HyperGraph- and SuperHyperGraph-Based Molecular Models: Weighted, Rough, Neural, and Multipolar Frameworks

超圖與超超圖分子模型：加權(quán)、粗糙、神經(jīng)及多極框架

https://chemrxiv.org/doi/pdf/10.26434/chemrxiv-2025-gb6gq

摘要

我們提出了一個統(tǒng)一的集合論框架，通過迭代冪集將分子圖擴(kuò)展為超圖和超超圖。我們定義了分子圖、分子超圖和分子超超圖，并在其上開發(fā)了四種補(bǔ)充框架：加權(quán)、粗糙、神經(jīng)和多極框架。我們證明了簡潔的包含關(guān)系結(jié)果——最值得注意的是，加權(quán)分子超超圖嚴(yán)格包含加權(quán)分子超圖和（未加權(quán)的）分子超超圖——同時在規(guī)范嵌入下保持交替路徑距離。簡潔的示例（例如，甲烷、乙醇、乙酸）說明了原子、鍵、官能團(tuán)和高階模體如何在秩約束下作為頂點(diǎn)、超邊和超超邊出現(xiàn)。我們還提供了用于可變元相互作用的與實現(xiàn)無關(guān)的消息傳遞規(guī)則，使得化學(xué)和化學(xué)生物學(xué)中的性質(zhì)預(yù)測和層次分析成為可能。

關(guān)鍵詞

粗糙分子圖，分子圖，加權(quán)分子圖，超超圖，超圖，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1 預(yù)備知識

本節(jié)匯總了全文中使用的基本概念與符號。除非另有明確說明，所討論的所有集合均為有限集。

1.1 冪集和迭代冪集

對于集合 S ，冪集 P ( S )
是 S 的所有子集的族，包括空集和 S 本身。 S 的 n 次迭代冪集是通過從 S 開始連續(xù)應(yīng)用冪集運(yùn)算 n 次而得到的 [1,2]。

1.2 超圖和超超圖

超圖通過允許每條超邊連接頂點(diǎn)集的任意非空子集，擴(kuò)展了普通圖論，從而捕捉實體之間的高階關(guān)系 [7–11]。超超圖通過迭代冪集構(gòu)造將這一想法進(jìn)一步推進(jìn)，使得頂點(diǎn)和邊本身可以是從基集的連續(xù)冪中提取的集合，從而實現(xiàn)多層和自指連接模式 [12–15]。由于這種表達(dá)能力，超超圖最近在各個領(lǐng)域引起了越來越多的興趣和應(yīng)用 [16–21]。

定義 1.6（超圖）。[7, 22] 給定一個有限頂點(diǎn)集 V V，超圖是一個二元組

1.3 分子超圖和超超圖

分子圖是一種用于表示分子的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其中原子被建模為頂點(diǎn)，化學(xué)鍵被建模為邊 [24–29]。分子超圖表示分子，其中頂點(diǎn)是原子，超邊表示多原子相互作用或分子子結(jié)構(gòu) [30–32]。分子超圖的定義如下所示。

定義 1.10（分子超圖）。[33] 分子超圖是一個節(jié)點(diǎn)和超邊標(biāo)記的超圖，用于建模分子的原子和鍵合結(jié)構(gòu)。形式上，一個分子超圖：

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中，我們提出了本文的主要貢獻(xiàn)，即生物網(wǎng)絡(luò)、生物超網(wǎng)絡(luò)和生物超超網(wǎng)絡(luò)的定義及具體示例。

2.1 加權(quán)分子超超圖

2.1.1 加權(quán)分子圖

加權(quán)分子圖是一種分子圖，其中頂點(diǎn)和邊分別表示原子和鍵，每個都被賦予捕捉化學(xué)性質(zhì)的數(shù)值權(quán)重（參見 [34–39]）。

定義 2.1（加權(quán)分子圖）。加權(quán)分子圖是一個有限簡單無向圖

2.1.2 加權(quán)分子超圖

一種分子超圖，其中原子超邊和鍵節(jié)點(diǎn)帶有標(biāo)簽和權(quán)重，通過定量結(jié)構(gòu)描述符對多原子相互作用進(jìn)行建模。

注 2.5（兩種等價的表述）。存在兩種有用的（關(guān)聯(lián)對偶）表述：

1. 以鍵為中心（上文所用）：頂點(diǎn)是鍵，超邊是收集關(guān)聯(lián)鍵的原子。
2. 以原子為中心（對約簡為圖很有用）：頂點(diǎn)是原子，超邊是（多原子）相互作用；當(dāng)每條超邊的大小為 2 時，這與普通圖一致。

兩者之間的轉(zhuǎn)換是通過二分關(guān)聯(lián)圖上的標(biāo)準(zhǔn)關(guān)聯(lián)對偶實現(xiàn)的；我們在能簡化證明的地方分別使用這兩種表述。

此處共價鍵被歸一化至接近 1.0，羰基鍵稍強(qiáng)（1.2），而氫鍵較弱（0.30）。氧超邊比碳超邊具有更高的遍歷代價；氫的代價最低。

一條具有診斷價值的交替路徑始于氫鍵，終于酸性 O–H 鍵：

2.2 粗糙分子超超圖

2.2.1 粗糙分子圖

粗糙集（Rough Set）提供了一種數(shù)學(xué)工具，通過近似元素集合來處理不確定信息 [40–42]。粗糙圖（Rough Graph）將粗糙集理論擴(kuò)展到圖中，其中關(guān)系（邊）的不確定性通過下近似和上近似來表示 [43–45]。

2.2.2 粗糙分子超圖

我們將粗糙近似提升到分子超圖層面，允許在鍵（在以鍵為中心的表述中即為超圖頂點(diǎn)）和原子（即超邊）上存在不可分辨性。全文中，我們基于一個固定的分子超圖

由于溶液中所有的環(huán)碳原子（及其關(guān)聯(lián)鍵）在實驗上是不可分辨的，因此無法確定地斷言任何特定的碳位點(diǎn)：下 RMHG 為空。然而，任何碳位點(diǎn)都是可能的，所以上 RMHG 包含所有六個碳超邊，相應(yīng)地，也包含所有 C–C 鍵和 C–H 鍵。這與真實的苯的情形相符，即在觀測時間尺度上，快速的保對稱動力學(xué)使得位點(diǎn)標(biāo)記被平均化。

2.2.3 粗糙分子超超圖

一種帶有下近似和上近似的層級分子超超圖，在粗糙集理論下對不確定的原子相互作用和嵌套分子子結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。

例 2.39（乙酸 - 水氫鍵作為一種 RMSHG）。我們展示了一個具體的實際粗糙分子超超圖（RMSHG），它構(gòu)建于帶有一個水分子的溶劑化乙酸 CH3COOH 之上。氫鍵隨機(jī)地形成和斷裂；我們通過粗糙（下/上）近似來捕捉這種不確定性。

由于供體/受體角色快速交換且兩個單體不可區(qū)分，無法確定地斷言任何單一的定向氫鍵（下RMSHG不包含任何氫鍵）。然而，兩種定向氫鍵超邊都是可能的（上RMSHG包含兩者），這忠實地反映了真實環(huán)狀二聚體的對稱、動態(tài)變化的氫鍵網(wǎng)絡(luò)。

2.3 分子圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

2.3.1 分子超圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

分子圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是在圖上運(yùn)行的深度學(xué)習(xí)框架，其中原子被視為頂點(diǎn)，化學(xué)鍵被視為邊，使得能夠通過迭代消息傳遞來學(xué)習(xí)分子性質(zhì) [51–55]。分子超圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將這一思想擴(kuò)展到超圖，其中超邊同時連接多個原子，允許模型捕捉比普通圖更高階的化學(xué)相互作用和更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)基元 [31, 56, 57]。

預(yù)測與任務(wù)。經(jīng)過 T 層后，一個置換不變的讀出產(chǎn)生一個圖級表示，用于諸如水溶性 (logS) 等性質(zhì)：

2.3.2 分子超超圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

2.4 多極分子圖

2.4.1 多極分子圖

多極分子圖是結(jié)合了球諧多極系數(shù)的分子圖，允許以數(shù)學(xué)上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞奖硎驹游恢煤蜋?quán)重，從而產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)不變的分子形狀描述符。

定義 2.50（具有幾何結(jié)構(gòu)和權(quán)重的分子圖）。具有幾何結(jié)構(gòu)的分子圖是一個元組

2.4.2 多極分子超圖

多極分子超圖將這一思想擴(kuò)展到超圖，其中原子超邊和鍵節(jié)點(diǎn)同時攜帶權(quán)重和多極展開，從而捕捉具有內(nèi)置幾何不變性的多原子相互作用和結(jié)構(gòu)基元。

定義 2.57（具有幾何結(jié)構(gòu)和權(quán)重的分子超圖）。具有幾何結(jié)構(gòu)的分子超圖是一個元組

2.4.3 多極分子超超圖

多極分子超超圖通過將多極描述符嵌入到分層超超圖結(jié)構(gòu)中，進(jìn)一步推廣了這些構(gòu)造，統(tǒng)一了圖、超圖和多級超超圖框架，并使得能夠跨越多個結(jié)構(gòu)尺度對復(fù)雜分子系統(tǒng)進(jìn)行更深層的表示。

3 結(jié)論

在本文中，我們研究了用于分子圖、分子超圖和分子超超圖的加權(quán)、粗糙、神經(jīng)和多極框架。在未來，我們期望研究將在本文所處理的圖概念的擴(kuò)展方面取得進(jìn)展，包括融合模糊圖 [58–60]、直覺模糊圖 [61–63]、中智圖 [64–66]、雙向圖 [67–69]、四劃分中智圖 [70–73]、五劃分中智圖 [74, 75] 以及胎盤生成圖 [76–78]。

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