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SAMP（Scientific American Math Puzzles，《科學(xué)美國(guó)人》數(shù)學(xué)謎題）集錦[20260207 - 20260228每周一題共4題]（每小題后附答案講解及原文鏈接——淺色文字答案內(nèi)容可選中后反色查看）。

作者：SCIAM科學(xué)美國(guó)人（Scientific American）2026-2-28

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-2-28

日期：2026-2-7

作者：馬丁·加德納

問(wèn)題：追蹤白蟻

圖源： Amanda Monta?ez

想象有一個(gè)大立方體，由 27 個(gè)大小完全相同的木質(zhì)小立方體粘合而成。一只白蟻從某一個(gè)邊緣小立方體的面中心出發(fā)，一路蛀穿前進(jìn)，要求穿過(guò)每一個(gè)小立方體且僅穿過(guò)一次。它的移動(dòng)方向始終與大立方體的某條棱邊平行，絕不會(huì)沿對(duì)角線行進(jìn)。那么，這只白蟻能否先依次蛀穿外側(cè)的 26 個(gè)小立方體，每個(gè)僅穿一次，最后再首次鉆入正中心的那個(gè)小立方體呢？若可行，請(qǐng)說(shuō)明具體路徑；若不可行，請(qǐng)給出證明。

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-follow-termite/

白蟻無(wú)法先穿過(guò)外側(cè) 26 個(gè)小立方體各一次，再以中心立方體結(jié)束行程。

這一點(diǎn)可以通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的方法證明：我們將大立方體中的所有小立方體想象成三維國(guó)際象棋棋盤(pán)的格子，進(jìn)行黑白相間的染色。如此一來(lái)，這個(gè)大立方體中會(huì)出現(xiàn)13 個(gè)一種顏色的小立方體，和14 個(gè)另一種顏色的小立方體。

白蟻的行進(jìn)路徑中，每穿過(guò)一個(gè)小立方體，顏色必然會(huì)發(fā)生一次交替；因此，若要一次性穿過(guò)全部 27 個(gè)小立方體，其行程的起點(diǎn)和終點(diǎn)，必然都屬于數(shù)量為 14 的那一種顏色的小立方體。而大立方體正中心的小立方體，恰好屬于數(shù)量為 13 的那一組，由此可知，題目要求的行進(jìn)路徑是不可能實(shí)現(xiàn)的。

日期：2026-2-14

作者： Jack Murtagh

問(wèn)題：所有圓的周長(zhǎng)之和

一個(gè)紅色的圓內(nèi)接于一個(gè)藍(lán)色正方形，這樣的布局會(huì)在正方形的四個(gè)角落留下空隙。其中兩個(gè)角落各嵌入一個(gè)稍小的圓，這些小圓恰好與大紅圓相切，同時(shí)也與藍(lán)色正方形該角落的兩條邊相切。而這一做法又會(huì)在角落處留下兩個(gè)更小的空隙，空隙中再嵌入更小的圓，以此類(lèi)推，無(wú)數(shù)個(gè)愈發(fā)微小的圓會(huì)不斷填充下去。整個(gè)圖形又內(nèi)接于一個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的灰色正方形內(nèi)。那么，所有這些圓的周長(zhǎng)總和是多少？

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-sum-circles/

所有圓的周長(zhǎng)之和為 π。

圓的周長(zhǎng)等于 π 乘以直徑，因此，直徑分別為 d?、d?、d?…… 的眾多圓，其周長(zhǎng)總和為：πd? + πd? + πd? + … = π(d? + d? + d? + …)

由此可見(jiàn)，只要算出所有圓的直徑之和，再將其乘以 π，就能得到答案。借助圖形的對(duì)稱性，即便將部分圓移至不同角落，其大小也不會(huì)發(fā)生改變。

由于無(wú)數(shù)個(gè)圓最終都趨近于藍(lán)色正方形的角落，所有圓的直徑之和恰好等于藍(lán)色正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度（即圖中的虛線）。而外圍灰色正方形的邊長(zhǎng)為 1，因此這條對(duì)角線的長(zhǎng)度也為 1。

日期：2026-2-21

作者： Hans-Karl Eder

問(wèn)題： 求三個(gè)未知數(shù)的值

已知如下三個(gè)等式，求 x、y、z 的數(shù)值：

x + y = x × y × z

x + z = x × y × z

y + z = x × y × z

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-three-values/

這三個(gè)未知數(shù)的取值相同，均為 0、√2 或 -√2。

通過(guò)以下變形可證，x、y、z 三者必然相等。先將三個(gè)等式依次標(biāo)記為式 Ⅰ、式 Ⅱ、式 Ⅲ：

Ⅰ. x + y = x × y × z

Ⅱ. x + z = x × y × z

Ⅲ. y + z = x × y × z

用式 Ⅰ 減去式 Ⅱ，可得 y - z = 0；

用式 Ⅱ 減去式 Ⅲ，可得 x - y = 0。

整理后即得 y = z、x = y，因此 x = y = z。

由此，可將第一個(gè)等式中的 y 和 z 均替換為 x。

首先，等式 x + y = x × y × z 可轉(zhuǎn)化為 x + x = x × x × x，進(jìn)一步推導(dǎo)：

2x = x3

x3 - 2x = 0

x×(x2 - 2) = 0

由此可得，要么 x = 0，要么 x2 - 2 = 0。

若為后一種情況，x2 - 2 = (x - √2)×(x + √2) = 0，

解得 x = √2 或 x = -√2。

日期：2026-2-28

作者： Jack Murtagh

問(wèn)題： 你能讀懂我的心嗎？

我心里想了一個(gè) 1 到 1000 之間的整數(shù)，你可以向我提是非題，直到猜出這個(gè)數(shù)為止。

1、要保證準(zhǔn)確猜出這個(gè)數(shù)，你需要提多少個(gè)問(wèn)題？（最終說(shuō)出答案不算作提問(wèn)。）

2、如果要求你提前把所有問(wèn)題都寫(xiě)出來(lái)呢？也就是說(shuō)，我們不會(huì)進(jìn)行互動(dòng)問(wèn)答，你要先寫(xiě)下所有問(wèn)題，我會(huì)一次性回答全部問(wèn)題，之后你再猜數(shù)。而且我回答問(wèn)題的順序可能是任意的（比如，我可能先回答第七個(gè)問(wèn)題），因此后面的問(wèn)題不能依賴前面問(wèn)題的答案。

本題有提示可選，提示會(huì)直接給出答案的數(shù)字，卻需要你自己琢磨解題方法。

提示：令人意外的是，兩種猜數(shù)場(chǎng)景需要的問(wèn)題數(shù)量完全相同：都是 10 個(gè)。

答案：

第一個(gè)互動(dòng)猜數(shù)場(chǎng)景的經(jīng)典解法是二分查找法。你可以先問(wèn)：“這個(gè)數(shù)大于 500 嗎？” 無(wú)論我回答是或否，你都能將可能的數(shù)字范圍縮減一半。接下來(lái)的每一個(gè)問(wèn)題，都能繼續(xù)把剩余的數(shù)字范圍再減半。如果我回答數(shù)大于 500，你的第二個(gè)問(wèn)題就可以問(wèn) “這個(gè)數(shù)大于 750 嗎？”；如果我回答數(shù)小于或等于 500，第二個(gè)問(wèn)題就可以問(wèn) “這個(gè)數(shù)大于 250 嗎？”。一開(kāi)始有 1000 種可能，問(wèn)完第一個(gè)問(wèn)題后縮減為 500 種，第二個(gè)問(wèn)題后變成 250 種，以此類(lèi)推。將 1000 連續(xù)對(duì)半劃分 10 次后，最終就只剩下一種可能，也就確定了答案。一般來(lái)說(shuō)，n 個(gè)是非題足以確定 1 到 2?之間的任意一個(gè)整數(shù)（而 21?=1024，因此 10 個(gè)問(wèn)題就足以猜出 1 到 1000 之間的數(shù)）。

乍看之下，取消互動(dòng)問(wèn)答的限制似乎需要更多問(wèn)題，但事實(shí)并非如此。第二個(gè)場(chǎng)景的一種解法，是把我想的數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)來(lái)看。1 到 1000 之間的任意整數(shù)，都可以用 10 位二進(jìn)制數(shù)表示（最大的 10 位二進(jìn)制數(shù)是 10 個(gè) 1 組成的 1111111111，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)是 1023）。因此，你可以直接針對(duì)這個(gè)數(shù)的二進(jìn)制形式提問(wèn)。你可以先問(wèn)：“這個(gè)數(shù)的二進(jìn)制第一位是 1 嗎？” 如果我回答否，你就知道這個(gè)數(shù)的二進(jìn)制第一位是 0。接著你可以繼續(xù)問(wèn)：“這個(gè)數(shù)的二進(jìn)制第二位是 1 嗎？” 問(wèn)完 10 個(gè)問(wèn)題后，我給出的答案就會(huì)拼湊出一個(gè)唯一的 10 位二進(jìn)制數(shù)，而這個(gè)二進(jìn)制數(shù)又對(duì)應(yīng)著唯一的十進(jìn)制整數(shù)。

參考資料

https://www.scientificamerican.com/games/math-puzzles/

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