想象一個(gè)完美無缺的圓形。

一個(gè)最普通的圓，你看到它了嗎？

在現(xiàn)實(shí)生活中，完美的圓并不存在。當(dāng)你在紙上畫一個(gè)圓時(shí)，它總會(huì)有些小瑕疵。無論是太陽、自行車車輪，還是水面上的漣漪，它們都不是完美的圓。但這不會(huì)妨礙你理解我的意思，或想象出一個(gè)完美的圓。

你不僅可以想象這個(gè)圓，還能真的看到它。

你可以在腦海中移動(dòng)它，將它放大或縮小，也可以隨心所欲地?cái)[弄它。看到現(xiàn)實(shí)生活中不存在的東西，感受它就在你的面前，在腦海中自由移動(dòng)它，仿佛你可以觸摸它——這就是你的魔法之一。

在真正理解數(shù)學(xué)的道路上，這里就是你的起點(diǎn)。

來源 :《數(shù)學(xué)覺醒：學(xué)會(huì)更清晰地思考》

作者：[法]戴維·貝西（David Bessis）

譯者：趙曉蕊

01

了不起的抽象能力

完美的圓是一種數(shù)學(xué)抽象。如果圓對(duì)你來說是熟悉的物體，那是因?yàn)槟愫推渌腥艘粯?，擁有與生俱來的數(shù)學(xué)抽象能力。

你的抽象能力不僅限于數(shù)學(xué)。無論你是否愿意，你都會(huì)花時(shí)間抽象地看待世界。這是你的身體的生理特征。你的大腦是一臺(tái)機(jī)器，從你的感覺輸入中創(chuàng)造抽象概念并在思想上控制它，就像你的肺從空氣中提取氧氣，并將其轉(zhuǎn)移到血液中一樣。

這怎么可能呢？我們將在第19章談?wù)撨@個(gè)主題，看看大腦結(jié)構(gòu)如何自然地制造和控制抽象概念。

在那之前，即使你不完全理解這種奇跡是如何發(fā)生的，你也必須承認(rèn)：你可以看到一個(gè)圓。

02

了不起的推理能力

一條直線能與圓相交于三個(gè)點(diǎn)嗎？

別急，這里沒有陷阱。試著自己找到答案，想象一條直線與圓交的所有方式，看看是否在某些情況下形成了三個(gè)交點(diǎn)。

結(jié)果是否定的，一條直線不能與圓相交于三個(gè)點(diǎn)。

你覺得答案是顯而易見的嗎？這是因?yàn)槟愫推渌腥艘粯樱瑩碛辛瞬黄鸬臄?shù)學(xué)推理能力。你不僅可以想象直線和圓等抽象物體，還可以問出關(guān)于這些物體的抽象問題，并在腦海中控制它們，從而找到這些問題的答案。

答案對(duì)你來說是顯而易見的，但如果有人告訴你，他沒有理解，你該怎么辦？

你可能會(huì)試著從頭解釋：“你看這兒……”但這么做收效甚微。對(duì)方之所以不能理解，是因?yàn)樗荒芟衲隳菢忧宄乜吹綀A和直線。解釋數(shù)學(xué)道理，就是讓別人看到他們未曾見過的東西。

你的推理同時(shí)用到了直覺和視覺。在你的腦海中，它看起來像一部動(dòng)畫片，主角是一個(gè)圓和一條直線。這種推理非常有效，但很難用語言表達(dá)。語言無法完全表達(dá)你在腦海中看到的所有微妙之處。

經(jīng)過數(shù)學(xué)訓(xùn)練，你可以學(xué)會(huì)把視覺直覺轉(zhuǎn)化為嚴(yán)格的證明。這種轉(zhuǎn)化永遠(yuǎn)不會(huì)完美。即使是簡(jiǎn)單的直覺，表達(dá)起來也很費(fèi)口舌。它在腦海里非常簡(jiǎn)單，一旦寫下來，就變得困難而復(fù)雜了。

03

了不起的直覺

能看到你腦海里想什么的人，唯有你自己。只有將你在腦海中看到的事物嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剞D(zhuǎn)譯為語言和符號(hào)，你才能與他人交流——盡管這個(gè)過程非常辛苦。這也是你確保直覺沒有出錯(cuò)的唯一方法。

因?yàn)槟愕闹庇X有時(shí)會(huì)出錯(cuò)。

你對(duì)此非常清楚，盡管你不喜歡別人提醒你這一點(diǎn)。想激怒一個(gè)人，取笑他的外表屢試不爽，但說他的直覺有錯(cuò)也幾乎能達(dá)到同樣的效果。一般來說，這種做法會(huì)觸發(fā)以下兩種防御機(jī)制之一：要么這人覺得自己沒用，產(chǎn)生自卑情結(jié)，不再思考；要么他覺得自己一定是對(duì)的，認(rèn)定他人愚不可及（同時(shí)也不再思考了）。

然而，還有第三種可能。當(dāng)愛因斯坦或笛卡兒被人指出直覺有錯(cuò)時(shí)，他們沒有感到沮喪。他們不會(huì)妄自菲薄，更不會(huì)蔑視他人。他們會(huì)產(chǎn)生另一種反應(yīng)——如何產(chǎn)生這種反應(yīng)，也是貫穿本書的主題之一。

在學(xué)校里，我們被教導(dǎo)要對(duì)直覺保持警惕，這里犯了兩個(gè)錯(cuò)誤——它們是阻礙你的智力發(fā)展的重大錯(cuò)誤。

錯(cuò)誤一：夸大事實(shí)。你的憤怒并無必要。確實(shí)，你的直覺有時(shí)會(huì)出錯(cuò)，但不會(huì)一直出錯(cuò)。你的直覺通常是對(duì)的。你可以讓它正確的次數(shù)越來越多。經(jīng)過訓(xùn)練，它可以看得更清楚、更仔細(xì)。數(shù)學(xué)家也曾和你站在同一個(gè)起點(diǎn)上，建立了強(qiáng)大、可靠、富有遠(yuǎn)見的直覺。他們用簡(jiǎn)單的方法（比如本書中教授的方法）做到了這一點(diǎn)。

錯(cuò)誤二：學(xué)校往往只強(qiáng)調(diào)了直覺的局限性，卻不提直覺的優(yōu)勢(shì)。直覺是不完美的——你將這一點(diǎn)牢記在心。這個(gè)信息確實(shí)重要，但學(xué)校忽略了另一條更重要的信息：你的直覺是你最強(qiáng)大的智力之源。從某種意義上說，它甚至是你唯一的智力之源。

這些可不是空話，我不打算說些廢話來奉承你。

這一切的背后隱藏著一條深刻的生物學(xué)真理，我們會(huì)在后文中詳細(xì)討論。這是非常實(shí)際的道理，你已經(jīng)體驗(yàn)過無數(shù)次了。你很清楚，背誦、應(yīng)用現(xiàn)成的方法，或逐行推理，并不是真正的理解。這就是為什么你永遠(yuǎn)不會(huì)完全相信邏輯論證，而是更愿意依賴直覺來理解。

04

想象力的天賦

你早就知道，自己的直覺十分強(qiáng)大。

你不敢堅(jiān)定地大聲說出來，但你總是暗中相信自己的直覺。

你可能不知道，在所有偉大的科學(xué)革命和最困難的數(shù)學(xué)理論的背后，都是直覺在發(fā)揮作用，這些直覺總是與你的直覺一樣簡(jiǎn)單。

愛因斯坦腦海里的一部動(dòng)畫片使他提出了相對(duì)論，這部動(dòng)畫片并不比讓你看到一條直線不能與圓相交于三個(gè)點(diǎn)的圖更復(fù)雜。

當(dāng)愛因斯坦說他相信直覺時(shí)，他指的并不是一種與我們截然不同的、與生俱來的特殊直覺。如果他真的是這么想的，他就不會(huì)說自己“沒有特別的天賦”了。

盡管令人困惑，但我們必須接受這個(gè)現(xiàn)實(shí)。愛因斯坦談?wù)摰氖瞧胀ǖ闹庇X，即人人都有的直覺，人們通常認(rèn)為它不夠成熟，學(xué)校也教我們不要相信它。

愛因斯坦說的就是我們想象事物的能力。這份天賦人人有份，你可能覺得它不起眼，但它彌足珍貴，我們也無法奢求更多。

如果你像愛因斯坦一樣，學(xué)會(huì)利用簡(jiǎn)單而單純的想象力，成為你這個(gè)時(shí)代最偉大的物理學(xué)家，你也會(huì)像他一樣，說偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)只來自好奇心（而人們不會(huì)把你的話當(dāng)真）。

即使你沒有提出相對(duì)論，你也已經(jīng)做出一些讓人刮目相看的事情了。

你可以在腦海中看到一個(gè)圓。

你可以在腦海中移動(dòng)它。

你可以從視覺上向自己證明，一條線不能與圓相交于三個(gè)點(diǎn)。

閉上眼睛站著不動(dòng)，你就能完成這一切。也就是說，你可以通過思想的力量來完成它。

據(jù)我們所知，這種生物學(xué)能力似乎專屬于人類。如果河馬也知道如何做到這一點(diǎn)，它們可藏得挺深。

如果你成功做到了這些事，那就放心吧：你所擁有的遺傳潛力和智力，能讓你成為非常擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的人。從生物學(xué)的角度來看，這些就夠了。真誠、耐心、勇氣和愿望——盡管這些因素不是遺傳的，但你也可以輕松擁有。

05

構(gòu)建清晰有力的圖像

偉大的想法總是直觀而簡(jiǎn)單的，甚至簡(jiǎn)單得不可思議。我們也只能理解顯而易見的東西。如果某些東西并不顯而易見，那是因?yàn)樗鼈冞€沒有被真正理解。

這是一條關(guān)于人類認(rèn)知的普遍見解：我們的科學(xué)是由人類發(fā)明的，從更深的層次來講，人類都是由相同的物質(zhì)組成的。

一些人本來只是試圖理解一些東西，卻在這個(gè)過程中做出了偉大的發(fā)現(xiàn)。他們只想把事物弄清楚，使其顯而易見。他們就算不明白，也不會(huì)裝成理解了的樣子。他們繼續(xù)尋找正確的道路、正確的心理圖像、正確的觀察方式，直到事物變得顯而易見。

好消息是，用這種方法，他們只能發(fā)現(xiàn)顯而易見的東西。你總有一天也會(huì)對(duì)這些東西有同樣的感受，所以你沒有理由被嚇倒。

這種方法適用于所有智力創(chuàng)造領(lǐng)域，尤其是數(shù)學(xué)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)知識(shí)并不基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，無須積累百科全書式的知識(shí)。特別是，數(shù)學(xué)書里除了顯而易見的證明，貌似什么也沒有。

矛盾之處在于，要使一件事顯而易見，你必須首先構(gòu)建心理表征。一旦構(gòu)建好，你就可以輕松地看到這些心理圖像。但構(gòu)建心理表征需要耗費(fèi)大量時(shí)間和精力。

不知不覺中，你已經(jīng)為“什么是圓”構(gòu)建了一個(gè)相當(dāng)好的心理圖像。你必須對(duì)其他物體重復(fù)對(duì)圓所做的事情，并構(gòu)建其他心理圖像，然后結(jié)合它們來構(gòu)建更多的心理圖像。

沒有人天生就擁有現(xiàn)成的圖像，也沒有人立即就能構(gòu)建這些圖像。構(gòu)建這些圖像花費(fèi)的時(shí)間比我們想象的要更長(zhǎng)。對(duì)每個(gè)人來說，它都由遲疑、試錯(cuò)、迷路和重啟組成。這個(gè)過程將持續(xù)我們一生。

無論你是否研究數(shù)學(xué)，你對(duì)世界的看法和心理圖像都在不斷演變。

數(shù)學(xué)家的傳說就是從這里開始的。這不是成為超人的神奇秘訣，而是幫你構(gòu)建更好的心理圖像的簡(jiǎn)單原則。這里的關(guān)鍵在于，你能否重拾構(gòu)建自己的世界觀的方式。

你知道，想保持健康，就要鍛煉身體、多吃蔬果、潔身自好、睡眠充足。但你能說出一些有助于構(gòu)建清晰有力的心理圖像的基本原則嗎？

人們一直都說要進(jìn)行邏輯思考，然而你暗下決心，只相信自己的直覺——但直覺的問題，還沒被真正解決。

你只會(huì)毫無章法地應(yīng)付問題，并錯(cuò)誤地認(rèn)為自己的直覺時(shí)對(duì)時(shí)錯(cuò)，要是這樣，你就無法做出進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)了。在這種情況下，不管你能成功學(xué)會(huì)什么，都是一個(gè)奇跡。

在下一章中你將看到，你已經(jīng)擁有了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)直覺。也許你自認(rèn)為數(shù)學(xué)很差，但其實(shí)你已經(jīng)理解的數(shù)學(xué)概念，在99%的人類歷史中是只有天才才能理解的。你已經(jīng)構(gòu)建出了清晰、有力的心理圖像，并且每天都在使用它們。

《數(shù)學(xué)覺醒：學(xué)會(huì)更清晰地思考》

作者：[法]戴維·貝西（David Bessis）

譯者：趙曉蕊

這本書展現(xiàn)了一段真誠的數(shù)學(xué)之旅：數(shù)學(xué)思考是一段充滿探索與犯錯(cuò)，并需要逐步糾正錯(cuò)誤、提升理解力的精彩旅程。

——陶哲軒，數(shù)學(xué)家，菲爾茲獎(jiǎng)得主

精彩！如果你好奇我們做數(shù)學(xué)時(shí)在想什么，那你就必須讀一讀這本書。

——雨果·杜米尼-科潘，數(shù)學(xué)家，菲爾茲獎(jiǎng)得主

這是一本能幫助人們提升數(shù)學(xué)能力的罕見好書。書中充滿了俏皮的故事，以及富有創(chuàng)造力的指導(dǎo)性意見，能助你成為更好的“數(shù)學(xué)人”。

——本·奧林，《歡樂數(shù)學(xué)》作者

數(shù)學(xué)家如何思考？如何研究問題？如何避免因失敗而氣餒？數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中有哪些常見的思維誤區(qū)？這本書用簡(jiǎn)單易讀、富有洞察力的故事，把這些問題都回答了。

——伊恩·斯圖爾特，數(shù)學(xué)家，《改變世界的17個(gè)方程》作者