艾米·諾特（Emmy Noether）。 圖源：維基百科

撰文 |夏志宏

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我們從小就被灌輸一個“物理常識”：能量守恒。

能量不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失，只會從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式。

聽起來像宇宙的鐵律，甚至像一種“道德”：

你不能作弊，永動機永遠不可能出現(xiàn)。

但20世紀(jì)初，一位數(shù)學(xué)家做了一件驚人的事：她告訴我們——

守恒定律并不是宇宙的基本規(guī)則，它其實來自一種更深層的東西：對稱性。而在愛因斯坦相對論的時空觀里，能量是不守恒的！

這位數(shù)學(xué)家叫：艾米·諾特（Emmy Noether）。愛因斯坦稱艾米·諾特為：“自女性開始接受高等教育以來所產(chǎn)生的最重要、最具創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)天才?！?/p>

01

守恒定律的“真正來源”：對稱性

想象你做一個實驗：小球滾動、擺鐘擺動、行星繞太陽轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在你把整個實驗搬走一點點，或者隔一段時間再做一次——如果實驗規(guī)律絲毫不變，這就叫對稱性。

諾特在1918年證明了一個改變物理學(xué)的結(jié)論（后來被稱為“諾特定理”）：

每一種連續(xù)對稱性，都對應(yīng)一種守恒量。

幾個最經(jīng)典的對應(yīng)關(guān)系是：

• 時間平移對稱性 → 能量守恒

• 空間平移對稱性 → 動量守恒

• 旋轉(zhuǎn)對稱性 → 角動量守恒

所以守恒律不是天外飛來的規(guī)定，而是宇宙在說：

• “我不在乎你什么時候做實驗?！?/p>

• “我不在乎你把實驗搬到哪里?！?/p>

• “我不在乎你朝哪個方向擺放?！?/p>

而守恒律，就是這些“不在乎”的數(shù)學(xué)后果。

02

一個非常日常的例子：地球上為什么“幾乎”動量守恒？

我們說：動量守恒來自空間平移對稱性。

但你仔細想：地球表面是平的嗎？不是。地球表面是彎曲的。

在理想的無限平面上，你把實驗整體往東挪10米、往西挪10米，物理規(guī)律不變——這叫完美的平移對稱性，因此動量嚴(yán)格守恒。

但地球表面是球面，從全局看并沒有那種完美“平移對稱”。因此嚴(yán)格說：

物體沿地球表面運動，并不具備完全的平移對稱性，所以也不具備嚴(yán)格的全局動量守恒。

那為什么我們踢球、開車、做碰撞實驗，還是覺得動量守恒很好用？

因為地球曲率太小了——在操場、公路、實驗室這種尺度上，地面看起來幾乎是平的。

于是對稱性近似成立，動量守恒也就近似成立。

這就是諾特思想最關(guān)鍵的味道：

守恒律是對稱性的禮物，而禮物的“嚴(yán)格程度”，取決于對稱性有多完美。

03

諾特是誰？一個被時代拖住的天才

諾特出生于1882年的德國。

那時候女性在大學(xué)里往往連正式學(xué)生都當(dāng)不了，只能旁聽。

她拿到博士學(xué)位后，長期沒有薪水、沒有頭銜，卻仍然在講課、研究。好不容易拿到柏林大學(xué)正式教職，一年后希特勒的納粹政府解聘了猶太血統(tǒng)的她，此后流浪美國。

她真正改變物理學(xué)，是因為愛因斯坦的廣義相對論遇到了麻煩。

當(dāng)時學(xué)界發(fā)現(xiàn)：在愛因斯坦的彎曲時空里，能量守恒似乎變得很微妙。1915年，愛因斯坦在哥廷根給了關(guān)于引力的著名系列演講，此時的愛因斯坦離他的廣義相對論場方程還差一步，愛因斯坦認(rèn)為其關(guān)鍵點在于相對論中能量守恒律如何表現(xiàn)。

在場的傳奇數(shù)學(xué)家希爾伯特對此大感困惑，他想到了他的學(xué)生艾米·諾特。希爾伯特和克萊因把諾特請到哥廷根，希望她能從數(shù)學(xué)根部“修理”這個問題。

結(jié)果她給出了一個堪稱“底層重寫”的答案：守恒律不是必須的，它依賴于對稱性。

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為什么在廣義相對論里，“能量守恒”會變得奇怪？

在經(jīng)典物理里，時間像一條統(tǒng)一流動的河：全宇宙共享同一個背景時鐘。

因此“能量守恒”是一件非常自然的事。

但廣義相對論說：時空不是舞臺布景，而是劇情的一部分。

物質(zhì)能量讓時空彎曲，彎曲的時空又決定物體如何運動。

如果整個宇宙的時空結(jié)構(gòu)在演化，它就未必?fù)碛小皶r間平移對稱性”。

而諾特告訴我們：沒有時間對稱性，就不保證有全局能量守恒。

這不是“物理失控”，而是你問的那個“宇宙總能量”，可能并不是一個永遠能清楚定義的量。

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兩個著名的“能量去哪了？”例子？

① 光子紅移：能量為什么變小了？

在膨脹宇宙中，光在傳播時波長被拉長，頻率下降，能量變小。

直覺會問：能量去哪了？普通物理里你會期待“轉(zhuǎn)賬給了某個東西”。

但在動態(tài)時空中，“總能量守恒”未必是可以全局記賬的概念。

② 引力波：時空自己在“帶著能量跑”

2015年，人類第一次直接探測到引力波：來自兩顆黑洞合并。

合并過程中，一部分質(zhì)量通過 E=mc^2 轉(zhuǎn)化為引力波能量，像波紋一樣輻射出去。

這聽起來像守恒完美成立：黑洞少掉的能量 → 變成引力波帶走。

但微妙之處在于：引力波不是“在時空里傳播的波”，它本身就是時空的振動。

在廣義相對論里，“引力場能量”并不像電磁場那樣能在任何情況下都用一種普遍、坐標(biāo)無關(guān)的方式定義。

很多時候，只有在遠離源、時空近似平坦時，我們才能穩(wěn)穩(wěn)地給引力波算能量賬。

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結(jié)尾：守恒不是宇宙的規(guī)定，而是宇宙的習(xí)慣

過去我們以為守恒律像宇宙戒律。

諾特告訴我們：它更像宇宙的習(xí)慣——來自對稱性的習(xí)慣。

更完整的說法是：

當(dāng)宇宙不在乎“時間是什么時候”，能量才守恒。

當(dāng)宇宙不在乎“你在哪里”，動量才守恒。

在一個會彎曲、會膨脹、會起伏的時空里，對稱性未必完美。

因此守恒律也可能從“嚴(yán)格”變成“近似”，從“全局清楚”變成“局部可靠”。

我們之所以知道這一切，正是因為那位曾經(jīng)長期無薪、無頭銜、卻改寫了物理學(xué)底層邏輯的人——艾米·諾特。

物理學(xué)底層邏輯是數(shù)學(xué)，世界本無能量守恒，只有對稱。

文章轉(zhuǎn)載自“知識分子”微信公眾號