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今年3.14國際數(shù)學(xué)日，加州大學(xué)洛杉磯分?？碌偎怪行慕M織數(shù)學(xué)科普講座，數(shù)學(xué)系教授陶哲軒（Terence Tao）帶來主題演講《如何像數(shù)學(xué)家一樣思考》。陶教授還在現(xiàn)場解答了一系列問題，話題包羅萬象，從童年時期的電子游戲經(jīng)歷，到人工智能日益普及的當(dāng)下該如何開展數(shù)學(xué)研究，均有涉及。

作者：陶哲軒（Terence Tao）2026-3-14

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-4-8

主持人

我們需要思考的一個問題是，如何讓學(xué)生真正深入思考這些數(shù)學(xué)概念。接下來，我們會請一位嘉賓為大家?guī)硪恍﹩l(fā)思考的內(nèi)容。想必大家都知道今天是圓周率日，那么就權(quán)當(dāng)是 “派” 發(fā)靈感吧（雙關(guān)語，英文中 “food for thought” 意為啟發(fā)思考的事物，派“pie” 與圓周率π “pi” 同音）。之后，柯蒂斯中心主任希瑟?達(dá)拉斯（Heather Dallas）會上臺，帶領(lǐng)我們展開討論。所以，希望大家認(rèn)真聆聽接下來的分享，之后我們能有機(jī)會一起探討、交流想法。

話雖如此，現(xiàn)在我很榮幸為大家介紹今天的主講人 —— 陶哲軒（Terry Tao）教授。他是數(shù)學(xué)系教授，同時擔(dān)任文學(xué)與科學(xué)學(xué)院詹姆斯和卡羅爾?柯林斯講席教授（James and Carol Collins chair）。

接下來，我為大家分享關(guān)于陶哲軒教授的3.14個趣味事實。

趣味事實一：他是迄今為止IMO國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽最年輕的參賽者，首次參賽時年僅10歲。

趣味事實二：24歲時，他晉升為加州大學(xué)洛杉磯分校（UCLA）正教授，至今仍是該校史上最年輕的正教授。

趣味事實三：陶教授已出版16部著作，而他的新作《六大數(shù)學(xué)核心要義》Six Math Essentials 即將問世，這也是他的第一部大眾數(shù)學(xué)科普讀物。

至于這0.14個趣味事實嘛 —— 今天他要為我們帶來的演講主題是：《像數(shù)學(xué)家一樣思考，意味著什么？》。

現(xiàn)在，讓我們用熱烈的掌聲歡迎他！

【掌聲】

陶哲軒

非常感謝主持人的精彩介紹，我很高興能來到這里。嚴(yán)格來說，我曾是菲爾?柯蒂斯（Phil Curtis）的同事。我在1996年來到這里，差不多是他退休的時間，具體日期我記不太清了?？峙挛液退膶嶋H交流并不多，但他在我們系絕對是一個傳奇人物。

今天，我想從數(shù)學(xué)家的視角，為這場活動分享一些見解。在我看來，學(xué)會像數(shù)學(xué)家一樣思考至關(guān)重要，我本人也樂在其中。這種思維方式十分寶貴，我希望更多學(xué)生都能掌握，可惜的是，很多人并沒有機(jī)會接觸到。而且我覺得，大多數(shù)人甚至都不清楚數(shù)學(xué)家到底是做什么的。

比如律師、醫(yī)生或工程師，大家對他們的工作內(nèi)容都有大致的了解，但提到數(shù)學(xué)家，人們腦海里的印象往往有些偏差。幾乎每個數(shù)學(xué)家都有過這樣的經(jīng)歷：在派對上，別人問起你的職業(yè)，你回答 “我是數(shù)學(xué)家”，得到的回應(yīng)通常都是 “天啊，我上學(xué)時數(shù)學(xué)特別差”。當(dāng)然，偶爾也會遇到特別熱情的回應(yīng)，但剛才那種才是最普遍的。

有些人覺得數(shù)學(xué)家就像巫師，能駕馭那些晦澀的符號咒語，仿佛擁有某種魔力；還有些人認(rèn)為，數(shù)學(xué)就是一門極其復(fù)雜的技術(shù)活，一道題只有一個正確答案，卻有無數(shù)種錯誤解法，只要出一點差錯，整個解題過程就會全盤崩潰，而數(shù)學(xué)家們每天都在和各種復(fù)雜的方程式打交道。

還有些人對數(shù)學(xué)家的印象來自好萊塢電影 —— 覺得我們眼前隨時都浮現(xiàn)著各種公式。當(dāng)然，或許確實有人是這樣，但我肯定不是。我們腦海里的那些刻板印象，其實都不是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的常態(tài)。

我認(rèn)為，大多數(shù)數(shù)學(xué)家都是很普通的人。不過在某些方面，這種誤解也挺無奈的。一方面，被貼上“天才”之類的標(biāo)簽，聽起來確實有點酷，但另一方面，這也給學(xué)生們帶來了不少困擾。

當(dāng)學(xué)生們讀到數(shù)學(xué)家攻克重大難題的傳奇故事，再看看自己眼前的數(shù)學(xué)題，發(fā)現(xiàn)自己無法一蹴而就解出來；或者在學(xué)習(xí)某個難懂的知識點時，怎么也搞不懂，最后就會在數(shù)學(xué)變得有趣之前選擇放棄。畢竟，如果一直被灌輸“數(shù)學(xué)家都是天才”的觀念，而學(xué)生自己并不覺得自己是天才，那他們自然就會覺得自己成不了數(shù)學(xué)家。

所以今天，我想和大家分享一下，作為一名數(shù)學(xué)家究竟是什么感覺。這是每個數(shù)學(xué)家都心知肚明的事，但我們卻沒有經(jīng)常把它傳達(dá)出去。我覺得，我們應(yīng)該多做一些科普推廣工作，而不是總待在象牙塔里。

在我看來，像數(shù)學(xué)家一樣思考，其實分為幾個不同的階段。這也是數(shù)學(xué)思維之所以難以內(nèi)化的原因之一 —— 它是一個逐步發(fā)展、相對復(fù)雜的過程。我喜歡把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)分為三個階段：

前嚴(yán)謹(jǐn)階段、嚴(yán)謹(jǐn)階段和后嚴(yán)謹(jǐn)階段。

前嚴(yán)謹(jǐn)階段大致對應(yīng)從幼兒園到高中（K12）乃至大學(xué)低年級（K14）的教育階段。在這個階段，學(xué)生主要學(xué)習(xí)例題、培養(yǎng)直覺、記憶公式、練習(xí)計算。但這個階段很容易出錯，學(xué)生其實并不真正理解背后的原理，只是對所有知識有一個模糊的認(rèn)知。

之后進(jìn)入大學(xué)，如果是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，就會接觸到令人 “頭疼” 的證明課程，開始學(xué)習(xí)如何進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎?。在這個嚴(yán)謹(jǐn)階段，解題似乎只有一種正確方法，卻有無數(shù)種錯誤方法，之前在前置階段學(xué)到的很多知識都會被輕視，被認(rèn)為是 “小孩子學(xué)的東西”，仿佛只有現(xiàn)在學(xué)的才是 “真正的數(shù)學(xué)”。

然而，大多數(shù)人都沒能達(dá)到第三個階段 ——后嚴(yán)謹(jǐn)階段，因此也沒能體會到這個階段的妙處。所謂后嚴(yán)謹(jǐn)階段，就是當(dāng)你已經(jīng)熟練掌握嚴(yán)謹(jǐn)、精確的思維方式之后，再回過頭去重新審視自己的直覺，能夠更流暢、更不拘泥于形式地思考問題。而且你心里清楚，就算自己此刻是在 “憑感覺” 分析，只要需要，隨時都能把這些思路轉(zhuǎn)化為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C過程，做到直覺與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖杂汕袚Q。這個階段，基本上就是研究生階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容了，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最有趣的階段?？上У氖?，大多數(shù)人都沒能體驗到這一點。

接下來，我舉個例子，幫大家更好地理解這三個階段。數(shù)學(xué)中有一個基礎(chǔ)概念叫“反證法”，學(xué)生們通常覺得這個概念既不直觀又很難理解，但實際上，小學(xué)生們在課間休息時，就會自己“發(fā)明”這種思維方式。

我小時候，就和小伙伴們玩過一個很傻的游戲：圍在一起比誰說出的數(shù)字最大。有人說 “十億”，接著就有人說 “萬億”“千萬億”，就這樣你一言我一語，不斷地往大了說，比如 “萬億的萬億倍” 之類的。這個游戲會一直玩下去，直到有人意識到：不管對方說出多大的數(shù)字，下一個人只要在這個數(shù)字上加 1，就能得到一個更大的數(shù)。

這時大家就會恍然大悟：根本不存在最大的數(shù)。因為無論你想到多大的數(shù)，只要加1，就能得到一個更大的數(shù)。其實，這就是反證法的應(yīng)用。他們證明了 “最大的數(shù)不存在”—— 因為如果存在這樣一個數(shù)，那它就會比自己加1之后的數(shù)還大，這顯然是不可能的。

孩子們自己發(fā)現(xiàn)了這種思維方式，但他們無法用語言清晰地表達(dá)出來。這個過程其實已經(jīng)相當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)了，只是他們還沒有掌握對應(yīng)的專業(yè)術(shù)語。

之后，學(xué)生們升入高中、大學(xué)，會在課堂上正式學(xué)習(xí)各種證明方法。證明的形式多種多樣，比如直接證明：給出一個應(yīng)用題和已知條件，通過一系列數(shù)學(xué)變換，從條件推導(dǎo)到結(jié)論，也就是從 A 推導(dǎo)出 B。我相信大家都做過這類題目，這里就不展開細(xì)說了。

還有一種是逆向直接證明：從想要證明的結(jié)論出發(fā)，對其進(jìn)行化簡、變形、消去項，一步步倒推，最終回歸到已知的條件。這是嚴(yán)謹(jǐn)階段非常典型的數(shù)學(xué)思維方式，解題過程中容不得半點差錯。

而當(dāng)學(xué)生們正式學(xué)習(xí)反證法時，往往會覺得這種方法非常奇怪。比如要證明 “根號2是無理數(shù)”（即根號2不能表示為兩個整數(shù)的比值），步驟通常是：先假設(shè)根號2是有理數(shù)，然后進(jìn)行一系列推導(dǎo)，最后得出一個與之前的假設(shè)或已知定理相矛盾的結(jié)論，從而證明原假設(shè)不成立，根號2確實是無理數(shù)。

很多學(xué)生很難把這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法，和他們小時候玩游戲時用到的反證思維聯(lián)系起來。明明是同一個概念，卻因為教學(xué)方式的不同，給人一種完全割裂的感覺。

但對于后嚴(yán)謹(jǐn)階段的數(shù)學(xué)家來說，反證法就是一種信手拈來的工具，根本算不上什么高明的技巧。當(dāng)我們懷疑某個命題是否成立時，會很自然地先假設(shè)它是對的，然后看看會得出什么結(jié)果。如果推導(dǎo)過程中出現(xiàn)了矛盾，那就說明這個命題不成立，僅此而已。對我們來說，這就像是游戲里的一個常規(guī)操作。

數(shù)學(xué)家哈代（G. H. Hardy）曾說過一句很貼切的話：

“歸謬法（反證法，拉丁語名稱reductio ad absurdum）是數(shù)學(xué)家手中最精妙的武器之一，它比國際象棋中的任何棄子策略都要高明得多。在國際象棋中，棋手可能會犧牲一個象或一個車，來換取棋局上的優(yōu)勢；而數(shù)學(xué)家卻可以‘犧牲整個棋局’，最終依然能贏得勝利。”

你看，這就是對同一個概念的三種不同思考層次。這也是“像數(shù)學(xué)家一樣思考”的其中一個要點。

另一個要點，其實之前的幾位嘉賓也提到過：

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，失敗是被允許的。

但這一點，和我們平時的教學(xué)方式恰恰相反 —— 尤其是在嚴(yán)謹(jǐn)階段的教學(xué)中，學(xué)生只要算錯一個符號，作業(yè)本上就會被打上紅叉，分?jǐn)?shù)也會被扣除。

但實際上，和其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的 “失敗成本” 其實非常低。比如，工程師設(shè)計橋梁時出錯，代價會非常高昂；心臟外科醫(yī)生做手術(shù)時失誤，后果更是不堪設(shè)想。但如果是解一道數(shù)學(xué)題，就算你的證明過程行不通，這也只是一個無關(guān)緊要的小失誤，大不了重新再來。

弗拉基米爾?阿諾德（Vladimir Arnold）曾說過一句話：“數(shù)學(xué)可以看作是物理學(xué)的一個分支 —— 一個實驗成本極低的分支。” 至于當(dāng)下的人工智能技術(shù)，我們暫且不談。

也正因為如此，研究生階段的一個重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，就是不斷嘗試、不斷犯錯，哪怕明知有些方法可能行不通，也要去試一試。因為失敗的過程往往能帶來寶貴的啟發(fā)。這種思維模式，是我們作為數(shù)學(xué)家會內(nèi)化于心的，但幾乎沒有其他領(lǐng)域的人能夠理解 —— 畢竟在絕大多數(shù)行業(yè)里，人們都害怕犯錯，而在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們擁有犯錯的自由，這是一種非常珍貴的特權(quán)。

不過，這里存在一個脫節(jié)：我們評判數(shù)學(xué)題答案的標(biāo)準(zhǔn)是 “是否正確”，但評判數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的標(biāo)準(zhǔn)，卻應(yīng)該包容大量的失敗 —— 而這一點至關(guān)重要。

我給大家講一個真實的例子。

幾個月前，有個學(xué)生來找我請教一道數(shù)學(xué)題。具體題目我就不說了，只記得題目提示可以用 “泰勒近似” 這個方法來解。這個學(xué)生其實已經(jīng)學(xué)過三次泰勒近似了 —— 他有三本不同的教材，里面給出了三種不同的泰勒近似公式，他不知道該用哪一個，所以陷入了僵局，整個人都不知所措。這種情況，有時被稱為 “分析癱瘓”—— 因為選擇太多，反而無從下手。

我當(dāng)時只跟他說了一句話：沒關(guān)系，就算你選的第一個公式行不通也無所謂，先隨便選一個試試看。也許能解出來，也許解不出來，就算只能解出一部分也沒關(guān)系，至少能讓你知道下一步該怎么做。

就這么簡單的一句話，就讓他豁然開朗了。我并沒有給他更多提示，只是賦予了他 “允許自己失敗” 的權(quán)利。后來他沒有再找我，我想他應(yīng)該已經(jīng)解決那道題了。

這是一個非?；A(chǔ)的道理，但我們卻很少在教學(xué)中提及 —— 因為我們同時也強(qiáng)調(diào)答案的正確性，所以必須在 “嚴(yán)謹(jǐn)求對” 和 “包容試錯” 之間找到平衡。

其實科學(xué)家們也都明白這個道理。尼爾斯·波爾（Niels Bohr）有一句名言說得好：

“什么是專家？專家就是在一個非常狹窄的領(lǐng)域里，犯過所有能犯的錯誤的人。”

如果你過去沒有犯過某些錯誤，那將來遲早會犯。所以，現(xiàn)在犯錯其實是件好事 —— 把錯誤都留在過去，將來就不會再犯同樣的尷尬錯誤了。

試錯，確實是我們做研究過程中極其重要的一環(huán)?？上У氖?，我們很少把這一點公之于眾。在某些方面，我們的學(xué)術(shù)文化并不完善。比如發(fā)表論文時，我們通常只會展示成功的研究成果，很少會寫那些走不通的彎路，以及研究過程中那種迷茫無助的狀態(tài) —— 而這種迷茫，其實才是數(shù)學(xué)家的常態(tài)。

當(dāng)然，也有少數(shù)人會在論文中提及這些，但大多數(shù)時候，我們只分享成功的喜悅。比如，當(dāng)你讀到著名數(shù)學(xué)家瑪麗亞姆?米爾扎哈尼（Mariam Makani）的論文時，會發(fā)現(xiàn)里面全是成功的研究成果（她其實比大多數(shù)數(shù)學(xué)家都坦誠）?？僧?dāng)你自己做研究時，卻會不斷遇到證明失敗的情況，這時就很容易產(chǎn)生 “冒充者綜合征”（即冒名頂替綜合征），覺得自己根本不配當(dāng)數(shù)學(xué)家。

所以我認(rèn)為，我們應(yīng)該更坦然地公開自己的失敗經(jīng)歷，讓這種情況變得常態(tài)化。

再給大家講一個我的親身經(jīng)歷。幾年前，我和另外四個人合作研究一個偏微分方程的問題。這個問題有一位非常著名的數(shù)學(xué)家讓?布爾甘（Jean Bourgain）曾鉆研過很久，但只得到了部分結(jié)果，而我們想要攻克完整的問題。當(dāng)時我們信心滿滿，覺得幾個月就能搞定。

我們嘗試了一種很大膽的方法，結(jié)果竟然成功了！當(dāng)時我們高興壞了，甚至已經(jīng)開始預(yù)訂餐廳，準(zhǔn)備開香檳慶祝。可就在我們開始撰寫證明過程時，我的一位合作者 —— 他比我們其他人都要細(xì)心 —— 發(fā)現(xiàn)了一個問題：我們在推導(dǎo)過程中把一個式子展開成了13項，其中12項都處理得很完美，但唯獨(dú)漏掉了第13項。

我當(dāng)時還覺得這只是個小問題，想著 “沒關(guān)系，我把這一項補(bǔ)上就行”?？勺屑?xì)一算才發(fā)現(xiàn)，我們根本無法控制這第13項 —— 它恰恰是所有項中最關(guān)鍵、最難處理的一項，而我們之前竟然把它忽略了。本以為只是個小疏漏，結(jié)果無論我們怎么嘗試，都無法解決這個問題，整個證明過程就此卡住。

那時候，我們已經(jīng)在這個問題上投入了整整六個月的時間，最后不得不取消了餐廳預(yù)訂，心情別提多沮喪了。但我們沒有放棄，而是繼續(xù)鉆研。就這樣過了整整兩年，我們終于找到了一種完全不同的方法，徹底解決了這個問題。

這篇論文后來還獲了獎，也是我最引以為傲的成果之一。現(xiàn)在想來，如果當(dāng)初那次 “初步成功” 沒有出現(xiàn)那個失誤，我們恐怕早就放棄了，根本不可能解決這個問題。所以有時候，犯錯甚至能帶來意想不到的積極效果。這篇論文發(fā)表在一本叫《數(shù)學(xué)年刊》Annals of mathematics 的期刊上 https://arxiv.org/abs/math/0402129 ，我和我的四位合作者都對此非常滿意。

所以說，擁有犯錯的自由至關(guān)重要。由此還能引申出另一個觀點：

要想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得進(jìn)步，就要敢于提出“愚蠢的問題”。

在教學(xué)過程中，我們往往會不自覺地給學(xué)生灌輸一種觀念：除非對自己的答案非常有把握，否則不要隨便發(fā)言。但這種做法其實是完全錯誤的。

學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時，經(jīng)常會提出一些看似“愚蠢”的問題。從標(biāo)準(zhǔn)答案的角度來看，這些問題確實顯得很幼稚，但實際上，這些問題恰恰是最值得去解答的。

我這里列舉了一些學(xué)生可能會問的“傻問題”，但其實，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多重大突破，都源于數(shù)學(xué)家在更高層面上提出了類似的“愚蠢問題”。每個問題展開來講都能聊上一個小時，今天就不細(xì)說了。但幾乎每一個數(shù)學(xué)新突破，追根溯源，都能歸結(jié)到某個人提出的一個看似愚蠢的問題上。

保羅?哈爾莫斯（Paul Halmos）是一位非常著名的數(shù)學(xué)家，他尤其擅長教導(dǎo)學(xué)生如何像數(shù)學(xué)家一樣思考。他一直強(qiáng)調(diào)：不要把老師教給你的知識當(dāng)作一成不變的定論，你必須去質(zhì)疑它、挑戰(zhàn)它，真正把它變成自己的東西。而做到這一點的一個重要方法，就是大膽提出自己的 “傻問題”。

再給大家講一個我自己的例子。我的博士生導(dǎo)師埃利亞斯?斯坦因（Elias Stein）是普林斯頓大學(xué)一位成就斐然的數(shù)學(xué)家。他曾證明過一個不等式，但唯獨(dú)在一個端點的情況上沒有解決。當(dāng)時我就下定決心，要攻克斯坦因不等式的這個端點問題。

我先是獨(dú)自鉆研，后來又和一些合作者一起嘗試，只得到了一些很薄弱的階段性結(jié)果。但攻克這個難題，一直是我的一個夢想 —— 畢竟這是我導(dǎo)師未能完成的研究。

后來，我受邀參加斯坦因教授的80歲生日學(xué)術(shù)會議，需要在會上做一個報告。我當(dāng)時正好在研究這個端點問題，雖然只得到了一些初步結(jié)果，但還是決定把這些內(nèi)容分享出來。

在報告的問答環(huán)節(jié)，臺下一位同事問了我一個問題：“你有沒有嘗試過證明這個結(jié)論是錯的？有沒有什么理由讓你覺得這個結(jié)論一定成立？會不會存在反例？”

這個問題我之前從來沒有想過 —— 我一直想當(dāng)然地認(rèn)為，我要證明的結(jié)論肯定是正確的，完全沒考慮過它可能是錯的。所以當(dāng)時我根本無法回答這個問題。

會議結(jié)束后，我整個晚上都在思考：這個結(jié)論會不會真的不成立？沒想到，僅僅過了一個星期，我就找到了一個反例。

你看，有時候不一定非要自己提出這些 “傻問題”，但總需要有人去提。

總結(jié)一下，像數(shù)學(xué)家一樣思考，主要包含三個方面：

第一，既要學(xué)習(xí)直覺思維，也要掌握嚴(yán)謹(jǐn)思維，最終將兩者融合，形成后嚴(yán)謹(jǐn)階段的思維模式；

第二，要坦然接受失敗，擁抱試錯的自由；

第三，要敢于提出看似愚蠢的問題。

非常感謝大家的聆聽！

【掌聲】

Q&A主持人：

剛才陶哲軒分享的這些觀點，其實和當(dāng)前數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的主流理念不謀而合。事實上，在過去十年里，數(shù)學(xué)教育界一直在不斷努力：致力于引導(dǎo)學(xué)生更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貥?gòu)建和論證數(shù)學(xué)思想；在課堂上公開接納、支持學(xué)生在解題過程中遇到的困難、失敗與堅持；同時重視解題過程，鼓勵學(xué)生對比多種解題方法，并從中學(xué)習(xí)。

我們知道，教育領(lǐng)域一直在努力，希望能在學(xué)生和課堂中培養(yǎng)出專業(yè)數(shù)學(xué)家所具備的思維習(xí)慣。所以，陶哲軒，我想先拋磚引玉，問你一個問題。

提問：

當(dāng)前數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域還有兩個備受關(guān)注的話題：一個是學(xué)生之間的協(xié)作學(xué)習(xí)在理解數(shù)學(xué)知識過程中所扮演的角色；另一個是技術(shù)手段在課堂教學(xué)中的應(yīng)用。

你能否結(jié)合數(shù)學(xué)家的專業(yè)工作，和我們分享一下你對協(xié)作的重要性，以及技術(shù)使用的看法？

陶哲軒：

這兩個話題都非常好。我剛才提到的三個要點，并不是成為數(shù)學(xué)家需要掌握的全部技能。

隨著時代的發(fā)展，有一項軟技能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域變得越來越重要，那就是協(xié)作能力。數(shù)學(xué)研究已經(jīng)從過去那種高度個人化的活動，逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橐豁椃浅Ｒ蕾噮f(xié)作的工作。

一方面，是因為數(shù)學(xué)學(xué)科本身的性質(zhì)發(fā)生了變化 —— 我們現(xiàn)在面對的都是跨學(xué)科的復(fù)雜問題，單憑一個人的力量根本無法解決；

另一方面，互聯(lián)網(wǎng)等新技術(shù)的出現(xiàn)，也讓我們能夠開展前所未有的大規(guī)模協(xié)作。

所以，培養(yǎng)學(xué)生參與小組項目的協(xié)作能力，是一項非常重要的技能。這是一種和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)截然不同的能力。說實話，人際交往能力從來都不是數(shù)學(xué)家的強(qiáng)項，但現(xiàn)在，我們也在慢慢適應(yīng)這種變化。

而且未來，我們不僅要和人類協(xié)作，還會越來越多地和人工智能（AI）協(xié)作。目前，人工智能工具在某些方面已經(jīng)變得非常強(qiáng)大，但在另一些方面仍然很薄弱。協(xié)作的美妙之處在于分工合作：過去，一個數(shù)學(xué)家需要包攬解題過程中的所有環(huán)節(jié) —— 從發(fā)現(xiàn)問題、確定策略，到執(zhí)行策略、撰寫證明、解釋成果。

而現(xiàn)在，我們可以和其他人類研究者，以及人工智能工具協(xié)作，不同的合作者負(fù)責(zé)不同的任務(wù)。可以說，數(shù)學(xué)領(lǐng)域正在經(jīng)歷一場“產(chǎn)業(yè)革命”。我們的教學(xué)方式也必須隨之調(diào)整 —— 這種變化來得很快，無論好壞，我們都要去適應(yīng)。不過我相信，只要有像今天這樣的交流平臺，我們一定能夠做好轉(zhuǎn)型。

Q&A主持人：

非常感謝你的分享。我注意到，線上會議室里有位觀眾提出了一個問題。

提問：

剛才有幾位嘉賓提到了數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中的應(yīng)用，我突然想到，有一個絕佳的應(yīng)用場景：如果能從加州大學(xué)洛杉磯分校據(jù)說高達(dá)50億美元的捐贈基金中拿出一部分，再結(jié)合數(shù)學(xué)系頂尖的智力資源 —— 我不確定你們是否愿意和金融系合作 —— 要知道，這筆基金的平均年化回報率還不到8%。

我敢肯定，憑借你們的能力，再加上人工智能、數(shù)值模擬等技術(shù)手段，你們絕對能輕松超越這個平均回報率，為學(xué)校賺得盆滿缽滿。

【笑聲】

陶哲軒：

剛才我在演講中提到，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，失敗的成本很低。但這里需要加一個補(bǔ)充說明：一旦數(shù)學(xué)研究和現(xiàn)實世界掛鉤，就必須進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娘L(fēng)險收益分析。

其實，我覺得讓學(xué)生做金融建模的項目會是一個很好的教學(xué)實踐 —— 比如模擬一些市場場景，看看效果如何。不過，目前還不太適合直接讓學(xué)生去管理加州大學(xué)洛杉磯分校的捐贈基金。

【笑聲】

Q&A主持人：

現(xiàn)場還有一位觀眾想提問。

提問：

你愿意幫我管理投資組合嗎？

【笑聲】

陶哲軒：

這個問題，我還是參考剛才的回答吧。

【笑聲】

提問：

我有一個嚴(yán)肅的問題想請教：現(xiàn)在的大語言模型在處理高深的理論數(shù)學(xué)問題時，能力到底有多強(qiáng)？它們是否有能力推動數(shù)學(xué)領(lǐng)域的邊界？

陶哲軒：

大語言模型在很多方面的能力都在不斷提升。目前來看，它們的水平大概相當(dāng)于一支由不同水平研究生組成的團(tuán)隊：你給它們一個問題，它們會從文獻(xiàn)中檢索各種方法，然后逐一嘗試。有時候會取得驚人的成功，有時候則會一敗涂地。

如果你只看社交媒體上那些大肆宣傳的成功案例，會覺得這些模型簡直不可思議。但當(dāng)你自己下載這些工具，用它們解決你感興趣的問題時，就會發(fā)現(xiàn)成功率其實很低，通常只有1%到2%。

我認(rèn)為，這些工具在某些類型的數(shù)學(xué)研究中會非常有用。比如，如果一個問題可以拆分成100個子問題，而你并不介意某個工具只能解決其中10%的子問題 —— 那這就相當(dāng)于幫你解決了10個問題；再換一個工具，又能解決5%，積少成多。

正如我之前所說，數(shù)學(xué)研究必須走向“產(chǎn)業(yè)化”，學(xué)會用概率的思維來做研究。過去，我們習(xí)慣盯著一個問題死磕到底；而未來，我們可以開展大規(guī)模的研究項目，接受 “部分成功” 的模式。這樣一來，這些人工智能工具就能發(fā)揮巨大的作用。

不過，目前這個領(lǐng)域的發(fā)展變化非?？欤攘钊伺d奮，也讓人有些擔(dān)憂。但總體而言，我認(rèn)為利大于弊。

提問：

我很好奇一件事：剛才主持人介紹你的時候，提到了你為人父母之后，看到自己孩子在學(xué)校的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。這讓我立刻想到，你10歲就參加數(shù)學(xué)競賽，堪稱神童、小名人，是學(xué)校里公認(rèn)的最聰明的孩子 —— 這種經(jīng)歷肯定不容易吧。

而如今，你作為一名成年人、一位家長，站在這里告訴我們“沒有愚蠢的問題”。說實話，我現(xiàn)在依然覺得自己會提出一些很傻的問題，而且非常害怕在公開場合提問。不過我現(xiàn)在還是鼓起勇氣問了 —— 或許這個問題本身就很傻。

我真正想說的是，以你如今的閱歷，再結(jié)合你提到的人工智能、大語言模型的發(fā)展，以及數(shù)學(xué)和教育的未來走向 —— 你覺得現(xiàn)行的教育體系存在諸多不合理之處，那么對于學(xué)校、教師和學(xué)區(qū)管理者，你有什么建議？我們該如何讓數(shù)學(xué)融入孩子們的世界，讓他們愿意努力鉆研、敢于提出那些 “愚蠢的問題”？

我能想象，對你來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或許相對輕松，但與此同時，你也一定經(jīng)歷過不少艱辛。不知道我這么問是否恰當(dāng)？

陶哲軒：

你說得很對。我成長的那個年代，節(jié)奏要慢得多，也更具可預(yù)測性。我的學(xué)業(yè)進(jìn)度其實非?？?，總共跳了五級。當(dāng)時，我所在的小學(xué)、高中以及當(dāng)?shù)卮髮W(xué)的校長們，不得不專門為我設(shè)計一套個性化的課程。

那時候，天才教育項目還不像現(xiàn)在這么系統(tǒng)化，一切都在摸索中進(jìn)行，而這套 “量身定制” 的方案最終也奏效了。當(dāng)然，這離不開我父母和各位學(xué)校管理者的巨大付出。

現(xiàn)在的情況，相比過去可以說是有好有壞。比如在我的祖國澳大利亞，現(xiàn)在已經(jīng)有了結(jié)構(gòu)完善的天才教育項目，學(xué)生們不用再像我當(dāng)年那樣，一切從零開始摸索。但與此同時，這些項目也變得更加僵化 —— 有些我當(dāng)年能做到的事，現(xiàn)在的孩子可能就沒機(jī)會嘗試了。

時代已經(jīng)完全不同了。說實話，我也不確定哪種模式更有效，但幸運(yùn)的是，我們有這樣一個很棒的中心，致力于研究這些問題。我認(rèn)為，我們需要不斷嘗試各種教育實驗，既要展示成功的經(jīng)驗，也要從失敗中吸取教訓(xùn)。

而且，作為數(shù)學(xué)家，我們都明白一個道理：一個不完美的解決方案，也好過沒有解決方案。 我覺得，這正是我們這個中心存在的意義。

Q&A主持人：

謝謝你的分享，陶哲軒。你剛才說的這些話，讓我想起了九個月前我曾說過的一句話：我們不必害怕失敗，但要害怕從失敗中一無所獲。

接下來，有請加州州立大學(xué)北嶺分校的凱特?史蒂文森（Kate Stevenson）教授提問。

凱特提問：

你好！我就在附近的加州州立大學(xué)北嶺分校任教。作為數(shù)學(xué)系主任，我特意選擇教授那門令人 “頭疼” 的證明課程 —— 因為這門課能讓我和數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生們緊密接觸。我很喜歡看著學(xué)生們在這門課上完成思維的轉(zhuǎn)變。

如果能有一段你的視頻，告訴學(xué)生們 “犯錯是沒關(guān)系的”，那我的教學(xué)工作會輕松很多。

你剛才提到的“像數(shù)學(xué)家一樣思考”的三個要點非常好，但我覺得，這個框架或許忽略了一類學(xué)生 —— 那些沒參加過數(shù)學(xué)夏令營、高中數(shù)學(xué)成績并不理想的學(xué)生。

陶哲軒：

我教的學(xué)生中，很多都是第一代大學(xué)生，還有不少學(xué)生有著非?？部赖某砷L背景和艱難的現(xiàn)實生活。對于這些學(xué)生來說，我們首先要和他們建立信任，讓他們愿意去犯錯。因為只有在感到安全的環(huán)境里，人們才敢于犯錯—— 這其實是一種特權(quán)。

我認(rèn)為，要建立這種信任，我們可以達(dá)成一個共識，用同一個聲音告訴學(xué)生：數(shù)學(xué)的本質(zhì)是在試錯中堅持，是一張由相互關(guān)聯(lián)的思想構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，而不是一堆孤立的算法。

凱特提問：

值得高興的是，最近加州州立大學(xué)系統(tǒng)（CSU）、加州大學(xué)系統(tǒng)（UC）和社區(qū)大學(xué)已經(jīng)聯(lián)合發(fā)布了一份聲明，明確了大學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的預(yù)備能力要求 —— 這份聲明所體現(xiàn)的理念，和你今天分享的內(nèi)容完全一致。所以我覺得，我們應(yīng)該大力宣傳這份聲明，向所有人傳遞一個信息：在這個問題上，我們的觀點是一致的，沒有任何分歧。

Q&A主持人：

感謝凱特的分享。線上會議室里還有一個問題，是菲爾的一位往屆學(xué)生克里斯?安迪思（Chris Andis）提出的 —— 他剛才已經(jīng)離開了會議室，但我還是想把這個問題轉(zhuǎn)達(dá)給你。

克里斯?安迪思提問：

陶哲軒，你是否見過這樣的情況：人工智能為了證明某個結(jié)論或解決某個問題，自主創(chuàng)造出一個全新的數(shù)學(xué)定義？要知道，提出好的定義，是數(shù)學(xué)家最具創(chuàng)造性的工作之一。比如拓?fù)鋵W(xué)中的“緊致性”定義，就大大簡化了許多基礎(chǔ)定理的證明過程。人工智能能做到這一點嗎？

陶哲軒：

這個問題的答案可以說是 “能”，也可以說 “不能”。

你可以讓人工智能生成各種各樣的新想法和新定義，但往往是1個有價值的定義，伴隨著99個毫無意義的定義。而且，如果不親自去驗證，你根本無法判斷哪些定義是有用的，哪些是無用的。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域的有些問題是很容易驗證的 —— 比如一道題要么解出來了，要么沒解出來。對于這類可驗證性強(qiáng)的任務(wù)，人工智能目前已經(jīng)表現(xiàn)得相當(dāng)出色。但對于“定義”這類事物，你無法用10分制去量化它的優(yōu)劣。

所以，對于這類創(chuàng)造性任務(wù)，人工智能目前的表現(xiàn)依然很讓人沮喪。它們偶爾會靈光一現(xiàn)，提出一個絕妙的定義，但緊接著就會拋出九個毫無價值的想法，然后自顧自地繼續(xù)生成內(nèi)容。至少到目前為止，我還沒有見過人工智能提出過真正具有突破性的定義?；蛟S未來技術(shù)發(fā)展了會實現(xiàn)，但現(xiàn)在還做不到。

提問：

你剛才提到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三個階段：前嚴(yán)謹(jǐn)階段、嚴(yán)謹(jǐn)階段和后嚴(yán)謹(jǐn)階段。我想問的是，這個階段劃分是必須遵循的嗎？ 如果不是，有沒有辦法讓那些沒有接受過完整正規(guī)數(shù)學(xué)教育、沒能進(jìn)入后兩個階段的人，也能體驗到后嚴(yán)謹(jǐn)階段的思維方式，或者對其有所了解？

陶哲軒：

這是一個很好的問題。

我見過一些人，他們對數(shù)學(xué)抱有極大的熱情，腦子里也有很多很棒的想法，但他們完全沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維訓(xùn)練 —— 他們試圖跳過嚴(yán)謹(jǐn)階段，直接進(jìn)入后嚴(yán)謹(jǐn)階段。這種做法往往會陷入尷尬的境地：他們所說的很多內(nèi)容其實是沒有邏輯的，但他們自己卻意識不到。

我認(rèn)為，讓處于不同學(xué)習(xí)階段的人多交流，是非常重要的。這樣可以讓每個階段的學(xué)習(xí)者都明白：你現(xiàn)在所處的階段，并不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終點。

至于如何讓沒有機(jī)會接受高階教育的人體驗到后嚴(yán)謹(jǐn)階段的思維方式，我覺得關(guān)鍵在于更多地展示數(shù)學(xué)研究的過程。

你看，在其他領(lǐng)域，人們很喜歡看別人做事的過程 —— 比如電子游戲領(lǐng)域，就有很多人喜歡看別人玩游戲；還有人喜歡看運(yùn)動員訓(xùn)練，或者看演員的幕后花絮。但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們卻沒有這樣的文化 —— 我們要么覺得自己的研究過程過于私人，要么覺得它枯燥乏味，不值得分享。

但我想，如果我們能更多地展示數(shù)學(xué)研究的真實過程，或許就能讓更多人感受到后嚴(yán)謹(jǐn)階段的魅力。

提問：

說到這里，我想起了你最近發(fā)布的一個視頻 https://www.youtube.com/watch?v=JHEO7cplfk8 —— 那個視頻的點擊量已經(jīng)達(dá)到了十萬次。我想，這或許就是一個很好的嘗試：你在視頻中展示了自己如何主動運(yùn)用人工智能進(jìn)行研究，相當(dāng)于揭開了數(shù)學(xué)研究的 “神秘面紗”，讓人們看到了真實的研究過程。

確實如此，我們在這方面做得還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

你剛才提到，失敗是學(xué)習(xí)過程中很重要的一部分，我們能從錯誤中吸取教訓(xùn)。這讓我想起了詹姆斯?斯蒂格勒（James Stigler）做過的一項研究 —— 他參與的第三屆國際數(shù)學(xué)與科學(xué)研究項目（TIMSS）。

斯蒂格勒團(tuán)隊曾拍攝了日本、德國和美國三國八年級的數(shù)學(xué)課堂。他們發(fā)現(xiàn)了一個很有意思的現(xiàn)象：在美國的課堂上，如果一個學(xué)生把解題過程寫在黑板上并出現(xiàn)錯誤，大家會覺得這是一件很糟糕的事；但在日本的課堂上，當(dāng)學(xué)生在黑板上寫出錯誤的解法時，老師會特別強(qiáng)調(diào)全班同學(xué)都應(yīng)該對此表示感謝 —— 因為大家可以從這個錯誤中學(xué)習(xí)。

這種教學(xué)理念的差異，恰恰和你今天分享的核心觀點不謀而合：我們應(yīng)該重視從錯誤中學(xué)習(xí)的價值。

我想問一個非常具有南加州風(fēng)格的問題：做數(shù)學(xué)研究時，你是什么感覺？ 當(dāng)研究進(jìn)展順利時，你是什么心情？當(dāng)研究陷入困境 —— 我們姑且不用“失敗”這個詞，用“富有成效的試錯”來形容 —— 時，你又是什么感受？

陶哲軒：

我小時候特別愛玩電腦游戲，那是我最大的愛好之一。1990年代，互聯(lián)網(wǎng)還沒有普及，如果玩游戲時卡在某個關(guān)卡 —— 比如找不到開門的鑰匙 —— 是沒有攻略可以查的。頂多只能去當(dāng)?shù)氐挠螒虻曩I一本攻略書。

所以，那時候我每天晚上玩游戲，都會卡在同一扇門前，反復(fù)嘗試，卻毫無進(jìn)展。但突然有一天，我靈光一閃，低頭看了看腳下的石頭 —— 鑰匙竟然藏在石頭下面！那一刻，我終于通關(guān)了，那種成就感真的太強(qiáng)烈了。

這種感覺是靠自己努力換來的：你為一個問題絞盡腦汁，不斷探索，看似毫無進(jìn)展，但實際上，你正在排除所有行不通的方法，就像在雕刻時剔除多余的石料，直到最后只剩下一條正確的路徑。這時，你就會豁然開朗，找到解決問題的方法。

而且往往在找到答案后，你會恍然大悟：“原來這么簡單，我之前怎么就沒想到呢？” 但你之所以能想到，正是因為你之前付出了大量的努力，排除了所有錯誤的選項。

我不想說 “現(xiàn)在的孩子太幸福了” 之類的話，但不可否認(rèn)的是，科技確實極大地改善了我們的生活 —— 我們現(xiàn)在可以隨時隨地獲取各種信息，對任何事情都期待能得到即時的解決方案。

但數(shù)學(xué)研究是少數(shù)幾個無法獲得即時答案的領(lǐng)域之一 —— 當(dāng)然，現(xiàn)在有了人工智能的幫助，情況有所改變。但在沒有人工智能輔助的時候，你必須靠自己一步步去摸索。而當(dāng)你最終解決問題時，那種靠自己努力換來的成就感，真的是一種非常美妙的體驗。

提問：

你剛才提到，那個偏微分方程的問題，你們在出錯后花了整整兩年才解決。如果現(xiàn)在用人工智能來處理這個問題，你覺得需要多長時間？

陶哲軒：

我還沒有試過，其實我有點不敢嘗試。不過，不管是好是壞，目前人工智能的訓(xùn)練模式都是：盡可能地吸收互聯(lián)網(wǎng)上的所有信息，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行學(xué)習(xí)。我們那篇十年前發(fā)表的論文，肯定已經(jīng)被收錄到人工智能的訓(xùn)練數(shù)據(jù)里了。

所以，如果你現(xiàn)在讓人工智能去解決那個問題，它們肯定能給出一個漂亮的答案。但問題在于，我們根本無法確定，它們是靠自己的推理得出的答案，還是只是機(jī)械地復(fù)述了互聯(lián)網(wǎng)上已有的內(nèi)容 —— 畢竟我們的論文已經(jīng)公開發(fā)表了。

當(dāng)然，人工智能確實已經(jīng)解決了一些之前未被解決的問題。但如果你去研究它們的解題過程，就會發(fā)現(xiàn)，這些方法往往是對解決相關(guān)問題的已知方法的 “重新組合”。我還沒有見過任何一個人工智能的證明過程，能讓我眼前一亮 —— 那種 “從來沒有人想到過這種方法” 的驚艷感。不過，不可否認(rèn)的是，人工智能已經(jīng)非常有用了。至于它們是否具備真正的創(chuàng)造力，目前還存在爭議。

主持人：

非常感謝維多利亞，感謝你主持了這場精彩的問答環(huán)節(jié)。我們非常感謝你的付出！

【掌聲】

參考資料

https://www.youtube.com/watch?v=kRcro90Aj0w

https://arxiv.org/abs/math/0402129

https://www.youtube.com/watch?v=JHEO7cplfk8

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