統(tǒng)一晶界網(wǎng)絡(luò)與晶體圖：材料科學(xué)的超圖與超超圖視角

Unifying Grain Boundary Networks and Crystal Graphs: A HyperGraph and SuperHyperGraph Perspective in Material Sciences

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摘要

圖論通過(guò)頂點(diǎn)和邊為離散元素之間的關(guān)系建模提供了基礎(chǔ) [26, 27]。超圖通過(guò)允許邊——超邊——連接兩個(gè)以上的頂點(diǎn)來(lái)擴(kuò)展這一框架，而超超圖引入嵌套冪集層以捕捉層次性和自引用連接。網(wǎng)絡(luò)類比物——超網(wǎng)絡(luò)和超超網(wǎng)絡(luò)——將這些思想應(yīng)用于實(shí)證數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。 在材料科學(xué)中，基于圖的模型諸如晶界網(wǎng)絡(luò)將晶粒表示為頂點(diǎn)，并將其界面表示為邊 [31,100,106]，而晶體圖編碼晶格結(jié)構(gòu)內(nèi)的原子和鍵 [95,104,129]。然而，這些表示缺乏描述復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)固有的多尺度和層次特征的能力。 本文研究了材料科學(xué)中超圖和超超圖的理論基礎(chǔ)，它們通過(guò)允許超邊、超超邊或超頂點(diǎn)同時(shí)連接多個(gè)頂點(diǎn)，從而推廣了經(jīng)典圖。它通過(guò)引入并形式化晶界超網(wǎng)絡(luò)、晶界超超網(wǎng)絡(luò)和晶體超超圖的概念，進(jìn)一步考察了圖論方法在材料科學(xué)中的相關(guān)性。對(duì)于每種結(jié)構(gòu)，我們提供精確的數(shù)學(xué)定義，基于多晶和晶體材料系統(tǒng)構(gòu)建詳細(xì)示例，并分析基本性質(zhì)，如多級(jí)連通性、嵌套深度和組合復(fù)雜性。通過(guò)將超結(jié)構(gòu)理論與材料架構(gòu)建模相結(jié)合，這項(xiàng)工作為材料科學(xué)中的多尺度和層次分析建立了一個(gè)魯棒框架。

關(guān)鍵詞：超超圖，超圖，晶體圖，超網(wǎng)絡(luò)，超超網(wǎng)絡(luò)，晶界網(wǎng)絡(luò)

1 引言

1.1 基礎(chǔ)圖論

圖論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究節(jié)點(diǎn)（稱為頂點(diǎn)）通過(guò)鏈接（稱為邊）連接的網(wǎng)絡(luò) [26, 27]。圖已在廣泛學(xué)科中得到廣泛探索和應(yīng)用，包括社會(huì)科學(xué) [83, 89]、化學(xué)圖論 [35, 53, 124]、生物網(wǎng)絡(luò) [56, 57, 82, 128]、圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (GNNs) [52, 62] 以及電信 [105]。鑒于應(yīng)用范圍廣泛，圖論研究具有重要意義。

1.2 超圖理論與超超圖理論

本文專注于超圖理論和超超圖理論的框架。與這些結(jié)構(gòu)相關(guān)的是更廣泛的數(shù)學(xué)概念——超結(jié)構(gòu)和超超結(jié)構(gòu)，它們利用冪集構(gòu)造及其第 n 次迭代形式擴(kuò)展經(jīng)典數(shù)學(xué)系統(tǒng)（參見 [117–119]）。這些擴(kuò)展框架特別適合對(duì)層次化和多層系統(tǒng)進(jìn)行建模，無(wú)論是在抽象理論表述中還是在實(shí)際應(yīng)用中。此類推廣的例子包括：

? 超超代數(shù) [50, 71, 116]，它擴(kuò)展經(jīng)典代數(shù)結(jié)構(gòu)以允許嵌套代數(shù)操作；

? 超超模糊集 [48, 49]，它推廣模糊集以表示跨越多個(gè)層次級(jí)別的復(fù)雜不確定性；

? 超超中性集 [39, 112]，它將不確定性和高階邏輯納入中性框架中。

這些發(fā)展說(shuō)明了超圖和超超圖背后的原理如何可以擴(kuò)展到廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，為建模嵌套、互聯(lián)和多尺度系統(tǒng)提供了表達(dá)工具。

經(jīng)典結(jié)構(gòu)、超結(jié)構(gòu)和 -超超結(jié)構(gòu)的概述呈現(xiàn)在表 1 中。此處， 被假設(shè)為一個(gè)自然數(shù)。

當(dāng)應(yīng)用于圖論時(shí)，這些擴(kuò)展產(chǎn)生了兩個(gè)眾所周知的推廣：超圖和超超圖 [33, 43, 44]。超圖允許每條邊——稱為超邊——同時(shí)連接兩個(gè)以上的頂點(diǎn)，從而能夠表示復(fù)雜的多對(duì)多關(guān)系 [13, 15, 29]。超超圖在此基礎(chǔ)上構(gòu)建，通過(guò)納入遞歸嵌套的冪集結(jié)構(gòu)，允許超邊組之間的層次性和自引用相互作用。

圖、超圖和超超圖的概述呈現(xiàn)在表 2 中。此處，n 被假設(shè)為一個(gè)自然數(shù)。

并且圖通常被用于表示網(wǎng)絡(luò)，在此語(yǔ)境下，超網(wǎng)絡(luò)和超超網(wǎng)絡(luò)分別作為超圖和超超圖的網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)物出現(xiàn)（參見 [40, 64]）。除了超網(wǎng)絡(luò)和超超網(wǎng)絡(luò)之外，文獻(xiàn)中已提出許多其他類型的網(wǎng)絡(luò)，包括多網(wǎng)絡(luò) [23, 28, 51] 和有向網(wǎng)絡(luò) [86, 91, 134]。這些變體可能反映了基于網(wǎng)絡(luò)的建模在眾多學(xué)科中的通用性和廣泛適用性。 網(wǎng)絡(luò)、超網(wǎng)絡(luò)和超超網(wǎng)絡(luò)的概述呈現(xiàn)在表 3 中。

1.3 材料科學(xué)中的圖和網(wǎng)絡(luò)

材料理論是使用數(shù)學(xué)和計(jì)算模型研究支配材料屬性、結(jié)構(gòu)和行為的基本原理 [18, 19, 78, 90]。圖和網(wǎng)絡(luò)表示法在材料理論中被廣泛用于建模材料的結(jié)構(gòu)和物理屬性。在本文中，我們專注于兩個(gè)關(guān)鍵示例：晶界網(wǎng)絡(luò)和晶體圖。 晶界網(wǎng)絡(luò)通過(guò)將晶粒表示為節(jié)點(diǎn)并將它們的共享界面表示為邊來(lái)建模多晶結(jié)構(gòu)，捕捉材料的拓?fù)浜蛶缀翁卣?[31, 100, 106]。晶體圖將原子表示為節(jié)點(diǎn)并將原子間鍵表示為邊，由周期性晶格內(nèi)的空間鄰近性定義 [95, 104, 129]。該結(jié)構(gòu)編碼了預(yù)測(cè)材料屬性所必需的局部配位環(huán)境。 除了這些之外，材料理論中還有幾種其他基于圖的框架是熟知的，包括擴(kuò)散網(wǎng)絡(luò) [30]、位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò) [6,123] 和斷裂網(wǎng)絡(luò) [1,17]，每個(gè)都提供對(duì)特定物理機(jī)制的見解。

1.4 我們的貢獻(xiàn)

本小節(jié)概述了本文的主要貢獻(xiàn)。鑒于上述，很明顯圖論和材料科學(xué)之間存在深刻的聯(lián)系，并且在這個(gè)交叉點(diǎn)的研究具有重要意義。因此，我們定義了晶界超網(wǎng)絡(luò)、晶界超超網(wǎng)絡(luò)和晶體超超圖的概念，并考察了幾個(gè)具體示例及其數(shù)學(xué)屬性。值得注意的是，本文不包括任何實(shí)驗(yàn)研究；我們的工作純粹是理論性質(zhì)的。通過(guò)這些貢獻(xiàn)，我們旨在推進(jìn)晶界網(wǎng)絡(luò)、晶體圖和圖論整體的研究，即使只是以微小的力量。

1.5 本文結(jié)構(gòu)

本小節(jié)簡(jiǎn)要概述了論文的內(nèi)容。第 2 節(jié)介紹了經(jīng)典結(jié)構(gòu)、超結(jié)構(gòu)和 -超超結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以及圖、超圖、超超圖、超網(wǎng)絡(luò)、超超網(wǎng)絡(luò)、晶體圖和晶界網(wǎng)絡(luò)的簡(jiǎn)明定義。第 3 節(jié)展示了晶界超網(wǎng)絡(luò)的說(shuō)明性示例和基本屬性。第 4 節(jié)探討了晶界超超網(wǎng)絡(luò)的示例和結(jié)構(gòu)特征。第 5 節(jié)研究了晶體超超圖的示例和數(shù)學(xué)屬性。第 6 節(jié)以總結(jié)結(jié)束論文并討論未來(lái)研究的方向。

2 預(yù)備知識(shí)與定義

本節(jié)概述了本文討論所需的基本概念和定義。在全文中，我們假設(shè)所有圖都是簡(jiǎn)單的、無(wú)向的和有限的。

2.1 經(jīng)典結(jié)構(gòu)、超結(jié)構(gòu)和 n-超超結(jié)構(gòu)

經(jīng)典結(jié)構(gòu)代表一般的數(shù)學(xué)概念，而超結(jié)構(gòu)可以使用冪集來(lái)定義，n-超超結(jié)構(gòu)可以使用 n 次冪集來(lái)定義 [120]。直觀地，n 次冪集是冪集運(yùn)算的重復(fù)應(yīng)用。相關(guān)定義和簡(jiǎn)單示例如下所述。

定義 2.1（集合）。[76] 集合是不同對(duì)象的明確定義的集合，稱為元素。集合通常用大寫字母表示，如 A, B, S 等。

定義 2.2（子集）。[76] 設(shè) A 和 B 為集合。如果 A 的每個(gè)元素也是 B 的元素，我們稱 A 是 B 的子集，記作 A ? B。

定義 2.3（空集）。[76] 空集，記作 ?，是不包含任何元素的唯一集合。

定義 2.4（全集）。全集，記作 U，是在特定上下文或討論中包含所有被考慮元素的集合。

定義 2.5（基集）?；?S 是導(dǎo)出冪集和超結(jié)構(gòu)等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)集合。其形式化定義為：

S = {x | x 是指定域內(nèi)的元素}。

像 P(S) 或 P_n(S) 這樣的構(gòu)造中的所有元素都源于 S 的元素。

定義 2.6（冪集）。[37,101] 集合 S 的冪集，記作 P(S)，是 S 的所有可能子集的集合，包括空集和 S 本身。形式上，它表示為：

例 2.7（復(fù)合材料相的材料科學(xué)冪集）。材料相是材料系統(tǒng)中不同的物理形態(tài)，例如固體、液體、氣體，或像纖維這樣的結(jié)構(gòu)組分（參見 [55,65,70]）。設(shè)基本材料相的集合為

定義 2.10（經(jīng)典結(jié)構(gòu)）。（參見 [108, 120]）經(jīng)典結(jié)構(gòu)是一個(gè)定義在非空集合 H H 上的數(shù)學(xué)框架，配有一個(gè)或多個(gè)滿足指定經(jīng)典公理的經(jīng)典運(yùn)算。具體而言：

經(jīng)典運(yùn)算是一個(gè)形式為的函數(shù)：

因此，H 模擬了鐵的現(xiàn)實(shí)世界氧化行為：結(jié)合鐵和氧氣可以產(chǎn)生幾種氧化物相，并且試劑的混合物在超結(jié)構(gòu)框架內(nèi)產(chǎn)生所有可能產(chǎn)物的并集。

2.2 超超圖

在經(jīng)典圖論中，超圖通過(guò)允許邊——稱為超邊——連接兩個(gè)以上的頂點(diǎn)，擴(kuò)展了傳統(tǒng)圖的概念。這個(gè)更廣泛的框架使得能夠?qū)υ刂g更復(fù)雜的關(guān)系進(jìn)行建模，從而增強(qiáng)了其在各個(gè)領(lǐng)域的實(shí)用性 [13,29,59,60]。超超圖是超圖概念的高級(jí)擴(kuò)展，將遞歸冪集結(jié)構(gòu)整合到經(jīng)典模型中。這個(gè)概念最近被引入并在文獻(xiàn)中得到了廣泛研究 [39,40,45,115]。注意，在 n -超超圖中的 n 是一個(gè)整數(shù)。這些概念的定義和示例如下所示。

與僅表示成對(duì)晶界的標(biāo)準(zhǔn)圖不同，該超圖直接編碼了對(duì)于理解晶粒生長(zhǎng)、擴(kuò)散路徑以及三叉結(jié)處力學(xué)行為至關(guān)重要的三晶粒交界處。

2.3 超網(wǎng)絡(luò)與 n-超超網(wǎng)絡(luò)

超網(wǎng)絡(luò)通過(guò)允許超邊連接多個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)擴(kuò)展圖，從而對(duì)實(shí)體間復(fù)雜的多路關(guān)系進(jìn)行建模。n-超超網(wǎng)絡(luò)利用節(jié)點(diǎn)的嵌套冪集來(lái)表示復(fù)雜系統(tǒng)中的層次化多級(jí)相互作用和分組。這些概念的定義和示例如下所示。

換句話說(shuō)，網(wǎng)絡(luò)的頂點(diǎn)和超邊均取自基節(jié)點(diǎn)集的第 n 次冪集，從而捕捉多達(dá) n 層的層次分組。

例 2.27（多晶微觀結(jié)構(gòu)中的 2-超超網(wǎng)絡(luò)）。多晶微觀結(jié)構(gòu)由許多小晶體或晶粒組成，每個(gè)晶粒具有不同的取向，并由晶界分隔（參見 [102, 107, 121]）?？紤]一種微觀結(jié)構(gòu)由五個(gè)晶粒組成的多晶合金：

該 2-超超網(wǎng)絡(luò)既捕捉了合金微觀結(jié)構(gòu)中的局部晶界連通性（1 級(jí)），也捕捉了高階簇相互作用（2 級(jí)）。

2.4 晶界網(wǎng)絡(luò)

晶界網(wǎng)絡(luò)將晶粒表示為節(jié)點(diǎn)，將共享界面表示為邊，從而對(duì)多晶材料的拓?fù)浜蛶缀螌傩赃M(jìn)行建模 [31,100,106]。如果我們用數(shù)學(xué)方式定義它，可以表述如下。

例 2.29（三叉結(jié)微觀結(jié)構(gòu)的晶界網(wǎng)絡(luò)）。三叉結(jié)是多晶材料中三個(gè)不同晶粒相遇的點(diǎn)或線，它影響著微觀結(jié)構(gòu)的演變（參見 [61, 136]）?？紤]一個(gè)二維多晶域 Ω Ω，它被劃分為三個(gè)在原點(diǎn)相交的楔形晶粒：

2.5 晶體圖和晶體超圖

晶體圖基于周期性晶格內(nèi)的空間鄰近性，將原子表示為節(jié)點(diǎn)，將原子間鍵表示為邊 [95,104,129]。如果我們用數(shù)學(xué)方式定義它，可以表述如下。

因此， G G 是一個(gè)有向 4-環(huán)，捕捉了正方晶格的最近鄰連通性。

晶體超圖將每個(gè)原子及其最近鄰建模為超邊，從而捕捉周期性晶格中的高階局部結(jié)構(gòu)（參見 [68]）。如果我們用數(shù)學(xué)方式定義它，可以表述如下。

因此，每條超邊編碼了兩個(gè)相等的鍵長(zhǎng)及其之間的直角，從而在超圖表示中捕捉了局部正方晶格模體。

3 結(jié)果：晶界超網(wǎng)絡(luò)

晶界超網(wǎng)絡(luò)是一種超網(wǎng)絡(luò)模型，用于表示多晶材料中晶粒之間的界面。在該模型中，超邊對(duì)應(yīng)于多個(gè)晶粒之間的共享邊界，并且每條超邊根據(jù)相關(guān)晶界的幾何相交測(cè)度進(jìn)行加權(quán)。該概念的定義、示例及數(shù)學(xué)性質(zhì)如下所述。

4 結(jié)果：晶界 -超超網(wǎng)絡(luò)

另一方面，晶界 n-超超網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)層次化推廣，它使用嵌套冪集來(lái)組織晶界結(jié)構(gòu)。該框架不僅捕捉直接的晶粒相互作用，還捕捉多尺度上晶粒簇之間的高階結(jié)和復(fù)雜相互關(guān)系。該概念的定義、示例和數(shù)學(xué)性質(zhì)如下所示。

5 結(jié)果：晶體 n-超超圖

晶體 n-超超圖使用嵌套冪集對(duì)原子結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，捕捉原子的層次化分組及其多級(jí)相互作用。該概念的定義、示例和數(shù)學(xué)性質(zhì)如下所示。

在此，單個(gè) 4-超頂點(diǎn) B B 封裝了正方晶格中的所有三角形配位模體（3 級(jí)簇），而唯一的 4-超邊 { B }
突出了第四層次級(jí)別的全局自相似元結(jié)構(gòu)。這說(shuō)明了迭代冪集構(gòu)造如何在晶體環(huán)境中捕捉日益抽象的、大規(guī)模的模體關(guān)系。

6 結(jié)論與未來(lái)工作

在本文中，我們定義了晶界超網(wǎng)絡(luò)、晶界超超網(wǎng)絡(luò)和晶體超超圖的概念，并考察了幾個(gè)具體示例及其數(shù)學(xué)性質(zhì)。

作為未來(lái)工作，我們計(jì)劃通過(guò)結(jié)合先進(jìn)的不確定性處理框架來(lái)探索這些模型的擴(kuò)展，例如模糊集 [103, 132, 133]、直覺模糊集 [8–10]、模糊集 [3, 5, 54]、粗糙集 [96, 97]、雙極模糊集 [2, 135]、超模糊集 [32, 77, 122]、軟集 [84, 87]、超軟集 [?, 113]、圖像模糊集 [24, 66]、中性集 [109–111]、四劃分中性集 [42, 80, 131] 以及植生集 [39, 46, 47]。例如，我們旨在探索模糊集和模糊圖的概念在晶界超網(wǎng)絡(luò)、晶界超超網(wǎng)絡(luò)和晶體超超圖中的應(yīng)用。這些擴(kuò)展有望進(jìn)一步增強(qiáng)我們提出的模型的表達(dá)能力和實(shí)際適用性，特別是在捕捉材料科學(xué)及其他領(lǐng)域中復(fù)雜、多層和不確定的現(xiàn)象方面。

此外，基于上述不確定性建模的擴(kuò)展，我們也希望未來(lái)的研究能夠通過(guò)涉及圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (GNNs) [52, 62, 67]、人工智能 (AI) [7, 69]、線性規(guī)劃 [72–74] 和決策 [34, 75, 85] 的方法，探索晶界超網(wǎng)絡(luò)、晶界超超網(wǎng)絡(luò)和晶體超超圖等框架的應(yīng)用。

并且作為一個(gè)未來(lái)方向，我們希望通過(guò)結(jié)合有向圖 [36]、動(dòng)態(tài)圖 [11,12, 79]、半圖 [88, 98]、雙向圖 [14, 58,130] 以及多向圖 [93, 94] 等結(jié)構(gòu)，來(lái)探索本文的擴(kuò)展概念。如所示，進(jìn)一步擴(kuò)展和挑戰(zhàn)的許多可能性仍然存在，我們希望專家們未來(lái)的研究能夠繼續(xù)推進(jìn)這一領(lǐng)域。

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