大數(shù)據(jù)文摘受權(quán)轉(zhuǎn)載自夕小瑤科技說

昨天，計算機(jī)科學(xué)的活傳奇、88 歲的圖靈獎得主 Don Knuth，在自己的論文里正式感謝了一個 AI。

這篇論文標(biāo)題是《Claude's Cycles》，開篇第一句是“Shock! Shock!”，發(fā)布于 Knuth 在斯坦福的個人主頁，于 2 月 28 日寫成，3 月 4 日修訂。

Don Knuth ，1938 年出生，斯坦福大學(xué)榮譽(yù)教授，1974 年圖靈獎得主。他最著名的作品是《計算機(jī)程序設(shè)計藝術(shù)》，被譽(yù)為計算機(jī)科學(xué)的“圣經(jīng)”。他老人家見證了整個計算機(jī)時代的誕生與成長，從早期計算機(jī)、算法理論、到互聯(lián)網(wǎng)時代，他幾乎參與或影響了所有重要階段。

Knuth 對 AI 一向態(tài)度審慎。他曾公開表示，大語言模型在文本生成上令他印象深刻，但對于它能否勝任嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，他持懷疑態(tài)度。

三年前，他讓研究生替他向 ChatGPT 提了 20 個問題，看完回答之后說到：

"It’s amazing how the confident tone lends credibility to all of that made-up nonsense." 那種自信的語氣，居然能讓一堆編出來的胡話聽上去像真的一樣。

現(xiàn)在 Knuth 居然會感謝 AI？讓這位見證整個計算機(jī)歷史的老人改口的導(dǎo)火索，是一道數(shù)學(xué)題。

Knuth 研究了好幾周。

Claude 只用了大約一小時。

一個讓 Knuth 卡住的數(shù)學(xué)問題

Knuth 正在為《計算機(jī)程序設(shè)計藝術(shù)》(TAOCP)寫未來卷，越到了一個圖論問題，卡了幾個星期。

TAOCP 是計算機(jī)科學(xué)史上最重要的著作之一。Knuth 從上世紀(jì) 60 年代開始寫，到現(xiàn)在已經(jīng)寫了 60 年。比爾·蓋茨曾經(jīng)說過一句很出名的話：

如果你能讀完這套書，一定給我發(fā)簡歷。

問題涉及將有向圖分解為哈密頓環(huán)，問題本身其實(shí)可以講得很直觀，通俗地說:

想象一個三維的“環(huán)形網(wǎng)格”，空間里有 m x m x m 個格子。

從每個格子可以往三個方向移動，走到邊界時，地圖會繞回來(從右邊出去，會從左邊出現(xiàn)；從上面出去，會從下面回來)。

就像一個三維版的吃豆人地圖。

挑戰(zhàn)是: 能不能找到三條路線，每條恰好經(jīng)過所有 m^3 個格子各一次(形成閉合環(huán))，而且三條路線走的“道路”完全不重疊，恰好把全部 3 x m^3 條道路用完?

拿最小的有效情況 m=3 舉例: 27 個格子、81 條有向邊，要精確分解成三條 27 步的閉合路徑。每條路走遍全部 27 個格子，三條路合起來剛好覆蓋全部 81 條邊，不重不漏。

老爺子自己搞定了 m=3，他的朋友 Filip Stappers 寫程序暴力驗(yàn)證了最大到 16×16×16 的網(wǎng)格，但始終找不到一個適用于任意奇數(shù)維度的通用構(gòu)造方法。

Claude 的一小時科研之旅

這時候，F(xiàn)ilip 決定試試 AI，他把問題原封不動甩給了Claude Opus 4.6，要求它每次跑完實(shí)驗(yàn)必須更新進(jìn)度文檔。

Claude Opus 4.6，在大約一小時內(nèi)，進(jìn)行了 31 次有引導(dǎo)的探索。

Claude 測試了線性公式，嘗試了暴力搜索，建立了新的幾何框架，運(yùn)用了模擬退火算法，碰壁，轉(zhuǎn)換策略，持續(xù)推進(jìn)。

Claude 還發(fā)明了它自己命名的 “蛇形（serpentine）模式”。

關(guān)鍵的轉(zhuǎn)折。第三十步時，Claude 回頭翻看了一下之前那些棄用的模擬退火結(jié)果，然后從那堆“失敗品”里提取出了一個隱藏規(guī)律: 在每一“層”（按 i+j+k 的余數(shù)分組）里面，選擇走哪個方向這件事，不需要看所有三個坐標(biāo)的組合，只看其中一個就夠了。這讓規(guī)則變得極其簡潔，在第 31 次探索時找到了適用于所有奇數(shù)情形的構(gòu)造方案。

Knuth 看到第 3 步的時候忍不住在論文里寫了句"This is really impressive!"，要知道這個老爺子可是出了名的吝嗇贊美，找到他書里一個錯誤只給你 2.56 美元。。

Claude 給出的解法長什么樣?

Knuth 在論文里把 Claude 的 Python 程序簡化成了一段優(yōu)雅的 C 代碼:

s = (i+j+k) % m;  
if (s == 0) d = (j == m-1? "012" : "210");  
else if (s == m-1) d = (i == 0? "210" : "120");  
else d = (i == m-1? "201" : "102");  

先算一個值 s = (i+j+k) mod m，然后根據(jù) s 決定三條路徑各走哪個方向:

• s=0 時: j 到頭了就走 i 方向，否則走 k 方向

• s=m-1 時: i>0 就走 j 方向，否則走 k 方向

• 其他情況: i 到頭了就走 k 方向，否則走 j 方向

Filip 驗(yàn)證了所有奇數(shù) m 從 3 到 101，全部完美通過。

Claude 找到了構(gòu)造方法，老爺子繼續(xù)完成了嚴(yán)格證明。

他先證明這個構(gòu)造對所有奇數(shù) m > 1 都成立，然后繼續(xù)深入研究結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn) Claude 找到的解法其實(shí)屬于一個更大的家族。說白了就是，Claude 用的那套“根據(jù) s 的值來分配方向”的邏輯框架，在規(guī)則細(xì)節(jié)上還有很多種變體，每一種變體對所有奇數(shù) m 也同樣成立。

最終統(tǒng)計結(jié)果是：共有760 種“Claude 式分解”具有同樣性質(zhì)。

Claude 找到的是其中一類，但它打開了整扇門。

后續(xù)更精彩:，GPT 解了另一半

證明完成之后，F(xiàn)ilip 繼續(xù)讓 Claude 研究偶數(shù) m的情況。

Claude 這次干了大約 4 小時，但結(jié)果卻越來越詭異。

日志里最后寫道: “它甚至無法正確編寫和運(yùn)行探索程序了�！� Filip 只好停止實(shí)驗(yàn)。

幾天后，新加坡研究者Ho Boon Suan用GPT-5.3-codex構(gòu)造出了偶數(shù)情況的方案，程序驗(yàn)證了 m=8 到 2000 的所有偶數(shù)。m=2000 的時候，這圖有80 億個頂點(diǎn)。

Claude 解奇數(shù)，GPT 解偶數(shù)。Knuth 把兩個程序都放在了斯坦福官網(wǎng)上。兩個 AI 各解半題，這個畫面還挺有意思的。

再回想開篇的兩個震驚！震驚！我估計，老爺子這次是真的激動了。

“Shock! Shock! 我昨天得知，一個我研究了好幾周的問題，剛剛被 Claude Opus 4.6 解決了!”

論文結(jié)尾，Knuth 玩了一個雙關(guān):

"I think Claude Shannon's spirit is probably proud to know that his name is now being associated with such advances. Hats off to Claude!" 我想 Claude Shannon 的在天之靈大概會很自豪，知道他的名字現(xiàn)在與這樣的進(jìn)步聯(lián)系在一起。向 Claude 致敬!

Claude Shannon，信息論之父，也叫 Claude。AI 也叫 Claude。一語雙關(guān)，致敬兩個 Claude。88 歲老爺子的文字功底，可以的。

還有一句更關(guān)鍵的:

"It seems that I'll have to revise my opinions about 'generative AI' one of these days." 看來我得找個時間修正一下我對'生成式 AI'的看法了。

三年前說 AI“讓胡話聽上去像真的”，三年后說要修正自己的看法。這個態(tài)度弧線，來自一位見證了計算機(jī)全部歷史的 88 歲科學(xué)家，恐怕是過去三年里 AI 進(jìn)步最有分量的一個注腳。

當(dāng)然，Knuth 也坦誠記錄了 Claude 的各種毛病：會隨機(jī)報錯需要重啟，要反復(fù)提醒才肯好好寫文檔，也就是 Claude 全程需要人類引導(dǎo)。偶數(shù)情況做了 4 小時最后連程序都寫不對了。成功和失敗都寫進(jìn)了論文，沒有夸大沒有掩飾。

一位 88 歲的計算機(jī)科學(xué)家，用他慣有的嚴(yán)謹(jǐn)和誠實(shí)，完整記錄下 AI 第一次真正讓他震驚的時刻。

參考文獻(xiàn)

Donald E. Knuth, "Claude's Cycles", Stanford CS, 2026 年 2 月 28 日 (修訂 3 月 4 日)
https://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/claude-cycles.pdf
偶數(shù)解法程序: cs.stanford.edu/~knuth/even_closed_form.c (GPT-5.3-codex)
偶數(shù)解法程序: cs.stanford.edu/~knuth/even_solution.py (Claude Opus 4.6)

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