挪威當(dāng)?shù)貢r(shí)間3月19日12時(shí)，2026年度阿貝爾獎(jiǎng)揭曉。德國馬克斯·普朗克數(shù)學(xué)研究所教授格爾德·法爾廷斯（Gerd Faltings）“因在算術(shù)幾何領(lǐng)域引入強(qiáng)有力的工具，并解決了莫德爾與蘭關(guān)于丟番圖方程的長期懸而未決的猜想”（for introducing powerful tools in arithmetic geometry and resolving long-standing diophantine conjectures of Mordell and Lang.），而獲此殊榮。

法爾廷斯最為人熟知的是他29歲時(shí)證明了困擾數(shù)學(xué)界半個(gè)多世紀(jì)的莫德爾猜想，因而摘取了1986年的菲爾茲獎(jiǎng)。后來，他又贏得了萊布尼茲獎(jiǎng)和邵逸夫獎(jiǎng)等榮譽(yù)。

法爾廷斯是算術(shù)幾何領(lǐng)域的泰斗級人物。他的思想與研究成果重塑了這一領(lǐng)域，在攻克多項(xiàng)長期懸而未決的重大猜想的同時(shí)，也建立起了全新的理論框架，指引了隨后數(shù)十年的學(xué)術(shù)研究方向。

法爾廷斯獲知自己得獎(jiǎng)的一幕頗具戲劇性。挪威科學(xué)與文學(xué)院方面與法爾廷斯的同事合謀，把他“騙”到同事的辦公室，然后宣布了這一消息。法爾廷斯的第一反應(yīng)是“很意外，完全沒想到?！比缓笏⒓椿謴?fù)了老派學(xué)者的謙遜和幽默感，說：“我不常和國王一起吃飯（注：阿貝爾獎(jiǎng)得主將會出席由挪威王室在王宮舉行的慶祝晚宴，并與國王及王室成員共進(jìn)晚餐），這對我來說很新鮮。我老了，原以為自己早過了拿這類獎(jiǎng)的年紀(jì)，但現(xiàn)在看來還沒過。我猜我得去租件燕尾服了?！?/p>

阿貝爾獎(jiǎng)與菲爾茲獎(jiǎng)、沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)并稱國際數(shù)學(xué)界“三大獎(jiǎng)”。其設(shè)立的初衷之一是為了彌補(bǔ)數(shù)學(xué)界沒有諾貝爾獎(jiǎng)的遺憾。該獎(jiǎng)由挪威政府資助，獎(jiǎng)金為750萬挪威克朗（約合540萬元人民幣）。

撰文 | 張和持

從萊茵河畔的繁華都市杜塞爾多夫出發(fā)，乘火車往東行駛半小時(shí)，就來到了丘陵中的小城伍珀塔爾（Wuppertal）。城市隱藏在山谷之中，旅客可以搭上著名的懸掛列車俯瞰靜謐的伍珀河。不過除了這條歷史悠久的列車軌道之外，伍珀塔爾似乎再也沒有什么名勝能讓人駐足。疲倦的游人紛紛回到火車站，啟程前往下一個(gè)目的地。

小城伍珀塔爾的懸掛火車 | 筆者攝于2023年

讓我們避開人流，從火車站往南，經(jīng)過樹林間漫長的階梯，登上河畔的小山丘。樹林的盡頭，坐落著伍珀塔爾大學(xué)。德國第一位菲爾茲獎(jiǎng)得主格爾德·法爾廷斯（Gerd Faltings）就是在這里完成了莫德爾猜想（Mordell conjecture）的證明。那一年是1983年，他僅僅 29 歲。3年后，他獲得數(shù)學(xué)領(lǐng)域最高獎(jiǎng)項(xiàng)之一“菲爾茲獎(jiǎng)”。

法爾廷斯 1954 年出生在德國小城蓋爾森基興（德語：Gelsenkirchen），1972年進(jìn)入明斯特大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)與物理。其父母分別擁有物理學(xué)和化學(xué)博士學(xué)位，在此影響下他本人也對物理產(chǎn)生了濃厚的興趣。不過，大學(xué)教育讓法爾廷斯開始更傾心于數(shù)學(xué)，因?yàn)榻^對的正確性讓他不需要關(guān)心別人的看法。在代數(shù)幾何學(xué)家漢斯-約阿希姆·納斯托爾德（Hans-Joachim Nastold）的指導(dǎo)下，法爾廷斯于 1978 年僅24歲便獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位，畢業(yè)后的 1978 年到 1979 在哈佛大學(xué)擔(dān)任博士后研究員，接著回到明斯特大學(xué)擔(dān)任助理教授，并于 1981 年獲得特許任教資格。隨后的 1982 年到 1984 年，他前往伍珀塔爾大學(xué)擔(dān)任教授。

法爾廷斯身材修長而清瘦，略有駝背。加上獨(dú)來獨(dú)往、沉默寡言的性格，很容易讓人敬而遠(yuǎn)之。他本人卻很享受這樣自得其樂的生活。

筆者2023年曾在荷蘭萊頓召開的一個(gè)數(shù)學(xué)會議上看到法爾廷斯。會后用餐時(shí)，與他同坐一桌的一位荷蘭教授就只跟他說了一次話，問他德國博士生對導(dǎo)師應(yīng)該稱呼du還是Sie，他回答說Sie。然后荷蘭教授就開始跟別人聊天，法爾廷斯再也沒有說一句話。

法爾廷斯在荷蘭萊頓的學(xué)術(shù)會議后來到用餐地準(zhǔn)備用餐 | 筆者攝于2023年

2015年獲得邵逸夫獎(jiǎng)后，法爾廷斯接受了采訪。面對鏡頭，他開心地向記者展示自己的紅酒收藏，又毫不吝嗇地表達(dá)對古典音樂的喜愛。當(dāng)談到數(shù)學(xué)時(shí)，法爾廷斯說自己喜歡的通常是不那么熱門的方向，這樣他就不必與別人競爭。面對常人認(rèn)為遙不可及的問題，法爾廷斯反而感到興奮。有時(shí)問題會很難，以至于只有 10% 的成功幾率，但是仍然可以動手去做，這就是法爾廷斯的熱情所在。

毫無疑問，莫德爾猜想就是這樣困難又值得去做的問題。在伍珀塔爾，法爾廷斯度過了 18 個(gè)月與世隔絕的生活，最終完成了猜想的證明。

莫德爾定理與猜想

莫德爾猜想是英國數(shù)學(xué)家路易斯·莫德爾（Louis J. Mordell）提出的經(jīng)典問題。莫德爾本人是一名數(shù)論學(xué)家，他在 1922 年證明了莫德爾定理（Mordell's theorem）：

若E為?上的橢圓曲線，則其有理點(diǎn)E(?)構(gòu)成有限生成阿貝爾群。

所謂橢圓曲線，是形如y^2=x^3?x或者y^2=x^3+1這樣的方程決定的曲線。橢圓曲線上有自然的群結(jié)構(gòu)，而莫德爾定理告訴我們，只需要有限個(gè)曲線上的有理點(diǎn)，就可以通過群運(yùn)算生成出所有的有理點(diǎn)。這個(gè)結(jié)論不僅僅是純數(shù)學(xué)的成就，也被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代密碼學(xué)。

如果考慮復(fù)數(shù)點(diǎn)，那么可以把橢圓曲線畫成一個(gè)環(huán)面：

環(huán)面只有一個(gè)洞，我們說E的虧格為g(E)=1。那對于更多的洞，也就是更高的虧格，會有什么樣的結(jié)論呢？

莫德爾經(jīng)過一些計(jì)算，在同一年提出了所謂的莫德爾猜想：

若C為?上的代數(shù)曲線，且虧格滿足g(C)>1，則其有理點(diǎn)C(?)為有限集合。

莫德爾猜想的適用范圍非常廣泛。例如費(fèi)馬大定理需要證明

x^n+y^n=z^n,?n≥3

沒有非平凡有理數(shù)解（等價(jià)于整數(shù)解），這個(gè)解集也相當(dāng)于是代數(shù)曲線（稱為費(fèi)馬曲線）的有理點(diǎn)，而該曲線的虧格為

當(dāng)n≥4時(shí)虧格>1。也就是說，即便費(fèi)馬大定理錯(cuò)了，對于n≥4的每種情況只有可能存在有限個(gè)反例。雖然這并不能用于證明費(fèi)馬大定理，但在 1980 年代，莫德爾猜想的證明無疑讓數(shù)學(xué)家們對費(fèi)馬大定理更有信心。

莫德爾猜想→法爾廷斯定理

莫德爾猜想被證明后，就叫做了“法爾廷斯定理”。法爾廷斯面對的挑戰(zhàn)要遠(yuǎn)超莫德爾的想象。莫德爾定理的證明有兩個(gè)要點(diǎn)：

• 使用高度（Height）這一概念來描述橢圓曲線中的點(diǎn)，對于任意給定的值，只存在有限個(gè)點(diǎn)的高度小于這個(gè)值。
• 橢圓曲線的撓群（Torsion group），并且證明E(?)/2E(?)為有限群。可以說撓群被用來控制高度。

莫德爾的方法非常富有技巧性，這也意味著很難把同樣的概念照搬到更高虧格的情況。對此，法爾廷斯吸收了當(dāng)時(shí)的兩項(xiàng)前沿理論：

• 阿拉克洛夫幾何（Arakelov geometry）。這是算數(shù)概型的理論，法爾廷斯借用其中最簡單的情況定義了法爾廷斯高度（Faltings Height）。
• p-可除群（p-divisible group）。某種意義上可以理解為p-冪階撓群的極限。它代替撓群，用來控制法爾廷斯高度。

即便有了大致的框架，證明也還差了十萬八千里。擺在法爾廷斯面前的是兩項(xiàng)難題：

• 泰特猜想的阿貝爾簇版本。這涉及到伽羅瓦表示與平展上同調(diào)。
• 沙發(fā)列維奇猜想。這涉及到對阿貝爾簇的同構(gòu)類計(jì)數(shù)。

最終完成的證明完全由德文寫成[1]，這篇論文以及法爾廷斯之后的所有工作都被公認(rèn)為結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)寫作的典范。

菲爾茲獎(jiǎng)之后

完成莫德爾猜想的證明后，法爾廷斯前往普林斯頓大學(xué)擔(dān)任教授，并于 1986 年獲得菲爾茲獎(jiǎng)。其間帶出了邁克爾·拉爾森（Michael J. Larsen）、望月新一等著名數(shù)學(xué)家。張壽武在普林斯頓期間也曾得到法爾廷斯指導(dǎo)。與此同時(shí)，法爾廷斯也在繼續(xù)推進(jìn)自己的數(shù)學(xué)。

在最初的莫德爾猜想證明中，法爾廷斯只用到了非常基礎(chǔ)的阿拉克洛夫幾何。1991年，數(shù)學(xué)家保羅·沃伊塔（Paul Alan Vojta）利用丟番圖逼近與阿拉克洛夫幾何給出了莫德爾猜想的全新證明[2]。不同于法爾廷斯，沃伊塔使用了阿拉克洛夫幾何中的整套算數(shù)曲面相交論。法爾廷斯讀完論文非常高興，他感到阿拉克洛夫幾何前途無限寬廣，并在同一年用新的方法證明了莫德爾猜想的一種推廣形式。除此之外，法爾廷斯不斷推進(jìn)著阿拉克洛夫幾何的方方面面，如今任何一本阿拉克洛夫幾何的教科書都離不開他的名字。

對法爾廷斯高度的研究，帶來了一個(gè)很困難的領(lǐng)域，那就是?？臻g的緊化（Compactification of moduli space）。阿拉克洛夫幾何的研究很大一部分在于算數(shù)概型的相交論（Intersection theory of arithmetic scheme），但是相交論只有在緊空間上才有良好的定義。這方面的參考資料寥寥無幾，唯一的權(quán)威著作便是法爾廷斯和翟敬立合寫的[4]。不過這本書存在一些筆誤，恐怕往后也很難有機(jī)會修正再版了。

p-可除群則是另一個(gè)宏大世界的序幕：p-進(jìn)霍奇理論（p-adic Hodge theory）。法爾廷斯對此也頗有貢獻(xiàn)，例如讓-馬克·方丹（Jean-Marc Fontaine）提出的晶體猜想就是他證明的[5]。不過到了今天，p-進(jìn)霍奇理論的主角或許應(yīng)該留給下一代人。

1994年，法爾廷斯回到了德國，擔(dān)任位于波恩的馬克斯·普朗克數(shù)學(xué)研究所所長，很快波恩就成為了全世界算術(shù)代數(shù)幾何的中心。在此期間，他見證了彼得·舒爾茨（Peter Scholze）這顆冉冉升起的新星。

直到 2018 年退休為止，法爾廷斯一直都很重視教學(xué)，他認(rèn)為授課可以讓自己腳踏實(shí)地。至于退休后怎么辦，雖然沒有了正式的工作，但作為數(shù)學(xué)家，思考的工作可以一直進(jìn)行下去。

參考文獻(xiàn)

[1]: https://link.springer.com/article/10.1007/BF01388432 "Endlichkeitss?tze für abelsche Variet?ten über Zahlk?rpern"

[2]: https://www.jstor.org/stable/2944318 "Siegel‘s Theorem in the Compact Case"

[3]: https://www.jstor.org/stable/2944319 "Diophantine Approximation on Abelian Varieties"

[4]: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-02632-8 "Degeneration of Abelian Varieties"

[5]: https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=1463696 "Crystalline cohomology and p-adic Galois-representations."

[6]: The Shaw Prize in Mathematical Sciences 2015 "https://youtu.be/4KyJ9MXurKU?si=7rm85HlN_GEhgayw"

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