理清角的關(guān)聯(lián)

海淀區(qū)九上數(shù)學第27題

幾何圖形中各角之間的關(guān)聯(lián)，往往是學生解題的難點，兩個角之間的關(guān)系，通常情況下有相等、互余、互補三種基本關(guān)系，七年級我們學習平行線的時候，就已經(jīng)開始初步嘗試尋找角之間的關(guān)系，隨著圖形的復雜化，這種尋找數(shù)量關(guān)系的能力要求也隨之提升。

題目

27.在△ABC中，AB=AC，∠B=α（0° <α<45°），d，e分別是bc，ac的中點，m是線段bd上的動點（不與b，d重合），連接de，em，將線段em繞點e順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段en，連接an.< pan>

(1)如圖1，求證：AN=DM；

(2)如圖2，連接MN交AB于點F，當MF=NF時，用等式表示線段FB與FA的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解析：

01

(1)顯然DE是△ABC中位線，因此DE∥AB，于是∠EDC=∠B=α，得到∠AED=2α，而旋轉(zhuǎn)角∠MEN=2α，我們便看到了兩個相等的角，共用一個頂點，這便是“手拉手”模型的基本構(gòu)造，因此我們可以證明△AEN≌△DEM，從而得到AN=DM；

02

(2)繼續(xù)前面的思路，∠AED=∠MEN=2α，因此△AEN≌△DEM仍然成立，由點F是MN中點，不妨過點M作MG∥AN，構(gòu)造新的全等三角形，如下圖：

由平行線加中點的條件，△AFN≌△GFM，所以我們可以得到AN=GM，而前面又證明了AN=DM，于是GM=DM；

山重水復疑無路了……

我們從∠B=α開始，∠C=α，∠AED=2α，∠EDM=180°-α，由DE∥AB，還可以得到∠BAC=180°-2α（也可以由△ABC內(nèi)角和得到），觀察頂點A處的三個角：∠NAF、∠BAC、∠EAN，它們的和是360°，其中兩個角已知，∠BAC=180°-2α，∠EAN=∠EDM=180°-α，于是得到∠NAF=3α，這是關(guān)鍵條件；

柳暗花明又一村！

借助全等進行轉(zhuǎn)換，∠MGF=∠NAF=3α，它恰好是△BGM的外角，所以可求出∠BMG=2α，對于等腰△DMG而言，兩個底角一定是α，于是得到∠GDM=α=∠C，DG∥AC，這下說明DG也是△ABC中位線，所以點G是AB中點，而點F是AG中點，所以FB=3FA.

解題思考

從走投無路到豁然開朗，中間經(jīng)歷的，是思考，當我們觀察圖形時，腦子里應(yīng)該是各種角的關(guān)系，存在等量關(guān)系的角，是我們優(yōu)先關(guān)注的，存在共頂點、共邊的角，也應(yīng)該是關(guān)注重點，尤其是全等三角形、特殊四邊形中。

本題解法并不唯一，其實四邊形AGDE是平行四邊形，也可以證明，但無論哪種方法，突破口均來自∠B=α，使用字母表示出圖中的角，更易于找到它們間的關(guān)系。