨審校

論文題目：Inverse Thermodynamic Uncertainty Relation and Entropy Production 論文鏈接：https://doi.org/10.1103/mf9f-nf7g 發(fā)表時間：2025年12月5日 發(fā)表期刊：Physical Review Letters

引言：尋找非平衡世界的邊界

在統(tǒng)計物理的浩瀚版圖中，理解非平衡漲落一直是基石般的課題。在過去的十年里，隨機熱力學領域見證了無數(shù)突破，其中最引人注目的里程碑莫過于熱力學不確定性關系（Thermodynamic Uncertainty Relation，TUR）。TUR揭示了一個深刻的物理事實：在非平衡穩(wěn)態(tài)中，電流的精度（即漲落的倒數(shù)）是有代價的，這個代價就是熱力學成本——熵產(chǎn)生。它為非平衡漲落設定了一個嚴格的下界，告訴我們?yōu)榱司S持一定的傳輸精度，系統(tǒng)必須耗散多少能量。

然而，物理學的探索從未止步于單一視角的觀察。如果說TUR告訴了我們漲落“至少”是多少，那么一個自然而緊迫的問題隨之而來：漲落“至多”能達到多少？我們能否找到一個依賴于熱力學成本的漲落上界？近期，雖然已有關于逆熱力學不確定性關系（inverse thermodynamic uncertainty relation，iTUR）的研究提出了一些僅依賴于瞬時漲落和譜間隙的約束，但這些結(jié)果并未明確包含熱力學成本的角色。這是一個明顯的缺失，因為非平衡驅(qū)動不僅維持系統(tǒng)遠離平衡，更是主動增強漲落的源頭。這種增強必然伴隨著能量的耗散，與熵產(chǎn)生有著千絲萬縷的聯(lián)系。

這篇2025年12月發(fā)表在Physical Review Letters上的研究正是為了填補這一空白。研究團隊不僅將iTUR擴展到了由朗之萬動力學控制的連續(xù)變量系統(tǒng)，更重要的是，他們成功地將熵產(chǎn)生率引入到漲落的上界表達中，揭示了驅(qū)動力、耗散與動力學弛豫之間微妙的制衡關系。

理論框架：變分原理與新的通用界限

研究團隊首先構(gòu)建了一個處理連續(xù)變量的通用框架?？紤]一個在n維空間中進行過阻尼朗之萬動力學的粒子系統(tǒng)，該系統(tǒng)處于均勻溫度下，受到漂移場和高斯白噪聲的影響。系統(tǒng)的概率密度函數(shù)隨時間的演化遵循福克-普朗克方程（Fokker-Planck equation）。在非平衡穩(wěn)態(tài)下，盡管概率分布不再隨時間變化，但由于非平衡條件的存在，系統(tǒng)內(nèi)部仍可能維持著持續(xù)的電流。

為了量化這些電流的漲落，研究人員關注電流在長時間尺度上的擴散系數(shù)D∞。這一物理量描述了累積電流的方差隨時間的增長率。與之相對的是瞬時漲落D0，它反映了在極短時間尺度下的局部噪聲強度。在平衡態(tài)系統(tǒng)中，長時間的擴散行為通常受到愛因斯坦關系的約束，但在遠離平衡的系統(tǒng)中，情況變得極其復雜。

為了推導上界，作者們巧妙地利用了電流累積生成函數(shù)的變分原理（variational principle）。這一數(shù)學工具允許他們通過引入輔助場來估算擴散系數(shù)的極值。推導的核心在于引入了“對稱化?？?普朗克算子”（symmetrized Fokker-Planck operator）的概念。這一算子的譜間隙λ（spectral gap）對應于系統(tǒng)弛豫到穩(wěn)態(tài)的最慢時間尺度。

通過一系列嚴密的數(shù)學推導，研究團隊得到了一個形式簡潔卻物理意義深遠的iTUR表達式：

對于標準的擴散過程，長時間擴散系數(shù)D∞被嚴格限制在瞬時漲落D0加上一個修正項之下。這個修正項由兩部分決定：一是剩余的熵產(chǎn)生能力（），二是系統(tǒng)的弛豫速率（即譜間隙λ）。

這一結(jié)果不僅在數(shù)學上是嚴格的，而且在物理上極具洞察力。它表明，如果一個系統(tǒng)想要表現(xiàn)出巨大的長時間擴散（即D∞遠大于D0），它必須滿足兩個條件之一：要么具有極高的熵產(chǎn)生率σst，這意味著系統(tǒng)必須劇烈地耗散能量以驅(qū)動粒子；要么具有極小的譜間隙λ，這意味著系統(tǒng)的弛豫動力學非常緩慢，允許關聯(lián)在很長的時間內(nèi)持續(xù)存在。

物理機制：熵產(chǎn)生與譜間隙的博弈

新的iTUR關系式不僅僅是一個數(shù)學不等式，它實際上闡明了非平衡驅(qū)動如何增強擴散的物理機制。在平衡態(tài)，由于沒有凈電流和熵產(chǎn)生，iTUR退化為一個簡單的結(jié)論：長時間擴散系數(shù)永遠不會超過瞬時漲落（D∞≤ D0）。這與我們對平衡態(tài)受限擴散的直觀理解一致。

然而，一旦引入非平衡驅(qū)動，情況就發(fā)生了質(zhì)的變化。熵產(chǎn)生率σst作為熱力學成本的量度，出現(xiàn)在不等式的分子上，直接提高了擴散系數(shù)的上限。這意味著，通過增加外部驅(qū)動力使系統(tǒng)進一步遠離平衡，原則上可以“解鎖”更大的漲落空間。但是，這種增強并非無限制的，它受到系統(tǒng)動力學性質(zhì)——譜間隙的強烈制約。

譜間隙λ出現(xiàn)在分母上，扮演著“阻尼器”或“過濾器”的角色。當譜間隙很大時，系統(tǒng)能夠快速弛豫，任何由非平衡驅(qū)動引起的局部擾動都會被迅速抹平，從而抑制了長時間尺度上的巨大漲落。相反，如果譜間隙很小，系統(tǒng)的記憶效應顯著，漲落得以在時間上積累，從而可能導致擴散（superdiffusion）行為——即粒子或電流跑得比正常情況快得多，比如在相同時間內(nèi)走過的平均距離遠超普通擴散。

基于此，研究團隊提出了一個關于“永久超擴散”的不可行定理（no-go theorem）。只要系統(tǒng)的熵產(chǎn)生率是有限的，且譜間隙不為零（即系統(tǒng)最終會弛豫），那么電流的方差就不可能無限發(fā)散。這為理解反常擴散現(xiàn)象提供了一個堅實的理論邊界：真正的發(fā)散行為只能發(fā)生在相變點（譜間隙閉合）或者能量輸入無限大的極端情況下。

此外，將iTUR與傳統(tǒng)的TUR結(jié)合起來，我們首次得到了非平衡電流漲落的完整雙側(cè)界限：

這一組不等式像兩道護欄，將任意時間間隔τ內(nèi)的非平衡漲落嚴格限制在一個特定的通道內(nèi)。TUR限制了亞擴散（subdiffusion，即粒子因為被卡住、繞路或頻繁停頓，導致移動比正常還慢）的結(jié)束時間，而iTUR則限制了超擴散的持續(xù)時間。

案例分析：巨擴散現(xiàn)象中的理論驗證

為了展示iTUR的實際威力，文章深入分析了“巨擴散”（giant diffusion）現(xiàn)象。這是一個在傾斜周期勢系統(tǒng)中廣泛觀察到的現(xiàn)象：當粒子受到非保守力（如恒定外力）驅(qū)動越過周期性勢壘時，在特定的臨界力Fc附近，粒子的有效擴散系數(shù)會急劇增加，甚至超過自由擴散系數(shù)數(shù)倍。這種現(xiàn)象在生物分子馬達（如F1-ATPase）和膠體粒子實驗中都已被觀測到。

研究人員將導出的iTUR應用于描述該系統(tǒng)的過阻尼朗之萬方程。理論預測與數(shù)值模擬的對比結(jié)果令人印象深刻。隨著外力F的增加，歸一化的長時間擴散系數(shù)在臨界力Fc附近表現(xiàn)出顯著的峰值。iTUR提供的上界（理論曲線）緊密地跟隨這一趨勢，不僅捕捉到了擴散增強的數(shù)量級，還準確反映了其隨外力變化的形態(tài)。

圖 1. 擴散系數(shù)，iTUR和TUR作為外力F在傾斜周期勢中的函數(shù)。

通過分析iTUR公式中的兩個關鍵參數(shù)——熵產(chǎn)生率σst和譜間隙λ，這種增強的物理根源變得清晰可見。當外力接近臨界值Fc時，勢壘的有效高度降低，導致譜間隙λ顯著減小。這種動力學上的變慢意味著粒子在勢阱之間的躍遷變得極具關聯(lián)性，允許漲落長時間存在。與此同時，熵產(chǎn)生率σst在這一區(qū)域開始增加。較小的譜間隙（分母減?。┖洼^高的熵產(chǎn)生（分子增加）共同作用，極大地抬高了iTUR的上界，從而允許了巨擴散的發(fā)生。

圖 2. 固定譜間隙（λ = 5, 10, 100）下擴散系數(shù)D∞和iTUR上界對熵產(chǎn)率σst的依賴關系。

值得注意的是，在遠離開關力的極限下（F→∞），傳統(tǒng)的TUR下界和實際擴散系數(shù)都收斂于瞬時擴散系數(shù)D0，而iTUR上界則收斂于一個大于D0的有限值。這表明在極端非平衡條件下，雖然系統(tǒng)不得不耗散大量能量，但快速的輸運過程（由高漂移速度主導）實際上抑制了相對漲落的無限增長。圖表分析顯示，iTUR不僅是一個數(shù)學上的約束，更是一個物理上的解釋器。它成功地將復雜的非平衡輸運現(xiàn)象解構(gòu)為熱力學成本與動力學弛豫這兩個基本物理量的競爭與合作。

離散系統(tǒng)的推廣與比較

除了連續(xù)變量系統(tǒng)，文章還探討了由馬爾可夫跳躍過程描述的離散狀態(tài)系統(tǒng)。在生物化學反應網(wǎng)絡和量子點輸運中，這類模型極為常見。研究團隊同樣為這類系統(tǒng)推導出了包含熵產(chǎn)生率的iTUR表達式。

通過與之前Bakewell-Smith等人提出的不含熵產(chǎn)生的iTUR進行對比，新結(jié)果的優(yōu)勢顯而易見。舊的界限在時間趨于零或系統(tǒng)趨于平衡時，往往給出非物理的有限增強預測。而本文提出的新iTUR通過引入輔助場和熵產(chǎn)生項，正確地復現(xiàn)了短時間極限（Dτ→D0）和近平衡極限（Dτ≤D0）。這表明，將熱力學成本顯式納入理論框架，對于構(gòu)建自洽且物理意義明確的漲落界限是至關重要的。

總結(jié)與展望：熱力學推斷的新工具

這項研究通過整合熵產(chǎn)生率和譜間隙，為穩(wěn)態(tài)電流漲落推導出了嚴格的上界。如果說TUR告訴我們“天下沒有免費的午餐”（高精度需要高耗散），那么iTUR則告訴我們“無限制的自由是不存在的”（漲落的幅度受限于耗散和弛豫）。

這一理論成果具有廣泛的應用潛力。首先，它為熱力學推斷（thermodynamic inference）提供了新的工具。在許多實驗中，直接測量熵產(chǎn)生是困難的。傳統(tǒng)的TUR允許利用測量的漲落來下限估算熵產(chǎn)生。而在巨擴散等漲落增強的體系中，標準TUR往往變得失效，此時iTUR可以反過來被利用，基于觀測到的漲落上限來推斷熵產(chǎn)生率的下限或動力學譜間隙的大小。其次，對于納米技術(shù)和合成生物學而言，iTUR提供了設計指南。在設計微型馬達或人工輸運系統(tǒng)時，如果目標是利用非平衡條件增強某種輸運的漲落（例如為了跨越勢壘或探索空間），iTUR給出了設計參數(shù)的定量限制：必須權(quán)衡能量輸入的增加與系統(tǒng)弛豫速率的降低。

雖然直接在實驗中驗證iTUR面臨挑戰(zhàn)，因為它需要關于系統(tǒng)全局最大漲落和對稱化譜間隙的信息，但作者指出，利用軌跡數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推斷方法可以有效估算這些量。這使得在光鑷膠體、微流控設備和單分子馬達等可控實驗平臺上的驗證成為可能。未來，這一框架有望擴展到隨時間變化的驅(qū)動系統(tǒng)，甚至是非馬爾可夫系統(tǒng)。同時，考慮到量子系統(tǒng)中相干性與耗散的獨特關系，建立包含量子修正的量子iTUR也將是一個激動人心的方向。

非平衡統(tǒng)計物理讀書會

2024年諾貝爾物理學獎授予人工神經(jīng)網(wǎng)絡，這是一場統(tǒng)計物理引發(fā)的機器學習革命。統(tǒng)計物理學不僅能解釋熱學現(xiàn)象，還能幫助我們理解從微觀粒子到宏觀宇宙的各個層級如何聯(lián)系起來，復雜現(xiàn)象如何涌現(xiàn)。它通過研究大量粒子的集體行為，成功地將微觀世界的隨機性與宏觀世界的確定性聯(lián)系起來，為我們理解自然界提供了強大的工具，也為機器學習和人工智能領域的發(fā)展提供了重要推動力。

為了深入探索統(tǒng)計物理前沿進展，集智俱樂部聯(lián)合西湖大學理學院及交叉科學中心講席教授湯雷翰、紐約州立大學石溪分?；瘜W和物理學系教授汪勁、德累斯頓系統(tǒng)生物學中心博士后研究員梁師翎、香港浸會大學物理系助理教授唐乾元，以及多位國內(nèi)外知名學者共同發(fā)起。讀書會旨在探討統(tǒng)計物理學的最新理論突破，統(tǒng)計物理在復雜系統(tǒng)和生命科學中的應用，以及與機器學習等前沿領域的交叉研究。讀書會已完結(jié)，現(xiàn)在報名可加入社群并解鎖回放視頻權(quán)限。

詳情請見：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.