《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 054

054.數(shù)論新理論及新發(fā)展方向

概述：

我在2002年春天發(fā)現(xiàn)了“Ltg-空間理論”。Ltg-空間理論展現(xiàn)出一種獨(dú)特的研究視角，其通過(guò)“空間屏蔽”與“項(xiàng)數(shù)代數(shù)化”的方式重構(gòu)整數(shù)結(jié)構(gòu)，為哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)等問(wèn)題提供初等證明路徑。從這一角度看，它在?思想原創(chuàng)性與大眾可理解性?方面具有一定的價(jià)值，尤其強(qiáng)調(diào)用非解析工具處理經(jīng)典數(shù)論問(wèn)題，契合“初等方法研究”的理想目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：素?cái)?shù)空穴、孿生素?cái)?shù)猜想證明、項(xiàng)數(shù)轉(zhuǎn)換定理、哥德巴赫猜想證明。

一、 Ltg-空間理論

由等差數(shù)列組構(gòu)成正整數(shù)的空間結(jié)構(gòu)理論，簡(jiǎn)稱Ltg-空間理論。

Ltg-空間理論的定義：

所有正整數(shù)1,2,3,…均可由一組等差數(shù)列表示，這些等差數(shù)列按序1,2,3,…構(gòu)成無(wú)限多空間。選定特定等差數(shù)列空間后，這個(gè)空間與其他空間自動(dòng)屏蔽，其他數(shù)列不再進(jìn)入這個(gè)空間，全部正整數(shù)（包括素?cái)?shù)及合數(shù)）均獲得固定位置，并對(duì)應(yīng)唯一項(xiàng)數(shù)N。因此，素?cái)?shù)及合數(shù)的出現(xiàn)均遵循特定規(guī)律而非隨機(jī)離散發(fā)生。

設(shè)Zk為全體正整數(shù)空間，則有公式：

Zn=WN+A

其中：W表示維度，W=1,2,3…

N為各正整數(shù)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，N=0,1,2,3…

A為特定空間內(nèi)等差數(shù)列的順序號(hào)，A=1,2,3…

用代數(shù)式可以這樣表示：

N+1

2N+1,2N+2

3N+1,3N+2,3N+3

4N+1,4N+2,4N+3,4N+4

5N+1，5N+2,5N+3,5N+4,5N+5

許許多多……

在上述的每一組橫向等差數(shù)列（方程組）中，每一組都可代表所有整數(shù)。一旦選定特定的空間，其他空間內(nèi)的等差數(shù)列將不會(huì)進(jìn)入該空間，從而實(shí)現(xiàn)了空間的隔離。

如下圖表示，

這個(gè)理論把等差數(shù)列與函數(shù)相連接，是等差數(shù)列與函數(shù)之間的一座橋梁。

二、N+A空間里面的正整數(shù)結(jié)構(gòu)

1、正整數(shù)的誕生及其性質(zhì)

我們采用單位1這個(gè)概念，通過(guò)某種方式換取出一個(gè)線段。在原本什么都沒(méi)有的基礎(chǔ)上，開(kāi)始構(gòu)建起最基本的幾何元素，而這個(gè)單位1就是構(gòu)建線段的關(guān)鍵要素，它決定了線段的長(zhǎng)度等基本屬性。

零點(diǎn)實(shí)質(zhì)上代表的是“順序的起始之處”，這實(shí)際上體現(xiàn)了時(shí)空所具備的一種連續(xù)性特征，而這種特征并非由人類主觀規(guī)定出來(lái)的，而是時(shí)空本身固有的屬性。數(shù)量要想達(dá)到1這個(gè)數(shù)值，就必須要滿足構(gòu)成一個(gè)單位（整體）的條件。我們利用這個(gè)作為基礎(chǔ)的單位1，才能夠朝著無(wú)窮遠(yuǎn)的方向不斷擴(kuò)展延伸。所以，在每一個(gè)格子之中，都隱含著1這個(gè)基本單位的存在意義。

第一個(gè)格子中所呈現(xiàn)的數(shù)量為1，也就是說(shuō)，它僅僅包含一個(gè)“1”。那么，緊隨其后的第二個(gè)格子里，按照既定的規(guī)則，就應(yīng)該包含兩個(gè)“1”了。這樣的設(shè)定仿佛開(kāi)啟了一種獨(dú)特的序列模式，我們依據(jù)這樣的規(guī)則不斷地進(jìn)行推演，這個(gè)序列便會(huì)如同潺潺流水一般，順著特定的順序持續(xù)不斷地延伸、擴(kuò)展下去，并且沒(méi)有盡頭，展現(xiàn)出一種數(shù)量上無(wú)限無(wú)窮發(fā)展的態(tài)勢(shì)。為了能夠更加清晰、直觀地將這種序列的規(guī)律和內(nèi)容展現(xiàn)出來(lái)，我們完全可以用一個(gè)精心設(shè)計(jì)的表格來(lái)對(duì)這些格子中的內(nèi)容進(jìn)行表示和梳理。

表格如下，

順序號(hào)我們可以使用項(xiàng)數(shù)N來(lái)進(jìn)行替代，而正整數(shù)的數(shù)量則可以用等差數(shù)列N+1來(lái)表示。這是由于所有的正整數(shù)Z=1，2，3……這樣的數(shù)列本質(zhì)上就是一個(gè)等差數(shù)列。在這個(gè)等差數(shù)列當(dāng)中，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之間的差是一個(gè)固定的常數(shù)值，并且這個(gè)數(shù)列是從1開(kāi)始不斷地往后延伸的，包含了所有的正整數(shù)部分，當(dāng)我們用項(xiàng)數(shù)N去替換順序號(hào)的時(shí)候，就能夠建立起一種對(duì)應(yīng)的關(guān)系，從而更好地對(duì)整個(gè)數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特性進(jìn)行分析研究，同時(shí)利用等差數(shù)列N+1來(lái)代表正整數(shù)數(shù)量也能夠更直觀地體現(xiàn)出正整數(shù)在數(shù)量上的規(guī)律性以及增長(zhǎng)趨勢(shì)等情況。

這個(gè)表格所表示的其實(shí)就是Ltg - 空間里面的N + A（在這里A等于1）這樣的一個(gè)特殊空間。當(dāng)這個(gè)表格被構(gòu)建形成之后，它就會(huì)自動(dòng)地與其他的各類空間相互屏蔽隔離開(kāi)來(lái)。通過(guò)這樣的一種方式，每一個(gè)正整數(shù)，這其中當(dāng)然也包含了那些素?cái)?shù)在內(nèi)，都擁有了唯一的一個(gè)項(xiàng)數(shù)N與之相對(duì)應(yīng)。如此一來(lái)的話，我們就可以把這里的項(xiàng)數(shù)N視為是一個(gè)直線方程，這個(gè)方程表達(dá)為f(N) = N這樣的形式；與此同時(shí)，我們同樣可以把正整數(shù)Z也看作是一個(gè)直線方程，這個(gè)方程則表達(dá)為Z(N) = N + 1這樣的形式。

當(dāng)數(shù)值N等于1的時(shí)候，對(duì)應(yīng)的Z值為2。在這個(gè)情況下，我們觀察到一個(gè)規(guī)律，那就是以2作為周期的一系列正整數(shù)，例如4、6、8等等，這些數(shù)字都存在一個(gè)共同的特點(diǎn)，即它們都能夠被2整除，也就是說(shuō)，這些數(shù)都含有因子2?；谶@樣的發(fā)現(xiàn)，我們可以進(jìn)一步地推斷出，這一系列的數(shù)字實(shí)際上可以通過(guò)某種特定的數(shù)學(xué)表達(dá)方式來(lái)描述，具體而言，就是可以借助所謂的“合數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列”或者是一個(gè)“函數(shù)直線方程”來(lái)進(jìn)行表示。這種方法不僅能夠清晰地展示出這類數(shù)字的排列規(guī)律，同時(shí)也為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)分析和研究提供了便利。

N2=2k+1用這個(gè)方法我們可以得到一系列合數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列，

N3=3k+2

N5=5k+4

N7=7k+6

N11=11k+10

Ns=Sk+n…… 其中，k=1,2,3,4……

這些被稱為“合數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，與所謂的空間屏蔽概念實(shí)際上并不相互沖突或矛盾。

這些“合數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列”其實(shí)就是“合數(shù)項(xiàng)公式”解。

合數(shù)項(xiàng)公式：

Nh=a(b+1)+ba,b≥1

這是一個(gè)包含二元一次方程的雙曲線族方程組，我們可以進(jìn)一步將其中的項(xiàng)數(shù)N視為一條直線。在這個(gè)方程組中，當(dāng)這條代表N的直線與雙曲線族方程組相交時(shí)，這些交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)即為合數(shù)項(xiàng)Nh，通過(guò)這種方式我們能夠確定一個(gè)合數(shù)。而另一方面，如果某些項(xiàng)并沒(méi)有與N產(chǎn)生交點(diǎn)，那么這些項(xiàng)就被稱為素?cái)?shù)項(xiàng)Ns，通過(guò)這種方法就可以確認(rèn)一個(gè)素?cái)?shù)。從這個(gè)公式本身來(lái)看，即便不進(jìn)行額外的證明，我們也能夠直觀地理解到，素?cái)?shù)的數(shù)量是無(wú)窮無(wú)盡的。

借助于公式Ns = N - Nh，我們能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)素?cái)?shù)在特定區(qū)間內(nèi)所處位置的精準(zhǔn)定位，并且可以明確得出該區(qū)間內(nèi)素?cái)?shù)的準(zhǔn)確數(shù)量。這一成果具有非凡的意義，與以往用于研究素?cái)?shù)的傳統(tǒng)方法相比，展現(xiàn)出了令人驚嘆的巨大進(jìn)步。在過(guò)去，研究素?cái)?shù)時(shí)所采用的方法往往存在著諸多局限和不足之處，而如今這個(gè)公式的出現(xiàn)，就像是一把神奇的鑰匙，打開(kāi)了更為精準(zhǔn)、高效研究素?cái)?shù)的大門，使得我們?cè)谔剿魉財(cái)?shù)奧秘的道路上邁出了極為重要的一步。

2、關(guān)于孿生素?cái)?shù)的有關(guān)問(wèn)題

首先，我們需要明確的是，N+A表格之間形成了一種特定的函數(shù)關(guān)系。在這里，無(wú)論是函數(shù)表達(dá)式f(N)等于N本身的情況，還是f(Z)等于N加1的情形，又或者是Nh等于a乘以(b+1)再加上b這樣的關(guān)系式，它們都屬于初等函數(shù)的范疇。而對(duì)于這些初等函數(shù)而言，在區(qū)間（0，∞）這個(gè)特定的范圍內(nèi)，它們所具有的性質(zhì)是始終保持不變的，不會(huì)因?yàn)槟承┮蛩囟l(fā)生改變。并且，這些函數(shù)性質(zhì)的恒定性是顯而易見(jiàn)的，不需要我們?cè)倩ㄙM(fèi)精力去進(jìn)行額外的證明來(lái)加以確認(rèn)。

我們分析“合數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列”2N+1和“素?cái)?shù)項(xiàng)等差數(shù)列”SK+n聚會(huì)引進(jìn)一個(gè)概念“素?cái)?shù)空穴”。

定義：“素?cái)?shù)空穴”，就是指正整數(shù)中未能被已知素?cái)?shù)及其合數(shù)占據(jù)的位置。

見(jiàn)下圖，

由于合數(shù)項(xiàng)數(shù)列N2 = 2k + 1在空間中占據(jù)了形如2N + 1的所有位置，例如3、5、7、9等這樣的奇數(shù)位置，這就使得未來(lái)可能出現(xiàn)的新素?cái)?shù)以及它們對(duì)應(yīng)的合數(shù)Ns =Sk + n，只能被安排在諸如2K +2和2K + 4這樣的偶數(shù)項(xiàng)位置上。因?yàn)槭Ｓ嘞聛?lái)可供使用的都是像2、4、6……這樣的偶數(shù)位置，而新產(chǎn)生的素?cái)?shù)卻始終是3、5、7……這類奇數(shù)形式，所以無(wú)論出現(xiàn)多少個(gè)新的素?cái)?shù)，都無(wú)法完全填滿正整數(shù)序列中存在的那些“素?cái)?shù)空穴”。因此，基于這種無(wú)法填滿所有空缺的特性，可以推斷出素?cái)?shù)的數(shù)量必然是無(wú)窮無(wú)盡的。

實(shí)際上，我們完全可以將數(shù)列2K+2和2K+4視作是兩個(gè)相互獨(dú)立且互不干擾的直線方程組。這兩個(gè)數(shù)列中的元素各自按照其特定的規(guī)律進(jìn)行排列，并且在它們各自的數(shù)列之中，所包含的素?cái)?shù)的數(shù)量都是無(wú)窮無(wú)盡的。當(dāng)我們令K取相同值的時(shí)候，就可以把這兩個(gè)數(shù)列中的對(duì)應(yīng)元素組合起來(lái)看成是一個(gè)數(shù)對(duì)。在這種情況下，這樣的數(shù)對(duì)只可能出現(xiàn)四種不同的組合情況，分別是：合數(shù)與合數(shù)、合數(shù)與素?cái)?shù)、素?cái)?shù)與合數(shù)、素?cái)?shù)與素?cái)?shù)。

假如在這四種可能的情況當(dāng)中，有任何一種情況是不存在的，那么就會(huì)引發(fā)一系列的問(wèn)題。因?yàn)閺臄?shù)學(xué)原理上來(lái)說(shuō)，合數(shù)和素?cái)?shù)在自然數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)量都是無(wú)窮多的，這是已經(jīng)被證明過(guò)的數(shù)學(xué)事實(shí)。如果某種情況不存在，就意味著要么合數(shù)的數(shù)量不是無(wú)窮多，要么素?cái)?shù)的數(shù)量不是無(wú)窮多，這顯然與我們已經(jīng)知曉的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)相互矛盾。所以，基于這樣的邏輯推理，在空間N+A之中所存在的孿生素?cái)?shù)（也就是相差為2的素?cái)?shù)對(duì)），它們的數(shù)量也必然是無(wú)窮多的。

三、2N+A空間里面的正整數(shù)結(jié)構(gòu)

1、2N+A空間的性質(zhì)

這個(gè)空間表格如下

這個(gè)表格包含了全部正整數(shù)，并且與其他正整數(shù)空間屏蔽，形成成一個(gè)獨(dú)立的體系，與其他“數(shù)論理論”無(wú)關(guān)，我們的研究就針對(duì)這個(gè)表格的現(xiàn)實(shí)。

1） 項(xiàng)數(shù)轉(zhuǎn)換定理

分析2N+A空間，有項(xiàng)數(shù)分解原理、奇數(shù)分解原理、偶數(shù)分解原理和空間項(xiàng)數(shù)轉(zhuǎn)換定理（即k=m+n=N），其中，k,m,n,N都是項(xiàng)數(shù)。

項(xiàng)數(shù)分解原理

如，項(xiàng)數(shù)N = 8，且8 = 0 + 8 =1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4

即，k=m+n= N

奇數(shù)分解原理

當(dāng)取項(xiàng)數(shù)N = 8時(shí)，存在奇數(shù)J = 17。

我們發(fā)現(xiàn)，17 = 1 + 16 = 2 + 15 = 3 + 14 = 4 + 13 = 5 + 12 = 6 + 11 = 7 + 10 =8 + 9。

J=(2m+1)+(2n+1)= (2n+1) +(2m+1)=2(m+n)+2=2k+2=2N+2

也就是說(shuō)，一個(gè)奇數(shù)等于小于它的所有整數(shù)首尾交叉兩兩相加的和。

即，k=m+n= N

偶數(shù)分解原理

當(dāng)取項(xiàng)數(shù)N = 8時(shí)，存在偶數(shù)O = 18。

我們發(fā)現(xiàn)18 = 1 + 17 = 3 + 15 = 5 + 13 = 7 + 11 = 9 + 9。

18=2+16=4+12=6+10=8+8=10+6=12+4=14+2。

O=(2m+1)+(2n+1)= (2n+2) +(2m+2)=2(m+n)+2=2k+2=2N+2

也就是：一個(gè)偶數(shù)等于小于它的全部奇數(shù)或偶數(shù)的首尾相加。

這就有了一個(gè)非常重要的發(fā)現(xiàn)：在2N + A這樣一個(gè)特定的空間里面，任何一個(gè)被特指的項(xiàng)數(shù)k，它都處于區(qū)間[0，N]這個(gè)范圍之內(nèi)。這就意味著，在此特定的空間內(nèi)部，那個(gè)被特指的項(xiàng)數(shù)k的數(shù)值是與區(qū)間的項(xiàng)數(shù)N的數(shù)值相等的，也就是k = N這樣的一個(gè)等量關(guān)系成立?；谶@一獨(dú)特的性質(zhì)，我們將其定義為“項(xiàng)數(shù)轉(zhuǎn)換定理”，這一發(fā)現(xiàn)對(duì)于理解該空間的結(jié)構(gòu)和特性有著極為關(guān)鍵的意義。

不論項(xiàng)數(shù)N如何變化，增大或變小，甚至趨向無(wú)窮大，這些關(guān)聯(lián)性質(zhì)都不會(huì)改變。

2）2N+A空間里面的公式

合數(shù)項(xiàng)數(shù)列是

3k+1

5k+2

7k+3

11k+5

Sk+N

合數(shù)項(xiàng)公式是

Nh=a(2b+1)+ba,b≥1

這是一個(gè)二元一次雙曲線族方程，顯然與項(xiàng)數(shù)N的直線方程f(N)=N不會(huì)重合，所以素?cái)?shù)項(xiàng)Ns也是有無(wú)窮多的。

還有公式

2N+2=q+p q和p是數(shù)列2N+1里面的素?cái)?shù)。

2Z= q+p 與 Z=(q+p)/2

空間2N+A本身就是一個(gè)極為特殊的函數(shù)表達(dá)形式，這一特性實(shí)際上與素?cái)?shù)分布所呈現(xiàn)出的復(fù)雜性并沒(méi)有直接關(guān)聯(lián)。在這里，我們主要關(guān)注的是區(qū)間（0，N]自身所具備的獨(dú)特性質(zhì)。當(dāng)數(shù)值N逐漸趨向于無(wú)窮大這一極限狀態(tài)時(shí)，表格所展現(xiàn)出的各類性質(zhì)并不會(huì)隨之發(fā)生改變，而是會(huì)始終保持原有的狀態(tài)和特征。也就是說(shuō)，無(wú)論N如何增大，區(qū)間（0，N]在表格中體現(xiàn)出來(lái)的那些本質(zhì)屬性都會(huì)穩(wěn)定不變，這與空間2N+A這個(gè)特殊函數(shù)式是獨(dú)立存在的事實(shí)相一致，不會(huì)受到素?cái)?shù)分布復(fù)雜性的干擾。

2、哥巴赫猜想的證明

依據(jù)目前權(quán)威對(duì)素?cái)?shù)的定義，我們必須限定一些條件。1 不是素?cái)?shù)，4 = 2 + 2，偶數(shù)大于或等于 6。

在奇數(shù)數(shù)列2N+1上任選兩個(gè)素?cái)?shù)q和p它們的項(xiàng)位分別是m和n，這個(gè)我們可以做到。

把這兩個(gè)素?cái)?shù)相加，有

（2m+1）+(2n+1) = 2(m+n)+2=2K+2

2K+2是一個(gè)偶數(shù)，他的項(xiàng)位是K，依據(jù)空間轉(zhuǎn)換定理

2K+2=2N+2

所以有，q+p = 2N+2

哥德巴赫猜想得證！

注：我們的證明過(guò)程完全獨(dú)立于其他理論中關(guān)于素?cái)?shù)分布復(fù)雜性的相關(guān)論述，二者之間并無(wú)關(guān)聯(lián)。我們僅僅是基于2N + A表格所呈現(xiàn)出的現(xiàn)實(shí)情況以及它本身具備的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)的。需要強(qiáng)調(diào)的是，我們得出的這些結(jié)論并非出于人為的主觀編造，而是基于客觀存在的現(xiàn)實(shí)情況。當(dāng)我們聚焦于局部區(qū)間（0，N]時(shí)，2N + A所具有的性質(zhì)是清晰可辨的，并且經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)N逐漸增大并趨近于無(wú)窮大時(shí)，2N + A在之前局部區(qū)間所具備的那些性質(zhì)依然會(huì)存在，并不會(huì)因?yàn)镹的無(wú)限增大而發(fā)生改變。

總結(jié)：

在前面的內(nèi)容里，我們僅僅針對(duì)N+A空間以及2N+A空間中的狀況展開(kāi)了研究。然而，在這之后還存在著諸如3N+A、4N+A、6N+A、8N+A等眾多空間形式，直至延伸到無(wú)窮無(wú)盡的空間范圍。我在此過(guò)程中的角色，就好比是一個(gè)推開(kāi)未知領(lǐng)域大門的人，也可以被看作是一塊為后繼者鋪設(shè)道路的基石。

我懷著殷切的期望，希望廣大的數(shù)學(xué)研究工作者、熱愛(ài)數(shù)學(xué)的愛(ài)好者，還有正在成長(zhǎng)學(xué)習(xí)中的中小學(xué)生，都能夠投身于我這種運(yùn)用“初等方法研究”數(shù)論的事業(yè)當(dāng)中。通過(guò)大家的共同努力，把那些真實(shí)且簡(jiǎn)潔的數(shù)論思想，以及嚴(yán)謹(jǐn)而富有邏輯的數(shù)學(xué)思維方式傳播給社會(huì)大眾，從而推動(dòng)中國(guó)的數(shù)論事業(yè)不斷向前發(fā)展，最終能夠在世界的這一領(lǐng)域中占據(jù)巔峰之位，引領(lǐng)全球數(shù)論研究的方向與潮流。

這是數(shù)論研究領(lǐng)域的“數(shù)論新發(fā)展方向”。

2026年2月28日星期六