★置頂zzllrr小樂公眾號（主頁右上角）數(shù)學(xué)科普不迷路！

托勒密定理是古希臘數(shù)學(xué)的經(jīng)典結(jié)論之一，研究的是圓內(nèi)接多邊形的邊長與對角線長度關(guān)系。在本篇簡報中，我將闡釋這一定理為何至今仍具重要意義——其核心價值體現(xiàn)在泰希米勒理論（Teichmüller theory）中的應(yīng)用，該理論致力于描述帶邊曲面的所有可能“形態(tài)”。

作者：Matthew Pressland（馬修·普雷斯蘭，法國諾曼底大學(xué)講師）

MFO奧伯沃爾法赫現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡報 2026-2-2

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-3-13

1 托勒密定理（Ptolemy’s theorem）

一個著名的數(shù)學(xué)結(jié)論是：任意三角形均有外接圓，即存在一個（唯一的）圓經(jīng)過三角形的三個頂點。這一外接圓的可視化難易程度取決于三角形的形狀（例如，圓心可能落在三角形外部），但無論如何，外接圓始終存在。而對于四邊及以上的多邊形，這一性質(zhì)不再成立（見圖1最右側(cè)圖形），僅有具備特殊性質(zhì)的多邊形才能擁有外接圓。

圖1 所有三角形都有外接圓，但并非所有四邊形都有。

托勒密定理描述的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，它給出了此類四邊形的兩條對角線長度乘積與四條邊長的關(guān)系式：

xy=αγ+βδ

具體邊長與對角線的標(biāo)注見圖2。

圖2：圓內(nèi)接四邊形的邊長與對角線恒滿足xy=αγ+βδ，即對角線長度的乘積等于兩組對邊長度乘積之和。

托勒密（Ptolemy，公元100–170年）是古希臘科學(xué)家，他在研究天文學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn)了這一定理。

對該公式進行變形可得，若已知圓內(nèi)接四邊形的四條邊長α、β、γ、δ與其中一條對角線長度x，便可通過下述公式計算出另一條對角線的長度y：

y=(αγ+βδ)/x

接下來考慮更一般的n邊圓內(nèi)接多邊形。選取該多邊形中n-3條互不相交的對角線，可將其分割為n-2個共外接圓的三角形，這種分割方式被稱為三角剖分（triangulation）。

例如，在圖2中選取標(biāo)注為x或y的其中一條對角線，即可實現(xiàn)對該四邊形的三角剖分；無法同時選取x和y，因為這兩條對角線相交，且相交后形成的四個小三角形與原四邊形并非共外接圓。

圖3：翻轉(zhuǎn)五邊形三角剖分中加粗標(biāo)注的對角線。

圖3展示了一個圓內(nèi)接五邊形的三角剖分，同時呈現(xiàn)了通過翻轉(zhuǎn)（flipping）選定對角線實現(xiàn)不同三角剖分間轉(zhuǎn)換的方法：任意一條對角線均為兩個三角形的公共邊，這兩個三角形共同構(gòu)成一個四邊形（其邊可為原多邊形的邊，也可為三角剖分中的其他對角線），將選定對角線替換為該四邊形的另一條對角線，即可得到新的三角剖分。

若先對多邊形進行三角剖分并測量其對角線（及邊長）的長度，隨后通過翻轉(zhuǎn)對角線并反復(fù)應(yīng)用托勒密定理，即可計算出該多邊形的所有其他對角線長度。

2 雙曲多邊形（Hyperbolic polygons）

對于繪制在平面上的多邊形，托勒密定理的應(yīng)用價值看似有限——畢竟多數(shù)多邊形并非圓內(nèi)接，而該定理僅適用于圓內(nèi)接多邊形。但當(dāng)研究雙曲平面（hyperbolic plane，一種曲面）上的幾何時，托勒密定理的真正威力便得以顯現(xiàn)。關(guān)于雙曲幾何的基礎(chǔ)研究可參閱往期簡報[4]，本文僅作簡要介紹。

在平面上，兩點之間的最短曲線始終為直線；而雙曲平面是彎曲的，因此其內(nèi)部的所有路徑也均為曲線，但任意兩點之間仍存在最短長度的曲線，即測地線（geodesic）。正如我們將球形的地球繪制在平面地圖上會產(chǎn)生變形，雙曲平面也可表示為一個圓，其測地線為與邊界圓成直角相交的圓?。ㄌ厥馇闆r為過圓心的直線）（見圖4），這一模型被稱為龐加萊圓盤模型（Poincaré disc model），因藝術(shù)家M. C. Escher（埃舍爾，1898–1972）的《圓極限》系列作品而聞名。

圖4：雙曲平面龐加萊圓盤模型中的測地線（左）、該平面中的理想五邊形（中）、與Escher《圓極限》系列相關(guān)的雙曲平面密鋪（右）。

圖4（右）：龐加萊圓盤模型中由三角形鋪成的雙曲平面密鋪。盡管從視覺上看，靠近邊界圓的三角形似乎更小，但這只是將無限的雙曲平面壓縮為有限圖形產(chǎn)生的視覺畸變，實際并非如此。我們將邊界圓視為“在無窮遠處”，尤其需要注意的是，圖4中的所有圓弧長度均為無窮大。

雙曲平面中的理想多邊形（ideal polygon）由邊界圓上的若干點構(gòu)成，相鄰點之間由測地線連接，圖4（中）為理想五邊形的示例。此處的“理想（ideal）”指的是：由于邊界圓在無窮遠處，多邊形的邊實際上并未在雙曲平面內(nèi)相交。

圖4中的理想五邊形對稱性較差，其邊的視覺長度看似不同，而實際上這些邊在雙曲平面中的長度均為無窮大。為將這一直觀感受量化，我們可通過極限圓（horocycles）這一輔助曲線截斷多邊形的頂點（見圖5）。

圖5：理想五邊形頂點處的極限圓。通過測量曲線在兩個極限圓之間的帶（符）號距離（圖中加粗部分），可為五邊形的邊或?qū)蔷€賦予有限長度。

在龐加萊圓盤中，極限圓是與無窮遠圓相切的圓。對于理想多邊形的任意一條邊或?qū)蔷€，我們可測量其在兩個極限圓之間的長度，由此得到一個有限值，稱為該圓弧的λ長度（lambda length，以希臘字母λ命名）：若?為圖5中某條加粗曲線的雙曲長度，當(dāng)兩個極限圓不相交時，對應(yīng)的λ長度為e^?；當(dāng)兩個極限圓相交時，對應(yīng)的λ長度為e^{-?}。

此時會出現(xiàn)一個奇妙的結(jié)論：這些λ長度同樣滿足托勒密定理！也就是說，與平面上的普通圓內(nèi)接多邊形相同，若固定理想多邊形的一種三角剖分方式，并在其頂點處選定一組極限圓，便可通過翻轉(zhuǎn)對角線，由初始三角剖分中圓弧的λ長度計算出該多邊形的所有其他對角線的λ長度。

3 泰希米勒空間（Teichmüller space）

接下來我們提出問題：雙曲平面中n邊理想多邊形的λ長度可取哪些值？為解答這一問題，我們將理想n邊形的頂點按順時針方向標(biāo)記為1至n，并用λ??表示從頂點i到頂點j的測地線的λ長度。所有可能的理想n邊形及極限圓選取方式下，λ??的所有可能取值構(gòu)成的集合，被稱為理想n邊形的裝飾泰希米勒空間（decorated Teichmüller space）。形容詞“裝飾的（decorated）”表示我們不僅選定了多邊形，還選定了極限圓。該裝飾泰希米勒空間中的每個“點”都是一組數(shù)值，編碼了特定理想n邊形與一組極限圓的信息，當(dāng)然，并非任意一組數(shù)值都能成為該空間中的點。

一般而言，泰希米勒空間是?？臻g（moduli space）的一個實例，?？臻g是其點可編碼某類數(shù)學(xué)對象的所有可能結(jié)構(gòu)或構(gòu)型的空間。更具體地說，泰希米勒空間是復(fù)結(jié)構(gòu)或雙曲結(jié)構(gòu)的?？臻g，可將其理解為坐標(biāo)系。?？臻g本身通常具有可識別的結(jié)構(gòu)，例如，環(huán)面上良態(tài)坐標(biāo)系的泰希米勒空間可表示為復(fù)平面?的上半平面。

為確定上述裝飾泰希米勒空間的具體形式，我們首先觀察到：對于在邊界圓上按順時針順序排列的任意四個不同頂點i、j、k、l，由托勒密定理可得多項式方程：

λ??λ??=λ??λ??+λ??λ??

例如，對于理想四邊形，唯一的此類方程為：

λ??λ??=λ??λ??+λ??λ??

但并非所有滿足這些方程的解都能對應(yīng)有效的λ長度：例如，當(dāng)n=4時，取值λ??=λ??=-1、λ??=λ??=1、λ??=0、λ??=-8滿足上述方程，卻無法成為理想四邊形的λ長度——因為部分取值為負（或零），因此這些值并不對應(yīng)泰希米勒空間中的點。因此，除了托勒密定理導(dǎo)出的方程外，我們還要求對于n邊形的所有頂點i和j，均有λ??≥0。同理，托勒密方程存在含復(fù)數(shù)的解，但復(fù)數(shù)無法表示長度，因此我們將解限定為實數(shù)。

事實證明，以上便是全部所需條件：理想n邊形的泰希米勒空間恰好是托勒密方程的所有正實數(shù)解的集合。我們已在上文解釋了這些條件的必要性，而“托勒密方程的任意正實數(shù)解均能作為某一理想n邊形的λ長度”這一結(jié)論雖并非顯而易見，但確實成立。

具體而言，理想四邊形的裝飾泰希米勒空間恰好是方程λ??λ??=λ??λ??+λ??λ??的所有正實數(shù)解的集合。該集合難以直觀繪制，因其處于六維空間中，但圖6展示了滿足λ??=λ??=λ??=λ??=1的實數(shù)解集合，該集合由兩個不連通的部分組成，其中僅有一個部分滿足λ??和λ??均為正，這一部分即為邊長λ長度為1的理想四邊形的裝飾泰希米勒空間。

圖6：邊長λ長度為1的理想四邊形的泰希米勒空間，是方程λ??λ??=2的正實數(shù)解集合，即圖中右上部分。

4 基于翻轉(zhuǎn)的計算（Computing with flips）

當(dāng)n>4時，我們將面對由大量方程構(gòu)成的方程組。為實際求解其正實數(shù)解，適當(dāng)轉(zhuǎn)換研究視角將大有裨益。如第2節(jié)所述，若已知n邊形某一三角剖分中所有圓弧的λ長度，便可通過翻轉(zhuǎn)對角線并應(yīng)用托勒密方程，計算出所有其他圓弧的λ長度。

基于這一結(jié)論，我們選取n邊形的一種三角剖分方式，記為T（圖7為簡單示例）。任意一種三角剖分均包含2n-3條圓弧（含n邊形的邊），因此僅取T中圓弧的λ長度，忽略其余圓弧的λ長度，便可得到一組由2n-3個正實數(shù)構(gòu)成的數(shù)值，即正實數(shù)空間??2??3中的一個點。

圖7：理想六邊形的一種三角剖分方式。

接下來我們嘗試逆轉(zhuǎn)這一過程：給定一組由2n-3個正實數(shù)構(gòu)成的數(shù)值，是否存在一個理想n邊形，使得T中的圓弧的λ長度恰好為這組數(shù)值？

若T中包含從頂點i到頂點j的圓弧，我們將其期望的λ長度記為???，這樣的初始長度???共有2n-3個。我們可通過這些初始長度逐個計算出其余所有圓弧的λ長度。由于T中的圓弧互不相交，托勒密方程中不存在僅包含這些圓弧λ長度的式子，因此這些方程對初始長度???的選取無任何約束。相反，如第2節(jié)所述，通過反復(fù)翻轉(zhuǎn)對角線，我們可由T中圓弧的期望長度???，推導(dǎo)出n邊形中所有其他圓弧的λ長度的表達式。如第3節(jié)所述，我們只需驗證托勒密方程不會迫使這些推導(dǎo)得到的取值為零、負數(shù)甚至復(fù)數(shù)即可。

而事實證明，這一驗證并非必要。當(dāng)通過翻轉(zhuǎn)對角線并應(yīng)用托勒密方程y=(αγ+βδ)/x計算新的長度時，等式右側(cè)的取值均為已知，我們只需計算未知量y。該表達式僅涉及乘法、加法和除法運算，因此當(dāng)右側(cè)所有取值均為正實數(shù)時，y也必然為正實數(shù)。例如，從圖7的三角剖分出發(fā)，我們可計算得：

λ??=(λ??λ??+λ??λ??)/λ??=(??????+??????)/???

由于所有選定的初始長度???均為正實數(shù)，因此λ??也為正實數(shù)。以此類推，所有計算結(jié)果都將始終為正實數(shù)。由此至少可合理推斷，存在具有對應(yīng)λ長度的理想n邊形，而通過進一步的推導(dǎo)可嚴(yán)格證明該n邊形確實存在。我們可將這一結(jié)論總結(jié)為下述定理：

定理：n邊形的任意一種三角剖分T，均能建立理想n邊形的裝飾泰希米勒空間中的點，與2n-3個正實數(shù)構(gòu)成的數(shù)值集合對應(yīng)的正實數(shù)空間??2??3中的點之間的一一對應(yīng)關(guān)系。

為以四邊形為例闡釋該定理，我們再次參考圖6：圖中右上部分為邊長λ長度為1的理想四邊形的泰希米勒空間。當(dāng)n=4時，裝飾泰希米勒空間應(yīng)與???一一對應(yīng)；若將四邊形四條邊的λ長度均固定為1，則僅剩一個自由度。對于三角剖分T，我們需選擇頂點1到3的對角線或頂點2到4的對角線：若選擇前者，泰希米勒空間中的點與坐標(biāo)λ??（正實數(shù)）一一對應(yīng)；若選擇后者，則與坐標(biāo)λ??一一對應(yīng)。無論哪種情況，泰希米勒空間均與正實軸??一一對應(yīng)，與定理結(jié)論一致。

5 延伸閱讀

裝飾泰希米勒空間（不僅包括圓盤的，還包括更復(fù)雜的帶邊曲面的）由Robert Penner定義[7,8]，他在一般情況下證明了該空間與正實數(shù)空間???一一對應(yīng)，其中N為對該曲面進行三角剖分所需的圓弧數(shù)量。

托勒密方程是Fomin和Zelevinsky提出的簇代數(shù)（cluster algebras）[3]中交換關(guān)系（exchange relations）的實例，簇代數(shù)是一類包含大量方程的體系，這些方程均具有第4節(jié)中用到的正性性質(zhì)。Gekhtman、Shapiro和Vainshtein[5]、Fock和Goncharov[1]，以及Fomin、Shapiro和Thurston[2]進一步研究了簇代數(shù)與泰希米勒空間之間的聯(lián)系。

托勒密方程在正整數(shù)范圍內(nèi)的解（即λ長度均為整數(shù)的裝飾理想n邊形）與條帶圖案（frieze patterns）密切相關(guān)，條帶圖案是往期簡報[6]的研究主題。事實上，具有n-1行的條帶圖案（如[6,圖3]），是表示理想n邊形的泰希米勒空間中整數(shù)點的一種方式。

原文圖源

圖4（右）《H2 Checkers 334》，作者Antonissimo，通過維基共享資源進入公有領(lǐng)域，網(wǎng)址：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:H2checkers_334.png ，訪問日期2026年1月12日。

原文參考文獻

[1] V. V. Fock and A. B. Goncharov, Cluster ensembles, quantization and the dilogarithm, Annales Scientifiques de l’école Normale Supérieure. Quatrième Série 42 (2009), no. 6, 865–930, https://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4745-2_15

[2] S. Fomin, M. Shapiro, and D. Thurston, Cluster algebras and triangulated surfaces. I. Cluster complexes, Acta Mathematica 201 (2008), no. 1, 83–146, https://doi.org/10.1007/s11511-008-0030-7

[3] S. Fomin and A. Zelevinsky, Cluster algebras I: Foundations, Journal of the American Mathematical Society 15 (2002), no. 2, 497–529, https://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-01-00385-X

[4] H. Gangl, Jewellery from tessellations of hyperbolic space, Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach (2022), no. 05, https://doi.org/10.14760/SNAP-2022-005-EN

[5] M. Gekhtman, M. Shapiro, and A. Vainshtein, Cluster algebras and Weil– Petersson forms, Duke Mathematical Journal 127 (2005), no. 2, 291–311, https://doi.org/10.1215/S0012-7094-04-12723-X

[6] T. Holm, Friezes and tilings, Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach (2015), no. 04, https://doi.org/10.14760/SNAP-2015-004-EN

[7] R. C. Penner, Decorated Teichmüller theory of bordered surfaces, Communications in Analysis and Geometry 12 (2004), no. 4, 793–820, https://projecteuclid.org/euclid.cag/1098468019

[8] ——, Decorated Teichmüller theory, QGM Master Class Series, European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2012, https://doi.org/10.4171/075

作者簡介

Matthew Pressland，法國卡昂諾曼底大學(xué)講師（Ma?tre de Conférences）。

所屬數(shù)學(xué)領(lǐng)域

代數(shù)學(xué)與數(shù)論、幾何學(xué)與拓撲學(xué)

版權(quán)協(xié)議

知識共享署名-相同方式共享4.0協(xié)議（Creative Commons BY-SA 4.0）

數(shù)字對象標(biāo)識符

10.14760/SNAP-2026-004-EN

奧伯沃爾法赫現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡報為讀者呈現(xiàn)當(dāng)代數(shù)學(xué)研究的精彩洞見，由奧伯沃爾法赫數(shù)學(xué)研究所（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, MFO）科研項目的參與者撰寫。本簡報項目旨在向全球?qū)?shù)學(xué)感興趣的公眾普及現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識，增進大眾對數(shù)學(xué)研究的理解與認同。所有簡報均與IMAGINARY平臺合作發(fā)布，可在以下網(wǎng)址查閱：www.imaginary.org/snapshots、www.mfo.de/snapshots。

機構(gòu)信息

奧伯沃爾法赫數(shù)學(xué)研究所（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbH）

地址：德國巴登-符騰堡州奧伯沃爾法赫市，黑森林大街9-11號，77709

所長：Gerhard Huisken

合作平臺：IMAGINARY開放式數(shù)學(xué)平臺

參考資料

https://publications.mfo.de/handle/mfo/4391

https://www.imaginary.org/snapshots

https://www.mfo.de/snapshots

http://dx.doi.org/10.1007/

https://doi.org/10.1007/s11511-008-0030-7

https://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-01-00385-X

https://doi.org/10.14760/SNAP-2022-005-EN

https://doi.org/10.1215/S0012-7094-04-12723-X

https://doi.org/10.14760/SNAP-2015-004-EN

https://projecteuclid.org/euclid.cag/1098468019

https://doi.org/10.4171/075

小樂數(shù)學(xué)科普近期文章

·開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙·

讓數(shù)學(xué)

更加

易學(xué)易練

易教易研

易賞易玩

易見易得

易傳易及

歡迎評論、點贊、在看、在聽

收藏、分享、轉(zhuǎn)載、投稿

查看原始文章出處

點擊zzllrr小樂

公眾號主頁

右上角

置頂★加星

數(shù)學(xué)科普不迷路！