★置頂zzllrr小樂(lè)公眾號(hào)（主頁(yè)右上角）數(shù)學(xué)科普不迷路！

中心極限定理最初只是18世紀(jì)賭徒們的小竅門，如今卻成為科學(xué)家們?nèi)粘Ｑ芯康谋貍涔ぞ摺?/p>

正是中心極限定理，讓鐘形分布在各個(gè)領(lǐng)域隨處可見(jiàn)。

圖源：Irene Pérez

作者：Joseph Howlett（量子雜志特約撰稿人）2026-3-16

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-3-26

引言

無(wú)論放眼何處，鐘形曲線總在身邊。

每次下雨時(shí)在院子里放一個(gè)量杯，記錄雨停時(shí)的水位高度，所得數(shù)據(jù)會(huì)符合鐘形曲線；收集 100 個(gè)人對(duì)罐中軟心糖豆數(shù)量的猜測(cè)，結(jié)果也會(huì)呈現(xiàn)鐘形曲線；測(cè)量足夠多女性的身高、男性的體重，統(tǒng)計(jì) SAT 考試分?jǐn)?shù)、馬拉松完賽時(shí)間 —— 你總會(huì)得到那條邊緣逐漸收窄、中間圓潤(rùn)隆起的平滑曲線。

為何鐘形曲線會(huì)出現(xiàn)在如此多的數(shù)據(jù)集中？

答案歸根結(jié)底是中心極限定理（central limit theorem）。這一強(qiáng)大的數(shù)學(xué)規(guī)律在初學(xué)者眼中往往不可思議，如同大自然的魔術(shù)。華盛頓大學(xué)的生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Daniela Witten 表示：“中心極限定理極為神奇，因?yàn)樗耆`背直覺(jué)、出人意料。” 借助這一定理，看似最隨機(jī)、最無(wú)法捉摸的混沌現(xiàn)象，也能展現(xiàn)出極具規(guī)律性的可預(yù)測(cè)性。

如今，它已是現(xiàn)代實(shí)證科學(xué)的重要支柱?？茖W(xué)家?guī)缀趺看瓮ㄟ^(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)推導(dǎo)世界規(guī)律時(shí)，研究方法中都暗藏中心極限定理的身影。沒(méi)有它，科學(xué)便難以滿懷信心地對(duì)任何事物下結(jié)論。

卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Larry Wasserman 稱：“沒(méi)有中心極限定理，統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域恐怕都無(wú)法存在，它就是一切?！?/p>

從博弈中誕生的科學(xué)規(guī)律

人類對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象中規(guī)律性的探索始于賭博研究，這或許并不令人意外。

18 世紀(jì)初的倫敦咖啡館里，亞伯拉罕?棣莫弗（Abraham de Moivre）的數(shù)學(xué)天賦早已顯露無(wú)遺，艾薩克?牛頓（Isaac Newton）、愛(ài)德蒙?哈雷（Edmond Halley）等同時(shí)代學(xué)者都認(rèn)可他的才華。

亞伯拉罕?棣莫弗（Abraham de Moivre，1667 - 1754）

圖源：Joseph Highmore (1736)

De Moivre 是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，卻也是一名難民 —— 年輕時(shí)因法國(guó)的反新教迫害，他被迫逃離故土。作為外來(lái)者，他始終無(wú)法獲得與才華匹配的穩(wěn)定學(xué)術(shù)職位，為了糊口，他成為賭徒們的數(shù)學(xué)顧問(wèn)，為他們尋找博弈中的數(shù)學(xué)優(yōu)勢(shì)。

拋硬幣、擲骰子、抽撲克牌，這些都是隨機(jī)行為，每種結(jié)果出現(xiàn)的概率均等。而 De Moivre 發(fā)現(xiàn)，將大量隨機(jī)行為結(jié)合起來(lái)，最終結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)出穩(wěn)定的規(guī)律。

將一枚硬幣拋擲 100 次，統(tǒng)計(jì)正面朝上的次數(shù)，結(jié)果大概在 50 次左右，卻并非精準(zhǔn)的 50 次；重復(fù) 10 次這個(gè)實(shí)驗(yàn)，可能會(huì)得到 10 個(gè)不同的數(shù)值。

但如果將這個(gè)實(shí)驗(yàn)重復(fù) 100 萬(wàn)次，絕大多數(shù)結(jié)果都會(huì)接近 50 次，幾乎不會(huì)出現(xiàn)少于 10 次或多于 90 次的情況。若把 0 到 100 之間每個(gè)數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)繪制成圖，你會(huì)看到經(jīng)典的鐘形曲線，50 次正是曲線的中心。實(shí)驗(yàn)重復(fù)的次數(shù)越多，鐘形曲線就會(huì)越平滑、越清晰。

De Moivre 推導(dǎo)出了這條鐘形曲線的精確形態(tài)，這一分布后來(lái)被命名為正態(tài)分布（normal distribution）。借助正態(tài)分布，無(wú)需實(shí)際進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，就能推算出不同結(jié)果出現(xiàn)的概率。例如，拋 100 次硬幣，正面朝上次數(shù)在 45 到 55 次之間的概率約為 68%。

De Moivre 帶著近乎虔誠(chéng)的心情，驚嘆于這種 “宇宙中永恒的秩序”—— 它最終能克服一切偏離鐘形曲線的不規(guī)則現(xiàn)象。他寫(xiě)道：“假以時(shí)日，這些不規(guī)則現(xiàn)象與這種源于固有設(shè)計(jì)的秩序的反復(fù)出現(xiàn)相比，便會(huì)顯得微不足道?！?/p>

1718 年首次出版的《機(jī)會(huì)論》The Doctrine of Chances是概率論領(lǐng)域的第一本教科書(shū)，1738 年的第二版中，收錄了為中心極限定理奠定基礎(chǔ)的研究成果。

De Moivre 憑借這些研究成果在倫敦勉強(qiáng)維持生計(jì)：他撰寫(xiě)的《機(jī)會(huì)論》成了賭徒們的 “圣經(jīng)”，還在著名的老斯勞特咖啡館開(kāi)設(shè)了非正式的咨詢時(shí)段。但即便如此，De Moivre 也未能意識(shí)到自己發(fā)現(xiàn)的全部?jī)r(jià)值。直到他去世數(shù)十年后，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749 - 1827） 在 1810 年進(jìn)一步發(fā)展了這一思想，中心極限定理的完整內(nèi)涵才得以被揭示。

我們?cè)倥e一個(gè)比拋硬幣稍復(fù)雜的例子：擲骰子。單次擲骰子有 6 種等概率的結(jié)果，若反復(fù)擲骰子并統(tǒng)計(jì)結(jié)果，會(huì)得到一條平坦的分布圖 —— 點(diǎn)數(shù) 1、2、4、6 出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。

但如果將骰子擲 10 次并計(jì)算平均值，結(jié)果大概率在 3.5 左右；多次重復(fù)這一實(shí)驗(yàn)并將所有結(jié)果繪制成圖，會(huì)得到一條以 3.5 為峰值的鐘形曲線，曲線兩側(cè)的形態(tài)也有著精確的規(guī)律。

這就是中心極限定理的魔力：從毫無(wú)規(guī)律的隨機(jī)結(jié)果分布（擲出 1 到 6 點(diǎn)的概率均等）出發(fā)，通過(guò)對(duì)多次觀測(cè)結(jié)果取平均值，并反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就能得到精準(zhǔn)、可預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)形態(tài) —— 鐘形曲線。

Laplace 將這一規(guī)律提煉為一個(gè)簡(jiǎn)潔的公式，這便是后來(lái)的中心極限定理。無(wú)論隨機(jī)過(guò)程多么無(wú)規(guī)律，即便根本無(wú)法建立模型，大量結(jié)果的平均值都會(huì)遵循這一定理所描述的分布。Witten 說(shuō)：“這一定理的強(qiáng)大之處在于，我們無(wú)需關(guān)注被取平均值的變量本身遵循何種分布，唯一關(guān)鍵的是，平均值本身會(huì)服從正態(tài)分布。”

無(wú)處不在的實(shí)用工具

取平均值看似是人類主動(dòng)進(jìn)行的計(jì)算行為，但中心極限定理卻會(huì)無(wú)形地作用于世間所有可觀測(cè)的現(xiàn)象，比如人類的身高。多倫多大學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Jeffrey Rosenthal 解釋道：“一個(gè)人的身高可能受父親身高、母親身高、基因、營(yíng)養(yǎng)狀況等諸多微小因素的共同影響，而這些因素彼此獨(dú)立 —— 通常來(lái)說(shuō)，父親的身高和一個(gè)人攝入的食物毫無(wú)關(guān)聯(lián)。這就相當(dāng)于對(duì)一系列微小影響取平均值，這也是身高大致遵循正態(tài)分布的原因?！?/p>

這也是各類數(shù)據(jù)集會(huì)自發(fā)呈現(xiàn)出這一優(yōu)美形態(tài)的根源。Witten 表示：“只要背后存在取平均值的過(guò)程，且參與平均的變量足夠多，最終結(jié)果就會(huì)服從正態(tài)分布?！?/p>

華盛頓大學(xué)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家丹妮拉?威滕（ Daniela Witten）

圖源：Elizar Mercado

中心極限定理還能讓統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)異?，F(xiàn)象。試想，你正在老斯勞特咖啡館喝咖啡，一位客人遞給你一枚硬幣，打賭你拋 100 次硬幣正面朝上的次數(shù)達(dá)不到 45 次。你嘗試后，只得到了 20 次正面朝上的結(jié)果。如何判斷對(duì)方給的是一枚做了手腳的硬幣，且整個(gè)過(guò)程并非真正的隨機(jī)？借助中心極限定理可知，20 次及以下的結(jié)果僅占鐘形曲線下面積的 0.15%，也就是說(shuō)，一枚公平的硬幣出現(xiàn)這樣結(jié)果的概率只有 0.15%，你幾乎肯定被算計(jì)了。

這正是 Laplace 提出的公式的真正威力：他發(fā)現(xiàn)，對(duì)任意過(guò)程取平均值都會(huì)得到鐘形曲線，即便不深入了解過(guò)程本身的運(yùn)作原理，也能借助這一規(guī)律對(duì)過(guò)程做出判斷。

謹(jǐn)慎使用

盡管中心極限定理是現(xiàn)代科學(xué)的核心，但它也有自身的局限性。它僅適用于大量獨(dú)立樣本的組合分析，若樣本不獨(dú)立 —— 例如，僅在緬因州的一個(gè)小鎮(zhèn)開(kāi)展全國(guó)總統(tǒng)大選民意調(diào)查 —— 即便重復(fù)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果也無(wú)法接近預(yù)期的鐘形曲線。

在科學(xué)研究中，有時(shí)異常值比平均值更重要。威廉姆斯學(xué)院的應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Richard D. De Veaux 表示：“原本百年一遇的洪水，如今發(fā)生的頻率越來(lái)越高。如今，對(duì)極端事件的建?？赡芎蛯?duì)平均值的建模同等重要?！?/p>

幸運(yùn)的是，中心極限定理背后的核心思想 —— 平均值的有效性和穩(wěn)定性 —— 已被廣泛應(yīng)用，極大拓展了統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用范圍。統(tǒng)計(jì)學(xué)家會(huì)針對(duì)研究中遇到的具體問(wèn)題，構(gòu)建適用于該場(chǎng)景的中心極限定理變體。Wasserman 說(shuō)：“許多復(fù)雜問(wèn)題，只要思路巧妙，都能轉(zhuǎn)化為樣本均值加誤差的形式，這時(shí)就能借助定理的變體簡(jiǎn)化問(wèn)題?！?/p>

中心極限定理最終能成為現(xiàn)代科學(xué)的支柱，本質(zhì)上是因?yàn)樗旧砭褪俏覀兯幨澜绲闹е?。?dāng)我們整合大量獨(dú)立的觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，數(shù)據(jù)會(huì)呈現(xiàn)出聚集性規(guī)律；只要善于運(yùn)用這一規(guī)律，我們就能從這些規(guī)律中，探尋到產(chǎn)生這些數(shù)據(jù)的背后過(guò)程的奧秘。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/the-math-that-explains-why-bell-curves-are-everywhere-20260316/

小樂(lè)數(shù)學(xué)科普近期文章

·開(kāi)放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙·

讓數(shù)學(xué)

更加

易學(xué)易練

易教易研

易賞易玩

易見(jiàn)易得

易傳易及

歡迎評(píng)論、點(diǎn)贊、在看、在聽(tīng)

收藏、分享、轉(zhuǎn)載、投稿

查看原始文章出處

點(diǎn)擊zzllrr小樂(lè)

公眾號(hào)主頁(yè)

右上角

置頂★加星

數(shù)學(xué)科普不迷路！