冬天是吃橙子的季節(jié)，當(dāng)你吃橙子的時(shí)候，你是否想過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：在桌子上擺上幾個(gè)橙子，讓幾個(gè)橙子中間圍繞一個(gè)橙子，在保持互相不重疊的情況下，最多可以擺幾個(gè)？在三維空間里，答案是 12 個(gè)。這就是著名的親吻數(shù)問(wèn)題。可是如果是在更高維的空間里呢？這個(gè)連牛頓也沒(méi)想明白的幾何難題，困擾了人類(lèi)三百多年。

最近，上?？茖W(xué)智能研究院（下稱(chēng)上智院）與北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)的聯(lián)合研究團(tuán)隊(duì)打造了一個(gè)名為 PackingStar 的 AI 系統(tǒng)，不僅重現(xiàn)了人類(lèi)已知的所有高維親吻數(shù)紀(jì)錄，還一口氣把從 25 維到 31 維的紀(jì)錄全部打破，并且在 12、14、17、20、21 等多個(gè)維度上打破了多球接吻數(shù)的最佳紀(jì)錄。

除此之外，它還在 14 維發(fā)現(xiàn)了超過(guò) 6,000 種全新的球體排列方式，并在一個(gè)特別難算的 13 維問(wèn)題上，找到了一個(gè)更優(yōu)美的數(shù)學(xué)解。

圖 | AI 在親吻數(shù)問(wèn)題上的突破（來(lái)源：受訪者）

Packing Star 團(tuán)隊(duì)告訴 DeepTech：這是 AI 首次在親吻數(shù)/球堆積領(lǐng)域取得重大且數(shù)學(xué)上可理解的突破，產(chǎn)出的結(jié)構(gòu)具有明確數(shù)學(xué)意義，并揭示了前所未有的局部對(duì)稱(chēng)整體非對(duì)稱(chēng)模式。相比之下，DeepMind 的 AlphaEvolve 雖稍早在 11 維有一項(xiàng)微小改進(jìn)，但其結(jié)果數(shù)學(xué)啟發(fā)性較弱。

“在技術(shù)層面，我們的系統(tǒng)展示了如何用簡(jiǎn)潔優(yōu)美的 AI 工具解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題，或許能啟發(fā)年輕人對(duì) AI for Math 的興趣?！背錾頂?shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的項(xiàng)目核心成員陶兆巍補(bǔ)充稱(chēng)。

（來(lái)源：受訪者）

它全面刷新了人類(lèi)之前已知的最佳紀(jì)錄。尤其是在 25 維，其所找到的排列結(jié)構(gòu)與著名的里奇格點(diǎn)（Leech lattice）這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的局部完美對(duì)應(yīng)，暗示這很有可能就是最優(yōu)解。在 13 維，它找到了一個(gè)包含 1,146 個(gè)球的優(yōu)雅結(jié)構(gòu)，其所有角度都是整齊的分?jǐn)?shù)也就是有理數(shù)。

這雖然沒(méi)有打破球數(shù)總數(shù)的紀(jì)錄，但是這種整潔性更易于被數(shù)學(xué)家嚴(yán)格分析和理解，能為找到更優(yōu)解帶來(lái)一定的指南作用。同時(shí)，它還發(fā)現(xiàn)了 14 維中 6,000 多種全新的球體排列方式，為這個(gè)領(lǐng)域打開(kāi)了巨大的寶庫(kù)。

它首次實(shí)現(xiàn)了非對(duì)稱(chēng)規(guī)則構(gòu)型的系統(tǒng)性搜索。在沒(méi)有反向合成數(shù)據(jù)、憑借零或者少數(shù)初始的直覺(jué)，通過(guò)多智能體強(qiáng)化學(xué)習(xí)直接生成人類(lèi)未曾發(fā)現(xiàn)的空間分布結(jié)構(gòu)。所發(fā)現(xiàn)的新的幾何構(gòu)型是人類(lèi)可理解的，可以啟發(fā)新的數(shù)學(xué)構(gòu)造，同時(shí)還為后續(xù)研究提供了可用的構(gòu)造工具與搜索范式。

項(xiàng)目發(fā)起人馬成棟表示：這正是該團(tuán)隊(duì)心中 AI for Math 的理想形態(tài)——不止于炫技，不止于展現(xiàn) AI 強(qiáng)大的優(yōu)化能力，而是真正貢獻(xiàn)出有生命力、能啟發(fā)后續(xù)探索的數(shù)學(xué)結(jié)果。

什么是親吻數(shù)？

1694 年，牛頓和他的朋友格雷戈里爭(zhēng)論：一個(gè)球周?chē)疃嗄芊艓讉€(gè)同樣大小的球，并且它們只能接吻也就是相切，而不能擁抱也就是重疊，這便是親吻數(shù)問(wèn)題。

如前所述，在人類(lèi)的世界里答案是 12 個(gè)。但是，數(shù)學(xué)家的思維飛得更遠(yuǎn)：在 4 維、8 維、24 維這些我們想象不出來(lái)的空間里，這個(gè)數(shù)字又是多少？

高維空間不是科幻，它就在我們身邊。比如，一段數(shù)字音樂(lè)可以使用成千上萬(wàn)個(gè)維度的點(diǎn)來(lái)表示；現(xiàn)代通信和加密技術(shù)也極度依賴(lài)高維幾何。

親吻數(shù)問(wèn)題，正是理解高維空間如何節(jié)省空間地裝東西的關(guān)鍵。它不僅是數(shù)學(xué)游戲，更為設(shè)計(jì)更高效的網(wǎng)絡(luò)、更穩(wěn)定的通信密碼、乃至理解宇宙的結(jié)構(gòu)提供了基石。

然而，維度一高，問(wèn)題就變得復(fù)雜得可怕。在 8 維以上，可能的排列方式數(shù)量已經(jīng)超過(guò)了圍棋所有可能的棋局，依靠人腦和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)工具幾乎無(wú)法窮盡。過(guò)去半個(gè)世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們殫精竭慮也只在少數(shù)維度得到了精確答案。

AI 如何玩轉(zhuǎn)高維？

讓 AI 來(lái)解答數(shù)學(xué)題，聽(tīng)起來(lái)是讓它做奧數(shù)卷子，似乎難度很大。但是，Packing Star 團(tuán)隊(duì)想了一個(gè)方法：把擺球問(wèn)題變成一個(gè)兩人協(xié)作的拼圖游戲。

他們不再直接結(jié)算每個(gè)球在虛無(wú)縹緲的高維空間中的精確坐標(biāo)，因?yàn)檫@非常容易出錯(cuò)而且效率很低，所以他們轉(zhuǎn)而關(guān)注球與球之間的角度關(guān)系。所有角度信息可以整齊地填寫(xiě)在一個(gè)特殊的表格里。

游戲中，一號(hào)玩家也就是填充者負(fù)責(zé)往表格里添加新的數(shù)字，試圖把表格擴(kuò)大。但是，一開(kāi)始它就像蒙著眼睛走路，難免會(huì)填錯(cuò)。這時(shí)，二號(hào)玩家也就是糾正者出場(chǎng)了，它擁有更全局的視野，能夠找出表格里不和諧、不合理的地方，并把它們擦掉。

兩個(gè) AI 代理人就這樣你添一筆、我改一畫(huà)，在反復(fù)試錯(cuò)與合作中，共同拼出一張?jiān)絹?lái)越大的、代表著更優(yōu)球體排列的完美表格。

圖 | 矩陣填充雙人游戲（來(lái)源：受訪者）

這個(gè)方法妙在哪里？它極其適合使用 AI 進(jìn)行并行處理，可以同時(shí)探索海量的可能性。于是，原本令人望而生畏的、指數(shù)級(jí)爆炸的高維搜索空間，變得可以被高效探索。

這也說(shuō)明，AI 不僅可以做復(fù)雜的計(jì)算，更能夠成為人類(lèi)直覺(jué)的延伸，去探索那些因?yàn)榫S度太高、太抽象而超出了人類(lèi)想象力的數(shù)學(xué)空間。而后，人類(lèi)又可以接著去理解 AI 找到的新結(jié)構(gòu)，提出數(shù)學(xué)直覺(jué)，提煉理論邏輯。人類(lèi)和機(jī)器就這樣循環(huán) play、實(shí)現(xiàn)科研閉環(huán)。

在后續(xù)計(jì)劃上，該團(tuán)隊(duì)打算改進(jìn)現(xiàn)有系統(tǒng)、拓展至全空間球堆積問(wèn)題、探索在圖論等領(lǐng)域的應(yīng)用，以及嘗試觸及更高維度?！拔覀円查_(kāi)始與更多數(shù)學(xué)家建立合作。”陶兆巍表示。

運(yùn)營(yíng)/排版：何晨龍