數(shù)字線如何促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

從分?jǐn)?shù)和小數(shù)到距離和時(shí)間，不起眼但用途廣泛的數(shù)字線可以加深學(xué)生對關(guān)鍵數(shù)學(xué)概念的理解。

經(jīng)過 安德烈亞·塔馬約

2026年4月17日

當(dāng)一個(gè)幼兒園小朋友被要求解7 + 6的方程式時(shí)，僅僅是數(shù)字并不總是清楚他們被要求做什么:確定什么數(shù)字是大于7的6個(gè)數(shù)字。為了找出答案，許多學(xué)生被教導(dǎo)依靠一個(gè)熟悉的心理工具:不起眼的數(shù)字線。

數(shù)軸——早期小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的主要內(nèi)容——不僅僅是幫助學(xué)生找到他們遇到的第一個(gè)方程的正確答案；他們幫助學(xué)生理解為什么這是正確的答案。通過可視化數(shù)字之間的順序和空間關(guān)系，學(xué)生開始建立一個(gè)數(shù)字如何相互關(guān)聯(lián)的心理模型，這是一項(xiàng)基本技能研究始終與后來的數(shù)學(xué)成功聯(lián)系在一起.

A2024系列研究致力于探索數(shù)字線如何支持?jǐn)?shù)學(xué)理解突出了這個(gè)工具是多么強(qiáng)大。研究人員發(fā)現(xiàn)，它們在課堂上的使用可以極大地影響學(xué)生在一系列領(lǐng)域的學(xué)習(xí)——從教授整數(shù)和運(yùn)算到分?jǐn)?shù)和測量——鼓勵(lì)學(xué)生“將所有數(shù)字概念化為屬于一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)字系統(tǒng)。”

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這項(xiàng)研究是...超級有幫助！

尤其是當(dāng)它被翻譯成每月一次在教室里使用時(shí)。同意這項(xiàng)研究發(fā)表在獲得學(xué)習(xí)科學(xué)最新的獨(dú)家見解。

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根據(jù)課堂實(shí)踐和本研究系列的見解，我們概述了五種實(shí)用策略，教師可以用它們來幫助學(xué)生理解使用數(shù)軸的重要數(shù)學(xué)概念和技能。

通過生動(dòng)的辯論建立數(shù)字意識

在勞拉·伯曼(Laura Berman)的二年級班上，數(shù)字線不是靜態(tài)的——它們是動(dòng)態(tài)工具學(xué)生們積極操縱并圍繞著辯論。

在一堂課中，伯曼使用了“更開放的數(shù)字線”來幫助孩子們理解數(shù)字的走向，而沒有提供標(biāo)記作為提示。她將一張紙條貼在白板上，一端標(biāo)上0，另一端標(biāo)上30，然后將標(biāo)有數(shù)字4、8、11、18、21和26的便利貼發(fā)給她的學(xué)生。他們被要求把便簽放在數(shù)字線上他們認(rèn)為應(yīng)該放的地方，延伸他們的數(shù)字感。

然后伯曼問:“你同意所有的數(shù)字嗎，還是有你不同意的？”—引發(fā)關(guān)于位置和數(shù)字間距的辯論，并促使學(xué)生證明他們的決定并評估相對間距。例如，她班上的學(xué)生認(rèn)為4、8和11太接近了。

教育烏托邦的瑞恩·約翰森

在勞拉·伯曼(Laura Berman)的二年級教室里，學(xué)生們將數(shù)字放在一個(gè)開放的數(shù)字線上，然后就它們的位置進(jìn)行辯論——這加強(qiáng)了他們的數(shù)字意識。

Berman后來指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行校正，首先是定義線的中點(diǎn)，以及0和4與4和8之間的空間關(guān)系。在有年長學(xué)生的教室里，教師可以使用更長的數(shù)字線或探索分?jǐn)?shù)和小數(shù)落在0和1之間的線上的位置來練習(xí)類似的活動(dòng)。

可視化幅度和數(shù)量

為了幫助學(xué)生理解數(shù)字的大小，2024系列的研究人員建議使用基數(shù)圖表——將數(shù)字的表示(比如泰迪熊的圖畫)與數(shù)字行上的數(shù)字聯(lián)系起來。

學(xué)前教育或幼兒園教師可以讓學(xué)生在基數(shù)圖表上從1數(shù)到10，以形象化和強(qiáng)化9相對于其他數(shù)字的大小。例如，當(dāng)學(xué)生的眼睛在數(shù)字線上向右移動(dòng)時(shí)，玩具熊的塔會(huì)變高，讓學(xué)生看到9比10小，因?yàn)樗耐婢咝芨伲蛘?明顯比8多一個(gè)。

將碎片轉(zhuǎn)化為可消化的碎片

理解分?jǐn)?shù)、小數(shù)和整數(shù)之間的關(guān)系是至關(guān)重要的——不僅對于高級數(shù)學(xué)，對于烹飪等日常工作或護(hù)理等需要精確計(jì)算的職業(yè)也是如此。然而，眾所周知，學(xué)生很難理解這些概念。事實(shí)上，根據(jù)a2015年研究.

研究人員指出，學(xué)生們感到困惑的一個(gè)常見原因是分?jǐn)?shù)的一般教學(xué)方式:學(xué)生們經(jīng)常學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的部分-整體解釋，認(rèn)為1/6是分成六部分的餡餅的一片，但很少想到是數(shù)軸上從0到1的距離的六分之一。這種區(qū)別會(huì)“阻礙學(xué)生靈活思考分?jǐn)?shù)的能力，”哈佛大學(xué)的研究人員寫道該系列的另一項(xiàng)研究，限制了他們對分?jǐn)?shù)和小數(shù)關(guān)系的理解。

為了幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)的大小，研究人員建議使用數(shù)軸作為動(dòng)手工具。在一項(xiàng)活動(dòng)中，學(xué)生們在一張紙上畫一條從0到1的數(shù)字線，然后將紙對折以標(biāo)記中點(diǎn)。學(xué)生將折疊標(biāo)記為1/2，并在數(shù)字0和1下寫下0/2和2/2——這有助于他們看到分?jǐn)?shù)既代表整體的相等部分，也代表連續(xù)線上的特定位置。

這些數(shù)軸也可以幫助學(xué)生探索等價(jià)分?jǐn)?shù)。例如，學(xué)生可以畫一條同樣長度的第二條線，并將其分成四個(gè)相等的部分——明確1/2和2/4相等，并落在數(shù)字線上的同一點(diǎn)。

數(shù)軸也有助于解決學(xué)生的一個(gè)常見困惑:隨著分母的值增加(1/2，1/4，1/6 ),分支的值減少——與學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)的情況相反。研究人員指出，通過將分?jǐn)?shù)放在數(shù)字線上，學(xué)生可以更好地理解它們之間的關(guān)系，對為什么1/4小于1/3(小于1/2)有直觀的理解。

測量多遠(yuǎn)？多長時(shí)間？

研究人員在報(bào)告中寫道，數(shù)字線還可以讓現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)——像距離和時(shí)間——對學(xué)生來說更具體，成為“用不同的測量單位解決問題的工具”另一項(xiàng)研究在該系列中特別介紹。

在一項(xiàng)活動(dòng)中，學(xué)生使用一條數(shù)字線來解決一個(gè)問題，要求他們比較用兩種不同單位測量的距離:盧卡帶著他的狗在他家附近散步。當(dāng)他回來時(shí)，他看了看他的健身追蹤器。上面寫著他們走了3.8公里。盧卡的朋友莉莉也帶著她的狗去散步。莉莉說她走了2.5英里。誰走了更遠(yuǎn)的距離？

教育烏托邦的瑞恩·約翰森/改編自Gersib等人，2024年

在最近的一項(xiàng)研究中，研究人員表明，數(shù)字線可以用來比較不同的測量單位——頂部是英里，底部是公里。

為了確定誰走得更遠(yuǎn)，學(xué)生們沿著頂部畫一條標(biāo)有“英里”的數(shù)字線，沿著底部畫一條標(biāo)有“公里”的數(shù)字線，然后將這條線分成英里增量，并計(jì)算相應(yīng)的公里值。通過對齊兩個(gè)單位，他們可以直接比較距離，同時(shí)還可以看到測量單位之間的關(guān)系。

數(shù)字線對于測量時(shí)間同樣有用。給定一個(gè)問題，實(shí)地考察從早上8:30到下午1:15。有多長時(shí)間？學(xué)生可以畫一條數(shù)字線，標(biāo)記開始和結(jié)束時(shí)間，并將時(shí)間間隔分成易于管理的塊，例如15分鐘的增量，這樣更容易計(jì)算總的經(jīng)過時(shí)間。

幫助分?jǐn)?shù)和小數(shù)使用同一種語言

與分?jǐn)?shù)類似，學(xué)生對小數(shù)的理解是日后數(shù)學(xué)成就的有力預(yù)測因素，部分原因是這要求他們認(rèn)識到不同的符號(如分?jǐn)?shù)和小數(shù))可以表示相同的值。

學(xué)生并不總是自己建立這種聯(lián)系。彌合差距的一個(gè)方法是將兩種形式放在同一數(shù)字行上。在決賽中系列文章例如，研究人員建議給學(xué)生一個(gè)十進(jìn)制數(shù)(0.2)，并要求他們在分成十分之一的數(shù)字線上找到它來回答這個(gè)問題:在游泳訓(xùn)練中，德文游了0.2英里。在數(shù)軸上畫一個(gè)點(diǎn)，用分?jǐn)?shù)表示德文游了多遠(yuǎn)。

研究人員指出，當(dāng)學(xué)生將小數(shù)的位置和表達(dá)式標(biāo)記為數(shù)字行上的分?jǐn)?shù)時(shí)，這強(qiáng)化了兩種符號(0.2和2/10)代表相同的量值。這種練習(xí)反映了“通常成績優(yōu)異的學(xué)生在學(xué)習(xí)新的數(shù)字類型時(shí)的心理活動(dòng)，擴(kuò)展了他們的心理數(shù)字線”——幫助學(xué)生建立對數(shù)字類型如何聯(lián)系和占據(jù)連續(xù)體中相同位置的更完整的理解